Обозначение окружности. Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Правописание суффиксов - ева - (- ова -), -ива- (- ыва -) в глаголах Урок в 6 классе

Какую гласную надо писать перед - ва? п одсматр.. вать о перир.. вать з агад.. вать к оманд... вать н оч.. вать

Перепишите данные глаголы в два столбика: в один – с суффиксами - ова -, - ева - , в другой – с суффиксами -ива-, - ыва - . Участвовать, обманывать, выздоравливать, любопытствовать, горевать, завидовать, рассказывать, советовать, обдумывать, воевать.

Поставьте каждый из этих глаголов в форму 1-го лица ед. числа настоящего времени Разгадывать – разгадываю б еседовать – беседую.

Сравните глаголы. Чем они отличаются? в ыздоравл ива ть – выздоравл ива ю о бдум ыва ть - обдум ыва ю з авид ова ть – завид ую с овет ова ть - совет ую -ива-, - ыва - - ова -, - ева -

Ответ-правило: Если в глаголах настоящего или будущего времени нет суффикса (суффикс выпадает), то пишется - ова -, - ева - , а если суффикс сохраняется, пишется -ива-, - ыва - .

Ставлю глагол в форму 1-го лица ед. числа настоящего (будущего) времени и смотрю, на что оканчивается: н а - ываю (- иваю) Вывод: п ишу - ыва -, -ива- . на - ую (- юю) Вывод: п ишу - ова -, - ева - .

Замените словосочетания глаголами с суффиксами -ива- , - ыва - или - ова -, - ева - Вести беседу, проводить исследование, испытывать зависть, проводить демонстрацию (опыта), вести расследование, проявлять настойчивость, отдавать приказ, давать совет, принимать участие, выражать сочувствие, делать ремонт, хранить безмолвие, осуществлять контроль.

От данных существительных образуйте глаголы прошедшего времени с помощью суффиксов - ива-, - ыва - или - ова -, - ева - Интерес Аплодисменты Редакция Расход Упаковка Зарисовка Загадка Остановка Доклад Интерес ова лся Аплодир ова л Редактир ова л Расход ова л Упаков ыва л Зарисов ыва л Загад ыва л Останавл ива л Доклад ыва л

Вставьте по смыслу пропущенные слова. Дениска любил играть в шахматы, но очень огорчался, если … Как все …, когда в дверях появился Дед Мороз! Шерлок Холмс умел … самые загадочные преступления. Скоро сказка …, да не скоро дело делается. Дельфины высоко … из воды и … рыбу из рук человека. При неудачах не стоит …, надо всегда надеяться на лучшее.

Проверьте: Дениска любил играть в шахматы, но очень огорчался, если проигр ыва л. Как все обрад ова лись, когда в дверях появился Дед Мороз! Шерлок Холмс умел расслед ова ть самые загадочные преступления. Скоро сказка сказ ыва ется, да не скоро дело делается. Дельфины высоко выпрыг ива ют из воды и выхват ыва ют рыбу из рук человека. При неудачах не стоит отча ива ться, надо всегда надеяться на лучшее.

Что необходимо запомнить?

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
.

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Следствие 1.
  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.


• Следствие 2.
  Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

• Длина окружности:

• Длина дуги окружности:

• Диаметр:

• Длина дуги окружности:

• Площадь круга:

• Площадь кругового сектора:

Уравнение окружности

• В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

• Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

Инструкция

Записывайте математические операции в текстовом виде и вводите их в поле поискового запроса на главной странице сайта Google, если -либо не можете использовать калькулятор, но имеете доступ в интернет. Этот поисковик имеет встроенный многофункциональный калькулятор, пользоваться которым намного проще, чем любым другим. Здесь нет интерфейса с кнопками - вводить все данные надо в текстовом виде в единственное поле. Например, если известны координаты крайних точек отрезка в трехмерной системе координат A(51,34 17,2 13,02) и A(-11,82 7,46 33,5), то координаты средней точки отрезка C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Вводя в поле поискового запроса (51,34-11,82)/2, затем (17,2+7,46)/2 и (13,02+33,5)/2, можно с помощью Google получить координаты С(19,76 12,33 23,26).

Стандартное уравнение окружности позволяет узнать несколько важных сведений об этой фигуре, например, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, наоборот, по заданным параметрам требуется составить уравнение.

Инструкция

Определите, сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что конечной целью является необходимость определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия должны быть направлены на достижение именно этого результата.

Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми или другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты позволят вам найти координаты центра окружности, а также вычислить радиус.

Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, наиболее полезной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить доказать все использованные в ходе теоремы.

Прорешайте наиболее стандартные типы , чтобы научиться сразу видеть, как использовать те или иные данные для уравнения окружности. Так, помимо уже указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны сведения о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности можно воспользоваться знаниями о центре окружности, длине хорды и , на которой эта хорда лежит.

Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте , из которой вы легко найдете необходимые данные. Для этого достаточно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в плоскости.

Видео по теме

Под окружностью понимают фигуру, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Расстояние от центра до точек окружности называется радиусом.

Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

Окружность: определение и основные средства описания

Окружность - это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, - это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

Свойства хорд

1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней - радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

Длина окружности: общее понятие и основные формулы

Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа "π", отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L - это длина окружности, D - диаметр, R - радиус.

Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

Что такое окружность: основные постулаты

• не иметь общих точек;
• иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
• иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

• одинаковая кривизна линии в любой из точек;
• относительно точки О;
• зеркальная симметрия относительно диаметра.

6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.