При каких условиях тело совершает колебательное движение. По характеру взаимодействия с окружающей средой

1. Движение называется колебательным, если при движении происходит частичная или полная повторяемость состояния системы по времени. Если значения физических величин, характеризующих данное колебательное движение, повторяются через равные промежутки времени, колебания называют периодическими.

2. Что такое период колебаний? Что такое частота колебаний? Какова связь между ними?

2. Периодом называют время, в течение которого совершается одно полное колебание. Частота колебаний - число колебаний в единицу времени. Частота колебаний обратно пропорциональна периоду колебаний.

3. Система колеблется с частотой 1 Гц. Чему равен период колебания?

4. В каких точках траектории колеблющегося тела скорость равна нулю? Ускорение равно нулю?

4. В точках максимального отклонения от положения равновесия скорость равна нулю. Ускорение равно нулю в точках равновесия.

5. Какие величины, характеризующие колебательное движение, изменяются периодически?

5. Скорость, ускорение и координата в колебательном движении изменяются периодически.

6. Что можно сказать о силе, которая должна действовать в колебательной системе, чтобы она совершала гармонические колебания?

6. Сила должна изменяться с течением времени по гармоническому закону. Эта сила должна быть пропорциональна смещению и направлена противоположно смещению к положению равновесия.

Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн . Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования.

Классификация

Выделение разных видов колебаний зависит от подчёркиваемых свойств систем с колебательными процессами (осцилляторов).

По используемому математическому аппарату

• Нелинейные колебания

По периодичности

Так, периодические колебания определены следующим образом:

По физической природе

• Механические (звук , вибрация)
• Электромагнитные (свет , радиоволны , тепловые)
• Смешанного типа - комбинации вышеперечисленных

По характеру взаимодействия с окружающей средой

• Вынужденные - колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса : резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.
• Свободные (или собственные) - это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
• Автоколебания - колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии , расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы - механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.
• Параметрические - колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

Параметры

Период колебаний T {\displaystyle T\,\!} и частота f {\displaystyle f\,\!} - обратные величины;

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота ω {\displaystyle \omega \,\!} (рад /с, Гц, с −1) , показывающая число колебаний за 2 π {\displaystyle 2\pi } единиц времени:

• Смещение - отклонение тела от положения равновесия. Обозначение Х, Единица измерения - метр.
• Фаза колебаний - определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

Краткая история

Гармонические колебания были известны с XVII века.

Термин «релаксационные колебания» был предложен в 1926 г. ван дер Полем. Обосновывалось введение такого термина лишь тем обстоятельством, что указанному исследователю казались все подобные колебания связанными с наличием «времени релаксации» - т. е. с концептом, который на тот исторический момент развития науки представлялся наиболее понятным и широко распространённым. Ключевым свойством колебаний нового типа, описанных рядом перечисленных выше исследователей, было то, что они существенно отличались от линейных, - что проявляло себя в первую очередь как отклонение от известной формулы Томсона . Тщательное историческое исследование показало , что ван дер Поль в 1926 г. ещё не осознавал того обстоятельства, что открытое им физическое явление «релаксационные колебания» соответствует введённому Пуанкаре математическому понятию «предельный цикл », и понял он это лишь уже после вышедшей в 1929 г. публикации А. А. Андронова .

Иностранные исследователи признают тот факт, что среди советских учёных мировую известность приобрели ученики Л. И. Мандельштама , выпустившие в 1937 г. первую книгу , в которой были обобщены современные сведения о линейных и нелинейных колебаниях. Однако советские учёные «не приняли в употребление термин "релаксационные колебания", предложенный ван дер Полем. Они предпочитали термин "разрывные движения", используемый Блонделем , в частности потому, что предполагалось описывать этих колебаний в терминах медленных и быстрых режимов . Этот подход стал зрелым только в контексте теории сингулярных возмущений » .

Краткая характеристика основных типов колебательных систем

Линейные колебания

Важным типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, происходящие по закону синуса или косинуса. Как установил в 1822 году Фурье , любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний путём разложения соответствующей функции в

Наряду с поступательным и вращательным движением колебательное движение играет большую роль в макро- и микромире.

Различают хаотические и периодические колебания. Периодические колебания характеризуются тем, что через определенные равные промежутки времени колеблющаяся система проходит одни и те же положения. В качестве примера можно привести кардиограмму человека, представляющую собой запись колебаний электрических сигналов сердца (рис. 2.1). На кардиограмме можно выделить период колебаний, т.е. время Т одного полного колебания . Но периодичность не есть исключительная особенность колебаний, ею обладает также и вращательное движение. Наличие положения равновесия является особенностью механического колебательного движения, тогда как вращение характеризуется так называемым безразличным равновесием (хорошо сбалансированное колесо или игорная рулетка, будучи раскрученными, останавливается в любом положении равновероятно). При механических колебаниях в любом положении, кроме положения равновесия, существует сила, стремящаяся вернуть колеблющуюся систему в начальное положение т.е. возвращающая сила, всегда направленная к положению равновесия. Наличие всех трех признаков отличает механическое колебание от остальных видов движения.

Рис. 2.1.

Рассмотрим конкретные примеры механических колебаний.

Зажмем в тиски один конец стальной линейки, а другой, свободный, отведем в сторону и отпустим. Под действием сил упругости линейка будет возвращаться в исходное положение, которое является положением равновесия. Проходя через это положение (которое является положением равновесия), все точки линейки (кроме зажатой части) будут иметь определенную скорость и определенный запас кинетической энергии. По инерции колеблющаяся часть линейки пройдет положение равновесия и будет совершать работу против внутренних сил упругости за счет убыли кинетической энергии. Это приведет к возрастанию потенциальной энергии системы. Когда кинетическая энергия полностью исчерпается, потенциальная энергия достигнет максимума. Сила упругости, действующая на каждую колеблющуюся точку, также достигнет максимума и будет направлена к положению равновесия. Это описано в подразделах 1.2.5 (соотношение (1.58)), 1.4.1, а также в 1.4.4 (см. рис. 1.31) на языке потенциальных кривых. Так будет повторяться до тех пор, пока полная механическая энергия системы не перейдет во внутреннюю энергию (энергию колебаний частиц твердого тела) и не рассеется в окружающее пространство (напомним, что силы сопротивления относятся к диссипативным силам).

Таким образом, в рассматриваемом движении есть повторяемость состояний и есть силы (силы упругости), стремящиеся вернуть систему в положение равновесия. Следовательно, линейка будет совершать колебательное движение.

Другой известный всем пример - колебания маятника. Положение равновесия маятника отвечает низшему положению его центра тяжести (в этом положении потенциальная энергия, обусловленная силами тяжести, минимальна). В отклоненном положении на маятник будет действовать момент силы относительно оси вращения, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. В этом случае также есть все признаки колебательного движения. Понятно, что в отсутствии силы тяжести (в состоянии невесомости) не будут выполнены оговоренные выше условия: в состоянии невесомости отсутствует сила тяжести и возвращающий момент этой силы. И здесь маятник, получив толчок, будет двигаться по окружности, то есть совершать не колебательное, а вращательное движение.

Колебания могут быть не только механическими. Так, например, можно говорить о колебаниях заряда на пластинах конденсатора, соединенного параллельно с катушкой индуктивности (в колебательном контуре), или напряженности электрического поля в конденсаторе. Их изменение со временем описывается уравнением, подобным тому, что определяет механическое смещение от положения равновесия маятника. Ввиду того, что одинаковыми уравнениями можно описывать колебания самых различных физических величин, оказывается очень удобным рассмотрение колебаний безотносительно к тому, какая физическая величина колеблется. Это порождает систему аналогий, в частности, электромеханическую аналогию. Для определенности будем пока рассматривать механические колебания. Рассмотрению подлежат только периодические колебания, при которых значения изменяющихся в процессе колебаний физических величин повторяются через равные промежутки времени.

Величина, обратная периоду Т колебаний (как и времени одного полного оборота при вращении), выражает число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, и называется частотой (это просто частота, она измеряется в герцах или с -1)

(при колебаниях так же, как при вращательном движении).

Угловая скорость связывается с введенной соотношением (2.1) частотой v формулой

измеряется в рад/с или с -1 .

Естественно начать анализ колебательных процессов с наиболее простых случаев колебательных систем с одной степенью свободы. Число степеней свободы - это число независимых переменных, необходимых для полного определения положения в пространстве всех частей данной системы . Если, например, колебания маятника (груз на нити и др.) ограничены плоскостью, в которой только и может перемещаться маятник, и если нить маятника нерастяжима, то достаточно задать только один угол отклонения нити от вертикали или только величину смещения от положения равновесия - для груза, колеблющегося вдоль одного направления на пружине, чтобы полностью определить его положение. В этом случае мы говорим, что рассматриваемая система обладает одной степенью свободы. Тот же маятник, если он может занимать любое положение на поверхности сферы, на которой лежит траектория его движения, обладает двумя степенями свободы. Возможны и трехмерные колебания, как это имеет место, например, при тепловых колебаниях атомов кристаллической решетки (см. подраздел 10.3). Для анализа процесса в реальной физической системе мы выбираем его модель, заранее ограничив исследование рядом условий.

• Здесь и далее период колебаний будет обозначаться той же буквой, что и кинетическаяэнергия - Т (не путать!).
• В главе 4 «Молекулярная физика» будет дано и другое определение числа степеней свободы.

Колебательными называются процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, обладают определённой повторяемостью во времени. Такими процессами, например, могут являться суточные и годовые колебания температуры атмосферы и поверхности Земли, колебания маятников и т.д.

Если промежутки времени, через которые состояние системы повторяется, равны между собой, то колебания называются периодическими , а промежуток времени между двумя последовательными одинаковыми состояниями системы – периодом колебаний .

Для периодических колебаний функция, определяющая состояние колеблющейся системы, повторяется через период колебаний:

Среди периодических колебаний особое место занимают коле­бания гармонические , т.е. колебания, при которых характеристики движения системы изменяются по гармоническому закону, например:

(308)

Наибольшее внимание, уделяемое в теории колебаний именно часто встречающимся на практике гармоническим процессам, объясняется как тем, что для них наиболее хорошо развит аналитический аппарат, так и тем, что любые периодические колебания (и не только периодические) могут быть рассмотрены в виде определённой комбинации гармонических составляющих. В силу этих причин далее будут рассмотрены преимущественно гармонические колебания. В аналитическом выражении гармонических колебаний (308) величина x отклонения материальной точки от положения равно­весия называется смещением .

Очевидно, что максимальное отклонение точки от положения равновесия равно a, эта величина называется амплитудой колебаний . Физическая величина, равная:

и определяющая состояние колеблющейся системы в данный момент вре­мени, называется фазой колебаний . Значение фазы в момент начала от счёта времени

называется начальной фазой колебаний . Величина w в выражении фазы колебаний, определяющая быстроту колебательного процесса, называется его круговой или циклической частотой колебаний.

Состояние движения при периодических колебаниях должно повторяться через промежутки времени, равные периоду колебаний T. При этом, очевидно, фаза колебаний должна изменятся на 2p (период гармонической функции), т.е.:

Отсюда следует, что период колебаний и циклическая частота связаны между собой соотношением:

Скорость точки, закон движения которой определяется (301), также изменяется по гармоническому закону

(309)

Отметим, что смещение и скорость точки неодновременно обращаются в нуль или принимают максимальные значения, т.е. смешение и скорость отличаются по фазе.

Аналогично получаем, что ускорение точки равно:

Из выражения для ускорения видно, что оно смещено по фазе относительно смещения и скорости. Хотя смешение и ускорение одновременно проходят через нуль, в этот момент времени они имеют противоположные направления, т.е. смещены на p. Графики зависимостей смещения, скорости и ускорения от времени при гармонических колебаниях представлены условном масштабе на рис.81.

С одним из видов неравномерного движения - равноускоренным - вы уже знакомы.

Рассмотрим ещё один вид неравномерного движения - колебательное.

Колебательные движения широко распространены в окружающей нас жизни. Примерами колебаний могут служить: движение иглы швейной машины, качелей, маятника часов, вагона на рессорах и многих других тел.

На рисунке 52 изображены тела, которые могут совершать колебательные движения, если их вывести из положения равновесия (т. е. отклонить или сместить от линии ОО").

Рис. 52. Примеры тел, совершающих колебательные движения

В движении этих тел можно найти много различий. Например, шарик на нити (рис. 52, а) движется криволинейно, а цилиндр на резиновом шнуре (рис. 52, б) - прямолинейно; верхний конец линейки (рис. 52, в) колеблется с большим размахом, чем средняя точка струны (рис. 52, г). За одно и то же время одни тела могут совершать большее число колебаний, чем другие.

Но при всём разнообразии этих движений у них есть важная общая черта: через определённый промежуток времени движение любого тела повторяется.

Действительно, если шарик отвести от положения равновесия и отпустить, то он, пройдя через положение равновесия, отклонится в противоположную сторону, остановится, а затем вернётся к месту начала движения. За этим колебанием последует второе, третье и т. д., похожие на первое.

Повторяющимися будут и движения остальных тел, изображённых на рисунке 52.

Промежуток времени, через который движение повторяется, называется периодом колебаний. Поэтому говорят, что колебательное движение периодично.

В движении тел, изображённых на рисунке 52, кроме периодичности есть ещё одна общая черта: за промежуток времени, равный периоду колебаний, любое тело дважды проходит через положение равновесия (двигаясь в противоположных направлениях).

• Повторяющиеся через равные промежутки времени движения, при которых тело многократно и в разных направлениях проходит положение равновесия, называются механическими колебаниями

Именно такие колебания и будут предметом нашего изучения.

На рисунке 53 изображён шарик с отверстием, надетый на гладкую стальную струну и прикреплённый к пружине (другой конец которой прикреплён к вертикальной стойке). Шарик может свободно скользить по струне, т. е. силы трения настолько малы, что не оказывают существенного влияния на его движение. Когда шарик находится в точке О (рис. 53, а), пружина не деформирована (не растянута и не сжата), поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на него не действуют. Точка О - положение равновесия шарика.

Рис. 53. Динамика свободных колебаний горизонтального пружинного маятника

Переместим шарик в точку В (рис. 53, б). Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости F упрB . Эта сила пропорциональна смещению (т. е. отклонению шарика от положения равновесия) и направлена противоположно ему. Значит, при смещении шарика вправо действующая на него сила направлена влево, к положению равновесия.

Если отпустить шарик, то под действием силы упругости он начнёт ускоренно перемещаться влево, к точке О. Направление силы упругости и вызванного ею ускорения будет совпадать с направлением скорости шарика, поэтому по мере приближения шарика к точке О его скорость будет всё время возрастать. При этом сила упругости с уменьшением деформации пружины будет уменьшаться (рис. 53, в).

Напомним, что любое тело обладает свойством сохранять свою скорость, если на него не действуют силы или если равнодействующая сил равна нулю. Поэтому, дойдя до положения равновесия (рис. 53, г), где сила упругости станет равна нулю, шарик не остановится, а будет продолжать двигаться влево.

При его движении от точки О к точке А пружина будет сжиматься. В ней снова возникнет сила упругости, которая и в этом случае будет направлена к положению равновесия (рис. 53, д, е). Поскольку сила упругости направлена против скорости движения шарика, то она тормозит его движение. В результате в точке А шарик остановится. Сила упругости, направленная к точке О, будет продолжать действовать, поэтому шарик вновь придёт в движение и на участке АО его скорость будет возрастать (рис. 53, е, ж, з).

Движение шарика от точки О к точке В снова приведёт к растяжению пружины, вследствие чего опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение шарика до полной его остановки (рис. 53, з, и, к). Таким образом, шарик совершит одно полное колебание. При этом в каждой точке его траектории (кроме точки О) на него будет действовать сила упругости пружины, направленная к положению равновесия.

Под действием силы, возвращающей тело в положение равновесия, тело может совершать колебания как бы само по себе. Первоначально эта сила возникла благодаря тому, что мы совершили работу по растяжению пружины, сообщив ей некоторый запас энергии. За счёт этой энергии и происходили колебания.

• Колебания, происходящие только благодаря начальному запасу энергии, называются свободными колебаниями

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют систему тел, которая получила название колебательной системы. В рассмотренном примере в колебательную систему входят шарик, пружина и вертикальная стойка, к которой прикреплён левый конец пружины. В результате взаимодействия этих тел и возникает сила, возвращающая шарик к положению равновесия.

На рисунке 54 изображена колебательная система, состоящая из шарика, нити, штатива и Земли (Земля на рисунке не показана). В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити. Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Рис. 54. Нитяной маятник

• Системы тел, которые способны совершать свободные колебания, называются колебательными системами

Одно из основных общих свойств всех колебательных систем заключается в возникновении в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия.

Колебательные системы - довольно широкое понятие, применимое к разнообразным явлениям.

Рассмотренные колебательные системы называются маятниками. Существует несколько типов маятников: нитяные (см. рис. 54), пружинные (см. рис. 53, 55) и т. д.

Рис. 55. Пружинный маятник

В общем случае

• маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси

Колебательное движение будем изучать на примере пружинного и нитяного маятников.

Вопросы

1. Приведите примеры колебательных движений.
2. Как вы понимаете утверждение о том, что колебательное движение периодично?
3. Что называется механическими колебаниями?
4. Пользуясь рисунком 53, объясните, почему по мере приближения шарика к точке О с любой стороны его скорость увеличивается, а по мере удаления от точки О в любую сторону скорость шарика уменьшается.
5. Почему шарик не останавливается, дойдя до положения равновесия?
6. Какие колебания называются свободными?
7. Какие системы называются колебательными? Приведите примеры.

Упражнение 23