Понятие рационального уравнения. Рациональные уравнения — Гипермаркет знаний

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Конспект урока математики в 8 классе по теме «Решение рациональных уравнений» по учебнику Мордкович А.Г.

Калинникова Алина Юрьевна

Место работы

МБОУ СОШ № 6 им.Ц.Л.Куниковаг.Туапсе

Должность

Учитель математики

Предмет

Класс

Базовый учебник

А.Г. Мордкович. Алгебра 8 класс. Двух частях. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений, 12- е издание, стереотипное. – М. Мнемозина, 2010 . – 215с.

Название урока

Решение рациональных уравнений

Тип урока

Урок - обобщения знаний и способов решения рациональных уравнений

Форма проведения урока

Традиционная

Образовательная среда урока

Компьютер, мультимедийный проектор, экран, печатные листы для работы учащихся на уроке, листы с дополнительным заданием на дом.

Формы работы учащихся

Индивидуальная, групповая

Цели задачи урока:

-обучающие: Совершенствовать практические навыки и умения учашихся

-развивающие: развивать логическое мышление учащихся, повышать интерес к изучаемой теме;, развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать

математические модели.

-воспитательные Воспитывать познавательную активность, культуру общения, самостоятельность; учить самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу деятельности.

Ход урока:

Ι.Организационный момент:

Приветствие. Создатель теории относительности Альберт Эйнштейн в свое время заметил: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будет существовать вечно».

ΙΙ.Постановка цели и мотивация учебной деятельности:

Целью нашего урока является обработка навыков решения рациональных уравнений.

Записать дату и тему урока в тетрадях.

ΙΙΙ.Актуализация знаний:

1.Что такое уравнение?

2.Что значит решить уравнение?

3.Какие уравнения называются рациональными?

4.Что будет являться решением такого уравнения?

Я предлагаю вам «связку ключей» к решению рациональных уравнений.

Заготовка на закрытой доске:

Ключ 1. Условие равенства дроби нулю: y ²-5 y +4 =0

Ключ 2. Условие равенства двух дробей с одинаковым знаменателем:

5х²-3 = х

Ключ 3. Условие равенства двух дробей или основное свойство дроби:

х² = 2х

Ключ 4. Свойство равенства дробей с разными знаменателями:

х²+4 = 5х

Ключ 5. Решение уравнений с помощью подстановки:

Х – 9Х + 20=0

Попробуйте применить разные «ключи» в зависимости от ситуации.

Почему рациональные уравнения надо решать с осторожностью?

Устно: 1) При каких значениях х выражение имеет смысл?

1 1 5 4 5

Х; Х+5 ; Х(Х – 2) ; (Х – 3)(Х+4) ;

2) Найдите общий знаменатель дробей в каждом уравнение:

А) х 5 _ 3х 6 = = 0 ;

2 – 5х 5х - 2

Б) 3у 5 _ у² 6 = = 1 ;

В) 2х 5 + 3 6 = = 0 .

Ответы: а) 5х – 2 или 2 – 5х; б) у² - 4; в) х(х+2).

Ι V .Формирование умений и навыков: Работа у доски с комментарием (каждый шаг алгоритма выполняет один человек).

Решите уравнения: Какой ключ надо использовать?

а) 2х² - 5х + 3 = 0 ; б) 8у - 5 = 9у .

х – 1 у у+2

Ответы: а) х=1,5, б) у1=10; у2=1.

Это уравнение взято из материалов ГИА 9 класс, будьте внимательны.

Выдвижение проблемы:

Назовите количество решений уравнения.

х(х + 3 ) (х² - 3х + 2) = 0

Попробуйте решить это уравнение. Ваши предложения.

Наводящие вопросы:

Каким ключом вы воспользуетесь?

Когда дробь равна 0?

Когда произведение равно 0?

Сколько корней вы получите?

Решение: дробь равна 0, если числитель этой дроби равен 0, а знаменатель

х(х +3 ) (х² - 3х + 2) = 0

Х1=0 или Х+3=0 или Х² - 3Х + 2 = 0

Х2= -3 Х3=2, Х4=1

Проверка: подставим корни в знаменатель х– 1 ≠ 0

Х4=1 – посторонний корень.

Теперь можно назвать количество корней данного уравнения?

Ответ: данное уравнение имеет 3 решения.

V .Самостоятельная работа: Раздаются листы с условием.

1-вариант 2-вариант

а) х²-х-6 = 0 а) х²-5х-6 = 0

Х-3 х +1

Ответ: х = -2 Ответ: х = 6

б) Х – 5Х - 36 = 0 б) Х – 8Х + 16 = 0

Ответ: х1 = 2;х2=-2. Ответ: х1 = 2; х=-2.

в) х²-6х = 3х-4 в) х²-2х = 4х-3

3х-1 1-3х 2х-1 1-2х

Ответ: х1 = 4;х2=-1. Ответ: х1 = 1; х2=-3.

Взаимопроверка (работа в парах).

Ребята обмениваются тетрадями, проверяют решение.

Ответы размещаются на доске. Система оценивания на переносной доске.

Выставление оценок.

VΙ. Подведение итогов.

Какие же из предложенных «ключей» пригодились вам на уроке?

Каким «ключом» вы пользуетесь чаще всего?

Желаю, чтобы на экзамене вы смогли бы подобрать «ключи» к решению любого уравнения!

VΙΙ. Домашнее задание. Задание раздаётся в начале урока

(на «3» а,б;

на «4» а, б, в;

на «5» а, б, в, г).

1-вариант 2-вариант

а) х² = 2х ; а) 3х-9 = 3х;

3-х 3-х х-1 2-х

б) х-7 _ х+4 = 1; б) х²-2х + х+6 =3;

х-2 х+2 2х-1 х+1

в) 9 Х – 40Х + 16 = 0 ; в)16 Х – 25Х + 9 = 0;

г) 3х²+11х-4 = 3 . г) 2х²+2х-1 = 2.

Дополнительное задание:

3 + 2 = 1

х²-2х +1 1-х² х+1

Список используемой литературы:

1.Учебник и задачник «Алгебра» - 8 класс под редакцией А.Г. Мордковича.

2. Математика 9 класс. Подготовка ГИА под редакцией Ф.Ф.Лысенко.

3. Хрестоматия по истории математики. Под редакцией А.П.Юшкевича.

Презентация и урок на тему: "Рациональные уравнения. Алгоритм и примеры решения рациональных уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н. Пособие к учебнику Мордковича А.Г.

Знакомство с иррациональными уравнениями

Пусть $r(x)$ – это рациональное выражение . Такое выражение может представлять из себя простой многочлен от переменной $х$ или отношение многочленов (вводится операция деления, как для рациональных чисел).
Уравнение $r(x)=0$ называется рациональным уравнением .
Любое уравнение вида $p(x)=q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ – рациональные выражения, также будет являться рациональным уравнением .

Рассмотрим примеры решения рациональных уравнений.

Решение.
Перенесем все выражения в левую часть: $\frac{5x-3}{x-3}-\frac{2x-3}{x}=0$.
Если бы в левой части уравнения были представлены обычные числа, то мы бы привели две дроби к общему знаменателю.
Давайте так и поступим: $\frac{(5x-3)*x}{(x-3)*x}-\frac{(2x-3)*(x-3)}{(x-3)*x}=\frac{5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9)}{(x-3)*x}=\frac{3x^2+6x-9}{(x-3)*x}=\frac{3(x^2+2x-3)}{(x-3)*x}$.
Получили уравнение: $\frac{3(x^2+2x-3)}{(x-3)*x}=0$.

Дробь равна нулю, тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Тогда отдельно приравняем числитель к нулю и найдем корни числителя.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_{1,2}=\frac{-2±\sqrt{4-4*(-3)}}{2}=\frac{-2±4}{2}=1;-3$.
Теперь проверим знаменатель дроби: $(x-3)*x≠0$.
Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Тогда: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корни, полученные в числителе и знаменателе, не совпадают. Значит в ответ записываем оба корня числителя.
Ответ: $х=1$ или $х=-3$.

Если вдруг, один из корней числителя совпал с корнем знаменателя, то его следует исключить. Такие корни называются посторонними!

Алгоритм решения рациональных уравнений:

Пример 2.
Решите уравнение: $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}$.

Решение.
Решим согласно пунктам алгоритма.
1. $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=0$.
2. $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{(x-1)(x+1)}= \frac{3x(x+1)+4(x-1)-6}{(x-1)(x+1)}=$ $=\frac{3x^2+3x+4x-4-6}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x^2+7x-10}{(x-1)(x+1)}$.
$\frac{3x^2+7x-10}{(x-1)(x+1)}=0$.
3. Приравняем числитель к нулю: $3x^2+7x-10=0$.
$x_{1,2}=\frac{-7±\sqrt{49-4*3*(-10)}}{6}=\frac{-7±13}{6}=-3\frac{1}{3};1$.
4. Приравняем знаменатель к нулю:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Один из корней $х=1$ совпал с корнем из числителя, тогда мы его в ответ не записываем.
Ответ: $х=-1$.

Решать рациональные уравнения удобно с помощью метода замены переменных. Давайте это продемонстрируем.

Пример 3.
Решить уравнение: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Введем замену: $t=x^2$.
Тогда наше уравнение примет вид:
$t^2+12t-64=0$ - обычное квадратное уравнение.
$t_{1,2}=\frac{-12±\sqrt{12^2-4*(-64)}}{2}=\frac{-12±20}{2}=-16; 4$.
Введем обратную замену: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корнями первого уравнения является пара чисел $х=±2$. Второе - не имеет корней.
Ответ: $х=±2$.

Пример 4.
Решить уравнение: $x^2+x+1=\frac{15}{x^2+x+3}$.
Решение.
Введем новую переменную: $t=x^2+x+1$.
Тогда уравнение примет вид: $t=\frac{15}{t+2}$.
Дальше будем действовать по алгоритму.
1. $t-\frac{15}{t+2}=0$.
2. $\frac{t^2+2t-15}{t+2}=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_{1,2}=\frac{-2±\sqrt{4-4*(-15)}}{2}=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}=\frac{-2±8}{2}=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - корни не совпадают.
Введем обратную замену.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Решим каждое уравнение по отдельности:
$x^2+x+6=0$.
$x_{1,2}=\frac{-1±\sqrt{1-4*(-6)}}{2}=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2}$ - нет корней.
И второе уравнение: $x^2+x-2=0$.
Корнями данного уравнения будут числа $х=-2$ и $х=1$.
Ответ: $х=-2$ и $х=1$.

Пример 5.
Решить уравнение: $x^2+\frac{1}{x^2} +x+\frac{1}{x}=4$.

Решение.
Введем замену: $t=x+\frac{1}{x}$.
Тогда:
$t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ или $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$.
Получили уравнение: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корнями данного уравнения является пара:
$t=-3$ и $t=2$.
Введем обратную замену:
$x+\frac{1}{x}=-3$.
$x+\frac{1}{x}=2$.
Решим по отдельности.
$x+\frac{1}{x}+3=0$.
$\frac{x^2+3x+1}{x}=0$.
$x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$.
Решим второе уравнение:
$x+\frac{1}{x}-2=0$.
$\frac{x^2-2x+1}{x}=0$.
$\frac{(x-1)^2}{x}=0$.
Корнем этого уравнения является число $х=1$.
Ответ: $x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$, $x=1$.

Задачи для самостоятельного решения

1. $\frac{3x+2}{x}=\frac{2x+3}{x+2}$.

2. $\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x^2+2x}=\frac{4}{x}$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac{8}{2x^2+x+4}$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.