Наткнулся тут на упоминание "Теории фракталов" в сериале "Иеремия" и заинтресовался этой довольно изящной теорией, которые современные метафизики применяют для доказательства существования Бога. Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов на стыке математики, информатики, лингвистики и биологии. В то время компьютеры все больше проникали в жизнь людей, ученые начинали применять их в своих исследованиях, росло число пользователей вычислительных машин. Для массового использования компьютеров необходимо стало облегчить процесс общения человека с машиной. Если в самом начале компьютерной эры немногочисленные программисты-пользователи самоотверженно вводили команды в машинных кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги, то при массовом и загруженном режиме использования компьютеров возникла необходимость в изобретении такого языка программирования, который был бы понятен для машины, и в то же время, был бы прост в изучении и применении. То есть пользователю требовалось бы ввести только одну команду, а компьютер разложил бы ее на более простые, и выполнил бы уже их. Чтобы облегчить написание трансляторов, на стыке информатики и лингвистики возникла теория фракталов, позволяющая строго задавать взаимоотношения между алгоритмическими языками. А датский математик и биолог А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику, названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует также рост живых организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.
Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической. Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora). Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Отцом фракталов по праву можно считать Бенуа Мандельброта. Мандельброт является изобретателем термина «фрактал». Мандельброт
писал: « Я придумал слово «фрактал», взяв за основу латинское прилагательное «fractus», означающее нерегулярный, рекурсивный,
фрагментный». Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт. На рисунке как раз классическая модель фрактала - Множество Мандельброта.
Если излагать примтивно, то теория фрактала - это сопособность хаотичгных стукртур самоорагнизовываться в систему. Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.
Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.
Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющиеся ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трехмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца (Lorenz)- одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является — отображение Рёслера (Rössler), котороя имеет двойной период, подобно логистическому отображению. Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например отображения Хенона (Hénon)). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру. Теорема Пуанкаре-Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.
Так вот, свойство хаотических систем самоорганизовываться с помощью неправильных аттракторов, по мнению некоторых математиков, и явялется недоказуемым доказательством существования Бога и Его энергии творения всего сущего. Загадка!
Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д. , то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).
У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно фракталом называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств: Обладает сложной структурой при любом увеличении масштаба (в отличие от, например, прямой, любая часть которой является простейшей геометрической фигурой — отрезком). Является (приближенно) самоподобной. Обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической. Может быть построена рекурсивными процедурами.
Геометрия и алгебра
Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».
Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.
Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.
Фрактальные размерности
Как известно, размерность (число измерений) геометрической фигуры — это число координат, необходимых для определения положения лежащей на этой фигуре точки.
Например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности (не обязательно плоскости) двумя координатами, в трёхмерном пространстве тремя координатами.
С более общей математической точки зрения, можно определить размерность таким образом: увеличение линейных размеров, скажем, в два раза, для одномерных (с топологической точки зрения) объектов (отрезок) приводит к увеличению размера (длины) в два раза, для двумерных (квадрат) такое же увеличение линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в 4 раза, для трехмерных (куб) — в 8 раз. То есть «реальную» (т.н. Хаусдорфову) размерность можно подсчитать в виде отношения логарифма увеличения «размера» объекта к логарифму увеличения его линейного размера. То есть для отрезка D=log (2)/log (2)=1, для плоскости D=log (4)/log (2)=2, для объема D=log (8)/log (2)=3.
Подсчитаем теперь размерность кривой Коха, для построения которой единичный отрезок делят на три равные части и заменяют средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. При увеличении линейных размеров минимального отрезка в три раза длина кривой Коха возрастает в log (4)/log (3)~1,26. То есть размерность кривой Коха — дробная!
Наука и искусство
В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.
Схема получения кривой Коха
Война и мир
Как уже отмечалось выше, один из природных объектов, имеющих фрактальные свойства, — это береговая линия. С ним, а точнее, с попыткой измерить его длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать все новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона.
Конструктивные (геометрические) фракталы
Алгоритм построения конструктивного фрактала в общем случае таков. Прежде всего нам нужны две подходящие геометрические фигуры, назовем их основой и фрагментом. На первом этапе изображается основа будущего фрактала. Затем некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, — это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, и т. д. Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в пределе получится фрактал.
Рассмотрим этот процесс на примере кривой Коха (см. врезку на предыдущей странице). За основу кривой Коха можно взять любую кривую (для «снежинки Коха» это треугольник). Но мы ограничимся простейшим случаем — отрезком. Фрагмент — ломаная, изображенная сверху на рисунке. После первой итерации алгоритма в данном случае исходный отрезок совпадет с фрагментом, затем каждый из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, подобную фрагменту, и т. д. На рисунке показаны первые четыре шага этого процесса.
Языком математики: динамические (алгебраические) фракталы
Фракталы этого типа возникают при исследовании нелинейных динамических систем (отсюда и название). Поведение такой системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f (z). Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости (см. врезку). Теперь рассмотрим такую бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по‑разному: стремиться к бесконечности при n -> ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты.
Комплексные числа
Комплексное число — это число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой, то есть формальная сумма x + iy (x и y здесь — вещественные числа). i — это т.н. мнимая единица, то есть то есть число, удовлетворяющее уравнению i^ 2 = -1. Над комплексными числами определены основные математические операции — сложение, умножение, деление, вычитание (не определена только операция сравнения). Для отображения комплексных чисел часто используется геометрическое представление — на плоскости (ее называют комплексной) по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат — мнимую, при этом комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y.
Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f (z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жулиа для функции f (z).
Семейство драконов
Варьируя основу и фрагмент, можно получить потрясающее разнообразие конструктивных фракталов.
Более того, подобные операции можно производить и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить «губка Менгера», «пирамида Серпинского» и другие.
К конструктивным фракталам относят и семейство драконов. Иногда их называют по имени первооткрывателей «драконами Хейвея-Хартера» (своей формой они напоминают китайских драконов). Существует несколько способов построения этой кривой. Самый простой и наглядный из них такой: нужно взять достаточно длинную полоску бумаги (чем тоньше бумага, тем лучше), и согнуть ее пополам. Затем снова согнуть ее вдвое в том же направлении, что и в первый раз. После нескольких повторений (обычно через пять-шесть складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно гнуть дальше) нужно разогнуть полоску обратно, причем стараться, чтобы в местах сгибов образовались углы в 90˚. Тогда в профиль получится кривая дракона. Разумеется, это будет лишь приближение, как и все наши попытки изобразить фрактальные объекты. Компьютер позволяет изобразить гораздо больше шагов этого процесса, и в результате получается очень красивая фигура.
Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc (z) = z 2 +с, где c — комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0=0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества.
Видно, что определения множеств Жулиа и Мандельброта похожи друг на друга. На самом деле эти два множества тесно связаны. А именно, множество Мандельброта — это все значения комплексного параметра c, при которых множество Жулиа fc (z) связно (множество называется связным, если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).
Фракталы и жизнь
В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо чисто научного объекта для исследований и уже упоминавшейся фрактальной живописи, фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. Экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад). На этом мы завершим эту небольшую экскурсию в удивительный по красоте и разнообразию мир фракталов.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Сиверская средняя общеобразовательная школа №3»
Исследовательская работа
по математике.
Выполнил работу
ученик 8-1 класса
Емелин Павел
Научный руководитель
учитель математики
Тупицына Наталья Алексеевна
п. Сиверский
2014 год
Математика вся пронизана красотой и гармонией,
Только эту красоту надо увидеть.
Б. Мандельброт
Введение____________________________________3-4стр.
Глава 1.история возникновения фракталов._______5-6стр.
Глава 2. Классификация фракталов._____________6-10стр.
Геометрические фракталы
Алгебраические фракталы
Стохастические фракталы
Глава 3."Фрактальная геометрия природы"______11-13стр.
Глава 4. Применение фракталов_______________13-15стр.
Глава 5 Практические работы__________________16-24стр.
Заключение_________________________________25.стр
Список литературы и интернет ресурсов________26стр.
Введение
Математика,
если на нее правильно посмотреть,
отражает не только истину,
но и несравненную красоту.
Бертранд Рассел
Слово “фрактал” - это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные изображения фракталов сегодня можно найти везде: от открыток, футболок до картинок на рабочем столе персонального компьютера. Итак, что это за цветные формы, которые мы видим вокруг?
Математика – древнейшая наука. Большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, многоугольник, сфера и т.д. Как оказалось многие природные системы настолько сложны, что использование только знакомых объектов обычной геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических разнообразий, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела? Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной?
Фракталы - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Нередко то, что мы видим в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько-то раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды --- вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.
Изучение фракталов открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области математики. Применение фракталов очень обширно! Ведь эти объекты настолько красивы, что их используют дизайнеры, художники, с помощью них в графике рисуются многие элементы деревья, облака, горы и т.д. А ведь фракталы используются даже как антенны во многих сотовых телефонах.
Для многих хаологов (ученых изучающих фракталы и хаос) – это не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии - это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной .
В своей работе я тоже решил «прикоснуться» к миру прекрасного и определил для себя…
Цель работы : создание объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Методы исследования : сравнительный анализ, синтез, моделирование.
Задачи :
знакомство с понятием, историей возникновения и исследованиями Б.Мандельброта,
Г. Коха, В. Серпинского и др.;
знакомство с различными видами фрактальных множеств;
изучение научно-популярной литературы по данному вопросу, знакомство с
научными гипотезами;
нахождение подтверждения теории фрактальности окружающего мира;
изучение применения фракталов в других науках и на практике;
проведение эксперимента по созданию собственных фрактальных изображений.
Основополагающий вопрос работы:
Показать, что математика не сухой, бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом.
Предмет исследования : Фрактальная геометрия.
Объект исследования : фракталы в математике и в реальном мире.
Гипотеза : Все, что существует в реальном мире, является фракталом.
Методы исследования : аналитический, поисковый.
Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия.
Ожидаемые результаты: В ходе работы, я смогу расширить свои знания в области математики, увидеть красоту фрактальной геометрии, начать работу по созданию своих фракталов.
Итогом работы будет создание компьютерной презентации, бюллетеня и буклета.
Глава 1.История возникновения
Б
енуа Мандельброт
Понятие «фрактал» придумал Бенуа Мандельброт. Слово происходит от латинского «fractus», означающего «сломанный, разбитый».
Фрактал (лат. fractus - дробленый, сломанный, разбитый) - термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Для математических объектов, к которым оно относится, характерны чрезвычайно интересные свойства. В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность - два измерения, а пространственная фигура трехмерна. Фракталы же - это не линии и не поверхности, а, если можно это себе представить, нечто среднее. С ростом размеров возрастает и объем фрактала, но его размерность (показатель степени) - величина не целая, а дробная, а потому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или самоподобием. Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур.
До появления фрактальной геометрии наука имела дело с системами, заключенными в трех пространственных измерениях. Благодаря Эйнштейну стало понятно, что трехмерное пространство - только модель действительности, а не сама действительность. Фактически наш мир расположен в четырехмерном пространственно-временном континууме.
Благодаря Мандельброту стало понятно, как выглядит четырехмерное пространство, образно выражаясь, фрактальное лицо Хаоса. Бенуа Мандельброт обнаружил, что четвертое измерение включает в себя не только первые три измерения, но и (это очень важно!) интервалы между ними.
Рекурсивная (или фрактальная) геометрия идет на смену Евклидовой. Новая наука способна описать истинную природу тел и явлений. Евклидова геометрия имела дело только с искусственными, воображаемыми объектами, принадлежащими трем измерениям. В реальность их способно превратить только четвертое измерение.
Жидкость, газ, твердое тело - три привычных физических состояния вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность клуба дыма, облака, точнее, их границ, непрерывно размываемых турбулентным движением воздуха?
В основном фракталы классифицируют по трём группам:
Алгебраические фракталы
Стохастические фракталы
Геометрические фракталы
Рассмотрим подробнее каждую из них.
Глава 2. Классификация фракталов
Геометрические фракталы
Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность при любых масштабах наблюдения. В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (Рис.7), кривая Пeано (Рис.8), кривая Минковского.
В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом показывала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую.
К
ривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д…
Предельная кривая и есть кривая Коха.
Снежинка Коха. Выполнив аналогичные преобразование на сторонах равностороннего треугольника можно получить фрактальное изображение снежинки Коха.
Т
акже ещё одним несложным представителем геометрического фрактала является квадрат Серпинского.
Строится он довольно таки просто: Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множесто, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность или квадрат Серпинского. 
Алгебраические фракталы
Это самая крупная группа фракталов. Алгебраические фракталы получили свое название за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы.
Получают их с помощью нелинейных процессов в n -мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные структуры.
В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта. Строят его с помощью комплексных чисел.
Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 раз.
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки, имеющие черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки, лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).
П
ример другого алгебраического фрактала – множество Жюлиа. Существует 2 разновидности этого фрактала.
Удивительно, но множества Жюлиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жюлиа, по имени которого и было названо множество.
И
нтересный факт
, некоторые алгебраические фракталы поразительным образом напоминают изображения животных, растений и других биологических объектов, вследствие чего получили название биоморфов.
Стохастические фракталы
Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.
Типичным представителем этой группы фракталов является «плазма».
Д
ля ее построения берется прямоугольник и для каждого его угла определяется цвет. Далее находится центральная точка прямоугольника и раскрашивается в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если же предположить, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и фотореалистичные горы готовы
Е
сли посмотреть на этот фрактал в разрезе то мы увидим этот фрактал объемный, и имеет «шероховатость», как раз из-за этой «шероховатости» есть очень важное применение этого фрактала.
Допустим нужно описать форму горы. Обычные фигуры из Евклидовой геометрии тут не помогут, ведь они не учитывают рельеф поверхности. Но при совмещении обычной геометрии с фрактальной можно получить ту самую «шероховатость» горы. На обычный конус нужно наложить плазму и мы получим рельеф горы. Такие операции можно выполнять со многими другими объектами в природе, благодаря стохастическим фракталам можно описать саму природу.
Теперь поговорим о геометрических фракталах.
.
Глава 3 "Фрактальная геометрия природы"
" Почему геометрию часто называют "холодной" и "сухой"? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярные и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом - термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно".
(Бенуа Мандельброт "Фрактальная геометрия природы").
К
расота фракталов двояка: она услаждает глаз, о чем свидетельствует хотя бы обошедшая весь мир выставка фрактальных изображений, организованная группой бременских математиков под руководством Пайтгена и Рихтера. Позднее экспонаты этой грандиозной выставки были запечатлены в иллюстрациях к книге тех же авторов "Красота фракталов". Но существует и другой, более абстрактный или возвышенный, аспект красоты фракталов, открытый, по словам Р. Фейнмана, только умственному взору теоретика, в этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи. Бенуа Мандельброт указал современникам (и, надо полагать, потомкам) на досадный пробел в "Началах" Евклида, по которому, не замечая упущения, почти два тысячелетия человечества постигало геометрию окружающего мира и училось математической строгости изложения. Разумеется, оба аспекта красоты фракталов тесно взаимосвязаны и не исключают, а взаимно дополняют друг друга, хотя каждый из них самодостаточен.
Фрактальная геометрия природы по Мандельброту - самая настоящая геометрия, удовлетворяющая определению геометрии, предложенному в "Эрлангенскрй программе" Ф. Клейна. Дело в том, что до появления неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского - Л. Больяи, существовала только одна геометрия - та, которая была изложена в "Началах", и вопрос о том, что такое геометрия и какая из геометрий является геометрией реального мира, не возникал, да и не мог возникнуть. Но с появлением еще одной геометрии возник вопрос, что такое геометрия вообще, и какая из множества геометрий отвечает реальному миру. По Ф.Клейну, геометрия занимается изучением таких свойств объектов, которые инвариантны относительно преобразований: евклидова - инвариантов группы движений (преобразований, не изменяющих расстояния между любыми двумя точками, т.е. представляющих суперпозицию параллельных переносов и вращений с изменением или без изменения ориентации), геометрия Лобачевского-Больяи - инвариантов группы Лоренца. Фрактальная геометрия занимается изучением инвариантов группы самоаффинных преобразований, т.е. свойств, выражаемых степенными законами.
Что же касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому мы можем вслед за Б.Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы. Новые - фрактальные объекты обладают необычными свойствами. Длины, площади и объемы одних фракталов равны нулю, других - обращаются в бесконечность.
Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. И вот их примеры:
Морские раковины
Молнии восхищают своей красотой. Фракталы, созданные молнией не произвольны и не регулярны
Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora). Это особый вид является особенно симметричным фракталом.
П
апоротник
так же является хорошим примером фрактала среди флоры.
Павлины всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы.
Лёд, морозные узоры на окнах это тоже фракталы
О
т увеличенного изображения листочка
, до ветвей дерева
- во всём можно обнаружить фракталы
Фракталы есть везде и всюду в окружающей нас природе. Вся Вселенная построена по удивительно гармоничным законам с математической точностью. Разве можно после этого думать, что наша планета это случайное сцепление частиц? Едва ли.
Глава 4. Применение фракталов
Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:
О
дни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике
. Это фрактальное сжатие изображений. Современная физика и механика только начинают изучать поведение фрактальных объектов.
Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации (плохого качества изображения – большими квадратами). Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.
В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.
Т
акже фрактальную геометрию используют для проектировании антенных устройств
. Впервые это было применено американским инженером Натаном Коэном, который жил тогда в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Коэн вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и затем наклеил ее на лист бумаги, а затем присоединил к приемнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну обосновать собственную компанию и наладить их серийный выпуск. В данный момент американская фирма “Fractal Antenna System”разработала антенну нового типа. Теперь можно отказаться от использования в мобильных телефонах торчащих наружных антенн. Так называемая фрактальная антенна располагается прямо на основной плате внутри аппарата.
Также существуют множество гипотез по поводу применения фракталов – например, лимфатическая и кровеносная системы, лёгкие и многое другое тоже имеют фрактальные свойства.
Глава 5. Практические работы.
Сначала остановимся на фракталах «Ожерелье», «Победа» и «Квадрат».
Первое – «Ожерелье» (рис. 7). Инициатором данного фрактала является окружность. Эта окружность состоит из определенного числа таких же окружностей, но меньших размеров, а сама же она является одной из нескольких окружностей, представляющих собой такую же, но больших размеров. Так процесс образования бесконечен и его можно вести как в ту, так и в обратную сторону. Т.е. фигуру можно увеличивать, взяв всего одну маленькую дугу, а можно уменьшать, рассматривая построение ее из более мелких.
рис. 7.
Фрактал «Ожерелье»
Второй фрактал – это «Победа» (рис.8). Такое название он получил потому, что внешне напоминает латинскую букву “V ”, то есть “victory ”-победа. Этот фрактал состоит из определенного числа маленьких “v ”, составляющих одну большую “V ”, причем в левой половине, которой маленькие ставятся так, чтобы их левые половины составляли одну прямую, правая часть строится так же. Каждая из этих “v ” строится таким же образом и продолжается это до бесконечности.
Рис.8. Фрактал «Победа»
Третий фрактал – это «Квадрат» (рис. 9) . Каждая из его сторон состоит из одного ряда ячеек, по форме представляющих квадраты, стороны которых также представляют ряды ячеек и т.д.
Рис.9.Фрактал «Квадрат»
Фрактал был назван «Роза» (рис. 10), в силу внешнего сходства с данным цветком. Построение фрактала связано с построением ряда концентрических окружностей, радиус которых изменяется пропорционально заданному отношению (в данном случае R м / R б = ¾ = 0,75.). После чего в каждую окружность вписываются правильные шестиугольник, сторона которого равна радиусу описанной около него окружности.
Рис. 11. Фрактал «Роза * »
Далее обратимся к правильному пятиугольнику, в котором проведём его диагонали. Затем в получившемся в при пересечении соответствующих отрезков пятиугольнике снова проведём диагонали. Продолжим данный процесс до бесконечности и получим фрактал «Пентаграмма» (рис. 12).
Введём элемент творчества и наш фрактал примет вид более наглядного объекта (рис. 13).
Р
ис. 12. Фрактал «Пентаграмма».
Рис. 13. Фрактал «Пентаграмма * »
Рис. 14 фрактал «Черная дыра»
Эксперимент № 1 «Дерево»
Теперь, когда я понял что такое фрактал и как его строить, я попробовал создать свои собственные фрактальные изображения. В программе Adobe Photoshop я создал небольшую подпрограмму или action , особенность этого экшена заключается в том, что он повторяет действия, которые я проделываю, и так у меня получается фрактал.
Для начала я создал фон для нашего будущего фрактала с разрешением 600 на 600. Дальше я нарисовал на этом фоне 3 линии - основу нашего будущего фрактала.
С ледующим шагом будет запись скрипта.
продублируем слой (layer > duplicate ) и изменим тип смешивания на "Screen " .
Назовём его "fr1 ". Скопируем этот слой ("fr1 ") еще 2 раза.
Теперь надо переключиться на последний слой (fr3 ) и дважды слить его с предыдущим (Ctrl+E ). Уменьшить яркость слоя (Image > Ajustments > Brightness/Contrast , яркость установить 50% ). Опять слить с предыдущим слоем и обрезать края всего рисунка, чтобы убрать невидимые части.
Последним шагом я копировал это изображение и вставлял его с уменьшением и поворотом. Вот что получилось в конечном результате.
Заключение
Данная работа является введением в мир фракталов. Мы рассмотрели только самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они строятся.
Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Вся окружающая нас природа состоит из них. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств. Фракталы очень сильно облегчают рисование компьютерной графики, с помощью фракталов создаются множество спецэффектов, различных сказочных и невероятных картинок и т.д. Также с помощью фрактальной геометрии рисуются деревья, облака, берега и вся другая природа. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.
В будущем я планирую научиться строить алгебраические фракталы, когда более подробно изучу комплексные числа. Также хочу попробовать построить свои фрактальные изображение в языке программирования Паскаль с помощью циклов.
Следует отметить применение фракталов в компьютерных технологиях, помимо просто построения красивых изображений на экране компьютера. Фракталы в компьютерных технологиях применяются в следующих областях:
1. Сжатие изображений и информации
2. Сокрытие информации на изображении, в звуке,…
3. Шифрование данных с помощью фрактальных алгоритмов
4. Создание фрактальной музыки
5. Моделирование систем
В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хотим только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование, и мы сожалеем, что в последнее время она как-то забылась и осталась уделом избранных. При подготовке данной работы нам было очень интересно находить применения ТЕОРИИ на ПРАКТИКЕ. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности.
Таким образом, концепция фракталов становится не только частью “чистой” науки, но и элементом общечеловеческой культуры. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.
10. Список литературы
Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2001 г.
Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-1995
Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, «Фракталы в физике». М.: Мир 1988 г.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г.
Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: «Мир», 1993.
Интернет ресурсы
http://www.ghcube.com/fractals/determin.html
http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/
http://fractals.nsu.ru/animations.htm
http://www.cootey.com/fractals/index.html
http://fraktals.ucoz.ru/publ
http://sakva .narod .ru
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/
http://www.cnam.fr/fractals/
http://www.softlab.ntua.gr/mandel/
http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html
Фрактал
Фракта́л (лат. fractus -дроблёный,сломанный,разбитый) - геометрическая фигура,обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Фрактазм - самостоятельная точная наука изучения и составления фракталов.
Другими словами фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это фракталы. Говоря простым языком, фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах - это и есть принцип самоподобия. Фракталы подобны самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе). Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или молекула кислорода.
Слово «хаос» наводит на мысли о чем-то непредсказуемом, но на самом деле хаос достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Цель изучения хаоса и фракталов - предсказать закономерности, которые, на первый взгляд, могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.
Пионером в этой области познания был франко-американский математик, профессор Бенуа Б. Мандельброт. В середине 1960-х им разработана фрактальная геометрия, целью которой был анализ ломаных, морщинистых и нечетких форм. Множество Мандельброта (показано на рисунке) - первая ассоциация, возникающая у человека, когда он слышит слово «фрактал». К слову, Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Англии составляет 1,25.
Фракталы находят всё большее применение в науке. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная физика или математика. Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики. К примеру, Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения изменение цен на шерсть.
Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной технике является фрактальное сжатие данных. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами - до 600:1. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении не наблюдается эффекта пикселизации, резко ухудшающего картинку. Мало того, фрактально сжатая картинка после увеличения часто выглядит даже лучше, чем до него. Cпециалистам в области компьютерной техники известно также, что фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами. Индустрия кино для создания реалистичных элементов ландшафта (облака, скалы и тени) широко использует технологию фрактальной графики.
Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Это позволяет лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
На
рисунке слева в качестве простого
примера приведен фрактал «пятиугольник
Дарера», который выглядит, как связка
пятиугольников, сжатых вместе.
Фактически
он образован при использовании
пятиугольника в качестве инициатора и
равнобедренных треугольников, отношение
большей стороны к меньшей в которых в
точности равно так называемой золотой
пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72°)) в качестве
генератора. Эти треугольники вырезаются
из середины каждого пятиугольника, в
результате чего получается фигура,
похожая на 5 маленьких пятиугольников,
приклеенных к одному большому. 
Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов, имеющих вид фракталов. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах. Учение о динамических системах показывает: простые уравнения могут порождать такое хаотическое поведение, при котором система никогда не возвращается в стабильное состояние и при этом не проявляется никакой закономерности. Часто такие системы ведут себя вполне нормально до некоторого определенного значения ключевого параметра, потом испытывают переход, в котором существует две возможности дальнейшего развития, потом четыре, и, наконец, хаотический набор возможностей.
Схемы
процессов, протекающих в технических
объектах, имеют четко выраженное
фрактальное строение. Структура
минимальной технической системы (ТС)
подразумевает протекание в пределах
ТС двух типов процессов – главного и
обеспечивающих, причем это деление
условно и относительно. Любой процесс
может быть главным по отношению к
обеспечивающим, а любой из обеспечивающих
процессов может считаться главным по
отношению к «своим» обеспечивающим
процессам. Кружками на схеме обозначены
физэффекты, обеспечивающие протекание
тех процессов, для обеспечения которых
не требуется специально создавать
«свои» ТС. Эти процессы являются
результатом взаимодействия между
веществами, полями, веществами и полями.
Если быть точным, то физэффект – это
ТС, на принцип работы которой мы не можем
повлиять, а в ее устройство не желаем
или не имеем возможности вмешиваться.
Протекание главного процесса, изображенного на схеме, обеспечивается существованием трех обеспечивающих процессов, являющихся главными для порождающих их ТС. Справедливости ради отметим, что для функционирования даже минимальной ТС трех процессов явно недостаточно, т.е. схема очень и очень утрирована.
Всё далеко не так просто, как показано на схеме. Полезный (нужный человеку) процесс не может выполняться со стопроцентной эффективностью. Рассеиваемая энергия затрачивается на создание вредных процессов – нагрев, вибрации и т.п. В результате параллельно полезному процессу возникают вредные. Не всегда есть возможность заменить «плохой» процесс «хорошим», поэтому приходится организовывать новые процессы, направленные на компенсацию вредных для системы последствий. Характерный пример – необходимость борьбы с трением, вынуждающая организовывать хитроумные схемы смазки, применять дорогостоящие антифрикционные материалы или затрачивать время на смазку узлов и деталей или ее периодическую замену.
В связи с существованием неизбежного влияния переменчивой Среды полезный процесс может нуждаться в управлении. Управление может осуществляться как при помощи автоматических устройств, так и непосредственно человеком. Схема процессов фактически является набором специальных команд, т.е. алгоритмом. Сущность (описание) каждой команды составляет совокупность отдельно взятого полезного процесса, сопутствующих ему вредных процессов и набора необходимых управляющих процессов. В таком алгоритме набор обеспечивающих процессов является обычной подпрограммой – и здесь мы тоже обнаруживаем фрактал. Созданный четверть века назад метод Р.Коллера позволяет при создании систем обойтись достаточно ограниченным набором всего из 12 пар функций (процессов).
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости.
губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Построение кривой Коха
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
кривая дракона,
кривая Коха (снежинка Коха),
кривая Леви,
кривая Минковского,
Кривая Гильберта,
Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),
кривая Пеано.
С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.
Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть - сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:
Можно показать, что отображение является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения - отображения подобия, а - число звеньев генератора.
Для треугольника Серпинского и отображения , , - гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .
В
случае, когда отображения -
преобразования подобия с
коэффициентами , размерность фрактала
(при некоторых дополнительных технических
условиях) может быть вычислена как
решение уравнения .
Так, для треугольника
Серпинского получаем 
.
По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.
Фракталы в комплексной динамике
Множество Жюлиа́
Ещё одно множество Жюлиа
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.
Пусть F (z ) - многочлен, z 0 - комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z 0 , z 1 =F (z 0), z 2 =F (F (z 0)) = F (z 1),z 3 =F (F (F (z 0)))=F (z 2), …
Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:
стремиться к бесконечности,
стремиться к конечному пределу,
демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.
Множества значений z 0 , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.
Так, множество Жюлиа - множество точек бифуркации для многочлена F (z )=z 2 +c (или другой похожей функции), то есть тех значений z 0 , для которых поведение последовательности {z n } может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z 0 .
Другой вариант получения фрактальных множеств - введение параметра в многочлен F (z ) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность {z n } демонстрирует определённое поведение при фиксированном z 0 . Так, множество Мандельброта - это множество всех , при которых {z n } для F (z )=z 2 +c и z 0 не стремится к бесконечности.
Ещё один известный пример такого рода - бассейны Ньютона.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления {z n } к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n , при котором |z n | превысит фиксированную большую величину A .
Биоморфы - фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы
Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделяхстатистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма - пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
В природе
Вид спереди на трахею и бронхи
Бронхиальное дерево
Сеть кровеносных сосудов
Применение
Естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
Радиотехника
Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центреБостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.
Информатика
Сжатие изображений
Основная статья: Алгоритм фрактального сжатия
Фрактальное дерево
Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [ источник не указан 895 дней ] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
Компьютерная графика
Ещё одно фрактальное дерево
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
Децентрализованные сети
Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования
У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:
- обладает сложной структурой при любом увеличении;
- является (приближенно) самоподобной;
- обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью , которая больше топологической;
- может быть построена рекурсивными процедурами.
На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха» .
Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал - С-кривая Леви . Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов .
Другой класс - динамические (алгебраические) фракталы , к которым относится и множество Мандельброта . Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.
Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт.
В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве - фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.
