ВОЛНЫ
НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
- волновые движения жидкости, существование к-рых связано с изменением формы
её границы. Наиб. важный пример - волны на свободной поверхности водоёма (океана,
моря, озера и др.), формирующиеся благодаря действию сил тяжести и поверхностного
натяжения. Если к--л. внеш. воздействие (брошенный камень, движение судна, порыв
ветра и т. п.) нарушает равновесие жидкости, то указанные силы, стремясь восстановить
равновесие, создают движения, передаваемые от одних частиц жидкости к другим,
порождая волны. При этом волновые движения охватывают, строго говоря, всю толщу
воды, но если глубина водоёма велика по сравнению с длиной волны, то эти движения
сосредоточены гл. обр. в приповерхностном слое, практически не достигая дна
(короткие волны, или волны на глубокой воде). Простейший вид таких волн - плоская
синусоидальная волна, в к-рой поверхность жидкости синусоидально "гофрирована"
в одном направлении, а все возмущения физ. величин, напр. вертик. смещения частиц
, имеют
вид, где
х
- горизонтальная, z - вертикальная координаты,
- угл. частота, k
- волновое число, А
- амплитуда колебаний частиц,
зависящая от глубины z
. Решение ур-ний гидродинамики несжимаемой жидкости
вместе с граничными условиями (пост. давление на поверхности и отсутствие
возмущений на большой глубине) показывает, что 
, где A 0
- амплитуда смещения поверхности. При этом каждая
частица жидкости движется по окружности, радиус к-рой равен A
(z) (рис.,
а). Т.о., колебания затухают в глубь жидкости по экспоненте, и тем быстрее,
чем короче волна (больше k
). Величины
связаны дисперсионным уравнением
где
- плотность жидкости, g
- ускорение свободного падения, -
коэф. поверхностного натяжения. Из этой ф-лы определяются фазовая скорость
, с к-рой движется точка с фиксир. фазой (напр., вершина волны), и групповая
скорость - скорость
движения энергии. Обе эти скорости в зависимости от k
(или длины волны
) имеют
минимум; так, мин. значение фазовой скорости волн на чистой (лишённой загрязняющих
плёнок, влияющих на поверхностное натяжение) воде достигается при 1,7
см и равно 23 см
/c
. Волны гораздо меньшей длины наз. капиллярными, а более длинные - гравитационными,
т. к. на их распространение преимуществ. влияние оказывают соответственно силы
поверхностного натяжения и тяжести. Для чисто гравитац. волн 
. В смешанном случае говорят о гравитац--капиллярных волнах.
Траектории движения частиц воды в синусоидальной волне: а - на глубокой, б - на мелкой воде.
В общем случае на характеристики
волн влияет полная глубина жидкости H
. Если вертик. смещения жидкости
у дна равны нулю (жёсткое дно), то в плоской синусоидальной волне амплитуда
колебаний меняется по закону:
, а дисперс. ур-ние волн в водоёме конечной глубины (без учёта вращения Земли)
имеет вид
Для коротких волн
это ур-ние совпадает с (1). Для длинных волн, или волн на мелкой воде
, если можно пренебречь эффектами капиллярности (для длинных волн они обычно
существенны только в случае тонких плёнок жидкости), оно приобретает вид
В такой волне фазовая и групповая скорости равны одной и той же величине
не зависящей от частоты. Это значение скорости наибольшее для гравитац. волн
в данном водоёме; в самом глубоком месте океана (H
=11 км) оно 330
м/с. Движение частиц в длинной волне происходит по эллипсам, сильно вытянутым
в горизонтальном направлении, причём амплитуда горизонтальных движений частиц
почти одинакова по всей глубине (рис., б)
.
Перечисленными свойствами
обладают только волны достаточно малой амплитуды (много меньшей как длины волны,
так и глубины водоёма). Интенсивные нелинейные волны имеют существенно несинусоидальную
форму, зависящую от амплитуды. Характер нелинейного процесса зависит от соотношения
между длиной волны и глубиной водоёма. Короткие гравитац. волны на глубокой
воде приобретают заострённые вершины, к-рые при определ. критич. значении их
высоты обрушиваются с образованием капиллярной "ряби" или пенных
"барашков". Волны умеренной амплитуды могут иметь стационарную форму,
не изменяющуюся при распространении. Согласно теории Герстнера, в нелинейной
стационарной волне частицы по-прежнему движутся по окружности, поверхность же
имеет форму трохоиды, к-рая при малой амплитуде совпадает с синусоидой, а при
нек-рой макс. критич. амплитуде, равной
, превращается в циклоиду, имеющую на вершинах "острия". Более близкие
к данным наблюдений результаты даёт теория Стокса, согласно к-рой частицы в
стационарной нелинейной волне движутся по незамкнутым траекториям, т. е. "дрейфуют"
в направлении распространения волны, причём при критич. значении амплитуды (несколько
меньшем ) на вершине
волны появляется не "остриё", а "излом" с углом 120°.
У длинных нелинейных волн
на мелкой воде скорость движения любой точки профиля растёт с высотой, поэтому
вершина волны догоняет её подножие; в результате крутизна переднего склона волны
непрерывно увеличивается. Для относительно невысоких волн этот рост крутизны
останавливает дисперсия, связанная с конечностью глубины водоёма; такие волны
описываются Кортевега-де Фриса уравнением
. Стационарные волны на мелководье
могут быть периодическими или уединёнными (см. Солитон
); для них
также существует критич. высота, при к-рой они обрушиваются. На распространение
длинных волн существ. влияние оказывает рельеф дна. Так, подходя к пологому
берегу, волны резко тормозятся и обрушиваются (прибой); при входе волны из моря
в русло реки возможно образование крутого пенящегося фронта - бора, продвигающегося
вверх по реке в виде отвесной стены. Волны цунами в районе очага землетрясения,
их возбуждающего,
почти незаметны, однако выходя на сравнительно мелководную прибрежную область
- шельф, они иногда достигают большой высоты, представляя грозную опасность
для береговых поселений.
В реальных условиях В.
на п. ж. не являются плоскими, а имеют более сложную пространственную структуру,
зависящую от характеристик их источника. Напр., упавший в воду камень порождает
круговые волны (см. Цилиндрическая волна
).Движение судна возбуждает
корабельные волны; одна система таких волн расходится от носа судна в виде "усов"
(на глубокой воде угол между "усами" не зависит от скорости движения
источника и близок к 39°), другая - движется за его кормой в направлении
движения судна. Источники длинных волн в океане - силы притяжения Луны и Солнца,
порождающие приливы, а также подводные землетрясения и Извержения вулканов -
источники волн цунами.
Сложную структуру имеют
ветровые волны, характеристики к-рых определяются скоростью ветра и временем
его воздействия на волну. Механизм передачи энергии от ветра к волне связан
с тем, что пульсации давления в потоке воздуха деформируют поверхность. В свою
очередь эти деформации влияют на распределение давления воздуха вблизи водной
поверхности, причём эти два эффекта могут усиливать друг друга, и в результате
амплитуда возмущений поверхности нарастает (см. Автоколебания
). При
этом фазовая скорость возбуждаемой волны близка к скорости ветра; благодаря
такому синхронизму пульсации воздуха действуют "в такт" с чередованием
возвышений и впадин (резонанс во времени и пространстве). Это условие может
выполняться для волн разных частот, бегущих в разл. направлениях по отношению
к ветру; получаемая ими энергия затем частично переходит и к другим волнам за
счёт нелинейных взаимодействий (см. Волны)
. В результате развитое волнение
представляет собой случайный процесс, характеризуемый непрерывным распределением
энергии по частотам и направлениям (пространственно-временным спектром). Волны,
уходящие из области действия ветра (зыбь), приобретают более регулярную форму.
Волны, аналогичные В. на
п. ж., существуют и на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (с.м.
Внутренние волны
).
В океане волны изучаются
разл. методами с помощью волнографов, следящих за колебаниями поверхности воды,
а также дистанц. методами (фотографирование поверхности моря, использование
радио- и гидролокаторов) - с судов, самолётов и ИСЗ.
Лит.: Баском В., Волны и пляжи, [пер. с англ.], Л., 1966; Tриккер Р., Бор, прибой, волнение и корабельные волны, [пер. с англ.], Л., 1969; Уизем Д ж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977; Физика океана, т. 2 - Гидродинамика океана, M., 1978; Кадомцев Б. Б., Pыдник В. И., Волны вокруг нас, M., 1981; Лайтхилл Дж., Волны в жидкостях, пер. с англ., M., 1981; Ле Блон П., Mайсек Л., Волны в океане, пер. с англ., [ч.] 1-2, M., 1981. Л. А. Островский .
Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они ещё достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и выведенные соотношения неверны и принимают на самом деле более сложный вид. Однако для волн на очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде зависимость между длиной и скоростью распространения волн принимает опять более простой вид. В обоих этих случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому опять можно считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону.
Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево «вал» воды шириной b, повышающий уровень воды от h 1 до h 2 (рисунок 4.4). До прихода вала вода находилась в покое. Скорость её движения после повышения уровня щ. Эта скорость не совпадает со скоростью вала, она необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объёма воды в переходной зоне шириной b вправо и тем самым поднять уровень воды.
рис 4.4 п
Наклон вала по всей его ширине принимается постоянным и равным. При условии, что скорость щ достаточно мала, чтобы ей можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость воды в области вала будет равна (рисунок 4.5)
Условие неразрывности 3.4, применённое к единичному слою воды (в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка 4.4), имеет вид
щ 1 l 1 = щ 2 l 2 , (интеграл исчез из-за линейности рассматриваемых площадок),
здесь щ 1 и щ 2 - средние скорости в поперечных сечениях l 1 и l 2 потока соответственно. l 1 и l 2 - линейные величины (длины).
Это уравнение, применённое к данному случаю, приводит к соотношению
h 2 щ = bV , или h 2 щ = c (h 2 -h 1). (4.9)
Из 4.9 видно, что связь между скоростями щ и c не зависит от ширины вала.
Уравнение 4.9 остаётся верным и для вала непрямолинейного профиля (при условии малости угла б). Это легко показать, разбивая такой вал на ряд узких валов с прямолинейными профилями и складывая уравнения неразрывности, составленные для каждого отдельного вала:
Откуда при условии, что разностью h 2 - h 1 можно пренебречь и вместо h 2i в каждом случае подставить h 2 , получается. Это условие справедливо при уже принятом допущении о малости скорости щ (смотри 4.9).
К кинематическому соотношению 4.9 следует присоединить динамическое соотношение, выведенное из следующих соображений:
Объём воды шириной b в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объём, начинают своё движение на правом краю с нулевой скоростью, а на левом краю имеют скорости щ (рисунок 4.4). Из области внутри вала берётся произвольная частица воды. Время, за которое над этой частицей проходит вал, равно
поэтому ускорение частицы
Далее ширина вала (его линейный размер в плоскости, перпендикулярной рисунку) принимается равной единице (рисунок 4.6). Это позволяет записать выражение для массы объёма воды, находящегося в области вала, следующим образом:
Где h m есть средний уровень воды в области вала. (4.11)
Разность давлений по обе стороны вала на одной и той же высоте составляет (по формуле гидростатики) , где постоянная для данного вещества (воды) .
Следовательно, полная сила давления, действующая на рассматриваемый объём воды в горизонтальном направлении, равна. Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики) с учётом 4.10 и 4.11 запишется в виде:
Откуда. (4.12)
Таким образом, ширина вала выпала из уравнения. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения 4.9, доказывается, что уравнение 4.12 применимо также для вала с другим профилем при условии, что разность h 2 - h 1 мала по сравнению с самими h 2 и h 1 .
Итак, имеется система уравнений 4.9 и 4.12. Далее в левой части уравнения 4.9 h 2 заменяется на h m (что при низком вале и как следствие малой разнице h 2 - h 1 вполне допустимо) и уравнение 4.12 делится на уравнение 4.9:
После сокращений получается
Чередование валов с симметричными углами наклонов (т. н. положительных и отрицательных валоы) приводит к образованию волн. Скорость распространения таких волн не зависит от их формы.
Длинные волны на мелкой воде распространяются со скоростью, называемой критической скоростью.
Если на воде следуют друг за другом несколько низких валов, из которых каждый несколько повышает уровень воды, то скорость каждого последующего вала несколько больше скорости предыдущего вала, так как последний уже вызвал некоторое увеличение глубины h. Кроме того, каждый последующий вал распространяется уже не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся в направлении движения вала со скоростью щ. Всё это приводит к тому, что последующие валы догоняют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты.
Которых убывает с удалением от поверхности. Волны на поверхности жидкости могут заполнять большие площади, состоять из нескольких волн (цуг) и даже одного гребня или впадины (уединённая волна, солитон). Периоды волн на поверхности жидкости лежат в диапазоне от нескольких суток до долей секунды, длины - от тысяч километров до долей миллиметра, амплитуды - от десятков метров до долей микрометра. Тип волны, фазовая и групповая скорости задаются дисперсионным соотношением ω = ω(k) - функцией частоты ω от волнового вектора k. Наиболее низкочастотные волны на поверхности жидкости - инерционные волны - обусловлены силой Кориолиса; волны промежуточной частоты - гравитационные волны на поверхности жидкости - силой тяжести с ускорением g. Короткие и высокочастотные волны на поверхности жидкости - капиллярные волны - создаются силами поверхностного натяжения. У коротких гравитационных волн на поверхности жидкости (λ < 5Н, где λ = 2π/k - длина волны, Н - глубина водоёма) фазовая скорость больше групповой и растёт с длиной волны (прямая дисперсия). Частицы в них описывают окружности, радиус которых убывает с глубиной. Скорость длинных волн на поверхности жидкости (λ> 10Н) не зависит от λ (волны без дисперсии); частицы в них движутся по эллипсам с убывающей вертикальной осью. Капиллярные волны на поверхности жидкости обладают обратной дисперсией, их групповая скорость больше фазовой. Быстрые капиллярные волны на поверхности жидкости располагаются перед препятствием, медленные гравитационные - позади него. Скорость наиболее медленных волн на поверхности жидкости определяет размер области спокойной воды, отделяющей цуг нестационарных волн от импульсного источника, например брошенного в воду камня. Вблизи поверхности вязкой жидкости волны образуют периодический пограничный слой толщиной δ = √2 ν/ω, где V - кинематическая вязкость. Волны на поверхности жидкости и сопутствующие пограничные слои переносят энергию и вещество.
Картину волн на поверхности жидкости усложняет интерференция волн (наложение волн от различных источников), рефлексия (отражение от неровностей дна и берегов), рефракция (искривление и поворот волновых фронтов на неровном дне), дифракция (проникновение в область геометрической тени), а также нелинейное взаимодействие с волнами на поверхности и внутри жидкости, пограничными слоями, течениями, вихрями и ветром. С ростом амплитуды различия в свойствах волны и пограничного слоя стираются, формируется единая волновихревая система («кипящая стена воды», «волна-убийца»), обладающая большой разрушительной силой. Волны на поверхности жидкости распадаются, если ускорение в них превосходит g и амплитуда А >λ/2π.
Волны на поверхности жидкости в океанах образуются под действием притяжения Луны и Солнца (наиболее выражены приливные волны с периодами, кратными 12 ч 25 мин - половине лунных суток), землетрясений и оползней, меняющих форму дна и берегов (цунами с периодом 10-30 мин), из-за воздействия атмосферы, обтекания препятствий. Ветровые волны с периодом 2-16 с распространяются со скоростью 3-25 м/с на большие расстояния, образуя регулярную зыбь и прибой. Амплитуда цунами, бегущих в океане со скоростью около 700 км/ч, возрастает при подходе к берегу, они смывают города и опустошают прибрежные зоны.
Волны на поверхности жидкости влияют на обмен веществом, энергией и импульсом между атмосферой и гидросферой, способствуют насыщению воды кислородом. Возобновляемая энергия волн на поверхности жидкости используется приливными электростанциями и установками, непосредственно преобразующими её в электрическую.
Смотри также Волны в океане.
Лит.: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., 1977.
Возникающие и распространяющиеся по свободной поверхности жидкости или на поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей. В. на п. ж. образуются под влиянием внешнего воздействия, в результате которого поверхность жидкости выводится из равновесного состояния (например, при падении камня). При этом возникают силы, восстанавливающие равновесие: силы поверхностного натяжения и тяжести. В зависимости от природы восстанавливающих сил В. на п. ж. подразделяются на: капиллярные волны, если преобладают силы поверхностного натяжения, и гравитационные, если преобладают силы тяжести. В случае, когда совместно действуют силы тяжести и силы поверхностного натяжения, волны называются гравитационно-капиллярными. Влияние сил поверхностного натяжения наиболее существенно при малых длинах волн, сил тяжести - при больших.
Скорость с распространения В. на п. ж. зависит от длины волны λ. При возрастании длины волны скорость распространения гравитационно-капиллярных волн сначала убывает до некоторого минимального значения
а затем вновь возрастает (σ - поверхностное натяжение, g - ускорение силы тяжести, ρ - плотность жидкости). Значению c 1 соответствует длина волны
При λ > λ 1 скорость распространения зависит преимущественно от сил тяжести, а при λ см.
Причины возникновения гравитационных волн: притяжение жидкости Солнцем и Луной (см. Приливы и отливы), движение тел вблизи или по поверхности воды (корабельные волны), действие на поверхность жидкости системы импульсивных давлений (ветровые волны, начальное отклонение некоторого участка поверхности от равновесного положения, например местное возвышение уровня при подводном взрыве). Наиболее распространены в природе ветровые волны (см. также Волны морские).
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Волны на поверхности жидкости" в других словарях:
Волны, возникающие и распространяющиеся по свободной поверхности жидкости или по поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей. В. на п. ж. образуются под влиянием внеш. воздействия, в результате к рого поверхность жидкости выводится из… … Физическая энциклопедия
Механика сплошных сред … Википедия
Вол новые движения границы жидкости (напр., поверхности океана), возникающие при нарушении равновесия жидкости (иод действием ветра, проходящего судна, брошенного камня) и стремления сил тяжести и сил поверхностного натяжения жидкости… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Волны на поверхности моря или океана. Благодаря большой подвижности частицы воды под действием разного рода сил легко выходят из состояния равновесия и совершают колебательные движения. Причинами, вызывающими появление волн, являются… … Большая советская энциклопедия
Изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Наиболее важные и часто встречающиеся виды В. упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Частными случаями упругих В.… … Физическая энциклопедия
Волны - Волны: а одиночная волна; б цуг волн; в бесконечная синусоидальная волна; l длина волны. ВОЛНЫ, изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Основное свойство всех волн, независимо от их… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Возмущения, распространяющиеся с конечной скоростью в пространстве и несущие с собой энергию без переноса вещества. Наиболее часто встречаются упругие волны, напр., звуковые, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Несмотря на… … Большой Энциклопедический словарь
Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия
Волна изменение состояния среды (возмущение), распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию. Другими словами: «…волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой… … Википедия
Возмущения, распространяющиеся с конечной скоростью в пространстве и несущие с собой энергию без переноса вещества. Наиболее часто встречаются упругие волны, например звуковые, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Несмотря на… … Энциклопедический словарь
Книги
- Динамика многофазных систем. Учебное пособие , Глазков Василий Валентинович. Курс "Динамика многофазных систем" является продолжением основного курса тепло- и массообмена. В рамках курса формулируется математическое описание и модели двухфазных систем. Рассматриваются…
Волны, образующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. В большинстве случаев массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности жидкости будет равно атмосферному давлению Наблюдения показывают, что при простейшем волновом движении отдельные частицы свободной поверхности воды описывают траектории, приближенно совпадающие с окружностью. В системе отсчета, движущейся вместе с волнами со скоростью их распространения, волновое движение является, очевидно, установившимся движением (рис. 80). Пусть скорость распространения волн равна с, радиус окружности, описываемой частицей воды, расположенной на свободной поверхности, равен а период обращения этой частицы по своей траектории равен Тогда в указанной системе отсчета скорость течения на гребнях волн будет равна
а во впадинах волн
Так как разность высот между наивысшим и наинизшим положениями точек свободной поверхности равна то, применяя уравнение Бернулли к линии тока, расположенной на свободной поверхности, мы получим:
или, после подстановки вместо и их значений,
откуда следует, что
Радиус в эту формулу не входит, следовательно, скорость распространения волн не зависит от высоты волн. При распростраении волн гребень волны продвигается за время на расстояние называемое длиной волны, следовательно,
Исключая из равенств (60) и (61) период мы получим:
Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, но затем длинные волны уходят вперед, а короткие остаются позади них. Линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно невозмущенной воды, показаны на рис. 81. Из расположения линий тока видно, что скорость движения воды очень быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только скорости на свободной поверхности.
Рис. 81. Линии тока волнового движения
Точная теория показывает, что формула (62) справедлива только для низких волн, причем независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое дает формула (62). Кроме того, при высоких волнах траектории частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперед на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 81). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперед.
Для волн с небольшой длиной важным фактором является, кроме силы тяжести, также поверхностное натяжение. Оно стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Теория показывает, что в этом случае скорость распространения волн равна
где С есть капиллярная постоянная. Для длинных волн преобладающую роль играет первый член под знаком корня, а для коротких волн, наоборот, второй член. Для длины волны
скорость распространения с имеет минимальное значение, равное
Для воды дин/см, следовательно,
Волны, длина которых больше называются гравитационными, а волны, длина которых меньше капиллярными.
От скорости перемещения гребней волн, называемой фазовой скоростью (выше мы ее называли скоростью распространения волн и обозначали через с), следует отличать скорость распространения группы
волн, называемую групповой скоростью и обозначаемую через с. Проще всего разъяснить смысл этого понятия на примере движения, возникающего в результате наложения двух волн, имеющих равные амплитуды, но немного отличающихся своей длиной. Пусть мы имеем синусоидальную волну
где А есть амплитуда, время, а некоторые коэффициенты. При увеличении на у или на у синус принимает прежнее значение, следовательно, величина
есть длина волны, а величина
есть период колебаний. Если
т. е. если
то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината у. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью
Наложим на эту волну вторую волну
т. е. волну с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями Результирующим движением будет
В тех точках оси х, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний
противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением. Применив известную формулу
мы получим:
В этом равенстве член
представляет собой волну, для которой коэффициенты при равны средним значениям от и соответственно от Множитель же
который при малых значениях разностей изменяется медленно, можно рассматривать как переменную амплитуду (рис. 82).
Рис. 82. Биение
Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки, называемая групповой скоростью с, на основании соображений, аналогичных предыдущим, равна
Для длинных групп, т.е. для медленных биений, с достаточной точностью можно принять, что
Для волн, возникающих под действием силы тяжести, из формулы (60) мы имеем:
Но, согласно равенству (65),
следовательно,
С другой стороны, подставив в формулу (62) значение из равенства (64), мы получим:
Отсюда, диференцируя по и имея в виду равенство (67), мы найдем:
Таким образом, группы волн распространяются со скоростью с, равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаются со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн; на заднем конце группы все время возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это явление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камня в неподвижную воду.
Все сказанное относится не только к волнам на поверхности воды, но и к любым другим волнам, фазовая скорость которых зависит от длины волны.
Другим видом групп волн являются волны, возникающие на поверхности воды при движении корабля. Картину волн, очень похожую на корабельные волны, легко получить, если на поверхности покоящейся глубокой воды заставить двигаться с постоянной скоростью точечный очаг возмущения давления. Возникающее при этом движение может быть исследовано математически. Согласно вычислениям В. Томсона (lord Kelvin), Экмана (Ekman) и других, получается система волн, изображенная на рис. 83, на котором наклонными линиями обозначены гребни волн. Эта система волн перемещается вместе с очагом возмущения. Длина поперечных волн на основании формулы (62) равна
где с есть скорость перемещения очага возмущения. При движении корабля образуются две системы таких волн - одна около носа, другая около кормы корабля, причем волны обеих систем интерферируют друг с другом.
Рис. 83. Система волн, образующихся при равномерном движении на поверхности воды очага возмущения давления
Групповая скорость капиллярных волн, как нетрудно показать путем расчета, аналогичного сделанному для гравитационных волн, больше фазовой скорости, а именно, в предельном случае очень малых волн, в 1,5 раза. Следовательно, если очаг возмущения движется с постоянной скоростью, то группы волн его опережают. Около лески удочки, опущенной в реку, скорость течения которой больше 23,3 см/сек, образуются вверх по течению капиллярные волны, а вниз по течению - гравитационные волны, причем последние имеют приблизительно такую же форму, как на рис. 83, а первые расходятся вверх по течению в виде дуг окружностей. При скоростях движения очага возмущения, меньших 23,3 см/сек, волны не образуются.
На поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой, также могут возникать волны. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны то теоретический расчет дает для фазовой скорости волн величину
Если верхняя жидкость течет со скоростью относительно нижней, то теория показывает, что возникающие волны устойчивы только в том случае, если их длина достаточно велика. Короткие же волны, подобно тому, как это было показано в § 7 для движения двух потоков жидкости вдоль поверхности раздела, неустойчивы, что приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне; это перемешивание восстанавливает устойчивость течения. При увеличении скорости граница между неустойчивостью и устойчивостью перемещается в сторону волн с большей длиной. Волны такого рода могут возникать также в атмосфере на границе двух слоев воздуха разной плотности, движущихся относительно друг друга; иногда эти волны делаются видимыми благодаря образованию так называемых волнистых облаков.
При движении воздуха над поверхностью воды также образуются волны. Однако теория таких волн, основанная на предположении отсутствия трения, приводит к результатам, противоречащим
действительности. Так, например, вычисления В. Томсона показали, что минимальная скорость ветра, необходимая для образования на поверхности воды волн, должна составлять круглым числом причем возникают волны, обладающие минимальной скоростью распространения см/сек и длиной волны см (при большей скорости ветра получаются, конечно, волны с большей длиной). Между тем в действительности для образования волн достаточно ветра со скоростью Согласно исследованию Джеффри это объясняется тем, что вследствие трения распределение давления на поверхности волны делается несимметричным, и поэтому ветер, если его скорость больше фазовой скорости волн, совершает на гребне каждой волны работу. Мотцфельд, измерив распределение давления на поверхности моделей водяных волн, нашел, что сопротивление, которое воздух оказывает движению волн, пропорционально полуторной степени наклона поверхности волны в точке перегиба относительно горизонта, а также квадрату разности между скоростью ветра и фазовой скоростью волн. Далее, Мотцфельд путем расчета нашел, что наклон поверхности волны в точке перегиба, зависящий от фазовой скорости с, получается наибольшим при
Этой скорости с соответствует, на основании формулы (62), волна длиной
Если принять во внимание поверхностное натяжение, которое Мотцфельд не учитывал, то расчет показывает, что для возникновения легкого волнения на поверхности воды достаточно, в полном соответствии с наблюдениями, ветра со скоростью, немного превышающей 23,3 см/сек.
Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они еще достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и зависимость между длиной и скоростью распространения волн получается более сложной, чем для волн на глубокой воде. Однако для волн на
очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде только что указанная зависимость принимает опять более простой вид. В обоих последних случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому можно опять считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как (траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону, и разности высот жидкости будут обусловливать практически только горизонтальные ускорения. Мы ограничимся здесь вычислениями лишь для случая движения «вала» воды, изображенного на рис. 84. Эти вычисления очень простые и в дальнейшем будут нами использованы для исследования распространения возмущения давления в сжимаемой среде (см. § 2 гл. IV).
Рис. 84. Вал на поверхности воды
Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево вал шириной повышающий уровень воды от до Предположим, что до прихода вала вода находилась в покое. Скорость ее движения после повышения уровня обозначим через Эта скорость, отнюдь не совпадающая со скоростью с распространения вала, необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объема воды в переходной зоне шириной вправо и тем самым поднять уровень воды с высоты до высоты Примем для простоты, что наклон вала по всей его ширине постоянен, следовательно, он равен Тогда, при условии, что скорость достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость подъема воды в области вала будет равна должна быть мала также разность высот следовательно, это уравнение применимо только к низким валам, и поэтому только что упомянутое условие вполне оправдано.
К кинематическому соотношению (72) следует присоединить динамическое соотношение, которое легко вывести следующим образом. Объем воды шириной в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объем, начинают свое движение на правом краю со скоростью нуль, а на левом краю имеют скорости Возьмем какую-нибудь частицу воды в области вала. Время, в течение которого над этой частицей проходит вал, очевидно, равно
поэтому ускорение частицы будет
Объем воды в области вала, если его толщину в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, принять равной единице, имеет массу где Кроме того, каждый последующий вал распространяется не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся вправо со скоростью Это приводит к тому, что последующие валы догоняют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты.
Исследование распространения вала конечной высоты можно выполнить при помощи теоремы о количестве движения совершенно таким же образом, как это было сделано в § 13 при рассмотрении внезапного расширения потока. Для того чтобы движение воды при распространении вала можно было рассматривать как установившееся, расчет следует вести в системе отсчета, движущейся вместе с валом. Скорость распространения вала конечной высоты больше чем
