§ 138. Деление числа на части прямо пропорционально данным числам.
Задача. В саду на двух участках посажено 224 штуки рассады клубники. Определить, сколько штук рассады посажено на каждом участке, если площадь первого участка 8 кв. м, а площадь второго 24 кв. м. (На каждом квадратном метре земли сажают рассаду в среднем поровну.)
Будем решать эту задачу так. Сначала определим площадь двух участков вместе:
8 + 24 = 32 (кв. м).
Итак, площадь двух участков вместе 32 кв. м. Определим теперь, сколько штук рассады приходится на 1 кв. м:
224: 32 = 7 (штук).
Зная сколько рассады приходится на 1 кв. м, мы легко вычислим число штук рассады на 8 кв. м и на 24 кв.. м, т. е. ответим на вопрос задачи:
7 8 = 56 (штук);
7 24 = 168 (штук).
Подумаем теперь, какие величины входят в нашу задачу и как они связаны между собой. В условие задачи входят две величины: 1) количество штук рассады, 2) площадь участка. Эти две величины прямо пропорциональны одна другой, потому что, чем больше площадь участка, тем больше на нём можно посадить рассады. Расположим числа, с которыми мы имели дело в задаче, так, чтобы их удобно было сравнивать:
8 кв. м - 56 штук
24 кв. м - 168 штук
Из этой таблички видно, что второй участок втрое больше первого и рассады на нём в три раза больше, чем на первом.
Итак, в этой задаче мы разделили число штук рассады пропорционально площадям двух участков. Это и есть одна из возможных задач на пропорциональное деление. Как же решаются такие задачи? В задаче требовалось число 224 разделить на две части, пропорциональные числам 8 и 24, т. е. разделить это число на такие две части, которые относились бы между собой так же, как 8: 24. Обозначим величину первой части буквой х , а второй части - у и напишем отношение этих частей:
Для нахождения этих частей были выполнены следующие действия. Число 224 разделили на сумму чисел 8 и 24 и затем найденное частное последовательно умножили сначала на 8, а потом на 24, т. е.
Словами эти равенства можно высказать так: чтобы разделить некоторое число на части пропорционально данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и полученное частное последовательно умножить на каждое из этих чисел.
Рассмотрим другую задачу: «За три куска мыла одного и того же сорта заплатили 40 руб, Сколько заплатили за каждый из них, если первый кусок весил 2 кг, второй 3 кг и третий 5 кг?»
В этой задаче требуется разделить 40 руб. на 3 части пропорционально весу отдельных кусков мыла. Обозначим стоимость первого куска буквой х , второго куска - у и третьего - z .
Воспользуемся правилом, выведенным при решении первой задачи. Согласно этому правилу для нахождения искомых чисел необходимо число, подлежащее делению, разделить на сумму данных чисел и полученное частное умножить последовательно на каждое из них. Следовательно:
Таким образом, первый кусок мыла стоит 8 руб., второй 12 руб. и третий 20 руб. Найденные числа рублей х, у, z находятся между собой в таких же отношениях, как и данные в задаче числа весовых единиц, т. е.
х: у: z = 8: 12: 20 = 2: 3: 5.
Рассмотрим теперь задачу с отвлечёнными числами. Разделить число 180 на три части пропорционально числам 3; 5; 7. Иными словами: в этой задаче требуется разложить число 180 на такие три слагаемых, чтобы первое относилось ко второму, как 3 к 5, второе относилось к третьему, как 5 к 7 и, наконец, первое к третьему, как 3 к 7. Сокращённо это можно написать так:
х: у: z = 3: 5: 7,
где х, у, z обозначают соответственно первое, второе и третье число.
Применяя указанное выше правило, можем написать:
Полученные три числа удовлетворяют условию задачи: они в сумме составляют 180, т. е.
36 + 60 + 84 = 180 и 3: 5: 7 = 36: 60: 84.
Мы решили три задачи на пропорциональное деление. Покажем теперь другие способы решения таких задач.
Задача 1. Определить квартирную плату за каждую из двух комнат (8 кв. м и 24 кв. м), если за обе вместе нужно заплатить 64 руб.
Обозначим плату за 1 кв. м буквой х ; тогда за первую комнату нужно будет заплатить 8x , а за вторую - 24x . Значит, за обе комнаты вместе надо заплатить 8х + 24х , что составляет 64 руб. Следовательно, можно записать равенство:
8х + 24х = 64.
32x = 64;
х = 64: 32 = 2 (руб.).
2 8 = 16 (руб.);
2 24 = 48 (руб.).
Задача 2. Найти стоимость каждого из трёх пакетов муки, если все три пакета стоят 40 руб., а вес первого 2 кг, второго 3 кг и третьего 5 кг.
Обозначим цену одного килограмма буквой х , тогда:
2 кг будут стоить 2х;
3 кг » » 3х ;
5 кг » » 5х ;
а вся мука будет стоить:
2х + 3х + 5х = 40.
10х = 40; х = 40: 10 = 4 (руб.).
После этого легко определить стоимость каждого пакета;
2х = 2 4 = 8 (руб.);
3х = 3 4 = 12 (руб.);
5х = 5 4 = 20 (руб.).
Задача 3. Разделить число 1 800 на три слагаемых пропорционально числам: 3, 5 и 7.
Рассуждаем так: в первом слагаемом 3 части, во втором 5 и в третьем 7.
Обозначая величину одной части буквой х , можно написать:
3х + 5х + 7х =1 800.
15х = 1 800; х = 1 800: 15 = 120.
Следовательно:
3х = 3 120 = 360;
5х = 5 120 = 600;
7х = 7 120=840.
Решим теперь задачу, в которой "некоторое число придётся разделить на четыре части пропорционально дробным числам.
Задача. Разделить 968 на четыре части пропорционально числам: 2 / 3 , 3 / 4 , 2 / 5 и 3 / 8 .Это значит, что надо найти четыре таких числа (х, у, z, t ), отношения которых были бы равны соответствующим отношениям данных чисел, т. е.
а сумма x + y + z + t = 968.
Заменим отношения дробных чисел отношениями целых чисел, для чего приведём эти дроби к общему знаменателю:
Отбрасывая общий знаменатель 40, получим: 60: 30: 16: 15. Вычислим последовательно каждое из искомых чисел:
§ 139. Деление числа на части обратно пропорционально данным числам.
Теперь перейдём к решению задач, в которых придётся некоторое число делить обратно пропорционально данным числам.
Задача. В двух полевых бригадах 70 колхозников. Каждой бригаде поручено обработать одинаковые участки. Сколько колхозников в каждой бригаде, если первая бригада выполнила работу в 6 дней, а вторая - в 8 дней? (Предполагается, что все колхозники работают с одинаковой производительностью труда.)
Очевидно, мы не имеем права делить число колхозников на две части пропорционально времени, которое каждая бригада употребила на работу, так как та бригада, которая быстрее окончила свою работу, была, по-видимому, более многочисленная, чем другая. Поэтому решать эту задачу так же, как мы решали предыдущие задачи, нельзя.
Будем рассуждать следующим образом. Первая бригада колхозников окончила свою работу в 6 дней; значит, в один день она выполняла 1 / 6 часть всей работы; вторая бригада окончила такую же работу в 8 дней, значит в один день она выполняла 1 / 8 всей работы.
Сравним теперь работу, которую выполняет в день первая бригаду с работой, выполняемой в день второй бригадой. Эти работы выражаются дробями 1 / 6 и 1 / 8 . Первая дробь больше второй. Значит, первая бригада в один день может делать больше, чем вторая. А так как все колхозники работают с одинаковой производительностью труда, то, значит, в первой бригаде больше колхозников, чем во второй. Таким образом, число колхозников в каждой бригаде пропорционально той работе, которую каждая бригада может выполнить. Значит, данное в задаче число 70 мы должны разделить на две части пропорционально числам: 1 / 6 и 1 / 8 . С задачами такого типа мы уже знакомы. Приведя дроби 1 / 6 и 1 / 8 к общему знаменателю, мы найдём числа, пропорционально которым следует разделить число 70:
т. е. число 70 нужно разделить на две части пропорционально числам 4 и 3. Обозначим число колхозников первой бригады буквой х , а второй - буквой у и вычислим:
Итак, в первой бригаде было 40 человек, а во второй 30. Рассмотрим теперь метод решения этой задачи. В условие задачи входят три числа: 70 (человек), 6 (дней) и 8 (дней). В процессе решения мы ввели еще два числа: 1 / 6 и 1 / 8 , и пропорционально этим дробям разделили число 70 на две части. Очевидно, что число 6 и число 1 / 6 взаимно обратны. Так же взаимно сбратны числа 8 и 1 / 8 .
Для решения задачи требуется разделить 70 рабочих на две неравные бригады, исходя из количества времени (дней), затраченного ими на работу. Это время выражается числами 6 (дней) и 8 (дней). Вместо этих двух чисел мы берём обратные им числа 1 / 6 и 1 / 8 и пропорционально им делим число 70.
Такая замена сделана нами потому, что число работников не прямо, а обратно пропорционально времени, затраченному на работу. О такой задаче принято говорить, что в ней число 70 разделено на две части обратно пропорционально числам 6 и 8, т. е. в ней первая часть относится ко второй не как 6 к 8, а как 8 к 6.
Итак, чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным числам, нужно это число разделить прямо пропорционально обратным числам.
Задача. Разделить 65 на три части обратно пропорционально числам: 2, 3, 4.
Мы теперь знаем, что разделить число на части обратно пропорционально нескольким числам - это значит разделить его на столько же частей прямо пропорционально обратным числам.
Напишем числа, обратные данным в задаче:
данные числа 2, 3, 4;
обратные числа 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 .
Пропорционально этим последним и нужно разделить число 65. Приведём дроби к общему знаменателю:
а потом освободимся от него:
Значит, число 65 нужно разделить на три части пропорционально числам 6: 4: 3.
Обозначим первую часть буквой х , вторую часть буквой у , третью часть буквой z . Тогда
{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}
ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
4 КЛАСС
Задачи на пропорциональное деление получили свое название по способу их решения. Чтобы дать ответ на вопрос задачи необходимо составить некоторую пропорцию и рассчитать как соотносятся между собой искомые величины.
Рассмотрим решение задачи на пропорциональное деление на примере:
Задача: Двое рабочих заработали 9000 рублей. Один работал 2 недели, а другой 8 недель. Сколько денег заработал каждый?
Решение: Исходя из условия задачи, можно найти как оплачивается одна неделя такой работы:
9000 ÷ (8 + 2) = 900 рублей за неделю.
900 · 2 = 1800 рублей - один рабочий;
900 · 8 = 7200 рублей - другой рабочий.
Ответ: 1800 и 7200.
Примеры задач на пропорциональное деление:
1) Двое рабочих получили 8000 рублей. Как они разделят свой заработок, если один работал 6 недель, а другой 4 недели?
2) 25 м проволоки весят 700 г. Взяли два мотка проволоки. В одном мотке 30 м проволоки, а в другом на 15 м больше. Сколько весит каждый моток?
3) Для приготовления торфоперегнойных горшков берут на 7 частей земли 2 части торфа. Сколько нужно взять земли на 200 кг торфа?
4) Две школы выписали на 960 рублей клубничной рассады. Одна школа взяла 3 ящика, а другая 5 ящиков. Сколько должна заплатить каждая школа за рассаду клубники?
5) Два грузовика перевезли 77 т груза, сделав одинаковое число рейсов. Сколько тонн груза перевёз каждый грузовик, если один грузовик перевозил за рейс 3 т, а другой - 4 т?
6) Двое рабочих выписали из питомника 26 яблонь. Как они должны разделить яблони, если один дал на покупку 500 рублей, а другой 800 рублей?
7) Сколько граммов резинового клея получится из 50 г каучука, если для приготовления клея берут на одну часть каучука 9 частей очищенного бензина?
8) Двое рабочих заработали 8400 рублей. Первый работал 5 недель, а второй 7 недель. Сколько денег заработал каждый рабочий?
9) Две бригады работали одинаковое время и заработали вместе 810 рублей. Как они должны разделить этот заработок, если в одной бригаде было 4 человека, а в другой 5?
10) Клуб купил одинаковое число лыж и коньков. Пара коньков стоит 6 долларов, а пара лыж 9 долларов. Сколько стоят отдельно коньки и лыжи, если за всю покупку заплатили 900 долларов?
11) Для приготовления жидкого столярного клея берут 15 частей плиточного клея и 17 частей воды. Сколько нужно взять плиточного клея для изготовления 640 г жидкого столярного клея?
12) На 118 рублей купили одинаковое число пальто для мальчиков и девочек. Сколько куплено тех и других, если каждое пальто для мальчиков стоило 31 марку, а для девочек 28 марок?
13) Колхоз привёз одинаковое количество ящиков яблок и груш. Каждый ящик груш весил 50 кг, а ящик яблок 40 кг. Все фрукты вместе весили 810 кг. Сколько килограммов тех и других фруктов отдельно привезли?
14) В двух кусках 24 м сукна. Один кусок стоит 240 долларов, а другой 480 долларов. Сколько метров сукна в каждом куске?
15) "Москвич" на 100 км пути расходует 9 л бензина, "Волга" - 13 л. Обеим машинам отпущено 66 л бензина на 300 км пути. Сколько литров бензина отпущено каждой машине?
{module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}
1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.
2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.
2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.
Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.
2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.
3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:
4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.
Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно
Методика обучения решению задач на нахождения четвертого пропорционального.
Задача на нахождение четвертого пропорционального – это задача, в которой даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом известны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым.
Особое внимание необходимо уделить классификации задач на нахождение четвертого пропорционального. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью (третья равна произведению первой и второй), можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального. Среди этих задач первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.
Основным способом решения задач такого вида в начальной школе – арифметический (нахождение значения постоянной величины и нахождением отношения двух значений одной величины), также практикуется и алгебраический способ решения (уравнением).
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.
Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального аналогичны как и в работе с другими задачами – подготовительный, ознакомительный, закрепление. В начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью с такими группами величин:
Цена, количество, стоимость;
Масса одного предмета, число предметов, общая масса;
Емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;
Выработка (производительность) в единицу времени, время работы, общая выработка;
Расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. Далее вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь и весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех шести видов.
Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.
В НШ решаются задачи только на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин, решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение школьников решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.
При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление следует получить задачи этого вида путем совместной с учащимися работы по преобразованию задач на нахождение четвертого пропорционального в задачи нового вида. Или составление задачи по записанной таблице. Таким образом, необходимо отметить важность наличия у детей сформированного умения составлять и преобразовывать задачи.
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. Следует обратить особое внимание на особенности работы с ознакомлением данного вида задач поэтапно.
В начале рассматривают преимущественно задачи на пропорциональное деление первого вида с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость и др. После этого вводятся задачи второго вида, а несколько позднее третьего и четвертого видов. Следует отметить, что в начальной школе в основном решаются задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин.
При первоначальном ознакомлении применять чертеж нецелесообразно, т.к. учащиеся усваивают формальные рассуждения, т.е. происходит преждевременное сокращение рассуждений. Разбор задачи изображать в виде графической схемы тоже нецелесообразно, т.к. она начнется с двух вопросов и вызывает затруднение учащихся.
Для закрепления решения задач на пропорциональное деление в дальнейшем включаются задачи с другими величинами и другие задачи из этой группы. Используются упражнения творческого характера на составление и преобразование задач.
Пропорциональное деление
деление какой-либо величины в данном отношении. Если данная величина есть a
, a отношение есть n
, то надо разделить a
на две части x
и (а-х
) так, чтобы отношение x
к (a-x
) равнялось бы n.
Выразив это уравнением и решив его относительно x
, получим: x
= an
/(1 + n
). К числу вопросов о пропорциональном делении относятся две известные геометрические задачи: найти длину x
, среднепропорциональную двум данным длинам a
и b
; разделить данную длину в крайнем и среднем отношении. Построения, с помощью которых получаются решения этих и подобных задач, приводятся в начальных учебниках геометрии.
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .
Смотреть что такое "Пропорциональное деление" в других словарях:
Правило товарищества, арифметич. способ деления числа на части, пропорциональные данным числам; находит частое применение при делении прибыли между товарищами пропорционально (соответственно) внесенным ими в предприятие капиталам или… …
- (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением … Толковый словарь Ушакова
История науки … Википедия
Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия
Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия
История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия
Петров (Иван) русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 году в крестьянской крепостной семье в Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В… … Биографический словарь
Русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 г. в крестьянской крепостной семье, Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В возрасте 11 лет… …
Феноменальный счетчик, родился в 1823 году в дер. Рагозино Кологривского у. Костромской губ.; родители его были крепостными крестьянами помещицы Волтатис. Несмотря на свою неграмотность, П. еще в самом раннем возрасте поражал своими способностями … Большая биографическая энциклопедия
Книги
- Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
- Арифметика , Киселев А.. Целые числа. О делимости чисел. Измерения величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины. Вниманиючитателей…
- Арифметика. Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины , Киселев А.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
