ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Наше знакомство с многогранниками продолжается.
Вспомним, что многогранник называется правильным, если выполнены следующие условия:
1.многогранник выпуклый;
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;
4. все его двугранные углы равны.
На прошлых занятиях вы узнали об единственности существования пяти видов правильных многогранников:
тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, гексаэдра(куба) и додекаэдра.
Сегодня мы рассмотрим элементы симметрии изученных правильных многогранников.
Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.
Его осью симметрии является прямая, проходящая через середины противоположных рёбер.
Плоскостью симметрии является плоскость, проходящая через любое ребро перпендикулярно противоположному ребру.
Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.
Куб обладает одним центром симметрии- это точка пересечения его диагоналей.
Осями симметрии являются прямые проходящие через центры противоположных граней и середины двух противоположных рёбер, не принадлежащих одной грани.
Куб имеет девять осей симметрии, которые проходят через центр симметрии.
Плоскость, проходящая через любые две оси симметрии, является плоскостью симметрии.
Куб имеет девять плоскостей симметрии.
Правильный октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии: три оси симметрии проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер.
Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии.
Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости.
Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер.
Правильный икосаэдр имеет 12 вершин. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии: Через первую пару противоположных вершин проходят пять плоскостей симметрии (каждая их них проходит через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному углу).
Для третьей пары получим — 3 новых плоскости, а для четвертой — две плоскости и для пятой пары только одна новая плоскость.
Через шестую пару вершин не пройдет ни одной новой плоскости симметрии.
Правильный додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии: плоскости симметрии проходят через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному ребру. Поэтому через первую пару противоположных пятиугольников проходит 5 плоскостей, через вторую пару — 4, через третью — 3, четвертую — 2, пятую — 1.
Решим несколько заданий, применяя полученные знания.
Доказать, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры его граней, равны.
Так как все грани правильного тетраэдра равны и любая из них может считаться основанием, а три другие- боковыми гранями, то достаточно будет доказать равенство отрезков ОМ и ON.
Доказательство:
1.Дополнительное построение: проведём прямую DN до пересечения со стороной АС, получим точку F;
проведём прямую DM до пересечения со стороной АВ, получим точку Е.
Затем соединим вершину А с точкой F;
вершину С с точкой Е.
2.Рассмотрим треугольники ДЕО и ДОФ они
прямоугольные, т.к. ДО высота тетраэдра, тогда они равны по гипотенузе и катету: ДО-общая, ДЕ=ДФ(высоты равных граней тетраэдра)).
Из равенства данных треугольников следует, что OE=OF, ME=NF(середины равных сторон),
угол DEO равен углу DFO.
3. из выше доказанного следует что треугольники ОЕМ и ОФН равны по двум сторонам и углу между ними (см пн. 2).
А из равенства этих треугольников следует, что ОМ = ON.
Что и требовалось доказать.
Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой противоположные грани перпендикулярны к основанию?
Докажем, что такой пирамиды не существует методом от противного.
Доказательство:
1. Пусть ребро РА1 перпендикулярно основанию пирамиды и ребро РА2 так же перпендикулярно основанию.
2.Тогда по теореме(две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны), мы получим что ребро РА1 параллельно ребру РА2.
3.Но пирамида имеет общую точку для всех боковых рёбер(а значит и граней)- вершину пирамиды.
Мы получили противоречие, таким образом не существует четырёхугольной пирамиды, противоположные грани которой перпендикулярны к основанию.
Октаэдр – один из пяти правильных многогранников, имеющий 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин. Каждая его вершина является вершиной четырёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
В природе, в науке, в жизни этот многогранник встречается довольно часто: он находит применение в объяснении структуры и форм Вселенной, в строении ДНК и нанотехнологиях, в создании игр-головоломок.
Но чаще всего он встречается, пожалуй, в первом – в природе. А именно, в строении кристаллов. Форму октаэдра имеют кристаллы алмаза, перовскита, оливина, флюорита, шпинели, алюминиево-калиевых квасцов, медного купороса и даже хлорида натрия и золота!
Многогранники также используются в живописи. Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
Рис. 7. Гравюра «Звезды» Эшера
Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.
Заключение
В ходе данной работы было рассмотрено понятие правильных многогранников, мы узнали, что многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) все его двугранные равны; 4) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.
Рассмотрев историю возникновения платоновых тел, мы узнали, что всего существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их названия из Древней Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник".
Использованная литература и источники позволили более глубоко рассмотреть данную тему.
Проанализировав подробнее икосаэдр и октаэдр, а также их применение в различных областях, мы увидели, что изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр среди кристаллических форм не встречается, но его можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе о том, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников.
Список литературы
1. Александров А. Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1992 – 464 с.
2. Атанасян Л.С и другие. Геометрия 10 - 11.- М.: Просвещение, 2003.
3. Василевский А.Б. Параллельные проекции.- Москва, 2012.
4. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М.: Просвещение, 2002.
5. Гончар В. В. Модели многогранников. – М.: Аким, 1997. – 64 с.
6. Дитяткин В.Г. Леонардо да Винчи.- М.: Москва, 2002.
7. Евклид. Начала.- В 3 т. М.; Л.; 1948 – 1950.
8. Математика: Школьная энциклопедия / гл. ред. Никольский С. М. – М.: Научное изд. «Большая Российская энциклопедия», 1996
9. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - Москва, 1999.
Пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки ин-те-ре-со-ва-ли мно-гих ве-ли-ких учё-ных. И этот ин-те-рес вы-хо-дил да-ле-ко за пре-де-лы ма-те-ма-ти-ки. Пла-тон (427 до н.э. - 347 до н.э.) рас-смат-ри-вал их как ос-но-ву стро-е-ния Все-лен-ной, Кеплер (1571-1630) пы-тал-ся свя-зать пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки с дви-же-ни-ем планет Сол-неч-ной си-сте-мы (ко-то-рых в его вре-мя бы-ло из-вест-но пять). Воз-мож-но, имен-но кра-со-та и гар-мо-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков за-став-ля-ла ве-ли-ких учё-ных про-шло-го пред-по-ла-гать ка-кое-то бо-лее глу-бо-кое их на-зна-че-ние, чем про-сто гео-мет-ри-че-ских объ-ек-тов.
Пра-виль-ным мно-го-гран-ни-ком на-зы-ва-ет-ся мно-го-гран-ник, все гра-ни ко-то-ро-го суть пра-виль-ные мно-го-уголь-ни-ки, все плос-кие уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой и дву-гран-ные уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой. (Плос-ки-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы мно-го-уголь-ни-ков-гра-ней, дву-гран-ны-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы меж-ду гра-ня-ми, име-ю-щи-ми об-щее реб-ро.)
За-ме-тим, что из это-го опре-де-ле-ния ав-то-ма-ти-че-ски сле-ду-ет вы-пук-лость пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка, ко-то-рая в неко-то-рых кни-гах вклю-ча-ет-ся в опре-де-ле-ние.
В трёх-мер-ном про-стран-стве су-ще-ству-ет ров-но пять пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков: тет-ра-эдр, ок-та-эдр, куб (гек-са-эдр), ико-са-эдр, до-де-ка-эдр. То, что дру-гих пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков не су-ще-ству-ет, бы-ло до-ка-за-но Ев-кли-дом (око-ло 300 г. до н.э.) в его ве-ли-ких На-ча-лах.
Ана-ло-гич-ное по-стро-е-ние при-ме-ни-мо и в бо-лее об-щем слу-чае. Рас-смот-рим про-из-воль-ный вы-пук-лый мно-го-гран-ник и возь-мём точ-ки в се-ре-ди-нах его гра-ней. Со-еди-ним меж-ду со-бой точ-ки со-сед-них гра-ней от-рез-ка-ми. То-гда точ-ки яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми, от-рез-ки - рёб-ра-ми, а мно-го-уголь-ни-ки, ко-то-рые огра-ни-чи-ва-ют эти от-рез-ки, гра-ня-ми ещё од-но-го вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка. Этот мно-го-гран-ник на-зы-ва-ет-ся двой-ствен-ны-ми к ис-ход-но-му.
Как бы-ло по-ка-за-но вы-ше, двой-ствен-ным к тет-ра-эд-ру яв-ля-ет-ся тет-ра-эдр.
Уве-ли-чим раз-мер тет-ра-эд-ра, вер-ши-на-ми ко-то-ро-го яв-ля-ют-ся се-ре-ди-ны гра-ней ис-ход-но-го тет-ра-эд-ра, до раз-ме-ров по-след-не-го. Во-семь вер-шин так рас-по-ло-жен-ных тет-ра-эд-ров яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ку-ба .
Пе-ре-се-че-ни-ем этих тет-ра-эд-ров яв-ля-ет-ся ещё один пра-виль-ный мно-го-гран-ник - ок-та-эдр (от греч. οκτώ - во-семь). Ок-та-эдр име-ет 8 тре-уголь-ных гра-ней, 6 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ок-та-эд-ра рав-ны $\pi/3$, по-сколь-ку его гра-ни яв-ля-ют-ся пра-виль-ны-ми тре-уголь-ни-ка-ми, дву-гран-ные уг-лы рав-ны $\arccos(–1/3) ≈ 109{,}47^\circ$.
От-ме-тим се-ре-ди-ны гра-ней ок-та-эд-ра и пе-рей-дём к двой-ствен-но-му к ок-та-эд-ру мно-го-гран-ни-ку. Это - куб или гек-са-эдр (от греч. εξά - шесть). У ку-ба гра-ни яв-ля-ют-ся квад-ра-та-ми. Он име-ет 6 гра-ней, 8 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ку-ба рав-ны $\pi/2$, дву-гран-ные уг-лы так-же рав-ны $\pi/2$.
Ес-ли взять точ-ки на се-ре-ди-нах гра-ней ку-ба и рас-смот-реть двой-ствен-ный к нему мно-го-гран-ник, то мож-но убе-дить-ся, что им сно-ва бу-дет ок-та-эдр. Вер-но и бо-лее об-щее утвер-жде-ние: ес-ли для вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка по-стро-ить двой-ствен-ный, а за-тем двой-ствен-ный к двой-ствен-но-му, то им бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник (с точ-но-стью до по-до-бия).
Возь-мём на рёб-рах ок-та-эд-ра по точ-ке , с тем усло-ви-ем, чтобы каж-дая де-ли-ла реб-ро в со-от-но-ше-нии $1:(\sqrt5+1)/2$ (зо-ло-тое се-че-ние) и при этом точ-ки, при-над-ле-жа-щие од-ной гра-ни, яв-ля-лись вер-ши-на-ми пра-виль-но-го тре-уголь-ни-ка. По-лу-чен-ные 12 то-чек яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - ико-са-эд-ра (от греч. είκοσι - два-дцать). Ико-са-эдр - это пра-виль-ный мно-го-гран-ник, у ко-то-ро-го 20 тре-уголь-ных гра-ней. Он име-ет 12 вер-шин, 30 рё-бер. Плос-кие уг-лы ико-са-эд-ра рав-ны $\pi/3$, дву-гран-ные рав-ны $\arccos(–1/3\cdot\sqrt5) ≈ 138{,}19^\circ$.
Ико-са-эдр мож-но впи-сать в куб. На каж-дой гра-ни ку-ба при этом ока-жет-ся по две вер-ши-ны ико-са-эд-ра.
По-вер-нём ико-са-эдр, «по-ста-вив» его на вер-ши-ну, и по-лу-чив его бо-лее при-выч-ный вид : две шап-ки из пя-ти тре-уголь-ни-ков у юж-но-го и се-вер-но-го по-лю-сов и сред-ний слой, со-сто-я-щий из де-ся-ти тре-уголь-ни-ков.
Се-ре-ди-ны гра-ней ико-са-эд-ра яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - до-де-ка-эд-ра (от греч. δώδεκα - две-на-дцать). Гра-ни до-де-ка-эд-ра суть пра-виль-ные пя-ти-уголь-ни-ки. Та-ким об-ра-зом, его плос-кие уг-лы рав-ны $3\pi/5$. У до-де-ка-эд-ра 12 гра-ней, 20 вер-шин, 30 рё-бер. Дву-гран-ные уг-лы до-де-ка-эд-ра рав-ны $\arccos(–1/5\cdot\sqrt5) ≈116{,}57^\circ$.
Взяв се-ре-ди-ны гра-ней до-де-ка-эд-ра, и пе-рей-дя к двой-ствен-но-му ему мно-го-гран-ни-ку, по-лу-чим сно-ва ико-са-эдр. Итак, ико-са-эдр и до-де-ка-эдр двой-ствен-ны друг дру-гу. Это ещё раз ил-лю-стри-ру-ет тот факт, что двой-ствен-ным к двой-ствен-но-му бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник.
За-ме-тим, что при пе-ре-хо-де к двой-ствен-но-му мно-го-гран-ни-ку, вер-ши-ны ис-ход-но-го мно-го-гран-ни-ка со-от-вет-ству-ют гра-ням двой-ствен-но-го, рёб-ра - рёб-рам двой-ствен-но-го, а гра-ни - вер-ши-нам двой-ствен-но-го мно-го-гран-ни-ка. Ес-ли у ико-са-эд-ра 20 гра-ней, зна-чит у двой-ствен-но-го ему до-де-ка-эд-ра 20 вер-шин и у них оди-на-ко-вое чис-ло рё-бер, ес-ли у ку-ба 8 вер-шин, то у двой-ствен-но-го ему ок-та-эд-ра 8 гра-ней.
Су-ще-ству-ют раз-лич-ные спо-со-бы впи-сы-ва-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков друг в дру-га, при-во-дя-щие ко мно-гим за-ме-ча-тель-ным кон-струк-ци-ям. Ин-те-рес-ные и кра-си-вые мно-го-гран-ни-ки по-лу-ча-ют-ся так-же при объ-еди-не-нии и пе-ре-се-че-нии пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков.
В до-де-ка-эдр впи-шем куб так, чтобы все 8 вер-шин ку-ба сов-па-да-ли с вер-ши-на-ми до-де-ка-эд-ра. Во-круг до-де-ка-эд-ра опи-шем ико-са-эдр так, чтобы его вер-ши-ны ока-за-лись в се-ре-ди-нах гра-ней ико-са-эд-ра. Во-круг ико-са-эд-ра опи-шем ок-та-эдр , так, чтобы вер-ши-ны ико-са-эд-ра ле-жа-ли на рёб-рах ок-та-эд-ра. На-ко-нец, во-круг ок-та-эд-ра опи-шем тет-ра-эдр так, чтобы вер-ши-ны ок-та-эд-ра по-па-ли на се-ре-ди-ны рё-бер тет-ра-эд-ра.
Та-кую кон-струк-цию из ку-соч-ков сло-ман-ных де-ре-вян-ных лыж-ных па-лок сде-лал ещё ре-бён-ком бу-ду-щий ве-ли-кий ма-те-ма-тик XX ве-ка В. И. Ар-нольд. Вла-ди-мир Иго-ре-вич хра-нил её дол-гие го-ды, а за-тем от-дал в ла-бо-ра-то-рию по-пуля-ри-за-ции и про-па-ган-ды ма-те-ма-ти-ки Ма-те-ма-ти-че-ско-го ин-сти-ту-та им. В. А. Стек-ло-ва.
Ли-те-ра-ту-ра
Г. С. М. Кокс-тер. Вве-де-ние в гео-мет-рию. - М.: На-у-ка, 1966.
Ж. Ада-мар. Эле-мен-тар-ная гео-мет-рия. Ч. 2. Сте-рео-мет-рия. - М.: Про-све-ще-ние, 1951.
Ев-клид. На-ча-ла Ев-кли-да. Кни-ги XXI-XXV. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
Геометр. тело, ограниченное 8 равносторонними треугольниками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ОКТАЭДР греч. oktaedros, от okto, восемь, и hedra, основание. Восьмигранник. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка
Многогранник, восьмигранник Словарь русских синонимов. октаэдр сущ., кол во синонимов: 2 восьмигранник (2) … Словарь синонимов
октаэдр - а, м. octaèdre m. < octaedron. Правильный восьмигранник, тело, ограниченное восемью треугольниками. СИС 1954. В октаедрах. Витт Пром. хим. 1848 2 187. Из кристаллических форм <металлов> преобладают кубы и в особенности октаэдры. МБ 1900… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
- (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Современная энциклопедия
- (от греч. okto восемь и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Большой Энциклопедический словарь
ОКТАЭДР, октаэдра, муж. (от греч. okto восемь и hedra основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии
- [όχτώ (ξкто) восемь; έδρα (γедра) грань] замкнутый восьмигранник с гранями в виде правильных треугольников. Символ О. {111}. См. Формы кристаллов простые высшей (кубической) сингонии.… … Геологическая энциклопедия
октаэдр - — [Англо русский геммологический словарь. Красноярск, КрасБерри. 2007.] Тематики геммология и ювелирное производство EN octahedron … Справочник технического переводчика
Октаэдр - (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра). … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Книги
- Волшебные грани № 8. Большой кубо-кубо-октаэдр , . "Волшебные грани"-журнал для взрослых и детей о моделях бумажных многогранников. Создание моделей многогранников из картона очень увлекательное и доступное занятие, это" магия превращения"…
- Волшебные грани № 15. Звездчатый октаэдр. Звездчатый многогранник , . Набор для сборки многогранника "Звёздчатый октаэдр" . Размеры готового многогранника, собранного из набора: 170x180x200 мм. Уровень сложности -"Старт" (не требует опыта и дополнительных…
