Пенсионер гуляет по дорожкам парка на каждой развилке он. Основы теории вероятностей

МБОУ Останкинская СШ

Подготовка к ЕГЭ

Решение задач по теории вероятности

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

А – кофе закончится в первом автомате; В – кофе закончится во втором автомате.

По условию задачи,

отметим, что эти события не являются независимыми, в противном случае

Вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+

0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392

Ответ:0,392

Яйцо куплено в 1 хозяйстве

Яйцо куплено во 2 хозяйстве

P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35

Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки,а вторая-остальные телефоны.Известно,что из всех телефонов,выпускаемых первой фабрикой,1% имеют скрытые дефекты,а у выпускаемых второй фабрикой-1,5%.Найдите вероятность того,что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Телефон выпущен

на 1 фабрике

Телефон выпущен

на 2 фабрике

Д-телефон имеет дефект

0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135

Ответ:0,0135

Стекла выпущены

1 фабрикой

стекла выпущены

2 фабрикой

Д-стекла имеют брак

0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019

Ответ:0,019

Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G

Ответ:0,125

Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S,другие –в поле F или в болото М.Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

Событие A - в автобусе меньше 15 пассажиров

Событие В - в автобусе от 15 до 19 пассажиров

Событие A + B - в автобусе меньше 20 пассажиров

События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)

Р(А)=0,97-0,89=0,08

Событие A - учащийся решит 11 задач

Событие В - учащийся решит больше 11 задач

Событие A + B - учащийся решит больше 10 задач

Ответ:0,035

Событие А –Джон возьмет

пристрелянный револьвер

Событие В –Джон возьмет

не пристрелянный револьвер

р(А)=0,4 р(В)=0,6

0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52

Событие А-пациент болеет гепатитом

Событие В- пациент не болеет гепатитом

0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545

Ответ:0,0545

0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0296

Ответ:0,0296

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза

Перевести на монеты Так как 3 матча,то три раза бросается монета.

Событие А - орел выпадет 2 раза(в играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза)

Случаи ООО,ОРО,РОО

Ответ:0,375

Спасибо за внимание

Аристарх Луков‐Арбалетов совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие-в поле F или в болото M. Найдите вероятность того, что Аристарх забредет в болото. Результат округлите до сотых.

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\approx0,42$$

Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Решите уравнение: $$\sqrt{10-3x}=x-2$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}10-3x\geq0\\x-2\geq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{10}{3}\\x\geq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$10-3x=x^{2}-4x+4$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=1\\x_{1}\cdot x_{2}=-6\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-2\end{matrix}\right.$$

$$-2\notin$$ ОДЗ $$\Rightarrow$$ 3 - корень

Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём BC =CD. Известно, что угол ADC равен 93°. Найдите, под каким острым углом пересекаются диагонали этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1) $$\bigtriangleup AOD\sim \bigtriangleup COB$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle ADO=\angle OCB=\alpha$$

$$\angle DAO=\angle OBC=\beta$$

2) $$\bigtriangleup DOC\sim \bigtriangleup AOB$$ $$\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup DCB$$ - равнобедренный

$$\angle COB=\angle DCB=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha+\beta=93^{\circ}$$

$$\angle AOD=180^{\circ}-\alpha-\beta=87^{\circ}$$

Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

В правильной треугольной призме $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$ABC_{1}$$. Найдите его площадь.

1) По т. Пифагора: $$AC_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}C_{1}^{2}}=\sqrt{5}$$

$$AC_{1}=BC_{1}$$

2) Построим $$C_{1}H\perp AB$$, $$C_{1}H$$ - медиана, высота $$\Rightarrow$$

$$C_{1}H=\sqrt{C_{1}B^{2}-HB^{2}}=\sqrt{5-1}=2$$

3) $$S_{AC_{1}B}=\frac{1}{2}\cdot C_{1}H\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$$

Задание 9. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Найдите значение выражения: $$\frac{b^{3}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}$$ при $$b=4$$

$$\frac{b^{3}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=$$

$$=\frac{b^{3}\cdot b^{\frac{1}{12}}}{b\frac{1}{21}\cdot b\frac{1}{28}}=$$

$$=b^{3+\frac{1}{12}-\frac{1}{21}-\frac{1}{28}}=$$

$$=b^{3}=4^{3}=64$$

Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой $$y=ax^{2}+bx$$, $$a=-\frac{1}{25}$$, $$b=\frac{7}{5}$$ постоянные параметры, x (м)-смещение камня по горизонтали, y (м)-высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

$$-\frac{1}{25}x^{2}+\frac{7}{5}x=10|\cdot25$$

$$250+x^{2}-35x=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=35\\x_{1}\cdot x_{2}=250\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=25\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$

Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в два раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 1 час позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?

Пусть $$2x-v_{1}$$; $$x-v_{2}$$; $$S_{AB}=1$$

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow x=0,5$$

Пусть $$t_{1}$$ - время встречи в первом случае:

$$t_{1}=\frac{1}{0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$$

Пусть $$t_{2}$$ - во втором:

$$t_{2}=\frac{1}{2\cdot0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{2}$$

$$t_{1}-t_{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$ (ч) - разница

$$\frac{1}{6}\cdot60=10$$ минут

Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-6x+36}{x}$$ на отрезке $$$$

$$y"=\frac{(2x-6)x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$

$$=\frac{2x^{2}-6x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$

$$=\frac{x^{2}-36}{x^{2}}$$

$$f_{min}=f(6)=\frac{6^{2}-6\cdot6+36}{6}=6$$

Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

а) Решите уравнение: $$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{3}]$$

$$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\sin(\frac{5\pi-2x}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\cos2x+9\cos x+1=0$$

$$-7(2\cos^{2}x-1)+9\cos x+1=0$$

$$-14\cos^{2}x+7+9\cos x+1=0$$

$$14\cos^{2}x-9\cos x-8=0$$

$$D=81+448=529=23^{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{9+23}{2\cdot14}=\frac{16}{14}\\\cos x=\frac{9-23}{2\cdot14}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\varnothing;|\cos x|\leq1\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

б) $$-\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{4\pi}{3}$$

$$-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Основание пирамиды DABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. ВАысота пирамидыпроходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD - равносторонний треугольник.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра AD, - прямоугольный треугольник.

б) Найдите расстояние от вершины D до этой плосктости, если M - середина ребра AD, а высота пирамиды ранва 6.

а) 1) Пусть $$DH$$ - высота; $$\Rightarrow DH\perp ABC$$

2) Пусть $$MC\cap DH=N\Rightarrow NH\perp AC$$

$$\Rightarrow CH$$ - проекция $$NC$$ на $$(ABC)$$

3) т.к. $$AC\perp CB$$, то по теореме о трех перпендикулярах $$NC\perp CB$$

$$\Rightarrow$$ $$MC\perp CB$$

$$\Rightarrow\bigtriangleup MCB$$ - прямоугольный

б) 1) т.к. $$AC\perp CB$$ и $$CB\perp MC$$ $$\Rightarrow CB\perp(ADC)$$

$$\Rightarrow(BCM)\perp(ACD)$$

$$\Rightarrow$$ расстояние от D до $$(CBM)$$ - перпендикуляр $$DL\in(ADC)$$

2) т.к. $$\bigtriangleup ACD$$ - равносторонний и $$AM-MD, то $$CM\perp AD$$

$$\Rightarrow DM$$ - искомое расстояние

3) $$DC=\frac{DH}{\sin C}=\frac{6}{\sin60^{\circ}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$

$$\Rightarrow$$ $$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}DC=2\sqrt{3}$$

Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Решите неравенство: $$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq2\log_{0,5}x+1$$

Таксист за месяц проехал 5500 км. Стоимость 1 л бензина 32 рубля. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 л. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

Решение

Задание 1. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

1. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4го класса по математике в 2007 году по 100500 – бальной шкале. По данным диаграммы найдите число стран, в которых средний балл заключен между 495 и 515.

   Решение

   Задание 2. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

2. Площадь треугольника АВС равна 28. DE – средняя линия. Найдите площадь трапеции ABDE.

   Решение

   Задание 3. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

3. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно и не проходя дважды по одной и той же дорожке. Схема дорожек показана на рисунке. Найти вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G. Результат округлите до сотых.

   Решение

   Задание 4. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

4. Решите уравнение

   Решение

   Задание 5. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

5. Угол АСО равен 620. Его сторона СА касается окружности с центром в точке О. Отрезок СО пересекает окружность в точке В. Найдите градусную меру дуги АВ окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

   Решение

   Задание 6. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

6. Функция y=f(x) определена на интервале (-5;6). На рисунке изображен график функции y=f(x) . Найдите среди точек x 1 ,x 2 ...x 7 те точки, в которых производная функции y=f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

   Решение

   Задание 7. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

7. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми ВА 1 и АС. Ответ дайте в градусах.

   Решение

   Задание 8. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

8. Найдите значение выражения при a=216

   Решение

   Задание 9. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

9. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на большие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выраженная в ньютонах, будет определяться по формуле F A =apgr 3 , где a=4.2 - постоянная, r - радиус аппарата в метрах, p=1000 кг/м 3 – плотность воды, а g - ускорение свободного падения (считайте g=10 Н/кг). Каков может быть максимальных радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 14 406 000 Н? Ответ дайте в метрах.

   Решение

   Задание 10. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

10. За первый час автомобиль проехал 100 км, следующие два часа он ехал со скоростью 90 км/ч, затем автомобиль сломался. Через час приехал эвакуатор и за шесть часов отвез его обратно к месту оправления. Найдите среднюю скорость автомобиля за все время путешествия.

    Решение

    Задание 11. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

11. Найдите наименьшее значение функции y=4cosx+13x+9 на отрезке

    Решение

    Задание 12. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

12. а) Решите уравнение

    

    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2пи;-пи/2]

    Решение

    Задание 13. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

13. Дана четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S и прямоугольником ABCD в основании. Известно, что SA=SB=SC=SD=13, AD=BC=12, AB=CD=5. Из точки А на ребро SC опущен перпендикуляр АН. А) Докажите, что SH=CH Б) Найдите длину отрезка НК, где К - точка пересечения ребра SB плоскостью, проходящей через точку Н перпендикулярно ребру SB.

    Решение

    Задание 14. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

14. Решите неравенство:

    Решение

    Задание 15. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

15. На диагонали LN параллелограмма KLMN отмены точки Р и Q, причем LP=PQ=QN А) Докажите, что прямые КР и KQ проходят через середины сторон параллелограмма. Б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R - точка пересечения КР со стороной LM, S - точка пересечения KQ с MN

    Решение

    Задание 16. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

16. В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S - натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы: - каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года; - в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; - в июле каждого года величина долга задается таблицей

    Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

    Решение

    Задание 17. Вариант 240 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

17. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение

    имеет решения, и определите то решение, которое получается только при единственном значении параметра a .