Аристарх Луков‐Арбалетов совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие-в поле F или в болото M. Найдите вероятность того, что Аристарх забредет в болото. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,42.$$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\approx0,42$$
Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Решите уравнение: $$\sqrt{10-3x}=x-2$$
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Ответ: 3.ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}10-3x\geq0\\x-2\geq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{10}{3}\\x\geq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$10-3x=x^{2}-4x+4$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=1\\x_{1}\cdot x_{2}=-6\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-2\end{matrix}\right.$$
$$-2\notin$$ ОДЗ $$\Rightarrow$$ 3 - корень
Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём BC =CD. Известно, что угол ADC равен 93°. Найдите, под каким острым углом пересекаются диагонали этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
1) $$\bigtriangleup AOD\sim \bigtriangleup COB$$ $$\Rightarrow$$
$$\angle ADO=\angle OCB=\alpha$$
$$\angle DAO=\angle OBC=\beta$$
2) $$\bigtriangleup DOC\sim \bigtriangleup AOB$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup DCB$$ - равнобедренный
$$\angle COB=\angle DCB=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha+\beta=93^{\circ}$$
$$\angle AOD=180^{\circ}-\alpha-\beta=87^{\circ}$$
Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
В правильной треугольной призме $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$ABC_{1}$$. Найдите его площадь.
1) По т. Пифагора: $$AC_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}C_{1}^{2}}=\sqrt{5}$$
$$AC_{1}=BC_{1}$$
2) Построим $$C_{1}H\perp AB$$, $$C_{1}H$$ - медиана, высота $$\Rightarrow$$
$$C_{1}H=\sqrt{C_{1}B^{2}-HB^{2}}=\sqrt{5-1}=2$$
3) $$S_{AC_{1}B}=\frac{1}{2}\cdot C_{1}H\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$$
Задание 9. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Найдите значение выражения: $$\frac{b^{3}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}$$ при $$b=4$$
Ответ: 64.$$\frac{b^{3}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=$$
$$=\frac{b^{3}\cdot b^{\frac{1}{12}}}{b\frac{1}{21}\cdot b\frac{1}{28}}=$$
$$=b^{3+\frac{1}{12}-\frac{1}{21}-\frac{1}{28}}=$$
$$=b^{3}=4^{3}=64$$
Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой $$y=ax^{2}+bx$$, $$a=-\frac{1}{25}$$, $$b=\frac{7}{5}$$ постоянные параметры, x (м)-смещение камня по горизонтали, y (м)-высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
Ответ: 25.$$-\frac{1}{25}x^{2}+\frac{7}{5}x=10|\cdot25$$
$$250+x^{2}-35x=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=35\\x_{1}\cdot x_{2}=250\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=25\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$
Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в два раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 1 час позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Ответ: 10.Пусть $$2x-v_{1}$$; $$x-v_{2}$$; $$S_{AB}=1$$
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow x=0,5$$
Пусть $$t_{1}$$ - время встречи в первом случае:
$$t_{1}=\frac{1}{0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$$
Пусть $$t_{2}$$ - во втором:
$$t_{2}=\frac{1}{2\cdot0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{2}$$
$$t_{1}-t_{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$ (ч) - разница
$$\frac{1}{6}\cdot60=10$$ минут
Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-6x+36}{x}$$ на отрезке $$$$
Ответ: 6.$$y"=\frac{(2x-6)x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$
$$=\frac{2x^{2}-6x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$
$$=\frac{x^{2}-36}{x^{2}}$$
$$f_{min}=f(6)=\frac{6^{2}-6\cdot6+36}{6}=6$$
Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
а) Решите уравнение: $$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{3}]$$
Ответ: a) $$\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$ б) $$-\frac{4\pi}{3}$$; $$-\frac{2\pi}{3}$$.$$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$
$$-7\sin(\frac{5\pi-2x}{2})+9\cos x+1=0$$
$$-7\cos2x+9\cos x+1=0$$
$$-7(2\cos^{2}x-1)+9\cos x+1=0$$
$$-14\cos^{2}x+7+9\cos x+1=0$$
$$14\cos^{2}x-9\cos x-8=0$$
$$D=81+448=529=23^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{9+23}{2\cdot14}=\frac{16}{14}\\\cos x=\frac{9-23}{2\cdot14}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\varnothing;|\cos x|\leq1\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$
б) $$-\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{4\pi}{3}$$
$$-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$
Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Основание пирамиды DABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. ВАысота пирамидыпроходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD - равносторонний треугольник.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра AD, - прямоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от вершины D до этой плосктости, если M - середина ребра AD, а высота пирамиды ранва 6.
Ответ: $$2\sqrt{3}$$.
а) 1) Пусть $$DH$$ - высота; $$\Rightarrow DH\perp ABC$$
2) Пусть $$MC\cap DH=N\Rightarrow NH\perp AC$$
$$\Rightarrow CH$$ - проекция $$NC$$ на $$(ABC)$$
3) т.к. $$AC\perp CB$$, то по теореме о трех перпендикулярах $$NC\perp CB$$
$$\Rightarrow$$ $$MC\perp CB$$
$$\Rightarrow\bigtriangleup MCB$$ - прямоугольный
б) 1) т.к. $$AC\perp CB$$ и $$CB\perp MC$$ $$\Rightarrow CB\perp(ADC)$$
$$\Rightarrow(BCM)\perp(ACD)$$
$$\Rightarrow$$ расстояние от D до $$(CBM)$$ - перпендикуляр $$DL\in(ADC)$$
2) т.к. $$\bigtriangleup ACD$$ - равносторонний и $$AM-MD, то $$CM\perp AD$$
$$\Rightarrow DM$$ - искомое расстояние
3) $$DC=\frac{DH}{\sin C}=\frac{6}{\sin60^{\circ}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$
$$\Rightarrow$$ $$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}DC=2\sqrt{3}$$
Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.
Решите неравенство: $$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq2\log_{0,5}x+1$$
Ответ: $$x\in(\frac{1}{4};\frac{1}{2}]\cup$$$$\frac{10+2a+b}{3}\in N$$, при этом $$2a+b\in$$
$$\Rightarrow$$ $$10+2a+b\in$$.
Выберем все кратные 3 из этого диапазона: $$12;15;18;21;24;27;30;33;36$$
1) $$10+2a+b=12$$
$$2a+b=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1;b=0$$ или $$a=0;b=2$$
2) $$10+2a+b=15$$
$$a=\frac{5-b}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$a=0;b=5$$ или $$a=2;b=1$$
или $$a=2;b=1$$
$$50505;52125;51315$$
3) $$10+2a+b=18$$
$$2a+b=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4;b=0$$
$$a=3;b=2$$ или $$a=2;b=4$$
$$a=1;b=6$$ или $$a=0;b=0$$
4) $$10+2a+b=21$$
$$2a+b=11$$ $$\Rightarrow$$ $$a=5;b=1$$ или $$a=4;b=3$$
$$a=3;b=5$$ или $$a=2;b=7$$
5) $$10+2a+b=24$$
$$2a+b=14$$ $$\Rightarrow$$
$$a=7;b=0$$ или $$a=6;b=2$$
$$a=5;b=4$$ или $$a=4;b=6$$
6) $$10+2a+b=27$$
$$2a+b=17$$ $$\Rightarrow$$
$$a=7;b=3$$ или $$a=6;b=5$$
$$a=5;b=7$$ или $$a=4;b=9$$
7) $$10+2a+b=30$$
$$2a+b=20$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=2$$ или $$a=8;b=4$$
$$a=7;b=6$$ или $$a=6;b=8$$
8) $$10+2a+b=33$$
$$2a+b=23$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=5$$ или $$a=8;b=7$$
9) $$10+2a+b=36$$
$$2a+b=26$$ $$\Rightarrow$$
Всего: $$2+3+5+5+5+5+4+3+1=33$$ числа
в) С учетом пункта б) получим: 3 х значных чисел 3 штуки
4 х: $$\frac{5aa5}{3}=N$$
$$\frac{10+2a}{3}=N$$
$$2a\in$$ $$\Rightarrow$$ $$10+2a\in$$
12: $$2a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1$$
15: $$2a=5$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
18: $$2a=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4$$
21: $$2a=11$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
24: $$2a=14$$ $$\Rightarrow$$ $$a=7$$
27: $$2a=17$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
Всего 3 числа.
То есть 3 х и 4 х значных в сумме 6 штук.
5 ти всего 33 $$\Rightarrow$$ вместе 39, нам нужно 37, то есть предпоследнее $$\Rightarrow$$ 59295
МБОУ Останкинская СШ
Подготовка к ЕГЭ
Решение задач по теории вероятности
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
А – кофе закончится в первом автомате; В – кофе закончится во втором автомате.
По условию задачи,
отметим, что эти события не являются независимыми, в противном случае
Вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+
0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392
Ответ:0,392
Яйцо куплено в 1 хозяйстве
Яйцо куплено во 2 хозяйстве
P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35
Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки,а вторая-остальные телефоны.Известно,что из всех телефонов,выпускаемых первой фабрикой,1% имеют скрытые дефекты,а у выпускаемых второй фабрикой-1,5%.Найдите вероятность того,что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.
Телефон выпущен
на 1 фабрике
Телефон выпущен
на 2 фабрике
Д-телефон имеет дефект
0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135
Ответ:0,0135
Стекла выпущены
1 фабрикой
стекла выпущены
2 фабрикой
Д-стекла имеют брак
0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019
Ответ:0,019
Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G
Ответ:0,125
Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S,другие –в поле F или в болото М.Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.
Событие A - в автобусе меньше 15 пассажиров
Событие В - в автобусе от 15 до 19 пассажиров
Событие A + B - в автобусе меньше 20 пассажиров
События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)
Р(А)=0,97-0,89=0,08
Событие A - учащийся решит 11 задач
Событие В - учащийся решит больше 11 задач
Событие A + B - учащийся решит больше 10 задач
Ответ:0,035
Событие А –Джон возьмет
пристрелянный револьвер
Событие В –Джон возьмет
не пристрелянный револьвер
р(А)=0,4 р(В)=0,6
0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52
Событие А-пациент болеет гепатитом
Событие В- пациент не болеет гепатитом
0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545
Ответ:0,0545
0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0296
Ответ:0,0296
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза
Перевести на монеты Так как 3 матча,то три раза бросается монета.
Событие А - орел выпадет 2 раза(в играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза)
Случаи ООО,ОРО,РОО
Ответ:0,375
Спасибо за внимание
