Правописание ъ после приставок. Правописание разделительных ь и ъ

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

Правила:

Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:

(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a . Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tg α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sin α tg α = -- cos α

При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.

Для любого острого угла α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-пояснение :

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение .

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Убедимся в этом еще раз:

1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

ввести понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника;
показать, как используются синус, косинус и тангенс при решении задач;
развитие умений наблюдать, сравнивать, анализировать и делать вывод.

Ход урока

Актуализация знаний (определение основной проблемы урока)

Проводится в форме фронтального опроса.

Учитель. На доске вы видите краткую запись 6 задач < Рисунок 1>. Вспомните, какие из этих задач вы уже умеете решать? Решите эти задачи. Сформулируйте соответствующие теоремы.

Рисунок 1

Учащиеся:

Задача 1. Ответ: 5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Задача 2. Ответ: 41°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Задача 3. Ответ: 10 . Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Задачи 4-6 мы не можем решить.

Учитель. А почему вы не сумеете решить задачи 4-6? Какой вопрос возникает?

Учащиеся. Мы не знаем, что такое tgB, sinA, cosB.

Учитель. sinА, cosB, tgB читается: “синус угла А”, “косинус угла В” и “тангенс угла В”. Мы сегодня узнаем, что означает каждое из этих выражений, и научимся решать задачи типа 4-6.

Введение нового материала

Проводится в форме эвристической беседы.

Учитель. Начертите прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4, 6 и 8. Обозначьте их АВС и А 1 В 1 С 1 так, чтобы В и В 1 были углами, противолежащими катетам 4 и 8, а прямыми углами были С, С 1 . Равны ли углы В и В 1 ? Почему?

Учащиеся . Равны, потому что треугольники подобны. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) и углы между ними прямые.<Рисунок 2>

Учитель . Равенства каких ещё отношений следуют из подобия треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 ?

Учащиеся . ВС: АВ = В 1 С 1: А 1 В 1 , АС: АВ = А 1 С 1: А 1 В 1 .

Учитель . АС: АВ = А 1 С 1: А 1 В 1 = sinB = sinB 1.

ВС: АВ = В 1 С 1: А 1 В 1 = cosB = cosB 1 . AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1 . Катет АС является противолежащим углу В, а катет ВС - прилежащим к этому углу. Сформулируйте определения синуса, косинуса и тангенса.

Учащиеся . Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель . Запишите сами синус, косинус и тангенс угла А (слайд 1). Получились формулы (1), (2), (3) :

(1)

Итак, мы узнали что такое синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Вообще, понятия синуса косинуса и тангенса имеют длительную историю. Изучая зависимость между сторонами и углами треугольника, древние учёные нашли способы вычислений различных элементов треугольника. Эти знания, главным образом, использовались для решения задач практической астрономии, для определения недоступных расстояний.

Закрепление

Учитель . Решим задачу №591 (а,б) .

Задание выводится на экран (слайд 2). Задание “а” решается на доске с полным объяснением; “б” – самостоятельно с последующей проверкой друг друга.

Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20.

Решение. а) = . = , по теореме Пифагора найдём АС = 15,

= ; б) , по теореме Пифагора найдём АВ = 29, . . .

Учитель. А теперь вернёмся к задачам 4–6 <Рисунок 1>. Давайте обсудим, что известно в задачах 4–6 и что требуется найти?

Задача 4. Что известно? Что надо найти?

Учащиеся . Известны ВС = 7 и tg В = 3,5. Надо найти АС.

Учитель . Что такое tg В?

Учащиеся . .

Учитель . Работаем с формулой. Формула состоит из трёх компонентов. Назовите их. Какие компоненты известны? Какой компонент неизвестен? Можете найти? Найдите.

Учащиеся . АС = ВС * tg B = 7 * 3,5 = 24,5

Учитель . По этому образцу решите задачи 5 и 6 <Рисунок 1>. 1 ученик работает на закрытой доске

Учитель .

1. Расскажите, удалось ли вам найти требуемые неизвестные?

2. Каков был порядок ваших действий?

3. Может быть есть другие решения?

Учащиеся .1. Да. Легко. По образцу. Задача 5. Ответ: 10. Задача 6. Ответ: 2,5

2. Сначала синус и косинус соответствующих углов заменяем по определению соответствующими отношениями, затем в полученных пропорциях проставляем известные данные, после этого находим искомые неизвестные.

Учитель . Какой общий вывод можно сделать после решения задач 4–6? Какие новые задачи мы научились решать в прямоугольном треугольнике? Подумайте и сформулируйте ваш вывод.

Учащиеся . Если в прямоугольном треугольнике известны одна сторона и отношение этой стороны к одной из других сторон, либо одна сторона и отношение одной из других сторон к известной стороне (либо синус, либо косинус, либо тангенс), то можно найти эту вторую сторону.

Решение задач.

А теперь попробуйте решить эти задачи 7–9 <Рисунок 3>.

Рисунок 3

Учащиеся . Мы не знаем, как их решать.

Учитель . Вернёмся к задаче 1 <Рисунок 1>. Изменим условие задачи. Пусть NK = 5, NM = 10. Найти угол М.

Учащиеся. Угол М равен 30°, так как катет противолежащий углу М равен половине гипотенузы.

Учитель . То есть получается, что если синус угла равен 0,5, то угол равен 30°. А теперь решим задачи №592 (а,в,д)

№592. Постройте угол a , если: а) в) д) .

Решение .

а) На сторонах прямого угла отложим отрезки длиной 1 и 2, соединим концы отрезков. В полученном треугольнике угол, лежащий против катета 1, и есть искомый угол a ;

в) 0,2 = . На одной стороне прямого угла от его вершины отложим отрезок длины 1. Построим окружность радиуса 5 с центром в конце отложенного отрезка. Точку пересечения окружности со второй стороной прямого угла соединим с концом отложенного на первой стороне угла отрезка. В полученном треугольнике угол, прилежащий катету длины 1, и есть угол a ; (слайд 4)

д) На одной стороне прямого угла от его вершины отложим отрезок длины 1. Построим окружность радиуса 2 с центром в конце отложенного отрезка. Точку пересечения окружности со второй стороной прямого угла соединим с концом отложенного на первой стороне угла отрезка. В полученном треугольнике угол, противолежащий катету длины 1, и есть искомый угол a .(слайд 5)

Вы построили углы, а значит, вы нашли углы. Их можно измерить и оформить в виде таблицы.

Аналогично можно решить задачи 7-9 <Рисунок 3>

Подведение итогов

Учитель. Ответьте на вопросы:

1. Что называется синусом, косинусом и тангенсом прямого угла в прямоугольном треугольнике?

2. В прямоугольном треугольнике 6 элементов. Какие новые задачи вы сегодня научились решать? Каков при этом порядок ваших действий? Проверьте свои умения правильно выполнять эти действия (Раздаются индивидуальные карточки).

Примерное содержание карточек: 1. В треугольнике АВС угол С прямой, ВС = 2, Найдите АВ. 2. В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 8, . Найдите АВ. 3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 6, . Найдите ВС.

Учащиеся сверяют свою работу с готовыми решениями на соответствующих карточках.

Задания на дом: вопрос 15 на стр.159; №591(в,г),592(б,г,е) (слайд 6)

Использованная литература

Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразовательных организаций / [ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014.

Понятия синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнём с самого начала и разберёмся в понятии угла.

Понятие угла: радиан, градус

Давай посмотрим на рисунке. Вектор «повернулся» относительно точки на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол .

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен.

То есть на рисунке выше изображён угол, равный, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером длины окружности.

Углом в радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол, равный радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина равна длине или радиус равен длине дуги). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

Где - центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен. То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что. Соответственно, . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют? Всё верно!

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

Возникли трудности? Тогда смотри ответы :

Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона); катеты - это две оставшиеся стороны и (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла, то катет - это прилежащий катет, а катет - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике.

Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике.

Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике.

Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике.

Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла. По определению, из треугольника: , но ведь мы можем вычислить косинус угла и из треугольника: . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника, изображённого ниже на рисунке, найдём.

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла.

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным. Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси (в нашем примере, это радиус).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси и координата по оси. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник. Он прямоугольный, так как является перпендикуляром к оси.

Чему равен из треугольника? Всё верно. Кроме того, нам ведь известно, что - это радиус единичной окружности, а значит, . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен из треугольника? Ну конечно, ! Подставим значение радиуса в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что и - это просто числа? Какой координате соответствует? Ну, конечно, координате! А какой координате соответствует? Всё верно, координате! Таким образом, точка.

А чему тогда равны и? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что, а.

А что, если угол будет больше? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник: угол (как прилежащий к углу). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате; значение косинуса угла - координате; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора - вдоль положительного направления оси. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке - отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет или. А можно повернуть радиус-вектор на или на? Ну конечно, можно! В первом случае, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении или.

Во втором случае, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении или.

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на или (где - любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол. Это же изображение соответствует углу и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой или (где - любое целое число)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в соответствует точка с координатами, следовательно:

Не существует;

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в соответствуют точки с координатами, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

Не существует

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в и, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить :

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений :

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (), а также значение тангенса угла в. Зная эти значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

Зная это можно восстановить значения для. Числитель « » будет соответствовать, а знаменатель « » соответствует. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота ?

Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки .

Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом точки на градусов.

Как видно из рисунка, координате точки соответствует длина отрезка. Длина отрезка соответствует координате центра окружности, то есть равна. Длину отрезка можно выразить, используя определение косинуса:

Тогда имеем, что для точки координата.

По той же логике находим значение координаты y для точки. Таким образом,

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

Координаты центра окружности,

Радиус окружности,

Угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?

1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

4. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.

5. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.

Возникли проблемы в нахождении координот точки на окружности?

Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!

Можно заметить, что. А мы ведь знаем, что соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:

2. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

Можно заметить, что. Мы знаем, что соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:

Синус и косинус - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

Таким образом, искомая точка имеет координаты.

3. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

Можно заметить, что. Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

Радиус образует с осью углы, равные и. Зная, что табличные значения косинуса и синуса равны, и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме .

Таким образом, искомая точка имеет координаты.

Угол поворота радиуса вектора (по условию,)

Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

Как можно заметить, значение, то есть положительно, а значение, то есть - отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

Подставим полученные значения в нашу формулу и найдём координаты:

Таким образом, искомая точка имеет координаты.

5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде, где

Координаты центра окружности (в нашем примере,

Радиус окружности (по условию,)

Угол поворота радиуса вектора (по условию,).

Подставим все значения в формулу и получим:

и - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:

Таким образом, искомая точка имеет координаты.