ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

по курсу «Математический анализ» (А-5,13,14-13)

1. Ограниченные и неограниченные множества. Примеры.

2. Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема о существовании

точной верхней (точной нижней) грани множества.

3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности.

4. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

5. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми

последовательностями.

6. Арифметические свойства пределов последовательностей.

7. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела,

ограниченность сходящейся последовательности.

8. Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в

неравенствах.

9. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной

последовательности.

10. Число е.

11. Лемма о вложенных отрезках.

12. Подпоследовательности, частичные пределы. Связь предела

последовательности с частичными пределами.

13. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

14. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

15. Предел функции: два определения и их эквивалентность.

16. Арифметические свойства пределов функций.

17. Свойства пределов функций: единственность предела; ограниченность

функции, имеющей предел.

18. Свойства пределов функций: предельный переход в неравенствах.

19. Односторонние пределы и их связь с пределом функции.

20. Первый замечательный предел.

21. Второй замечательный предел.

22. Бесконечно малые функции и их свойства.

23. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

функциями.

24. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

25. Эквивалентные бесконечно малые функции (таблица). Теорема об

эквивалентных бесконечно малых функциях.

26. Сравнение бесконечно больших функций. Примеры.

27. Непрерывность функции в точке (3 определения). Свойства функций,

непрерывных в точке.

28. Непрерывность сложной функции.

29. Классификация точек разрыва функции.

30. Точки разрыва монотонной функции.

31. Первая теорема Вейерштрасса.

32. Вторая теорема Вейерштрасса.

33. Теорема о нуле непрерывной функции.

34. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной

функции. Следствие теоремы Больцано-Коши.

35. Критерий непрерывности монотонной функции.

36. Непрерывность обратной функции.

37. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.

38. Производная функции в точке. Производные элементарных функций

(примеры и таблица). Геометрический смысл производной.

39. Дифференцируемость функции в точке (два определения и их

эквивалентность). Непрерывность дифференцируемой функции.

40. Арифметические свойства дифференцируемых функций.

41. Производная сложной функции.

42. Производная обратной функции.

43. Производная функции, заданной параметрически.

44. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

45. Дифференциал функции. Свойства дифференциала. Инвариантность

формы записи первого дифференциала.

46. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи

второго дифференциала.

47. Теорема Ферма.

48. Теорема Ролля.

49. Теорема Лагранжа.

50. Теорема Коши для дифференцируемых функций.

51. Правило Лопиталя.

52. 53. 54. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формулы Тейлора для элементарных функций.

55. Признак монотонности функции.

56. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального

экстремума.

57. Первое достаточное условие локального экстремума.

58. Второе достаточное условие локального экстремума.

59. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости функции.

60. Связь выпуклости функции и касательной к графику функции

(формулировка).

64. Точка перегиба функции. Необходимое условие для точки перегиба.

65. Достаточные условия для точки перегиба (2 теоремы).

66. Асимптоты графика функции.

1. Ограниченные и неограниченные множества. Примеры.

Доказательство. Следствие. Пример.

2. Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани множества.

Утверждение. Доказательство.

Теорема о существование точной верхней(нижней) грани . Доказательство.

3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности.

Теорема о связи б.м. и сходящейся последовательности. Доказательство.

4. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

Теорема 1. Доказательство.

Следствие .

5. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми последовательностями.

Теорема.

Доказательство.

6. Арифметические свойства пределов последовательностей.

Теорема. Докозательство. Теорема. Доказательство.

7. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

Теорема: (о единственности предела): Если
-сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть
,
,
.

Для определенности
имеем:

.

<
<

<. <
.

Противоречие.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если
-сходится, то она ограничена.

- сходящаяся


:

.

Возьмем =1


.

Обозначим , тогда

Тогда

Отсюда для обоих случаев

Замечание: обратное не верно.

8. Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в неравенствах.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть
,
.

. Тогда
.

Замечание:

.

Доказательство (от противного):

Пусть
.

Возьмем
.

Обозначим

.

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется
, то отсюда не следует, что
.


.

=, =,



.

9. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение:
-монотонно возрастающая (монотонно убывающая),

если

(
). Если неравенства строгие, то

последовательности строго возрастающие (убывающие).

Теорема (о пределе монотонной последо­вательности). Пусть

Монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем

.

Доказательство:

ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней

грани

. Докажем, что
.

: 1)

2)
.

Возьмем произвольный
, обозначим
из 2).

1)=>

2)=>
(монот. возр).

Из этого следует, что
,
=>

.

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)

10. Число е.

Сложно доказать, что функция
при

имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего

его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что

это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула,

определяющая число по традиции называется второй замечательный

предел.

. Также число-основание

натуральных логарифмов.

Рассмотрим
.

Ограниченные и неограниченные множества. Конечные и бесконечные множества

Множества по количеству элементов могут быть конечными и бесконечными

Рассмотрим произвольное бесконечное множество вещественных чисел, оно може быть задано любым образом. Такими

Множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество правильных дробей, множество вещественных чисел между 0 и 1, множество корней уравнения sin x = ½ и т.п.

Любое из чисел множества мы обозначим через х, Само множество обозначим через Х.

Определения 7.3.

Если для множества Х существует такое число М, что для всех х≤М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М), а само М называется верхней границей Х. Например, множество натуральных дробей ограничено сверху числом 1 (и вообще любым числом, больше или равным 1), натуральный ряд сверху неограничен

Аналогично определяется ограниченное снизу множество и нижняя граница

Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при этом как ограничено, так и неограниченно снизу (сверху). Так, множество правильных дробей ограничено и сверху и снизу, а натуральный ряд ограничен снизу, но не сверху.

Если множество сверху (снизу) неограниченно, то за его верхнюю (нижнюю) границу принимают «несобственное» число Относительно этих «несобственных» или «бесконечных» чисел мы считаем, что каково бы ни было вещественное число α.

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется (просто) ограниченным .

Если множество ограничено сверху, т.е. имеет конечную верхнюю границу М, то одновременно оно имеет бесконечное множество верхних границ (так как, например, любое число >М, очевидно, также будет верхней границей). Из всех верхних границ наибольший интерес представляет наименьшая (она же точная верхняя граница, верхняя грань, супремум множества Х , supX (от латинского supremum - наибольший))

Аналогично определяется точня нижняя граница (нижняя грань, инфинум множества Х, inf X (от infinum – наименьший))

Определение ‘

Число β называется верхней гранью числового множества X, если:

2’) для любого ε>0 существует такой , что x > β - ε

Для α=inf X определение ‘ сформулируйте сами рис. 7.3(2).

Пусть ; тогда

sup = sup (а, b) = b, inf [а, b] = inf (а, b) = а.

Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

В силу самого своего определения верхняя и нижняя грани множества единственны. В самом деле, если в некотором множестве, принадлежащем даже расширенной числовой прямой , существует наименьший (наибольший) элемент, то он единственен, так как из двух разных элементов множества больший из них не может быть наименьшим элементом, а меньший - наибольшим.

Всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Действительно, так как верхних (нижних) границ бесконечно много, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наибольшее (наименьшее, то существование супремума (инфинума) требует специального доказательства.

Теорема 7.3(1)

Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое – нижнюю.

Доказательство

Пусть непустое числовое множество А ограничено сверху, В - множество всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Если то из определения числа, ограничивающего сверху

множество, следует, что a≤b. Следовательно, по свойству непрерывности действительных чисел существует такое число β, что для всех будет выполняться неравенство a≤β≤b. Неравенство , означает, что число β ограничивает сверху множество А, а неравенство - что число β является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Следовательно, β= sup A.

Аналогично доказывается, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.

Рассмотрим расположение графиков взаимно обратных функций в декартовой системе координат и докажем следующее утверждение.

Лемма 1.1. Еслиa, b R , то точкиM 1 (a, b), M 2 (b, a) плоскости симметричны относительно прямойy = x .

Если a = b, то точки M1 , M2 совпадают и лежат на прямой y = x. Будем считать, что a 6= b. Прямая, проходящая через точки M1 , M2 , имеет уравнение y = −x+a+b, а потому перпендикулярна прямой y = x.

Поскольку середина отрезка M1 M2 имеет координатыa + 2 b ,a + 2 b ! , то

она лежит на прямой y = x. Следовательно, точки M1 , M2

Cледствие. Если функцииf: X −→ Y иϕ : Y −→ X взаимно обратные, то их графики симметричны относительно прямойy = x , если они построены в одной системе координат.

Пусть f = {(x, f(x)) | x X},ϕ = {(y, ϕ(y)) | y Y } - графики функций f и ϕ соответственно. Так как

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

то в силу доказанной леммы графики f иϕ симметричны относительно прямой y = x.

1.6 Свойства числовых множеств

1.6.1 Ограниченные числовые множества

Определение 1.26. ПустьX - непустое числовое множество. МножествоX называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое числоa , чтоx 6 a (x > a ) для любого элементаx X . При этом числоa называется верхней (нижней) границей множестваX . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

a R: x 6 a, x X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение ограниченного множества.

Определение 1.27. Непустое числовое множествоX называют ограниченным, если существует такое положительное числоM , что

Определение 1.28. Элементa из числового множестваX называют максимальным (минимальным) элементом вX , еслиx 6 a (соответственно,x > a ) для любогоx изX , и пишут:a = max X (соответственно,a = min X ).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в R имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пример 1.5. Покажем, что множество X = }