Проблемы гильберта. Проблемы Гильберта и советская математика

(стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).

В 1900 году в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. На нем выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Полный список проблем Гильберта и их статус:

1. Континуум–гипотеза. Существует ли бесконечное кардинальное число строго между кардиналами множеств целых и действительных чисел? Решена Полом Коэном в 1963 г. - ответ на вопрос зависит от того, какие аксиомы используются в теории множеств.

2. Логическая непротиворечивость арифметики. Доказать, что стандартные аксиомы арифметики не могут привести к противоречию. Решена Куртом Геделем в 1931 г.: с обычными аксиомами теории множеств такое доказательство невозможно.

3. Равносоставленность равновеликих тетраэдров. Если два тетраэдра имеют одинаковый объем, то всегда ли можно разрезать один из них на конечное число многоугольников и собрать из них второй? Решена в 1901 г. Максом Деном, ответ отрицательный.

4. Прямая как кратчайшее расстояние между двумя точками. Сформулировать аксиомы геометрии на основе данного определения прямой и посмотреть, что из этого следует. Слишком расплывчатая задача, чтобы можно было рассчитывать на определенное решение, но сделано немало.

5. Группы Ли без опоры на дифференцируемость. Технический вопрос теории групп преобразований. В одной из интерпретаций ее решил Эндрю Глисон в 1950–е гг., в другой - Хидехико Ямабе.

6. Аксиомы физики. Разработать строгую систему аксиом для математических областей физики, таких как теория вероятностей или механика. Систему аксиом для вероятностей построил Андрей Колмогоров в 1933 г.

7. Иррациональные и трансцендентные числа. Доказать, что определенные числа являются иррациональными или трансцендентными. Решена в 1934 г. Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.

8. Гипотеза Римана. Доказать, что все нетривиальные нули римановой дзета–функции лежат на критической линии. См. главу 9.

9. Законы взаимности в числовых полях. Обобщить классический закон квадратичной взаимности (о квадратах по определенному модулю) на более высокие степени. Частично решена.

10. Условия существования решений диофантовых уравнений. Найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное уравнение со многими переменными решения в целых числах. Невозможность доказал Юрий Матиясевич в 1970 г.

11. Квадратичные формы с алгебраическими числами в качестве коэффициентов. Технические вопросы решения диофантовых уравнений со многими переменными. Решена частично.

12. Теорема Кронекера об абелевых полях. Технические вопросы обобщения теоремы Кронекера. Не доказана до сих пор.

13. Решение уравнений седьмой степени при помощи функций специального вида. Доказать, что общее уравнение седьмой степени не может быть решено с использованием функций двух переменных. В одной из интерпретаций возможность такого решения доказали Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд.

14. Конечность полной системы функций. Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.

15. Исчислительная геометрия Шуберта. Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.

16. Топология кривых и поверхностей. Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов. Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.

18. Заполнение пространства многогранниками. Общие вопросы о заполнении пространства конгруэнтными многогранниками. Имеет отношение к гипотезе Кеплера, ныне доказанной (см. главу 5).

19. Аналитичность решений в вариационном исчислении. Вариационное исчисление отвечает на такие вопросы, как «найти кратчайшую кривую с заданными свойствами». Если подобная задача формулируется при помощи красивых функций, то должно ли решение тоже быть красивым? Доказали Эннио де Джорджи в 1957 г. и Джон Нэш.

20. Граничные задачи. Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).

21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией. Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.

22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.

23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.

ГОУ Гимназия № 000

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»

Реферат

Проблемы Гильберта и советская математика

Ефремова Екатерина

Руководитель:

Введение.............................................................................................................................................2

§1. Краткая биография Давида Гильберта.................................................................................4

§2. Прблемы Гильберта..................................................................................................................5

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта........................................ 7

§4. Проблемы, решенные советскими математиками.............................................................9

Заключение......................................................................................................................................10

Список литературы.......................................................................................................................11

Введение

Мой реферат посвящён статье о проблемах Гильберта и советской математике. Статью написал Демидов, а опубликована была в ноябрьском номере физико-математического научно-популярного журнала "Квант" в 1977 году.

Этот журнал для школьников и студентов рассчитывался на массового читателя. Во время выпуска статьи журнал выпускался изданием "Наука". Идею создания "Кванта" первым высказал академик Пётр Леонидович Капица в 1964 году, и только в январе 1970 года вышел в свет первый номер журнала, в котором главным редактором стал академик Исаак Константинович Кикоин. По оценкам экспертов ЮНЕСКО в 1985 году "Квант" являлся уникальным в своём жанре журналом.

Проблемы Гильберта - это список двадцати трёх кардинальных проблем математики, представленные Давидом Гильбертом на втором Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эти проблемы охватывали основания математики (1, 2 проблемы), алгебру (13, 14, 17 проблемы), теорию чисел (7, 8, 9, 10, 11, 12 проблемы), геометрию (3, 4, 18 проблемы), топологию (16 проблема), алгебраическую геометрию (12, 13, 14, 15, 16, 22 проблемы), группы Ли (5, 14, 18 проблемы), вещественный и комплексный анализ (13, 22 проблемы), дифференциальные уравнения (16, 19, 20, 21 проблемы), математическую физику и теорию вероятностей (6 проблема), а так же вариационное исчисление (23 проблема). Тогда эти проблемы не были решены. На данный момент уже решены девятнадцать из двадцати трех, а точнее пятнадцать решены, а остальные четыре имеют только частичное решение. Ещё две не являются корректными математическими проблемами, так как одна сформулирована слишком не четко, что бы понять, решена она или нет, а вторая скорее физическая, а не математическая. Ответ для оставшихся двух (8,16) до сих пор является загадкой.

Но акцент в этой статье делается не на проблемы Гильберта, а именно на советскую математику. В ней рассказывается, что Россия долго не была мощной математической державой, подобно Франции и Германии. К тому времени Россия обладала признанными математическими школами и дала миру выдающихся математиков, таких как Лобачевский и Чебышева. В статье Демидова показывается, как Россия росла в науке, как достигала вершин в математике. Я считаю, что это важно, так как показывается, что не всё даётся сразу, и что всего надо добиваться услиями. Что даже для того, что бы получить всемирное признание учёным пришлось пройти огромный путь в науке.

Эта статья написана по книге, которая рассказывает о достижениях ученых всего мира в решении проблем Гильберта, которая вышла в России в 1969 году. Но я не пишу по этой книге, так как она требует значительной математической подготовки, а для понимания некоторых отделов не хватит даже университетского курса. Так же со времени её издания даже до времени написания статьи очень изменилось положение дел с изучение проблем Гильберта. Математика уже тогда была в стадии бурного развития, она постоянно ставила перед учеными новые проблемы. Это не смотря на то, что многие старые, в том числе и проблемы Гильберта, не нашли своего решения.

Я себе поставила цель изучить именно вклад советских математиков в решение данных проблем и посмотреть, как развилась математическая наука за ХХ век на примере этой статьи.

Я считаю эту тему интересной в первую очередь для себя, и именно поэтому взяла её в основу моего реферата. Мне кажется, что сейчас, понятие математики среди школьников очень поверхностное. Все считают, что уже открыты все возможные теоремы, законы. Но это далеко не так. С каждым днём математика идет вперед, не стоит на месте. А в данной статье показано, кок она развивалась, как её развивали наши соотечественники. И мне кажется важно знать, что они сделали для мировой математики.

§1. Биография Давида Гильберта

Давид Гильберт родился в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии 23 января 1862. Здесь же закончил гимназию Вильзельма и поступил в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем. Позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, научным руководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переходит в Гёттингенский университет. На этой должности он оставался 35 лет, почти до конца жизни.

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, о которых далее и пойдет речь.

§2. Проблемы Гильберта

“Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным”. – Так начал свой доклад Д. Гильберт на втором математическом конгрессе восьмого августа 1900 года на заседании пятой и шестой секций.

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять - к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь - к теории функций, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.

Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке - проблема континуума - была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К. Гауссом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих содержание восьмой проблемы, то один из них - гипотеза о нулях

дзета-функции - был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, - еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема - задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер выбора проблем, содержащихся в докладе, - здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которыми могли помочь “представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем”.

На данное время, уже 113 лет спустя озвучки проблем, не решены две знаменитые проблемы. А именно восьмая (о нулях дзета-функции Римана) и шестнадцатая (о предельных циклах). Ученые во всего мира думают над решением данных проблем, но пока не находят решения, и прогнозы пока не очень ясные.

Из всех проблем только двенадцать проблем решено, из них две опровергнуты. Так же три требуют уточнения формулировки, и одна неразрешаема.

Существует ещё интересный факт, что изначально существовало 24 проблемы Гильберта. Но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Задача была обнаружина сто лет спустя, немецким историком в заметках Гильберта. Эта задача была связана с теорией доказательств критерия простых и общих методов. В принципе эта задача тоже является нерешенной, но о ней никто официально не говорил. И следовательно не пробовали ее решать.

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта

Так же в решении этих проблем, помимо многих талантливых математиков из различных стран мира и самого Гильберта, принимали участие и отечественные математики. Россия в то время ещё не была математической державой, как Франция или Германия, но уже обладала математическими школами. Русские делегации на конгрессах были не большими, где-то 9 человек. А это мало, по сравнению с Германией (25) и Францией (90). На данном конгрессе делегация выступила только с одним сообщением «Об исчезновении функции Н нескольких переменных».

Первой работой в России, посвящённой решению проблем Гильберта, считается работа Кагана 1903 года над третьей проблемой. Хоть она и не была решена, но исследования значительно упростили докозательство. Именно с этой проблемы и началось в России активное участие в их решении.

А уже спустя год молодой ученый, в последствии академик, Беренштейн полностью дал решение девятнадцатой проблеме. Разработка этих проблем и принесла определенную известность советским математикам, так как ранее о них мало что знали.

На протяжении всего двадцатого века ученые решали проблемы с разным успехом. Так в 1929 года Гельфонд дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта, а в 1934 году дал окончательное ее решение. Над данной проблемой трудились и постепенно приходили к выводам некоторые немецкие математики. Именно благодаря совместной работе ученых и была доказана седьмая проблема, как и многие другие.

Восьмая проблема Гильберта состоит из нескольких задач, относящихся к теории простых чисел. Каждый полученный здесь новый факт был событием чрезвычайной значимости. Одна из этих задач - так называемая проблема Гольдбаха: доказать, что всякое целое число, большее или равное шести является суммой трех простых.

Легко найти требуемые разложения для небольших чисел:

6 = 2 + 2 + 2,

7 = 3 + 2 + 2,

15 = 3 + 5 + 7.

Но проверять эту гипотезу на больших чисел долгое время не удавалось. К решению проблемы не удавалось найти никаких подходов. Дошло до того, что на Международном конгрессе математиков 1912 года был доклад о невозможном решении данной проблемы. Тем более сенсационным стал результат замечательного советского математика академика, сумевшего в 1937 году решить проблему для нечетных чисел. Этот результат, а также метод его получения относят к числу наиболее выдающихся математических достижений XX века. Метод этот успешно применялся в дальнейшем для решения многих задач теории чисел. В 1946 году академик дал другое доказательство теореме с привлечением методов теории функций комплексного переменного.

Можноподробно рассказывать о многих Российских ученых, которые внесли свой вклад в решении этих проблем, потому что даже небольшая находка в решении проблемы уже много значила и приближала к её решению.

§4. Проблемы, решенные советскими математиками

Список проблем, решенных совесткимим математиками, или к решению которых они приблизились:

1. Исследование 1903 года, который значительно сократил и упростил решение третьей проблемы Гильберта;

2. В 1904 году дал решение девятнадцатой проблемы

3. Им же в работах 1908-1909 годов были получены важные результаты, связанные с двадцатой проблемой;

4. В 1929 году дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта;

5. занимался шестнадцатой проблемой Гильберта и в 1933 году он решил одну из этих задач;

6. В 1934 году дал окончательное решение седьмой проблемы;

7. Делали успехи в решение пятой проблемы и, доказавшие проблему соответственно в 1934 и 1946 года для очень важных случаев, хоть и не решили её полностью;

8. Результаты по девятнадцатой проблеме были получены в 1937 году;

9. в 1937 году решил часть восьмой проблемы для нечетных чисел;

10. Одно из самых замечательных доказательств второй проблемы получил в 1943 году академик;

11. В работе 1949 года (совместно с) обобщил свой результат по девятнадцатой проблеме;

12. В 1954 году академиком и были достигнуты успехи в решении тринадцатой проблемы;

13. В 1960 году ленинградскими математиками и было получено “смыкание” результатов по девятнадцатой и двадцатой проблемам Гильберта;

14. Десятую проблему окончательно решил в 1970 году;

Заключение

Проблемы Гильберта – одна из самых сложных задач всемирной математики. Но их решение помогло развить математику России почти из ничего и до всемирной известности. Если в начале XX века были известны лишь несколько математиков, то к концу Россию знали как великую математическую державу. Были образованы школы и университеты с математическими направлениями. Математика находится сейчас в стадии бурного развития, она постоянно ставит перед учеными новые и новые проблемы. Да и многие старые (в том числе некоторые из проблем Гильберта) до сих пор не нашли своего решения. Многие видят математику как «мертвую науку», но это не так. Математики постоянно ее развивают.

И наличие определенных проблем показывает, что у математики тоже есть своя история. Причем изучая данные проблемы я поняла, что эта история очень интересная. Я для себя узнала много нового, для многих математика – это просто набор формул и доказательств, теорем и аксиом . Так вот, математика это живая наука. Как мир живет и каждый день входит в историю, так и математика пишет свою историю.

Так же я увидела, как много значил ХХ век для математики, а в частности для математики в России. Ведь так много изменилось за это столетие. Произошел невероятный скачек в науке, в том числе и благодаря советским математикам.

Список литературы

1) Болибрух «Математическое просвещение» Выпуск 2. «Проблемы Гильберта (100 лет спустя)». // Москва, 1999 год.

2) Демидов С. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант". // Москва, Ноябрь, 1977 год.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборник, предлагаемый вниманию читателя, содержит впервые переведенный на русский язык текст известного доклада Гильберта "Математические проблемы", произнесенного на II Международном Конгрессе математиков, проходившем в Париже с 6 по 12 августа 1900 г.

В работе Конгресса приняло участие 226 человек: 90 человек из Франции, 25 из Германии, 17 из Соединенных Штатов, 15 из Италии, 13 из Бельгии, 9 из России, по 8 из Австрии и Швейцарии, по 7 из Англии и Швеции, 4 из Дании, по 3 из Голландии, Испании и Румынии, по 2 из Сербии и Португалии, 4 из Южной Америки, по одному делегату прислали Турция, Греция, Норвегия, Канада, Япония и Мексика.

Основными языками Конгресса были английский, французский, немецкий и итальянский.

Председателем Конгресса был избран Анри Пуанкаре, почетным председателем - отсутствовавший Шарль Эрмит (1822 - 1901), вице-председателями - Е. Чубер (Вена), К. Гейзер (Цюрих), П. Гордан (Эрланген), А. Гринхилл (Лондон), Л. Линделёф (Гельсингфорс), Ф. Линдеман (Мюнхен), Г. Миттаг-Леффлер (Стокгольм), отсутствовавший Э. Мур (Чикаго), М. А. Тихомандрицкий (Харьков), В. Вольтерра (Турин), Г. Цейтен (Копенгаген), секретарями Конгресса - И. Бендиксон (Стокгольм), А. Капелли (Неаполь), Г. Минковский (Цюрих), И. Л. Пташицкий (Петербург), отсутствовавший А. Уайтхед (Кембридж).

Генеральным секретарем Конгресса был избран Э. Дюпорк (Париж).

Работало шесть секций: 1) арифметики и алгебры (председатель Д. Гильберт, секретарь Э. Картан),

5-я и 6-я секции заседали вместе.

В день открытия Конгресса на общем заседании состоялось два часовых доклада: М. Кантора "Об историографии математики", в котором он сделал обзор работ по истории математики, начиная с Ж. Монтюкла и Г. Либри, и В. Вольтерра о научной деятельности Э. Бетти, Ф. Бриоски и Ф. Казорати.

Затем начались секционные заседания, на которых было сделано 46 сообщений, в том числе Л. Диксоном, Г. Миттаг-Леффлером, Д. Гильбертом, Ж. Адамаром, А. Капелли, И. Фредгольмом, И. Бендиксоном, В. Вольтерра и др.

Русская математика была представлена на Конгрессе единственным сообщением М.А. Тихомандрицкого "Об исчезновении функции Н нескольких переменных".

На заключительном общем заседании выступили Г. Миттаг-Леффлер, который рассказал о последних годах жизни Вейерштрасса по его письмам к С. В. Ковалевской, и А. Пуанкаре, сделавший доклад "О роли интуиции и логики в математике".

Так проходил Конгресс, на котором 8 августа на совместном заседании 5-й и 6-й секций Д. Гильберт прочитал свой доклад "Математические проблемы".

Как пишет Д. Синцов *, "сообщение Гильберта вызвало ряд замечаний со стороны присутствовавших, указавших, что некоторые из перечисленных Гильбертом задач вполне или отчасти ими разрешены" **. К тому времени Гильберт, 38-летний гёттингенский профессор, был уже широко известен своими работами по теории инвариантов и теории алгебраических чисел. В 1899 г. вышли в свет его знаменитые "Основания геометрии", составившие эпоху в основаниях математики. Удивительная разносторонность и обобщающая сила дарования Гильберта позволяли ему легко ориентироваться в различных областях математики, почти в каждой из которых он получил выдающиеся результаты и поставил ряд важных проблем.

* Д. М. Синцов, Второй Международный математический конгресс, Физ.-матем. науки (2) 1, № 5 (1901), 129-137.

** Вероятно, число проблем в первоначальном тексте доклада превышало двадцать три.

Наиболее интересные, по мнению Гильберта, проблемы, "исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки", он и предложил математикам в своем докладе. С тех пор прошло уже две трети века. Проблемы Гильберта в течение всего этого срока не теряли актуальности, к их решению были приложены усилия талантливейших математиков. Развитие идей, связанных с содержанием указанных проблем, составило значительную часть математики XX в.

Перевод основной части доклада (исключая текст 15-й и 23-й проблем и заключения) осуществлен М. Г. Шестопал с текста, помещенного в Gottinger Nachrichten (1900, 253-297), и просмотрен И. Н. Бронштейном и И. М. Ягломом, которые внесли в него ряд редакционных поправок и изменений. Текст 15-й и 23-й проблем, а также заключительной части доклада переведен А. В. Дорофеевой. В перевод внесены дополнения, сделанные Гильбертом для издания доклада, помещенного в третьем томе его Собрания сочинений (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935), - в тексте они заключены в квадратные скобки. Перевод был сверен с английским переводом (Bull. Amer. Math. Soc. 8, № 10 (1902), 403-479), также с переводом, осуществленным в кабинете истории математики и механики МГУ А. В. Дорофеевой и М. В. Чириковым *.

* Этот перевод послужил началом работы по историко-матема-тическому анализу проблем Гильберта, проводимой в кабинете истории математики и механики МГУ под руководством проф. К. А. Рыбникова.

Известную трудность составлял перевод некоторых старых математических терминов. В некоторых случаях рядом с переводом в круглых скобках помещен немецкий термин, а в одном случае термин (Polarenprocess) оставлен без перевода. Переводчики немало потрудились над тем, чтобы донести до русского читателя своеобразный, местами даже патетический язык гильбертовского доклада. Авторы комментариев к проблемам любезно согласились просмотреть переводы соответствующих проблем и внесли ряд существенных исправлений.

Оценить то выдающееся значение, которое сыграл доклад Гильберта для математики XX в. позволят, как мы надеемся, комментарии к проблемам, составляющие вторую часть сборника. Создание таких комментариев, содержащих обзор основных результатов, достигнутых в направлении решения гильбертовских проблем, ужепредпринималось отдельными авторами *. Однако работа такого рода с привлечением известных специалистов по соответствующим областям математики осуществляется, насколько нам известно, впервые.

* L. Bieberbach, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; С.С.Демидов, К истории проблем Гильберта. ИМИ, вып. 17, "Наука", 1967, 91-121.

Выходу в свет этой книги в значительной мере способствовали внимание и помощь со стороны очень многих лиц, среди которых необходимо отметить участников семинара по истории математики и механики МГУ, в особенности его руководителей профессоров И.Г. Башмакову, К.А. Рыбникова, А.П. Юшкевича, покойную С.А. Яновскую, а также сотрудника Математического института имени В.А. Стеклова АН СССР А.Н. Паршина, советы и помощь которого в о многом помогли улучшить издание.

С. С. Демидов

НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ПРОБЛЕМАХ ГИЛЬБЕРТА

На Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 г. выдающийся немецкий математик Давид Гильберт выступил с докладом под названием "Математические проблемы". Доклад этот был затем несколько раз опубликован в подлиннике и в переводах *; последнее издание подлинника находим в третьем томе собрания сочинений Гильберта **.

* Впервые напечатан в Arcbiv f. Math. u Phys., Ill серия, 1 (1901), 44-63, 213-237.

** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, т. Ill, 1935, 290-329.

На нижеследующих страницах печатается русский перевод доклада Гильберта.

Ни до доклада Гильберта 1900 г., ни после этого доклада математики, насколько я знаю, не выступали с научными сообщениями, охватывавшими проблемы математики в целом *. Таким образом, доклад Гильберта оказывается вполне уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. И сейчас, почти через 70 лет после того, как Гильберт сделал свой доклад, он сохраняет свой интерес и значение.

* Доклад американского математика Дж. фон Неймана на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г. не является опровержением этого утверждения: правда, доклад фон Неймана назывался "Нерешенные проблемы в математике", но докладчик начал свой доклад высказыванием, что считал бы безумием в подражание Гильберту говорить о проблемах математики в целом, а предполагает ограничиться лишь проблемами в некоторых областях математики (главным образом в областях, близких к функциональному анализу). Доклад фон Неймана опубликован не был - единственное, что о нем напечатано в Трудах Амстердамского конгресса,- это то, что рукопись доклада не была доступна издателям; по-видимому, ее не существует. Поэтому об этом докладе можно в настоящее время судить лишь по воспоминаниям лиц, слушавших его.

Нa все развитие современной математики Гильберт оказал влияние исключительное, охватывающее почти все направления математической мысли; это объясняется тем, что Гильберт был математиком, в котором сила математической мысли соединялась с редкой широтой и разносторонностью. Разносторонность эта была, если так можно выразиться, вполне сознательной: Гильберт постоянно делает упор на то, что математика едина, что различные ее части находятся в постоянном взаимодействии между собой и с науками о природе и что в этом взаимодействии не только ключ к пониманию самой сущности математики, но и лучшее средство против расщепления математики на отдельные, не связанные друг с другом части,- опасности, которая в наше время огромного количественного роста и устрашающей специализации математических исследований
постоянно заставляет о себе думать. С большой силой и убежденностью говорит Гильберт, особенно в конце своего замечательного доклада, о целостном характере математики как основе всего точного естественнонаучного познания. Его убежденность в этом служит в значительной степени и путеводной нитью псого доклада в целом и, несомненно, во многих случаях руководила автором при отборе выдвигаемых им математических задач.

Доклад начинается с интересно, я бы сказал вдохновенно, написанной общей вводной части, в которой говорится не только о значении для математики "хорошо поставленной" специальной проблемы, но и высказываются суждения о математической строгости, о связи математики с естествознанием и о других вещах, близких всякому активно думающему о своей науке математику. В заключение этой вводной части Гильберт с поражающей иной и убежденностью высказывает свой основной тезис, "аксиому" о разрешимости в широком смысле слова всякой математической задачи - тезис, содержанием которого являются глубокая уверенность в неограниченном могуществе человеческого познания и непримиримая борьба со всяким агностицизмом - с нелепым "Ignorabimus" * , как говорит в другом месте Гильберт.

* "Ignorabimus" (лат.) - "мы не будем знать" - одна из известных речей физиолога Э. Дюбуа-Реймона кончалась (в применении к некоторым невыясненным научным вопросам) восклицанием: "Ignoramus et ignorabimus" - мы не знаем и не будем знать!

Далее идут сами проблемы. Они начинаются с теории множеств (континуум-проблема) и обоснования математики, переходят далее к основаниям геометрии, теории непрерывных групп (знаменитая пятая проблема об освобождении понятия непрерывной группы от требования дифференцируемости), к теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии и заканчиваются анализом (дифференциальные уравнения, особенно с частными производными, вариационное исчисление). Особое место занимает шестая проблема - об аксиоматике теории вероятностей и механики.

По своему характеру проблемы Гильберта очень разнородны. Иногда это - конкретно поставленный вопрос, на который ищется однозначный ответ - да или нет, - такова, например, геометрическая третья проблема или арифметическая седьмая проблема о трансцендентных числах. Иногда задача ставится менее определенно как, например, в двенадцатой проблеме (ей Гильберт придавал особо важное значение), в которой требуется найти как само обобщение теоремы Кронекера, так и соответствующий класс функций, которые должны заменить показательную и модулярную.

Пятнадцатая проблема есть, в сущности, проблема обоснования всей теории алгебраических многообразий.

Иногда проблема под данным номером в действительности содержит в себе несколько различных, хотя и тесно связанных между собой задач. Наконец, двадцать третья проблема есть, в сущности, проблема дальнейшего развития вариационного исчисления.

Сейчас, много лет после того, как Гильберт поставил свои проблемы, можно сказать, что они были поставлены хорошо. Они оказались подходящим объектом для того, чтобы сосредоточить вокруг себя творческие усилия математиков различных научных направлений и школ. Каковы были эти усилия и к каким результатам они привели, какие из гильбертовских проблем решены, какие еще нет, - об этом, хотя и не с исчерпывающей полнотой, читатель может узнать из комментариев к этим проблемам.

Характер этих комментариев несколько неоднороден, (что в значительной мере продиктовано характером самих проблем) - некоторые из них могут быть понятны читателю, знакомому с математикой в объеме первых двух курсов механико-математических или физико-математических факультетов университетов или педагогических институтов, для понимания других требуется довольно высокая математическая культура. Думаю, во всяком случае, что читатель будет благодарен авторам комментариев,
существенно облегчившим ознакомление с тем действительно выдающимся произведением общематематической литературы, каким является доклад Гильберта; кроме того, из комментариев можно, как мне кажется, понять и произведенное этим докладом воздействие на дальнейшее развитие математики.

П. С. Александров

Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?

История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным. Ведь большие даты не только заставляют нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее.

Невозможно отрицать глубокое значение, какое имеют определенные проблемы для продвижения математической науки вообще и важную роль, которую они играют в работе отдельного исследователя. Всякая научная область жизнеспособна, пока в ней избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание или прекращение самостоятельного развития. Как вообще каждое человеческое начинание связано с той или иной целью, так и математическое творчество связано с постановкой проблем. Сила исследователя познается в решении проблем: он находит новые методы, новые точки зрения, он открывает более широкие и свободные горизонты.

Трудно, а часто и невозможно заранее правильно оценить значение отдельной задачи; ведь в конечном счете ее ценность определится пользой, которую она принесет науке. Отсюда возникает вопрос: существуют ли общие признаки, которые характеризуют хорошую математическую проблему?

Один старый французский математик сказал: "Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному". Это требование ясности и легкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы, если она претендует на совершенство; ведь ясность и легкая доступность нас привлекают, а усложненность и запутанность отпугивают.

Математическая проблема, далее, должна быть настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными наши усилия; она должна быть путеводным знаком на запутанных тропах, ведущих к сокрытым истинам; и она затем должна награждать нас радостью найденного решения.

Математики прошлого столетия со страстным рвением отдавались решению отдельных трудных задач; они знали цену трудной задаче. Я напомню только поставленную Иоганном Бернулли задачу о линии быстрейшего падения. "Как показывает опыт, - говорит Бернулли, оповещая о своей задаче, - ничто с такой силой не побуждает высокие умы к работе над обогащением знания, как постановка трудной и в то же время полезной задачи". И поэтому он надеется заслужить благодарность математического мира, если он, - следуя примеру таких мужей, как Мерсенн, Паскаль, Ферма, Вивиани и другие, которые (до него) поступали так же,- предложит задачу выдающимся аналитикам своего времени, чтобы они могли на ней, как на пробном камне, испытать достоинства своих методов и измерить свои силы. Этой задаче Бернулли и другим аналогичным задачам обязано своим зарождением вариационное исчисление.

Известно утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение

x n + y n = z n

неразрешимо в целых числах х, у, z, если не считать известных очевидных исключений. Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример гого, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители - теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

Напомню еще об одной интересной проблеме - задаче трех тел. То обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение и значительно продвинул эту трудную задачу, привело к плодотворным методам и далеко идущим принципам, введенным этим ученым в небесную механику, методам и принципам, которые сейчас признаются и применяются также и в практической астрономии.

Обе упомянутые проблемы - проблема Ферма и проблема трех тел - являются в нашем запасе проблем как бы противоположными полюсами: первая представляет свободное достижение чистого разума, принадлежащее области абстрактной теории чисел, вторая выдвинута астрономией и необходима для познания простейших основных явлений природы.

Часто, однако, случается, что одна и та же специальная проблема появляется в весьма различных областях математики. Так, проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых и поверхностей, в механике и в вариационном исчислении. А как убедительно демонстрирует Ф. Клейн в своей книге об икосаэдре *, проблема о правильных многогранниках имеет важное значение одновременно для элементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и теории линейных дифференциальных уравнений!

* F. Кlein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Leipzig, 1884.- Прим. ред.

Чтобы осветить важность отдельных проблем, я позволю себе еще сослаться на Вейерштрасса, считавшего большой удачей для себя то стечение обстоятельств, которое позволило ему в начале своей научной деятельности заняться такой значительной проблемой, как проблема Якоби об обращении эллиптического интеграла.

После того как мы рассмотрели общее значение проблемы в математике, обратимся к вопросу о том, из какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы каждой математической области знания возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений. Даже правила счета с целыми числами были открыты на этом пути еще на ранней ступени культурного развития человечества так же, как и теперь ребенок познает применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым проблемам геометрии - пришедшим к нам из древности задачам удвоения куба, квадратуры круга, а также к старейшим проблемам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, не говоря уже о всем богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.

При дальнейшем развитии какой-либо математической дисциплины человеческий ум, обнадеженный удачами, проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления, обобщения, специализирования, удачного расчленения и группировки понятий и выступает затем сам на первый план как постановщик задач. Так возникли задача о простых числах и другие задачи арифметики, теория Галуа, теория алгебраических инвариантов, теория абелевых и автоморфных функций и так возникали вообще почти все тонкие вопросы современной теории чисел и теории функций.

А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем наилучшим образом продвигаем вперед старые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленная гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знания.

Остановимся еще кратко на вопросе о том, каковы могут быть общие требования, которые мы вправе предъявить к решению математической проблемы. Я имею в виду прежде всего требования, благодаря которым удается убедиться в правильности ответа с помощью конечного числа заключений и притом на основании конечного числа предпосылок, которые кладутся в основу каждой задачи и которые должны быть в каждом случае точно сформулированы. Это требование логической дедукции с помощью конечного числа заключений есть не что иное, как требование строгости проведения доказательств. Действительно, требование строгости, которое в математике уже вошло в поговорку, соответствует общей философской потребности нашего разума; с другой стороны, только выполнение этого требования приводит к выявлению полного значения существа задачи и ее плодотворности. Новая задача, особенно если она вызвана к жизни явлениями внешнего мира, подобна молодому побегу, который может расти и приносить плоды, лишь если он будет заботливо и по строгим правилам искусства садоводства взращиваться на старом стволе - твердой основе нашего математического знания.

Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств. Это же стремление часто прокладывает путь к методам, которые оказываются более плодотворными, чем старые менее строгие методы. Так, теория алгебраических кривых благодаря более строгим методам теории функций комплексного переменного и целесообразному применению трансцендентных средств значительно упростилась и приобрела большую цельность. Далее, доказательство правомерности применения четырех элементарных арифметических действий к степенным рядам, а также почленного дифференцирования и интегрирования этих рядов и основанное на этом признание степенного ряда [как инструмента математического анализа - П. А. ], несомненно, значительно упростили весь анализ, в частности, теорию исключения и теорию дифференциальных уравнений (вместе с ее теоремами существования).

Но особенно разительный пример, иллюстрирующий мою мысль, представляет вариационное исчисление. Исследование первой и второй вариаций определенного интеграла приводило к крайне сложным вычислениям, а соответствующие исследования старых математиков были лишены необходимой строгости. Вейерштрасс указал нам путь к новому и вполне надежному обоснованию вариационного исчисления. На примере простого и двойного интеграла я вкратце намечу в конце моего доклада, как следование этому пути приводит в то же время к поразительному упрощению вариационного исчисления вследствие того, что для установления необходимых и достаточных критериев максимума и минимума становится излишним вычисление второй вариации и даже частично отпадает необходимость в утомительных умозаключениях, относящихся к первой вариации. Я уже не говорю о тех преимуществах, которые возникают оттого, что исчезает надобность рассматривать лишь те вариации, для которых значения производных функций меняются незначительно.

Предъявляя к полному решению проблемы требование строгости в доказательстве, я хотел бы, с другой стороны, опровергнуть мнение о том, что совершенно строгие рассуждения применимы только к понятиям анализа или даже одной лишь арифметики. Такое мнение, поддерживаемое иногда и выдающимися умами, я считаю совершенно ложным. Такое одностороннее толкование требования строгости быстро приводит к игнорированию всех понятий, возникших из геометрии, механики, физики, приостанавливает приток [в математику - П. А. ] нового материала из внешнего мира и, в конце концов, приводит даже к отбрасыванию понятия континуума и иррационального числа. А существует ли более важный жизненный нерв, чем тот, который был бы отрезан от математики, если из нее изъять геометрию и математическую физику? Я, напротив, считаю, что всякий раз, когда математические понятия зарождаются со стороны теории познания или в геометрии, пли а естественнонаучных теориях, перед математикой возникает задача исследовать принципы, лежащие в основе этих понятий, и так обосновать эти понятия с помощью полной и простой системы аксиом, чтобы строгость новых понятий и их применимость к дедукции ни в какой мере не уступала старым арифметическим понятиям.

К новым понятиям относятся также новые обозначения. Мы их выбираем таким образом, чтобы они напоминали те явления, которые послужили поводом для образования этих понятий. Так, геометрические фигуры являются образами для напоминания пространственных представлений и в качестве таковых применяются всеми математиками. Кто не связывает с двумя неравенствами a > b > c между тремя величинами a, b, c, образ тройки прямолинейно расположенных и следующих друг за другом точек в качестве геометрической интерпретации понятия "между"? Кто не пользуется образом вложенных друг в друга отрезков и прямоугольников, если нужно провести полное и строгое доказательство трудной теоремы о непрерывности функций или существования предельной точки? Кто может обойтись без фигуры треугольника, окружности с заданным центром или без тройки взаимно перпендикулярных осей? Или кто хотел бы отказаться от образа векторного поля или семейства кривых, или поверхностей с их огибающей - понятий, которые играют такую существенную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основах вариационного исчисления и в других чисто математических областях знания?

Арифметические знаки - это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры - это нарисованные формулы, и никакой математик не мог бы обойтись без этих нарисованных формул, так же как и не мог бы отказаться при счете от заключения в скобки или их раскрытия или применения других аналитических знаков.

Применение геометрических фигур в качестве строгого средства доказательства предполагает точное знание и полное владение теми аксиомами, которые лежат в основе теории этих фигур, и поэтому для того, чтобы эти геометрические фигуры можно было включить в общую сокровищницу математических знаков, необходимо строгое аксиоматическое исследование их наглядного содержания.

Подобно тому как при сложении двух чисел нельзя подписывать цифры слагаемых в неверном порядке, а нужно строго следовать правилам, т. е. тем аксиомам арифметики, которым подчиняются арифметические действия, так и операции над геометрическими образами определяются теми аксиомами, которые лежат в основе геометрических понятий и связей между ними.

Сходство между геометрическим и арифметическим мышлением проявляется также и в том, что в арифметических исследованиях мы так же мало, как и при геометрических рассмотрениях, прослеживаем до конца цепь логических рассуждений, вплоть до аксиом. Напротив, в особенности при первом подходе к проблеме, мы и в арифметике, совершенно так же как и в геометрии, сначала пользуемся некоторым мимолетным, бессознательным, не вполне отчетливым комбинированием, опирающимся на доверие к некоторому арифметическому чутью, к действенности арифметических знаков, - без чего мы не могли бы продвигаться в арифметике точно так же как мы не можем продвигаться в геометрии, не опираясь на силы геометрического воображения. Образцом арифметической теории, оперирующей строгим образом с геометрическими понятиями и знаками *, может служить работа Минковского "Геометрия чисел" **.

** Leipzig, 1896.

Сделаем еще несколько замечаний относительно трудностей, которые могут представлять математические проблемы, и о преодолении этих трудностей.

Если нам не удается найти решение математической проблемы, то часто причина этого заключается в том, что мы не овладели еще достаточно общей точкой зрения, с которой рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным звеном в цепи родственных проблем. Отыскав эту точку зрения, мы часто не только делаем более доступной для исследования данную проблему, но и овладеваем методом, применимым и к родственным проблемам. Примерами могут служить введенное Коши в теорию определенного интеграла интегрирование по криволинейному пути и установление Куммером понятия идеала в теории чисел. Этот путь нахождения общих методов наиболее удобный и надежный, ибо, если ищут общие методы, не имея в виду какую-нибудь определенную задачу, то эти поиски, по большей части, напрасны.

При исследовании математических проблем специализация играет, как я полагаю, еще более важную роль, чем обобщение. Возможно, что в большинстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что еще не разрешены или не полностью решены более простые и легкие проблемы, чем данная. Тогда все дело заключается в том, чтобы найти:)ти более легкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, при помощи понятий, поддающихся обобщению. Это правило является одним из самых мощных рычагов для преодоления математических трудностей, и мне кажется, что в большинстве случаев этот рычаг и приводят в действие, подчас бессознательно.

Вместе с тем бывает и так, что мы добиваемся ответа при недостаточных предпосылках, или идя в неправильном направлении, и вследствие этого не достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость данной проблемы при принятых предпосылках и выбранном направлении. Такие доказательства невозможности проводились еще старыми математиками, например, когда они обнаруживали, что отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число. В новейшей математике доказательства невозможности решений определенных проблем играют выдающуюся роль; там мы констатируем, что такие старые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах, получили все же строгое, вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось.

Этот удивительный факт наряду с другими философскими основаниями создает у нас уверенность, которую разделяет, несомненно, каждый математик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством,- уверенность в том, что каждая определенная математическая проблема непременно должна быть доступна строгому решению * или в том смысле, что удается получить oтвет на поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет установлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее решить.

* Это столь определяющее для всего научного мировоззрения Гильберта утверждение мы считаем нужным привести в подлиннике "...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathematische Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss". - Прим. П. A.

Представим себе какую-либо нерешенную проблему, скажем, вопрос об иррациональности константы С Эйлера - Маскерони или вопрос о существовании бесконечного числа простых чисел вида 2 n + 1 . Как ни недоступными представляются нам эти проблемы и как ни беспомощно мы стоим сейчас перед ними, мы имеем все же твердое убеждение, что их решение с помощью конечного числа логических заключений все же должно удаться.

Является ли эта аксиома разрешимости каждой данной проблемы характерной особенностью только математического мышления или, быть может, имеет место общий, относящийся к внутренней сущности нашего разума закон, по которому все вопросы, которые он ставит, способны быть им разрешимы? Встречаются ведь в других областях знания старые проблемы, которые были самым удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки разрешены путем доказательства невозможности их решения. Я вспоминаю проблему о perpetuum mobile (вечный двигатель) *. После напрасных попыток конструирования вечного двигателя стали, наоборот, исследовать соотношения, которые должны существовать между силами природы, в предположении, что perpetuum mobile невозможно. И эта постановка обратной задачи привела к открытию закона сохранения энергии, из которой и вытекает невозможность perpetuum mobile в первоначальном понимании его смысла.

Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: в о т проблем а, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не сушествует Ignorabimus! **

* Ср. H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, доклад в Кенигсберге, 1854 (русский перевод: "О взаимодействии сил природы", в сб. Г. Гельмгольц, Популярные речи, изд. 2, ч. 1, СПб., 1898. - Прим. ред. ).

** См. сноску . - Прим. ред.

Неизмеримо множество проблем в математике, и как только одна проблема решена, на ее место всплывают бесчисленные новые проблемы. Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки.

Обратимся к основам анализа и геометрии. Наиболее значительными и важными событиями последнего столетия в этой области являются, как мне кажется, арифметическое овладение понятием континуума в работах Коши, Больцано, Кантора и открытие неевклидовой геометрии Гауссом, Бойяи и Лобачевским. Я привлекаю поэтому Ваше внимание к некоторым проблемам, принадлежащим к этим областям. <...>

1. Проблема Кантора о мощности континуума

2. Непротиворечивость арифметических аксиом

3. Равенство двух тетраэдров с равновеликими основаниями и равными высотами.

4. Проблема о прямой как кратчайшем соединении двух точек.

5. Понятие непрерывной группы преобразований Ли, без предположения о дифференцируемости функций, определяющих группу.

6. Математическое изложение аксиом физики.

7. Иррациональность и трпнсцендентность некоторых чисел.

8. Проблема простых чисел.

9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.

10. Задача о разрешимости Диофантова уравнения.

11. Квадратичные формы с произвольными алгебраическими числовыми коэфициентами.

12. Распространение теоремы Кронекера об Абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функции, зависящей только от двух переменных.

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта.

16. Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов.

18. Построение пространства из конгруэнтных многогранников.

19. Являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими?

20. Общая задача о граничных условиях.

21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.

22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций.

23. Развитие методов вариационного исчисления

Я не верю в это и не хочу этого. Математическая наука на мой взгляд, представляет неделимое целое, организм, жизнеспособность которого обусловливается связностью его частей. Ведь при всем различии математического материала в частностях мы все же очень ясно видим тождественность логических вспомогательных средств, родство образования идей в математике в целом и многочисленные аналогии в ее различных областях. Мы также замечаем, что, чем дальше развивается математическая теория, тем гармоничнее и более едино оформляется ее сооружение и между до сих пор разделенными областями открываются неожиданные связи. Так получается, что при расширении математики ее единый характер не теряется, а становится все более отчетливым.

Но - спросим мы - при расширении математического знания не становится ли в конце концов невозможным для отдельного исследователя охватить все его части? В качестве ответа я хочу сослаться на то, что существо математической науки таково, что каждый действительный успех в ней идет рука об руку с нахождением более сильных вспомогательных средств и более простых методов, которые одновременно облегчают понимание более ранних теорий и устраняют затруднительные старые рассуждения; поэтому отдельному исследователю, благодаря тому что он усвоит эти более сильные вспомогательные средства и более простые методы, удастся легче ориентироваться в различных областях математики, чем это имеет место для какой-нибудь другой науки.

Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки; ведь математика - основа всего точного естествознания. А для того чтобы в совершенстве выполнить это высокое назначение, пусть в грядущем столетии она обретет гениальных мастеров и многочисленных, пылающих благородным рвением приверженцев *.

* В подлиннике эти слова звучат так: "Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im inneren Wesen dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens. Damit sie diese hohe Bestimmung vollkommen erfulle, mogen ihr im neuen Jahrhundert geniale Meister erstehen und zahlreiche in edlem Eifer ergluhende Jungerl" - Прим. ред.

(стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).