Сдача единого государственного экзамена является не только необходимостью при окончании общего среднего образования, но и частью вступительных испытаний в ВУЗы. Школьники, решившие поступать на специальности с математическим или техническим уклоном, сдают не только базовый уровень математики, но и профильный. Рассмотрим его особенности, сроки проведения и проверки и некоторые момент, связанные с результатами.
Порядок проведения ЕГЭ установлен ФЗ №273 «Об образовании в Российской Федерации».
Когда будут известны результаты экзамена?
Официальное расписание определило сдачу ЕГЭ по математике 2018 года профильного направления на пятницу, 1 июня. В качестве резервного дня в основном цикле выделена дата 25 июня , а 2 июля остается запасным днем для сдачи всех предметов.
Разделение экзамена по математике на уровни произошло в прошлом году. Они различаются по ряду признаков:
- Система оценки . Базовый уровень знания предмета оценивается по пятибалльной шкале (в качестве минимума устанавливается 3 балла). Оценка по профильному предмету оценивается по шкале в 100 баллов;
- Следующее отличие заключается в приеме экзаменов базового и профильного уровня для поступления в учебные заведения высшего и среднего профессионального звена. Так, базового уровня достаточно для колледжей, училищ, гуманитарных специальностей университетов. Наличие математики во вступительных экзаменах на технические специальности требует от абитуриента сданного профильного уровня;
- Различаются структуры экзаменов . База состоит из 20 задач с краткими ответами. Профильный экзамен значительно сложнее и строится из 2 частей.
Система ЕГЭ разрешает сдавать выпускникам школ базовую и профильную часть предмета без ограничений. Это значительно повышает шансы к поступлению в ВУЗы.
Обработка результатов ЕГЭ имеет определенные сроки и порядок:
- Сканирование и обработка бланков в регионах – до 4 дней;
- Обработка результатов на федеральном уровне – до 7 дней;
- Отправка результатов в регионы – 1 день;
- Подтверждение результатов государственной экзаменационной комиссией – не дольше 1 дня;
- Объявление результатов – 1 день.
Таким образом, срок проверки и обнародования результатов составляет не более 2-х недель. Результаты ЕГЭ 2018 по математике профильного уровня будут известны не позднее 17 июня .
Как узнать свой результат?
Узнать результаты прошедшего экзамена можно несколькими способами:
- Официальный портал Единого государственного экзамена www.ege.edu.ru;
- На информационных стендах в школах или иных заведениях, где проводился экзамен;
- В региональных управлениях или комитетах образования;
- Ряд регионов создают специализированные сайты или горячие телефонные линии.
Проверить свой результат можно при наличии:
- ФИО сдавшего предмета;
- Номера паспорта или иного документа, примененного во время экзамена для удостоверения личности;
- Идентификационного кода, присвоенного каждому участнику экзамена.
Информация о результатах экзамена является свободной и предоставляется бесплатно участникам ЕГЭ и их родителям.
Досрочный экзамен ЕГЭ по математике
Ряд школьников уже сдали ЕГЭ по математике в так называемый досрочный период . Участие в нем допускается, если школьник не сможет принять участие в основном этапе. В качестве причин могут служить:
- Запланированное лечение;
- Отдых в оздоровительных учреждениях;
- Участие в соревнованиях, олимпиадах и других учебных или творческих мероприятиях.
В 2017 году досрочная сдача математики состоялась 31 марта и 14 апреля (резервный день). Базовый уровень сдали 4,8 тысяч школьников, а профильный около 17 тысяч.
Результаты досрочного ЕГЭ по математике 2017 по плану должны были появится в доступе 11 апреля, но были обнародованы гораздо раньше – 7 числа.
Где посмотреть свою работу
Свою работу можно посмотреть после сдачи экзамена в электронном виде. Ее скан доступен в личном кабинете на портале ЕГЭ. Доступ к нему выдается при:
- Наличии идентификационного кода участника единого госэкзамена;
- ФИО и номера паспорта.
Если после объявления результатов участник не согласен с вынесенными баллами, то у него есть 2 дня на подачу апелляции в Экзаменационную комиссию. Заявление пишется в 2-х экземплярах и передается комиссии на рассмотрение. В срок до 5 июня решения задач будут снова рассмотрены и вынесено решение об изменении оценки или ее подтверждении.
Как оценивается экзамен? Система ЕГЭ для оценки результатов использует первичные и тестовые баллы, а также специальную шкалу их перевода друг в друга. Решения КИМов (контрольно-измерительных материалов) оцениваются в первичных баллах и затем переводятся согласно таблице в тестовые. Окончательным результатом экзамена считается число набранных тестовых баллов.
Разработка шкалы перевода первичных баллов в тестовые ведется каждый год и учитывает общий уровень подготовки школьников.
Для успешной сдачи профильной математики в 2018 году нужно набрать минимально:
- 6 первичных баллов;
- 27 тестовых баллов.
Дата пересдачи ЕГЭ по математике в 2018 году
Есть ряд дополнительных сроков для сдачи ЕГЭ . Они доступны, если по уважительным причинам школьник не смог сдать предмет в основной день. Для профильной математики это:
- 25 июня – резервный день в рамках основного этапа;
- 2 июля – резервный день основной части ЕГЭ, когда можно сдать любой предмет.
Возможность пересдать профильную математику в сентябре имеет ряд условий:
- Если у школьника сдана базовая математика, то к пересдаче профильного уровня он в этом году допущен не будет. Возможность пересдать ЕГЭ возникнет только в следующем году;
- Если провалены оба экзамена по математике (базовый и профильный), ученик может решить, какой из них он будет пересдавать.
Пересдача математики в сентябре назначена на 7 сентября . В качестве резервного дня значится 15 сентября.
11 класс
Условия задач
- Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 1596 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
- На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат - крутящий момент в Н∙м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой
где n - число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 120 Н∙м? Ответ дайте в километрах в час.
- На клетчатой бумаге с размером клетки x изображен треугольник АВС. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
- Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
- Найдите корень уравнения
- Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 o , угол CAD равен 35 o . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
- На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .
- Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
- Найдите значение выражения
- Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние от линзы до экрана - в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
- Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
- Найдите точку максимума функции .
- а) Решите уравнение
; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . - На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ = CN:NB = 3:1. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P,Q,M и N лежат в одной плоскости;
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды. - Решите неравенство
- Точка Е – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На её стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки СК и ВЕ пересекаются в точке О.
а) Докажите, что СО=КО.
б) Найдите отношение оснований трапеции BС: АD, если площадь треугольника ВСК составляет 9/64 площади всей трапеции ABCD. - В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
‐ каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года? - Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке .
- Каждый из 32 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.
а) Приведите пример, когда S<14
б) Могло ли значение S быть равным 17?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?
Задание 1
Если \(74\) человека составляют \(40\%\) , то \(74:2=37\) человек составляют \(20\%\) . Следовательно, \(100\%\) составляют \(37\cdot 5=185\) человек.
Ответ: 185
Задание 2
На графике показана зависимость температуры воды, выраженная в градусах Цельсия, от времени, отсчитываемого с начала ее нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура. Определите по графику, на сколько градусов изменилась температура воды с \(3\)
минут до \(8\)
минут. Ответ дайте в градусах Цельсия.
По графику видно, что спустя \(3\) минуты после начала нагрева температура воды была равна \(40^\circ C\) , спустя \(8\) минут температура была равна \(90^\circ C\) , следовательно, с \(3\) по \(8\) минуту температура изменилась на \(90-40=50^\circ C\) .
Ответ: 50
Задание 3
На клетчатой бумаге изображен треугольник \(ABC\)
. Найдите среднюю линию этого треугольника, параллельную стороне \(AB\)
.
Так как средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, то средняя линия, параллельная \(AB\) , будет равна \(0,5 AB\) . Так как \(AB=5\) , то средняя линия равна \(2,5\) .
Ответ: 2,5
Задание 4
На олимпиаду по математике пришло \(500\) школьников. Их разместили в четырех аудиториях: в трех аудиториях по \(150\) человек, в четвертой – \(50\) человек. Найдите вероятность того, что случайно выбранный школьник будет писать олимпиаду в маленькой аудитории.
Будем искать вероятность как отношение количества подходящих исходов к количеству всех исходов. Так как в маленькой аудитории \(50\) мест, то количество подходящих мест – \(50\) . Всего мест \(500\) . Следовательно, вероятность равна \[\dfrac{50}{500}=0,1.\]
Ответ: 0,1
Задание 5
Задание 6
Дан параллелограмм со сторонами \(21\) и \(28\) . К меньшей стороне проведена высота, длина которой равна \(20\) . Найдите длину высоты, проведенной к большей стороне.
Рассмотрим рисунок. Так как площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, то площадь данного параллелограмма равна \(21\cdot 20\)
или \(28\cdot h\)
. Следовательно, \
Ответ: 15
Задание 7
На рисунке изображен график производной функции \(y = f(x)\) . На оси абсцисс отмечены семь точек: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\) . В скольких из этих точек функция \(f(x)\) возрастает?
Функция возрастает в тех точках, в которых значение ее производной положительно. Следовательно, так как на рисунке изображен график производной, нам подходят те точки, в которых график производной находится ВЫШЕ оси абсцисс. Это точки \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . Всего таких точек 5.
Ответ: 5
Задание 8
В сосуд цилиндрической формы налили воду до уровня \(32\) см. Какого уровня достигнет вода, если ее перелить в другой сосуд цилиндрической формы, радиус основания которого в 4 раза больше радиуса основания первого сосуда? Ответ дайте в см.
Пусть радиус основания первого сосуда равен \(R_1\)
, а радиус основания второго равен \(R_2\)
. Тогда \(R_2=4R_1\)
. Заметим, что при переливании воды из одного сосуда в другой объем воды остается постоянным. Когда вода находилась в первом сосуде, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(32\)
и радиусом основания \(R_1\)
: \(V=\pi
R_1^2\cdot 32\)
. Когда ее перелили во второй сосуд, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(h\)
(эту величину нужно найти) и радиусом основания \(R_2\)
, то есть \(V=\pi R_2^2\cdot h\)
. Но тогда: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad
h=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot
32=\left(\dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]
Ответ: 2
Задание 9
Найдите значение выражения \
Перепишем выражение в виде \ По формуле косинуса двойного угла \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) выражение перепишется как \
Ответ: -3
Задание 10
При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0=140\) Гц и определяется следующим выражением: \ где \(c\) – скорость распространение сигнала в среде (в м/с), а \(u=15\) м/с и \(v=14\) м/с – скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости \(c\) (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике \(f\) будет не менее \(145\) Гц?
Так как нужно найти такое \(c\) , при котором \(f\geqslant 145\) , то нужно решить неравенство \ Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(c\in \) . Следовательно, при таких значениях \(c\) значение \(f\) будет не менее \(145\) . Тогда наибольшее значение \(c\) – это \(826\) .
Ответ: 826
Задание 11
Теплоход, скорость которого в стоячей воде равна \(27\) км/ч, движется по течению из пункта А в пункт Б. По приезде в пункт Б теплоход сделал стоянку длительностью \(5\) часов, затем отправился обратно в пункт А. Известно, что теплоход вернулся в пункт А через \(32\) часа после отплытия из А. Сколько километров прошел теплоход, если скорость течения реки равна \(1\) км/ч?
Пусть расстояние между пунктами А и Б равно \(S\) . Тогда на дорогу из А в Б теплоход потратил \[\dfrac{S}{27+1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Далее он сделал в пункте Б остановку длительностью 5 часов, и на дорогу из Б в А он потратил \[\dfrac{S}{27-1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Всего он затратил 32 часа, следовательно, \[\dfrac S{27+1}+5+\dfrac S{27-1}=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28\] Тогда всего теплоход прошел \(2S\) километров, или \
Ответ: 728
Задание 12
Найдите точку минимума функции \
ОДЗ функции: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)
Точки минимума функции – это точки, в которых производная меняет свой знак с “\(-\)
” на “\(+\)
” (если смотреть слева направо). Найдем производную, ее нули и точки, где она не существует, и вычислим знаки на получившихся промежутках. \
Нули производной: \
Знаки производной на ОДЗ:
Следовательно, \(x=-9\)
– точка минимума.
Ответ: -9
Задание 13
а) Решите уравнение \[\log_4(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{3\pi}2\right].\)
а) ОДЗ уравнения: \(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\) . Решим уравнение на ОДЗ. Его можно преобразовать: \[\begin{aligned} &2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow\\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end{aligned}\] Решениями данного уравнения будут \(\cos x=0\) и \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\) : \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения \((*)\) , а \(4^x>0\) при всех \(x\) , то при подстановке данных корней в уравнение левая часть \((*)\) также будет всегда \(>0\) . А это и есть ОДЗ. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.
б) Отберем корни. \[\begin{aligned} &-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\\ & -\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}3\\ &-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3 \end{aligned}\]
Ответ:
а) \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}2; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{3\pi}2\)
Задание 14
Основанием четырехугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник \(ABCD\) , причем \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\) .
а) Докажите, что \(P\) – середина отрезка \(BQ\) .
б) Найдите угол между гранями \(SBA\) и \(SBC\) , если \(SD=9\) .
а) Пусть \(O\)
– точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\)
. Тогда \(SO\)
– высота пирамиды. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=BO=CO=DO\)
. Следовательно, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle
DOS\)
, откуда \(AS=BS=CS=DS\)
. Обозначим \(AS=x\)
.
Рассмотрим грань \(ASB\)
. Проведем \(SK\perp AB\)
. Тогда \(KB=0,5
AB=1,5\sqrt2\)
. Тогда \[\dfrac{KB}{SB}=\cos \angle SBA=\dfrac{BP}{BA}
\quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\]
Рассмотрим грань \(CSB\)
. Проведем \(SH\perp CB\)
. Тогда \(HB=0,5 CB=3\)
. Тогда \[\dfrac{HB}{SB}=\cos \angle SBC=\dfrac{BQ}{BC}
\quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac {18}x\]
Следовательно, \
Чтд.
б) По условию \(x=9\) . Заметим, что в грани \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (так как \(PH\) – средняя линия в \(\triangle CQB\) ) Следовательно, \(PH\perp SB\) . Следовательно, по определению, \(\angle APH\) – линейный угол двугранного угла между гранями \(SBC\) и \(SBA\) . Найдем его по теореме косинусов из \(\triangle APH\) .
\(BP=\frac9{x}=1\)
. Следовательно, по теореме Пифагора из \(\triangle
ABP\)
: \(AP^2=18-1=17\)
.
По теореме Пифагора из \(\triangle HBP\)
: \(HP^2=9-1=8\)
.
По теореме Пифагора из \(\triangle ABH\)
: \(AH^2=18+9=27\)
.
Следовательно, по теореме косинусов из \(\triangle APH\)
: \[\cos \angle APH=\dfrac{AP^2+HP^2-AH^2}{2\cdot AP\cdot HP}=
-\dfrac1{2\sqrt{34}}\]
Следовательно, угол между гранями \(SAB\)
и \(SCB\)
равен \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1{2\sqrt{34}}\right)\]
Ответ:
б) \(\arccos\left(-\frac1{2\sqrt{34}}\right)\)
Задание 15
Решите неравенство \[\dfrac{2^x}{2^x-8}+\dfrac{2^x+8}{2^x-4} +\dfrac{66}{4^x-12\cdot 2^x+32}\leqslant 0\]
Сделаем замену \(2^x=t\) , тогда неравенство примет вид \[\begin{aligned} &\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{t^2-12t+32}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(t-4)+(t^2-8^2)+66}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t^2-4t+2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-1)^2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Решим данное неравенство методом интервалов:
Тогда решением будут \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&t=1\\
&4
Ответ:
\(\{0\}\cup(2;3)\)
Задание 16
Точка \(E\) – середина боковой стороны \(CD\) трапеции \(ABCD\) . На ее стороне \(AB\) взята точка \(K\) так, что прямые \(CK\) и \(AE\) параллельны. Отрезки \(CK\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\) .
а) Докажите, что \(CO=OK\) .
б) Найдите отношение оснований трапеции \(BC:AD\) , если площадь треугольника \(BCK\) составляет \(\dfrac9{64}\) площади всей трапеции \(ABCD\) .
а) Продлим \(AE\) и \(BC\) до пересечения в точке \(P\) :
Тогда \(\angle AED=\angle CEP\)
как вертикальные, \(\angle ADE=\angle
PCE\)
как накрест лежащие при \(AD\parallel BP\)
и \(CD\)
секущей. Следовательно, по стороне и двум прилежащим углам \(\triangle
AED=\triangle CEP\)
. Тогда \(AD=CP\)
, \(AE=EP\)
.
Так как \(CK\parallel AP\)
, то \(\triangle BKO\sim \triangle ABE\)
и \(CBO\sim \triangle PBE\)
, следовательно, \[\dfrac{KO}{AE}=\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{OC}{EP} \quad\Rightarrow\quad
\dfrac{KO}{OC}=\dfrac{AE}{EP}=1\]
Таким образом, \(KO=OC\)
, чтд.
б) Так как \(\triangle AED=\triangle CEP\) , то \(S_{ABCD}=S_{ABP}\) . Таким образом, \ Так как \(\triangle BCK\sim \triangle ABP\) , то их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно, \ Следовательно, \(BC:BP=3:8\) , а значит \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .
Ответ:
б) \(3:5\)
Задание 17
В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \(30\%\)
по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на \(156\,060\)
рублей?
Пусть \(A\)
рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=1,3\)
и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|l|l|c|}
\hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\%
& \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\
\hline 1 & A & tA & x\\
\hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\
\hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\
\hline \end{array}\]
Тогда после последнего платежа долг будет равен \
По условию \(3x-A=156\,060\)
, следовательно, \[\dfrac{3At^3}{t^2+t+1}-A=156\,060
\quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2,197A-3,99A=156060\cdot 3,99
\quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{156060\cdot 3990}{2601}=60\cdot
3990=239\,400\]
\(x_3\)
удовлетворяют \((2)\)
. Также заметим, что корень \(x_1\)
принадлежит отрезку \(\)
.
Рассмотрим три случая:
1) \(a>0\)
. Тогда \(x_2>3\)
, \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\)
удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
не удовлетворяет \((1)\)
, или совпадает с \(x_1\)
, или удовлетворяет \((1)\)
, но не входит в отрезок \(\)
(то есть меньше \(0\)
);
- \(x_1\)
не удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
удовлетворяет \((1)\)
и не равен \(x_1\)
.
Заметим, что \(x_3\)
не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\)
(то есть быть больше \(\frac35\)
). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[
\begin{gathered}\begin{aligned}
&\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\
3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\
&\begin{cases}
\dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\
3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\)
, получим: \
2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть \(230\) . Вычислим ее: \[\dfrac{1+99}2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
б) Предположим, что на доске нет числа \(14\) . Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\) . Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac{1+101}2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные \(14\)
(это числа \(14, 28, 42, 56\)
): \
Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных \(14\)
.
Возьмем набор чисел от \(1\)
до \(100\)
. Сумма чисел в данном наборе равна \(5050\)
. Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные \(14\)
, странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это \(98\)
. Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это \(101\)
. После этого мы получим минимальную сумму, равную \(5053\)
. Она меньше, чем \(5120\)
, поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа \(98, 84, 70\)
. Вместо них добавим \(101, 102, 103\)
. Получим при этом минимальную сумму, равную \(5104\)
. Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав \(56\)
и добавив \(104\)
, получим минимальную сумму \(5152\)
, что больше, чем \(5120\)
. В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.
