Обобщенный закон гука, матрицы жесткости и упругости.

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S ¡ j как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента S ¡ j линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и I содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9 X 9 = 81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C ijkl , определив посредством уравнения

где каждый значок i , j, k и I может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты C ¡jk l связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все C ¡jk l известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче — это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х, скажем F = kx , то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kх 2 /2. Подобным же образом энергия w , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

Полная же работа W , затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему:

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минималь ной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в C ijkl содержится не 81 различный параметр. Поскольку S ¡j и e ¡j — симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то C ijkl состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл повернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси у, так и в направлении оси х. Следовательно, если мы переменим наши определения осей координат х и у в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие С ххху, должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим у на -у, то ничего не должно измениться. Но изменение у на -у меняет е xy на -е ху, так как перемещение в направлении +у будет теперь перемещением в направлении -у. Чтобы энергия при этом не менялась, С ххху должно переходить в —С ххху. Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому С ххху должно быть таким же, как и -С ххху . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.
Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и С уууу = 0! Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для z.) Таким образом, выживают только компоненты типа С ххуу, С хуху, С хуух и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у и наоборот (или все z на x и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симметрия еще выше. Числа С должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С:

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений S ¡j должен быть связан с е ¡j способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ получить S ¡j из e ¡j — умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S ¡j = (Постоянная) х е ¡j ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор δ ¡j , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с e ¡j . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, — это ∑e ¡j . (Он преобразуется подобно х 2 + у 2 + z 2 , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S ¡j с е ¡j для изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2 μ; при этом коэффициент μ, равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные μ и λ называются упругими по стоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действительно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга Y и отношение Пуассона σ. На вашу долю оставляю показать, что

В МСС принято разделять все силы на внешние и внутренние.

Внешние силы возникают в результате взаимодействия сплошной среды с другими телами. Такие силы вызывают или могут вызвать изменение количества движения и кинетической энергии выделенного объёма. Типичным примером внешней силы для объектов, находящихся вблизи поверхности Земли, является гравитационная сила - сила тяжести.

Внутренние силы возникают в результате взаимодействия элементов сплошной среды. Они не могут изменить количество движения этого объёма, так внутри него каждая внутренняя сила уравновешивается равной ей по модулю внутренней силой, имеющей противоположное направление. Вместе с тем работа внутренних сил может изменить кинетическую и (или) потенциальную энергию рассматриваемого объёма тела. Примерами внутренних сил являются сила давления, действующая на поверхность, построенную внутри выделенного объёма жидкости; сила трения между слоями движущейся жидкости.

Внешние и внутренние силы могут быть объёмными (массовыми) и поверхностными .

Величина объёмных (массовых) сил пропорциональна объёму (массе) жидкости или газа, на который они действуют. Характеристикой объёмной (массовой) силы является плотность распределения этой силы в пространстве. Это векторная величина , которая равна силе, действующей на единицу объёма (массы) - ускорение. Рассмотрим в качестве примера силу тяжести. Плотность её распределения – вектор равный по модулю ускорению свободного падения. Если принять оси х и у горизонтальными, а z направить вертикально вверх, то плотность распределения силы тяжести , где g = 9,81 м/с 2 - ускорение свободного падения. При этом вес объёмаравен:

. (1.5.1)

Физически поверхностные силы обусловлены силами ближнего взаимодействия молекул, расположенных по разные стороны от рассматриваемой поверхности, и переносом молекул сквозь эту поверхность в процессе их теплового движения. Характеристикой поверхностной силы является её распределения по поверхности, которое называется напряжением .

Напряжение . В сечении сплошной среды на произвольно ориентированной площадке с нормалью действует вектор напряжения (рис.1.10). Его можно разложить на две составляющие нормальное напряжение и - касательное напряжением на данной площадке. Если площадка лежит в плоскости нормальной оси координат, то напряжение определяется тремя величинами – проекциями на соответствующие оси (рис.1.11). Напряжения на площадках, нормальных осям, определяются зависимостью:

рис.1.10 рис.1.11

Рассмотрим в сплошной среде элементарный объем - силовой тетраэдр (рис.1.12). Три грани которого принадлежат координатным плоскостям, а четвертая нормальна . Напряжение , действующее на , может быть охарактеризовано тремя проекциями p nx , p ny и p nz на координатные оси х, у и z и зависит от направления площадки нормали к .

Первый индекс указывает на направление площадки, второй - на ось проектирования.

Применим к второй закон Ньютона (сила = массе умноженной на ускорение):

Разделим все на и переходя к пределу , с учетом получим формулы Коши для напряжения на произвольно ориентированной площадке, проходящей через данную точку:

(1.5.2)

Силовой тетраэдр. Рис.1.12

Обратим внимание, что данное выражение есть произведение некоего обекта, задаваемого матрицей 3х3 на вектор единичной нормали. Данный объект называется тензором напряжений :

(1.5.3)

Составляя три основных уравнения равновесия тетраэдра – три уравнения момента. Удобно делать это относительно осей, проходящих через центр масс – точку с координатами . В этом случае в уравнениях из 12 напряжений, будут присутствовать, только по два касательных, а остальные будут либо параллельны выбранной оси, либо будут проходить через нее. В результате получаем

эти равенства выражают закон взаимности касательных напряжений, а сам тензор напряжений является симметричным.

Таким образом, напряженное состояние сплошной среды в любой точке однозначно определяется шестью величинами напряжений, которые и составляют симметричный тензор.

Если грань тетраэдра совпадает с поверхностью твердого тела, то проекции вектора напряжений совпадают с проекциями внешней нагрузки

(1.5.5)

Так как тензор напряжений симметричный, то всегда можно выбрать такую систему координат, в которой он будет иметь диагональный вид. Для этого необходимо решить характеристическое (вековое) уравнение:

. (1.5.6)

Решением характеристического уравнения являются три величины , которые называются главными напряжениями , а направления нормалей к площадкам на которые они действуют – главными осями напряженного состояния системы .

Рассмотрим бесконечно малый отрезок dS (рис.1.12) , проекции которого на оси декартовой системы координат dx, dy, dz . Пусть при деформации точка M смещается, причем проекции ее перемещения . В теории упругости рассматриваются деформации и перемещения, т.е. такие величины, для которых их произведениями и квадратами можно пренебречь. Тогда проекции перемещение точки M’ будут:

(1.5.7)

Проекции dS * , в который переходит отрезок dS после деформации:

Вычисляя и отбрасывая члены второго порядка, получим:

(1.5.9)

Данные шесть величин полностью характеризуют деформационное состояние тела и составляют тензор деформации:

(1.5.10)

Разберемся с физическим смыслом этих величин. Введем относительное удлинение отрезка

Тогда для малых деформаций

или в проекциях

Таким образом, диагональные компоненты равны удвоенным относительным удлинениям бесконечно малых отрезков, которые до деформации были параллельны координатным осям.

Рассмотрим, как изменяются углы при деформации. Возьмем плоскость 0zy (рис.1.13) и посмотрим как изменится первоначально прямой угол между отрезками dy и dz . Видно, что с точность до бесконечно малых второго порядка этот угол изменится на то есть на .

Таким образом, недиагональные составляющие есть величина изменения первоначально прямого угла между соответствующими бесконечно малыми отрезками после деформации. Величины , , принято называть сдвигами .

Приведем окончательный вид записи тензора деформаций:

(1.5.14)

Если ввести обозначение получим форму записи связи перемещений с компонентами тензора деформаций (соотношения Коши) :

. (1.5.15)

Тензор деформации и тензор напряжения подобны, это позволяет выявить важные свойства деформированного состояния.

Пусть в теле созданы напряжения пропорциональные деформациям,

(1.5.16)

Было показано, что для каждой точки напряженного состояния существуют такие ориентации площадок, на которых реализуются главные напряжения. Тогда:

(1.5.17)

Таким образом, в деформированном теле существуют три направления, сдвиги между которыми равны нулю. Прямые, проведенные по этим направлениям, называются главными осями деформируемого состояния в данной точке. Относительные удлинения по этим направлениям называются главными удлинениями :

Выполнив замену в характеристическом уравнении, получим так же кубическое уравнение

(1.5.19)

Коэффициенты в вековом уравнении, определяемые формулами (1.5.19) называют инвариантами тензора деформаций .

Связь между тензором напряжений и тензором деформаций, определяет физическую модель сплошной среды (ее реологию). В частности, для модели изотропных упругих тел, имеют место соотношения обобщенного закона Гука известные из курса сопротивления материалов. В принятых обозначениях компонентов тензоров напряжений и деформаций они следующие:

(1.5.20)

Здесь Е и G - модули Юнга (модуль продольной упругости) и сдвига, n - коэффициент Пуассона. Они связаны известной зависимостью .

В ходе решения задач теории упругости возникает необходимость в обратных соотношениях, когда напряжения выражены через деформации. В этом случае получаем

, (1.5.21)

В случае текучих сред связь между тензорами напряжений и деформаций отсутствует. И в рассмотрение вводится тензор скоростей деформаций:

А модель сплошной среды определяется зависимостью между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Так для ньтоновских жидкостей используется соотношение, называемое обобщенный закон Ньютона:

(1.5.23)

Наиболее простой моделью является модель «идеальной» жидкости:

(1.5.24)

Экспериментальные данные и общие физические представления показывают, что при больших температурах и давлениях любая среда практически обладает свойствами идеальной жидкости .

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами - с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S ij как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента S ij линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9X9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C ijkl определив посредством уравнения

где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты С ijkl связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор - на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все C ijkl известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций - тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче - это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х, скажем F=kx, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx 2 /2. Подобным же образом энергия w , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

Полная же работа W, затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему:

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в C ijkl содержится не 81 различный параметр. Поскольку S ij и e ij - симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то C ijkl состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:

C хххх =С уууу = C zzzz . (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие С ххху , должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим у на -y, то ничего не должно измениться. Но изменение у на -у меняет е xy на -е xy , так как перемещение в направлении +у будет теперь перемещением в направлении -у. Чтобы энергия при этом не менялась, С ххху должно переходить в -С ххху Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому С хх xy должно быть таким же, как и -С ххху . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и C yyyy =0!» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для z.) Таким образом, выживают только компоненты типа С ххуу , С хуху , С хуух и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у и наоборот (или все z на x и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

C хххх =C ххуу +C хуху (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений S ij должен быть связан с e ij способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,- скажете вы. «Единственный способ получить S ij из e ij - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S ij = (Постоянная)Xе ij ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор  ij , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е ij . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, - это e jj . (Он преобразуется подобно х 2 +y 2 +z 2 , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S ij с e ij для изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные (, и  называются упругими постоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга Y и отношение Пуассона  . На вашу долю оставляю показать, что

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами - с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений как -ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси . Закон Гука говорит, что каждая компонента линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку и содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их , определив посредством уравнения

, (39.12)

где каждый значок , , и может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор – на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций – тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче – это подумать об энергии. Когда сила пропорциональна перемещению , скажем , то работа, затраченная на любое перемещение , равна . Подобным же образом энергия , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

. (39.13)

Полная же работа , затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от по всему его объему:

. (39.14)

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений по всему телу, при которых минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в содержится не 81 различный параметр. Поскольку и - симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии для него получается такой:

(39.15)

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл повернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси , так и в направлении оси . Следовательно, если мы переменим наши определения осей координат и в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

. (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие , должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим на , то ничего не должно измениться. Но изменение на меняет на , так как перемещение в направлении будет теперь перемещением в направлении . Чтобы энергия при этом не менялась, должно переходить в . Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому должно быть таким же, как и . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и !» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те , у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для , имеют силу и для и для .) Таким образом, выживают только компоненты типа , , и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все на и наоборот (или все на и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

(39.17)

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симметрия еще выше. Числа должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами :

. (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений должен быть связан с способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто», - скажете вы. «Единственный способ получить из - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по , - это . (Он преобразуется подобно , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего с для изотропного материала, будет

Коэффициенты могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга и отношение Пуассона . На вашу долю оставляю показать, что

(39.22)