Является деление. В этой статье мы поговорим про деление обыкновенных дробей . Сначала мы дадим правило деления обыкновенных дробей и рассмотрим примеры деления дробей. Дальше остановимся на делении обыкновенной дроби на натуральное число и числа на дробь. Наконец, рассмотрим, как проводится деление обыкновенной дроби на смешанное число.
Навигация по странице.
Деление обыкновенной дроби на обыкновенную дробь
Известно, что деление является действием, обратным умножению (смотрите связь деления с умножением). То есть, деление предполагает нахождение неизвестного множителя, когда известно произведение и другой множитель. Этот же смысл деления сохраняется и при делении обыкновенных дробей.
Рассмотрим примеры деления обыкновенных дробей.
Отметим, что не следует забывать про сокращение дробей и про выделение целой части из неправильной дроби.
Деление обыкновенной дроби на натуральное число
Сразу дадим правило деления обыкновенной дроби на натуральное число : чтобы разделить дробь a/b на натуральное число n нужно числитель оставить прежним, а знаменатель умножить на n , то есть, .
Это правило деления напрямую следует из правила деления обыкновенных дробей. Действительно, представление натурального числа в виде дроби приводит к следующим равенствам 
.
Рассмотрим пример деления дроби на число.
Пример.
Разделите дробь 16/45 на натуральное число 12 .
Решение.
По правилу деления дроби на число имеем 
. Выполним сокращение: . На этом деление завершено.
Ответ:
.
Деление натурального числа на обыкновенную дробь
Правилу деления дробей аналогично правило деления натурального числа на обыкновенную дробь : чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную дробь a/b , надо число n умножить на число, обратное дроби a/b .
Согласно озвученному правилу, , а правило умножения натурального числа на обыкновенную дробь позволяет его переписать в виде .
Рассмотрим пример.
Пример.
Выполните деление натурального числа 25 на дробь 15/28 .
Решение.
Перейдем от деления к умножению, имеем 
. После сокращения и выделения целой части получаем .
Ответ:
.
Деление обыкновенной дроби на смешанное число
Деление обыкновенной дроби на смешанное число легко сводится к делению обыкновенных дробей. Для этого достаточно осуществить
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
По определению имеем:
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача. Найдите значение выражения:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).
Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
По определению имеем:
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Правильное решение:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.
Тип урока: урок открытия нового знания
Цели деятельности педагога : познакомить с делением дроби на дробь; создать условия для развития умений использовать правило умножения дроби на дробь и сокращения дробей в практической деятельности.
Предметные: выводят правило деления дроби на дробь; выполняют деление обыкновенных дробей; решают задачи на нахождение S и a по формуле площади прямоугольника, объема.
Личностные: проявляют положительное отношение к урокам математики, широкий интерес к новому учебному материалу, способам решения новых учебных задач, доброжелательное отношение к сверстникам; адекватно воспринимают оценку учителя; понимают причины успеха в учебной деятельности.
Метапредметные:
- регулятивные: определяют цель учебной деятельности с помощью учителя и самостоятельно, осуществляют поиск средства ее достижения;
- познавательные: умеют передавать содержание в сжатом или развернутом виде;
- коммуникативные: высказывают свою точку зрения и пытаются ее обосновать, приводя аргументы.
Оборудование: мультимедийныйпроектор,презентация.
Ход урока
I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности - 1мин
Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (выслушиваются варианты ответов учеников). Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дализвестный учёный Аль - Бируни: “Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит”. Пусть эти слова станут девизом нашего урока.
2. Проверка готовности учащихся к уроку
3. Показатель выполнения психологической задачи учащихся: доброжелательный настрой, быстрое включение класса в деловой ритм.
II. Практическая деятельность учащихся - 5 мин
Быстрый счет – 1 мин(обязательная часть)
Устный счет – 4 мин
1. Сократитедроби: ,, , ,
2. Выполните действие:
III. Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний-7мин
Фронтальный опрос учащихся по пройденному материалу взаимно обратные числа
Какие числа называются взаимно обратными?
Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными числами.
Какое число будет обратно натуральному числу?
Дробь числитель, которой =1, а знаменатель само натуральное число (П=1/п)
Какое число будет обратное обыкновенной дроби?
Числитель и знаменатель поменять местами а/в и в/а
У всякого числа имеется обратное?
Нет? Нуль не имеет обратного, потому что на нуль делить нельзя!
- Произведение двух взаимно обратных дробей может быть больше единицы?
Почему? Можете ли вы мне ответить на этот вопрос дружно?
Да! Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными числами.
Назовите обратные следующим числам:
Ответ: ;;; 1;
2) Откройте тетради. Запишите дату и оставьте место для темы. А теперь я предлагаю вам решить следующие уравнения. Переходят к работе в парах . Работа в парах принимается ответ, только после согласования пары и пара приходит к единому мнению.Только когда пара будет готова отвечать я приму ваш ответ: (Знак готовности пары - поднятые руки сжатые вместе)
1) 3*х=12,6 Ответ: х=4,2
2) Х*0,5=2 Ответ: х=4
3)*х=2 ответ: х=4
Трудности возникли при решении третьего уравнения? Как вы с ними справились?
Перевели обыкновенную дробь в десятичную и получили уравнение под №2
Осталось решить уравнение под №4.Найдите корень данного уравнения.
Ответ корня уравнения х=5
Какие знания вам помогли решить?
Произведение взаимно обратных чисел=1. Мы вспомнили, что это правило взаимно обратных чисел.
Рассмотрите следующие уравнение и решите его: *х=
а) Новое знание (понятие) (применяют известный способ нахождения неизвестного множителя, но для действия с обыкновенными дробями)
б) пробное действие (пытаются решать)
Что является неизвестным в данном уравнении?
Неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение поделить на известный множитель
Проделывают работу по известному правилу Х=2/7:1/3
в) фиксация затруднения
Вы можете решить данное уравнение?
Я не могу выполнить это задание, потому что у нас нет правила по которому могли решить это уравнение.
В чем ваше затруднение? Вы же решили все предыдущие уравнения успешно! А это....
Мы не можем найти корень уравнения?
г) причина затруднения
Что остановило нашу работу?
Мы не умеем делить обыкновенные дроби
д) формулировка цели деятельности
Возникла проблема: мы не знаем правило деления обыкновенных дробей
Проблемная ситуация, которая подводит нас к цели нашего урока
Цель урока: Правило деления обыкновенных дробей
IV. Этап усвоения новых знаний - 10 минут (фиксация нового знания)
Запишите тему урока: Деление обыкновенных дробей
Можете ли вы предложить способ решения нашей возникшей проблемы? (целепологание)
Ученики предлагают различные варианты ответов.
Откройте учебник на странице 97, прочитайте правило деления дробей по учебнику. Также прочитайте текст на стр.98 в рубрике “Говори правильно”.
Учащиеся первого варианта рассказывают это правило учащимся второго варианта.
А теперь решаем последнее уравнение. Кто его решил?
1) Как решили уравнение? Применили правило деления дробей.
2) На какое действие заменили деление?
3) Что изменилось? Что не изменилось?
4) 1/3 и 3. Как называются эти числа?
Сформулируйте правило деления обыкновенных дробей.
Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную нужно, делимое умножить на дробь обратную делителю
Физминутка
V. Этап закрепления новых знаний - 9 минут
С.98 Решить № 596(а-д)
в) 7/5=1 2 / 5 ,
д) 15/9=1 2 / 3
Решение представляют у доски проговаривая правило с полными комментариями в решении.После проделанной работы учитель останавливает их от решения и предлагает ответить на вопрос.
А в делении могут быть опасности? или ловушки?
На нуль делить нельзя!
Работа над задачей. С.98 № 600
Ответ:кг- масса 1 дм 3 ; 2 дм 3 - объем 1 кг соснового бруска
Вы работали по нашему открытию "Правило деления обыкновенных дробей". В работе вы встречались не только с обыкновенными дробями, но и с натуральными числами, смешанными дробями. И вы справились. В чем ваш успех?
Потому что обратные числа есть у всех чисел, кроме нуля.Это правило подходит и для решения натуральных и смешанных дробей.
VI. Этап проверки новых знаний - 6 минут
Предлагаю вам решить самостоятельную работу, по найденному нами способу деления обыкновенных дробей:
Откройте дневники и запишите домашнюю работу: п. 17(стр. 99-100) учить правило. №633(а-е), №637(стр.105). Откройте книги на этой странице и посмотрите задание. Кому, что не понятно? Если есть вопросы, задавайте или можно подойти к учителю на перемене.
VIII.Этап рефлексии и итога урока - 1 минута
Что нового мы узнали на уроке?
Мы нашли способ деления обыкновенных дробей.
Цель нашего урока достигнута?
Да. Мы нашли способ решения нашей проблемы сами и наше открытие подтвердилось.
Сформулируйте открытие вместе (проговаривают хором правило)
Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную, нужно делимое умножить на дробь обратную делителю.
В древности на Руси говорили: “Умножение - мучение, а деление – беда” А мы сегодня весь урок доказывали обратное. Поднимите руку, кто согласен со мною. Спасибо за урок!
Использованная учебно-методическая литература.
- Математика.6 класс:учебник для общеобр. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. М.: Мнемозина, 2012.
- Поурочные разработки по математике. 6 класс-Выговская В.В.-М:ВАКО, 2014
- Сайт ИД “Первое сентября”
