Определение вероятности события и статистического распределения.

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие , причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Такие задачи и будут рассмотрены в данной главе. Они решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты представляют собой независимые опыты. Несколько последовательных выниманий карты из колоды представляют собой независимые опыты при условии, что вынутая карта каждый раз возвращается в колоду и карты перемешиваются; в противном случае это – зависимые опыты. Несколько выстрелов представляют собой независимые опыты только в случае, если прицеливание производится заново перед каждым выстрелом; в случае, когда прицеливание производится один раз перед всей стрельбой или непрерывно осуществляется в процессе стрельбы (стрельба очередью, бомбометание серией), выстрелы представляют собой зависимые опыты. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события от опыта к опыту меняется. К первому случаю относится частная теорема, а ко второму – общая теорема о повторении опытов. Мы начнем с частной теоремы, как более элементарной. Прежде всего, рассмотрим конкретный пример.

Пример. Производится три независимых выстрела по мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна . Найти вероятность того, что при этих трех выстрелах мы получим ровно два попадания.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что в мишень попадет ровно два снаряда. Это событие может произойти тремя способами:

1) попадание при первом выстреле, попадание при втором, промах при третьем;

2) попадание при первом выстреле, промах при втором, попадание при третьем;

3) промах при первом выстреле, попадание при втором, попадание при третьем.

Следовательно, событие можно представить как сумму произведений событий:

где - попадания при первом, втором, третьем выстрелах соответственно, - промах при первом, втором, третьем выстрелах.

Учитывая, что три перечисленных варианта события несовместны, а события, входящие в произведения, независимы, по теоремам сложения и умножения получим:

или, обозначая ,

Аналогичным образом, перечисляя все возможные варианты, в которых интересующее нас событие может появиться заданное число раз, можно решить и следующую общую задачу.

Производится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появится некоторое событие ; вероятность появления события в каждом опыте равна , а вероятность непоявления . Требуется найти вероятность того, что событие в этих опытах появится ровно раз.

Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие появится в опытах ровно раз. Это событие может осуществиться различными способами. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события в отдельном опыте. Будем обозначать появление события в i-м опыте; - непоявление события в i-м опыте.

Очевидно, каждый вариант появления события (каждый член суммы) должен состоять из m появлений события и непоявлений, т.е. из событий и событий с различными индексами. Таким образом,

причем в каждое произведение событие должно входить раз, а должно входить раз.

Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. числу способов, какими можно из опытов выбрать , в которых произошло событие . Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения для независимых событий, равна . Так как комбинации между собой несовместны, то, по теореме сложения, вероятность события равна

Определение вероятности события и статистического распределения

Задание 1

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 150 Вт - 8 штук и по 100 Вт - 13. Вынуты из коробки наугад три лампы. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна лампа по 150 Вт; b) две лампы по 150 Вт;

с) не менее двух ламп по 150 Вт; d) хотя бы одна лампа по 150 Вт;

е) все лампы одинаковой мощности.

a) событие F1 - из трех наудачу взятых ламп только одна будет 150 Вт:

b) событие F2 - из трех наудачу взятых ламп две лампы будут по 150 Вт:

c) событие F3 - из трех наудачу взятых ламп не менее 2 будет по 150 Вт:

d) событие F4 - из трех наудачу взятых деталей будет хотя бы одна лампа 150 Вт:

e) событие F5 - из трех наудачу взятых ламп все три будут одной мощности

Задание 2

По самолету производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором - 0,5, при третьем - 0,6. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,7, при одном попадании - с вероятностью 0,4.

1. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

2. В результате трех выстрелов самолет не был выведен из строя. Сколько попаданий вероятнее всего произошло в самолет?

1) Рассмотрим гипотезы:

H1 - из трех выстрелов не будет ни одного попадания

H2 - из трех выстрелов будет ровно одно попадание

H3 - из трех выстрелов будет два попадания

H4 - из трех выстрелов будет три попадания

и событие

F - самолет будет выведен из строя.

Т.к. самолет не был выведен из строя, т.е. событие F произошло, то вероятности гипотез определим по формуле Байеса

0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462

Таким образом, вероятнее всего в самолет произошло одно попадание.

Задание 3

Согласно статистическим данным в городе N в среднем 18% открывающихся новых предприятий прекращают свою деятельность в течение года.

1. Какова вероятность того, что из 6 наугад выбранных новых предприятий города N к концу года деятельности останется:

а) ровно 4; b) 4; с) менее 4; d) хотя бы одно предприятие?

2. Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в городе N к концу года прекратят свою деятельность:

а) 15; b) не менее 15; с) не более 21; d) не менее 13, но не более 23 предприятий.

n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82

Значение n<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:

a) ровно 4 предприятия останется:

b) более 4 предприятий останется:

P(более 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)

P(более 4)=0,4004+0,304=0,7044

c) менее 4 предприятий останется:

P(менее 4)=1-P(не менее 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759

d) хотя бы одно предприятие останется

P(хотя бы 1)=1-P(ни одного)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966

n=100p=0,18q=0,82

Значение n=100 достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

a) ровно 15 предприятий прекратят свою деятельность:

где, а (x) - локальная функция Лапласа

По таблице находим, что

(-0,78)=(0,78)=0,2943,

b) не менее 15 предприятий прекратят свою деятельность, т.е. от 15 до 100:

Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),

где и, а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-0,78)=-Ф(0,78)=-0,2823, а Ф(21,34)=0,5, P100(15;100)0,5+0,2823=0,7823

c) не более 21 предприятия прекратят свою деятельность:, т.е. от 0 до 21:

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-4,69)=-Ф(4,69)=-0,499999, а Ф(0,78)=0,2823, P100(0;21)0,2823+0,499999=0,782299

d) не менее 13, но не более 23 предприятий прекратят свою деятельность:

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(1,3)=0,4032,

P100(13;23)0,4032+0,4032=0,8064

Задание 4

Два бухгалтера независимо друг от друга заполняют одинаковые ведомости. Первый бухгалтер допускает ошибки в среднем в 8%, второй - в 12% всех документов. Количество заполненных ведомостей первым бухгалтером равно 1, вторым - 2. Рассматривается случайная величина (с.в.) - число ведомостей, заполненных двумя бухгалтерами без ошибок.

1. Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию

D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

4. Определить вероятности: а) Р; b) Р; c) Р

1) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности:

Х=0: 0,920,882=0,712448

Х=1: 0,080,882+0,92(0,120,88+0,880,12)=0,256256

Х=2: 0,920,122+0,08(0,120,88+0,880,12)=0,030144

Х=3: 0,080,122=0,001152

Проверка:

0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1

Запишем ряд распределения

Изобразим ряд распределения графически в виде полигона

2) Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения

3) Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

D(X)=0,3872-0,322=0,2848

4) Найдем требуемые вероятности:

Р(X

Р(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296

P(-0,2137

Задание 5

Между двумя населенными пунктами, отстоящими друг от друга на расстоянии L = 9 км, курсирует автобус с остановками по требованию в любом месте. Расстояние (в км), которое проезжает некий пассажир, севший в автобус в начале маршрута, является случайным с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

4. Во сколько раз число высадок от начала маршрута до среднего места поездки пассажира превосходит число высадок от этого места до конца маршрута автобуса?

1) Для нахождения постоянной C воспользуемся свойством плотности распределения:

Построим график плотности распределения

2) Найдем функцию распределения

а) если x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает.

б) если 0x<9, то

в) если x>3, то

в силу свойства плотности распределения

Окончательно получим:

Построим график F(x):

3) математическое ожидание вычисляется по формуле

Дисперсия вычисляется по формуле:

DX=24,3-4,52=4,05

Среднее квадратическое отклонение равно:

Р(X

Р(XMX)=1-Р(X

Т.е. число высадок от начала маршрута до среднего места поездки пассажира и число высадок от этого места до конца маршрута автобуса равны.

Задание 6

При переносе грузов вертолетами используются тросы, которые изготовлены из синтетических материалов на основе новых химических технологий. В результате 25 испытаний троса на разрыв получены следующие данные (в тоннах):

2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения исследуемого признака.

4. Вычислить выборочные характеристики признака: среднее, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5С;

б) генеральной дисперсии значению С 2 , где С = 1,09.

Значения выборки в соответствии с вариантом задания

1. Тип признака - непрерывный, т.к. случайная величина может принимать любые значения из некоторого интервала.

2. Построим гистограмму относительных частот. Определим количество интервалов:

где n - количество значений, а k - количество интервалов.

В данном случае имеется 25 значений, поэтому количество интервалов равно:

k=1+1,44ln 25 5,6.

Примем количество интервалов равным 5.

Определим величину одного интервала:

Определим относительные частоты для каждого интервала. Расчеты удобно провести в таблице

Построим гистограмму

3. На основе визуального анализа можно выдвинуть гипотезу о распределении признака по нормальному закону.

4. Определим выборочные характеристики изучаемого признака.

а) выборочное среднее:

б) выборочная дисперсия:

в) выборочное среднее квадратическое отклонение

5. Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению

Определим концы интервалов по формуле, для чего составим таблицу

Найдем теоретические вероятности pi и теоретические частоты. Результаты расчетов запишем в таблицу

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим таблицу:

По уровню значимости =0,01 и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим по таблице критических точек: =9,2

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении критической массы на разрыв.

6. Построим доверительный интервал для генеральной средней и генеральной дисперсии

Предельная ошибка выборки для средней рассчитывается по формуле:

где t - коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой делается утверждение.

Коэффициент доверия находится из соотношения 2Ф(t)=p, где Ф(х) - интегральная функция Лапласа.

По условию p=0,99,

Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:

5,1225 - 0,7034 a 5,1225 + 0,7034

Найдем интервальную оценку дисперсии:

По таблице критических точек распределения находим, что =42,98, а =10,86, тогда доверительный интервал для дисперсии будет:

а) проверим гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.

Выдвигаем гипотезы:

Т.к. дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то рассчитываем выражение

По таблице значений критических точек Стьюдента находим критическое значение

tкр(;n-1)=tкр(0,01;24)=2,8

Т.к. 1,201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.

б) Проверим гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.

Выдвигаем гипотезы:

Рассчитываем выражение

По таблице значений критических точек распределения «Хи-квадрат» находим критическое значение (;n-1)=(0,01;24)=43

Т.к. 37,5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.

Список литературы

вероятность статистический дисперсия математический

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Высшая школа, 2002.

2. Семёнов А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс. - Новосибирск: НГАЭиУ, 2003.

2. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие появляется с вероятностью 0.2. Составить ряд распределения числа появлений события в трех опытах. Найти М(Х) и D(X) этой случайной величины.

3. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределений:

Найти:
а) М(Х), М(Y), D(X), D(Y);
б) таблицы распределения случайных величин Z1 = 2Х + У и Z2=XY;
в) М (Z1), М (Z2), D (Z1), D(Z2) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойств математического ожидания и дисперсии.

4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,01. Составить ряд распределения бракованных деталей из 200 изготовленных. Найти М(Х) этой случайной величины.

5. Число отказавших за время T элементов аппаратуры - случайная величина X, распределенная экспоненциально (λ= 0,2). Указать плотность и функцию распределения, построить их графики, найти среднее число элементов, которые могут выйти из строя за время Т. Какова вероятность того, что число отказавших элементов заключено между 3 и 10?

6. Нагрузка G на стержень подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а = 250 кг; σ = 50 кг. Какова вероятность то¬го, что нагрузка не превысит 380 кг? Какова вероятность нагрузок от 100 до 200 кг?

Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события A , которое может наступить только с каждым из n исключающих друг друга событий , образующих полную систему, если известны их вероятности , а условные вероятности события A относительно каждого из событий системы равны .

События также называются гипотезами, они являются исключающими друг друга. Поэтому в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B , а буквой H (hypothesis).

Для решения задач с такими условиями необходимо рассмотреть 3, 4, 5 или в общем случае n возможностей наступления события A - с каждым событий .

По теоремам сложения и умножения вероятностей получаем сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы. То есть, вероятность события A может быть вычислена по формуле

или в общем виде

,

которая и называется формулой полной вероятности .

Формула полной вероятности: примеры решения задач

Пример 1. Имеются три одинаковых на вид урны: в первой 2 белых шара и 3 чёрных, во второй - 4 белых и один чёрный, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Пользуясь формулой полной вероятности , найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Событие A - появление белого шара. Выдвигаем три гипотезы:

Выбрана первая урна;

Выбрана вторая урна;

Выбрана третья урна.

Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:

, , .

Применяем формулу полной вероятности, в результате - требуемая вероятность:

.

Пример 2. На первом заводе из каждых 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором - 95, на третьем - 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.

Решение. Обозначим вероятность приобретения стандартной электролампочки через A , а события, заключающиеся в том, что приобретённая лампочка изготовлена соответственно на первом, втором и третьем заводах, через . По условию известны вероятности этих событий: , , и условные вероятности события A относительно каждого из них: , , . Это вероятности приобретения стандартной лампочки при условии её изготовления соответственно на первом, втором, третьем заводах.

Событие A наступит, если произойдут или событие K - лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна, или событие L - лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна, или событие M - лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна. Других возможностей наступления события A нет. Следовательно, событие A является суммой событий K , L и M , которые являются несовместимыми. Применяя теорему сложения вероятностей, представим вероятность события A в виде

а по теореме умножения вероятностей получим

то есть, частный случай формулы полной вероятности .

Подставив в левую часть формулы значения вероятностей, получаем вероятность события A :

Пример 3. Производится посадка самолёта на аэродром. Если позволяет погода, лётчик сажает самолёт, пользуясь, помимо приборов, ещё и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна . Если аэродром затянут низкой облачностью, то лётчик сажает самолёт, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна ; . Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надёжность (вероятность безотказной работы) P . При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна ; . Статистика показывает, что в k % случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события A - благополучной посадки самолёта.

Решение. Гипотезы:

Низкой облачности нет;

Низкая облачность есть.

Вероятности этих гипотез (событий):

;

Условная вероятность .

Условную вероятность снова найдём по формуле полной вероятности с гипотезами

Приборы слепой посадки действуют;

Приборы слепой посадки отказали.

Вероятности этих гипотез:

По формуле полной вероятности

Пример 4. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, а ненормальный - в 20% случаев. Вероятность выхода прибора из строя за определённое время t равна 0,1; в ненормальном 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t .

Решение. Вновь обозначаем вероятность выхода прибора из строя через A . Итак, относительно работы прибора в каждом режиме (события ) по условию известны вероятности: для нормального режима это 80% (), для ненормального - 20% (). Вероятность события A (то есть, выхода прибора из строя) в зависимости от первого события (нормального режима) равна 0,1 (); в зависимости от второго события (ненормального режима) - 0,7 (). Подставляем эти значения в формулу полной вероятности (то есть, сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы) и перед нами - требуемый результат.