Пропорциональное деление. Методика обучения решению задач на пропорциональное деление

Два куска одинаковой ткани стоят 360 рублей. В одном из них 5 метров, а в другом 4 метра. Сколько стоит каждый кусок ткани?

Составим краткую запись к задаче в виде таблицы.

Поскольку в задаче указана одинаковая ткань, значит, и цена у нее одинаковая.

Нужно узнать стоимость каждого куска ткани. Чтобы найти стоимость куска ткани, надо знать цену и количество метров ткани.

В данной задаче не известна цена ткани. Чтобы знать цену, нам нужно знать стоимость и количество ткани.

Мы знаем стоимость 2 кусков ткани - 360 р. И можем узнать, за сколько метров заплатили 360 р.

Решение

1. Сколько метров ткани было куплено на 360 р. (рис. 1)?

5 м 4 м

Рис. 1. Схема к задаче 1

5 + 4 = 9 (м)

2. Сколько стоит 1 м ткани?

360: 9 = 40 (р.)

3. Найдем стоимость каждого куска ткани, так как уже знаем количество ткани и стоимость 1 м.

40 * 5 = 200 (р.)

40 * 4 160 (р.)

Ответ: один кусок ткани стоит 200 рублей, другой кусок ткани - 160 рублей.

В одном мешке было 56 кг муки, а в другом - 24 кг муки. Эту муку расфасовали в 40 пакетов поровну. Сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка?

Составим краткую запись в виде таблицы.

В задаче сказано, что муку расфасовали поровну, значит, в каждом пакете одинаковое количество килограммов. Известно, что муку расфасовали в 40 пакетов.

Чтобы узнать, сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка, сначала нужно узнать массу одного пакета.

Чтобы узнать массу одного пакета, нужно знать массу всей муки и количество всех пакетов. Нам известно количество пакетов, и можем найти массу всей муки.

1. Какова масса всей муки (рис. 2)?

56 кг 24 кг

Рис. 2. Схема к задаче 2

56 + 24 = 80 (кг)

2. Сколько муки в 1 пакете?

80: 40 = 2 (кг)

В одном пакете 2 кг муки, а в мешке 56 кг.

3. Сколько пакетов необходимо для расфасовки 56 кг муки?

56: 2 = 28 (пак.)

4. Сколько пакетов муки необходимо для расфасовки 24 кг муки?

24: 2 = 12 (пак.)

Ответ: потребовалось 28 пакетов для расфасовки муки из одного мешка, и 12 пакетов - из другого мешка.

Сравним краткую запись двух задач для их решения.

В первой задаче дана общая стоимость всей ткани и первым действием мы нашли общее количество метров ткани, затем смогли найти стоимость одного метра ткани.

Во второй задаче было дано общее количество пакетов и первым действием мы нашли общую массу всей муки, затем смогли найти массу одного пакета.

Список литературы

1. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 4 класс. - М.: Просвещение, 2014.
2. Моро М.И. Математика. 4 класс. Учебник в 2 частях. - М.: Просвещение, 2011.
3. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 частях. - М.: Ювента, 2013.

Дополнительные р екомендованные ссылки на ресурсы сети И нтернет

1. Metodmat.narod.ru ().
2. Tak-to-ent.net/ ().
3. Mat-zadachi.ru ().

Д омашнее задание

1. Детям купили игрушки: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоит 1 стул?
2. Две девочки зашли в магазин. Всего они купили 22 одинаковые конфеты. Одна девочка заплатила 60 рублей, а вторая - 72 рубля. Сколько конфет купила каждая девочка?

Решение: х кг – масса одной части

Сережа – х кг, Наташа – 4х кг, Коля – 3х кг

х + 4х + 3х = 2,4

х = 0,3

Сережа – 0,3 кг, Наташа – 1,2 кг, Коля – 0,9 кг

Решение: пусть х

Тогда масса воды – 4х кг, масса ягод – 3х кг, сахара – 2х кг.

4х + 3х + 2х = 13,5

9х = 13,5

х = 1,5

Масса воды – 6 кг, масса ягод – 4,5 кг, сахара – 3 кг.

Решение: 1 способ. Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда длина первого отрезка 2х м, длина второго - 3х м.

2х + 3х = 1

х = 0,2

длины отрезков 0,4 м и 0,6 м

2 способ. Найдем длину одной части 2+3=5 частей

1:5=0,2 м – длина одной части

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

88=16+24+48

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

8х = 112

х = 14 – коэффициент пропорциональности

первое число – 42, второе – 70

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

Первое число -
, второе - .

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

Третье число -
, второе число -
.

Пусть у – коэффициент пропорциональности.

Первое число - .

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

Тогда собственная скорость парохода – 36х км/ч, скорость течения - 5х км/ч, скорость против течения - 31х км/ч, скорость по течению - 41х км/ч.

Скорость по течению относится к скорости против течения, как 41:31.

Скорость

Время

5 ч 10 мин = ч

х ч

Обратная пропорциональность

- время на обратный путь

х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у: z =4:5.

Решение: х:у: z =3:4:5

Всего 3+4+5=12 частей

144:12=12 – одна часть

х=36, у=48, z =60.

х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у: z =5:3.

Решение:

Всего 15+10+6=31 часть

310:31=10 – одна часть

х=150, у=100, z= 60.

Решение: пусть х, у, z – данные числа.

10x=15y, 15y=5z

Всего 3+2+6=11 частей

Первое число -
, второе -
, третье -
.

т, 2т, т-3. т можно решить эту задачу?

Решение: всего т + 2т + т-3 = 4т – 3 частей

Найдем длину одной части:

Длина первой части -
км, длина второй части -
км, длина третьей части -
км.

Задача имеет решение при

Пропорциональное деление

Сережа собрал 2,4 кг клубники. Четыре части он отдал сестре Наташе, три части – брату Коле, а одну часть оставил себе. Сколько килограммов клубники получил каждый?

Для приготовления компота требуется вода, ягоды и сахар, массы которых должны быть пропорциональны числам 4, 3 и 2 соответственно. Сколько надо взять воды, ягод и сахара (по массе) для приготовления 13,5 кг компота?

Отрезок длиной 1 м разделили на две части, длины которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите длины этих отрезков.

Три числа относятся, как 3:5:8, третье число равно 112. Вычислите два первых числа.

Собственная скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36:5. Пароход двигался вниз по течению реки 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

Разделите число 144 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у: z =4:5.

Разделите число 310 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у: z =5:3.

Сумма трех чисел равна 90. Произведения первого числа на 10, второго числа на 15 и третьего числа на 5 равны между собой. Найдите эти числа.

От станции до поселка 4 км. Турист решил это расстояние разделить на три части, пропорциональные числам т, 2т, т-3. Найдите, сколько километров составляет каждая часть пути. При любом ли значении т можно решить эту задачу?

Методика ознакомления с действием деление

Основы формирования у младших школьных представлений о смысле деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сведется к разбиению конечного множества на равномощные, попарно непересекающиеся подмножества. Такой подход более доступен учащимся, так как предполагает использование жизненного опыта ребенка по УМК школа России. Раскрытие смысла деления происходит через деление по содержанию.

«12 роз поставили в вазы, по 3 розы. Сколько потребовалось ваз? » Задача решается практически.

Задача решена, ответ найден, но записать решение ребенок не может.

Учитель говорит: Есть ли какие-то предметы деления на равные части, раскладывают поровну, то действие можно записать с помощью деления: 12:3=4(в). Показывает запись(:) и обозначение.

На следующем этапе рассматривается деление на равные части, через решение обратной задачи. Тип задачи такой: «12 роз поставили в 4 вазы поровну. Сколько роз в каждой вазе?»

Чтобы роз было поровну, будем ставить их по 1 в вазу. Для этого сразу возьмем 4 розы и так далее.

Данный фрагмент показывает связь деления на равные части с делением по содержанию. Деление на равные части включает в себя деление по содержанию, а именно деление по одному 12:4=3(р)

На отдельных уроках решаются два вида задач, задачи решаются практически или через схематических рисунок.

П: 12 кусков сахара нужно разложить по 3 в стаканы. Сколько потребуется стаканов? Решаем задачу практически(сахар, стаканы). В тетради делаем рисунок (схематически).

Замечание: у учащихся не должно сформироваться представление о том, что есть два действия деления. Они должны понимать: делим мы по содержанию или на равные части, но если делимое и делитель совпадают, то есть равны он частные будут равны.)

Ознакомление с компонентами деления происходили аналогично компонентам умножения.

Опираясь на смысл деления на действия с предметными множествами устанавливается взаимосвязь между компонентами и результатом деления. Учитель на доске располагает 8 по 2 и предлагает составить задачу на деление.

8:2=4 (делимое:делитель= частное)

Отсюда формулируется правила:

1.Чтобы найти делетиль, нужно делимое разделить на частное.

В четырех группах по 2.Сколько всего?

Из этого следует правило: чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

Особые случаи деления:

1.Деление на 1. Зная, что 1*4=4 ,имеем 4:1=4- нахождение компонента умножения. Рассмотрев несколько таких случаев,делаем вывод: при деление числа на 1 получаем тоже самое число.

2.Деление на 10

20:10- это значит подобрать такое число, которое при умножении на 10=20. Это 2.

Значит найти такое число, при умножениии которого на 5 получим 0-это ноль. Рассмотрев несколько предметов, делаем вывод: при делении 0 на любое число, получается 0.

Задачи на пропорциональное деление

Эти задачи вводятся в 4 классе. Основным признаком задач на пропорциональное деление является содержащееся в задаче требование распределить одно численное значение величины (например, стоимости) соответственно данным числам (например, соответственно числу вещей в одной группе и числу вещей в другой группе).

Подготовкой к решению задач данного вида является умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. Для ознакомления с задачами на пропорциональное деление в учебнике предлагается одновременно две задачи

1) Детям купили игрушки: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоит 1 стул?

2) Детям купили: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоят 6 стульев, купленных Оле, и сколько стоят 4 стула, купленных Кате?

1) Задача 645 (1) является подготовительной ко второй задаче. Ученики читают задачу и рассматривают рисунок в учебнике. После этого записывают задачу кратко под руководством учителя и решают устно.

Какие величины даны в задаче? (Цена, количество, стоимость.) Запишем. Что известно? (Количество стульев: Оле купили 6 одинаковых стульев, а Кате - 4 таких же стула; известна стоимость - все стулья стоили 500 р.) Что надо узнать? (Цену.) Что известно о цене? (Она одинаковая.) Запишем. Получается запись.

Можно ли сразу узнать цену стула? (Нет.) Почему? (Не знаем, сколько всего стульев купили.) А это можно узнать? (Можно.) Как решим эту задачу? (Сначала узнаем, сколько стульев купили: к 6 прибавим 4, получится 10. Купили 10 стульев. Теперь узнаем цену стула: разделим 500 на 10, получится 50. Цена стула - 50 р.)

Прочитайте задачу 645 (2) и скажите, чем она отличается от предыдущей. (Эта задача отличается вопросом: здесь надо узнать не цену стула, а стоимость 6 стульев и 4 стульев.) Запишем в краткой записи два вопросительных знака:

Здесь два вопроса задачи. Назовите их. (Сколько стоят 6 стульев и сколько стоят 4 стула.) Как узнать, сколько стоят 6 стульев? (Надо цену стула умножить на 6, а как находить цену, мы уже знаем.) Как же решить задачу? (Сначала узнаем, сколько купили всего стульев, затем цену стула, потом стоимость 6 стульев.) Нельзя ли теперь узнать стоимость 4 стульев? (Можно: цену стула умножить на 4.)

Эту первую задачу на пропорциональное деление полезно решить с записью отдельных действий и пояснений к ним или так называемых вопросов:

1) Сколько всего стульев купили?

2) Сколько стоит один стул?

3) Сколько стоят 6 стульев?

4) Сколько стоят 4 стула?

Проверка: 300+200=500 (р.)

Ответ: 6 стульев стоят 300 р., 4 стула - 200 р.

После усвоения таких рассуждений нужно научить учащихся применять для краткой записи чертеж (рис.80):

При первоначальном ознакомлении применять чертеж нецелесообразно, т.к. учащиеся усваивают формальные рассуждения: "считаем маленькие отрезки, (их 10), потом 500:10=5 и 5 6=30, 5 4=20", т.е. происходит преждевременное сокращение рассуждений. Разбор задачи изображать в виде графической схемы тоже нецелесообразно, т.к. она начнется с двух вопросов и вызывает затруднение учащихся.

Для закрепления решения задач на пропорциональное деление в дальнейшем включаются задачи с другими величинами и другие задачи из этой группы. Используются упражнения творческого характера на составление и преобразование задач.

19. Задачи на нахождение четвертого пропорционального

В задачах на нахождение четвертого пропорционального даются три величины, связанные с пропорциональной зависимостью (прямой, обратной) и, исходя из которых, находят четвертую, искомую величину. Эти четыре величины составляют пропорцию, отсюда и название этих задач.

Величинами в этих задачах могут быть цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние; масса одного предмета, количество предметов, общая масса и другие.

Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвертого пропорционального с величинами цена, количество и стоимость начинается с ознакомления со связью между ними. Это можно провести через игру в "магазине" (прием М.И. Моро, М.А. Бантовой).

На доску прикрепляются "товары": тетради, карандаши, блокноты и т.д. На них обозначены цены (прикреплены этикетки: "Цена 3 руб.", "Цена 5 руб." и т.д.).

Сегодня будем играть в "магазин" и решать задачи о покупках. Вот это магазин. (Показывает на доску.) Что продается в магазине? (Называют.) На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради. (3 руб.) Цену блокнота. (5 руб.) Что же показывает цена? (Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот и т.д.) Я куплю 3 тетради. Что обозначает число 3? (Сколько вы купили тетрадей.) Иначе говорят: это число тетрадей, или количество тетрадей. Я купила 8 блокнотов. Что обозначает число 8? (Число блокнотов или количество блокнотов.) Сколько денег я должна уплатить за 2 блокнота? (10 руб.) Как вы узнали? (5 2=10.) 10 руб. – это стоимость 2 блокнотов.

На доске в таблице учитель записывает:

Далее один из учеников назначается продавцом, а несколько учеников - покупателями. Покупатели по очереди подходят к продавцу и покупают несколько вещей. Ученики из класса составляют задачи на эти покупки, решают их и записывают в таблице. После решения 2-3 задач учащиеся делают вывод: если известны цена и количество, то можно найти стоимость, умножив цену на количество.

На других уроках решаются простые задачи на нахождение цены, количества по известным двум другим величинам. Для работы у доски учителю очень удобна опорная схема

При ознакомлении с задачами данного вида учителю сразу следует начинать приучать учащихся к разбору от вопроса к числовым данным, используя графическую схему. В задаче 1 таблицы это выглядит так

Запись решения таких вначале выполняется по действиям с пояснениями, а после по указанию учителя.

При закреплении решения этих задач полезно показать и другой способ их решения (через коэффициент пропорциональности - термин учащимся не сообщается). Для закрепления далее постепенно вводятся аналогичные задачи с другими величинами. Используются различные ранее рассмотренные нами приемы закрепления.

Тема урока : Пропорциональное деление

В школьном курсе математики предлагается очень мало задач на «пропорциональное деление». Однако их можно встретить в экзаменационных сборниках для 9 класса авт. Л.И.Звавич и др. Эти задачи предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы на специальности, связанные с экономикой, химией, связанных с легкой промышленностью и народного хозяйства.
Предлагаемые задачи можно использовать на факультативах в общеобразовательных школах, включить их в программу гимназий и лицеев, связанных с углубленным изучением математики, начиная с 6 класса, для индивидуальной работы с сильными учениками.

Эти задачи может решить шестиклассник.

Необходимость разделить заданную величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека – при приготовлении различных смесей, растворов, блюд по кулинарным рецептам, при распределении прибыли или мест в парламенте и так далее.

Например, если два предпринимателя вложили в проект соответственно 3 млн. рублей и 4 млн.рублей и получили 14 млн. рублей прибыли, то справедливость требует, чтобы полученная прибыль делилась пропорционально числам 3 и 4. Само слово «пропорционально» происходит от латинского «гармонично», «соразмерно».
Как же узнать, сколько денег должен получить каждый предприниматель? Обозначим части, которые они должны получить, соответственно a и b. Тогда a: b = 3: 4.
Поменяем в пропорции местами средние члены и обозначим коэффициент пропорциональности k. Получим равенство:

Из которого следует, что а = 3k, b = 4k. Так как сумма двух частей составляет 14 млн. рублей, то значение k должно удовлетворять равенству
3k + 4k =14 <=> 7k = 14 <=> k = 2.
Значит, при справедливом делении первый предприниматель должен получить 2 3 = 6 млн.рублей, а второй - 2 4 = 8 млн.рублей.

Рассмотрим еще одну задачу.

Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько цемента, песка и воды потребуется для приготовления 180 кг раствора?

Решение:

1) Пусть для приготовления строительного раствора требуется а кг цемента, b кг песка и с кг воды. Обозначим коэффициент пропорциональности k , тогда

Следовательно, а = 2 k , b = 2 k , c = 0,8 k .
По условию задачи, сумма всех частей равна 180 кг, значит:
2 k + 2 k + 0,8 k = 180 <=>4,8 k = 180 <=> k = 37,5.
2) 37,5 2 = 75 (кг) – потребуется песка и цемента.
3) 37,5 0,8 = 30 (кг) – потребуется воды.
Ответ: потребуется 75 кг цемента, 75 кг песка и 30 кг воды.

Для краткого обозначения условия задач о прямо пропорциональном делении в математическом языке используют иногда «длинные отношения». Например, a: b: c = 2: 2: 0,8. При этом говорят: «Числа a, b и с относятся как 2 к 3 к 0,8».
Длинные отношения – это условные записи, которые показывают, сколько равных долей величины приходится на каждую часть. Их нельзя понимать как запись деления нескольких чисел. Действительно, подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им числа, получим верное высказывание 75: 75: 30 = 2: 2: 0,8;
Тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа: в левой части , а в правой части – 1,25.
Зато длинные отношения можно преобразовывать, как обычные дроби: умножать все его члены на одно и то же число, сокращать. Эти преобразования позволяют упрощать запись, а значит, и решение задач. Так, если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10, а затем разделили их на 4, то избавились бы от дробей: 2: 2: 0,8 = 20: 20: 8 = 5: 5: 2 и получили более простое уравнение.
Решая задачи на пропорциональное деление, мы вновь наблюдаем, как абстрактные математические понятия – в данном случае прямая и обратная пропорциональность – помогают отвечать на серьезные практические вопросы.

Предлагаю еще несколько задач по этой теме.

Задача 1.

Трое рабочих получили 4080 рублей. Суммы, полученные первым и вторым рабочими, относятся, как . Сумма, полученная третьим рабочим составляет того. Что получил первый рабочий. Сколько денег получил каждый рабочий?

Решение:

Ответ: 2448 рублей получил первый рабочий; 571,2 рубля получил второй рабочий и 1060,8 рубля получил третий рабочий.

Задача 2.

Три цеха сшили 16800 пар обуви. Количество пар обуви сшитой первым и вторым цехами относятся как а третий цех сшил 75% того, что сшил первый цех. На сколько процентов выполнил план первый цех, если план каждого цеха был 4000 пар обуви?

Решение:

Ответ: на 180% выполнил план первый цех.

Задача 3.

В палатку привезли свеклу, морковь, капусту. Количество свеклы и моркови равно отношению , а вес капусты составляет 250% от веса моркови. Капусты было на 80 кг больше, чем свеклы. Сколько килограммов каждого овоща привезли в палатку?

Решение:

Ответ: в палатку привезли 120 кг свеклы; 80 кг моркови и 200 кг капусты.

Задача 4.

Магазин продал за 4 дня некоторое количество ткани. Количество ткани, проданной за первые три дня относились, как 0,9: 1,4: 1,3. В четвертый день продали 420 м ткани, что составило 28% всей ткани, проданной магазином за четыре дня. Сколько ткани продали за каждый день?

Решение:

1. n1 : n2 : n3 = 0,9: 1,4: 1,3 = 9: 14: 13
2. 28% составляет 420 м: 420: 0,28 = 1500 (м) – ткани продали за четыре дня.
3. 1500 – 420 = 1080 (м) – ткани продали за первые три дня.
4. 9 + 14 + 13 = 36 (ч.) – приходится на 1080 м ткани.
5. 1080: 36 = 30 (м) – ткани приходится на 1 часть.
6. 30 9 = 270 (м) – ткани продали за первый день.
7. 30 14 = 520 (м) – ткани продали за второй день.
8. 30 13 = 390 (м) – ткани продали за третий день.

Ответ: магазин продал 270 м ткани за первый день; 520 м ткани за второй день; 390 м ткани за третий день и 420 м за четвертый день.

Задача 5.

Три класса собирали металлолом. Количество металлолома, собранного первым и вторым классами относится, как 4,5: 3. Количество металлолома, собранного третьим классом составляет 40% того, что собрал первый класс. Сколько металлолома собрал каждый класс, если второй класс собрал на 0,8 тонны металлолома больше, чем третий класс?

Решение:

1. n1 : n2 = 4,5: 3 = 45: 30 = 3: 2.
2. 40% от 3: 3 0,4 = 1,2(ч.) – приходится на третий класс
3. n1 : n2 : n3 = 3: 2: 1,2 = 30: 20: 12 =15: 10: 6.
4. 10 – 6 = 4 (ч.) – приходится на 0,8 т металлолома.
5. 0,8: 4 15 = 3 (т) – собрал первый класс.
6. 0,8: 4 10 = 2 (т) – собрал второй класс.
7. 0,8: 4 6 = 1,2 (т) – собрал третий класс.

Ответ: первый класс собрал 3 т металлолома, второй класс собрал
2 т металлолома, третий класс собрал 1,2 т металлолома.

Задача 6.

Три бригады начали одновременно пахоту земли. Норма вспашки первой бригады ко второй относится как 0,5 к 0,4, а норма вспашки второй бригады к третьей относится как 2 к 1,8; но первая и третья бригады увеличили нормы вспашки на 10%, а вторая бригада – на 20%. Таким образом, к одному и тому же сроку,первая бригада вспахала на 15,4 га больше, чем третья бригада. Сколько га земли вспахала к этому времени каждая бригада?

Решение:

1. n1 : n2 = 0,5: 0,4 = 5: 4.
2. n2 : n3 = 2: 1,8 = 20 = 18 = 10: 9
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 =25: 20: 18
4. 10% от 25: 25 0,1 = 2,5; 25 + 2,5 = 27,5 (ч) составляет норма первой бригады после увеличения.
5. 20% от 20: 20 0,2 = 4 ; 20 + 4 = 24 (ч) –составляет норма второй бригады после увеличения.
6. 10% от 18: 18 0,1 = 1,8; 18 + 1,8 = 19,8 (ч) составляет норма третьей бригады после увеличения.
7. n 1 : n 2 : n 3 =27,5: 24: 19,8 = 275: 240: 198
8. 275 – 198 – 77(ч) – приходится на 14, 4 га земли
9. 15,4: 77 = 0,2 (га) – приходится на одну часть.
10. 0,2 275 = 55 (га) – вспахала первая бригада.
11. 0,2 240 = 48(га) – вспахала вторая бригада.
12. 0,2 198 = 39,6 (га) – вспахала третья бригада.

Ответ: 55 га земли вспахала первая бригада, 48 га земли спахала вторая бригада, 39,6 га земли вспахала третья бригада.

Предлагаю несколько задач для самостоятельного решения.

Задача 1.

Колхоз засыпал в три склада картофель в отношении 1,3 к 2,5 к 1,2, причем во второй склад засыпали на 43,2 тонны картофеля больше, чем в первый склад. В течение месяца с первого склада вывезли 40% имевшегося там картофеля, со второго - 30%, а с третьего – 25% имевшегося там картофеля. Сколько картофеля вывезли с трех складов?
Ответ: вывезли всего 56,62 т картофеля.

Задача 2.

Магазин продавал муку в течение четырех дней. Количество муки, проданной за первые три дня, относится, как 1,8 к 2,8 к 2,6. В четвертый день продали 840 килограммов муки, что составляет 56% всей муки, проданной за четыре дня. Сколько муки продавали каждый день?

Задача 3.

Колхоз засыпал зерно в три склада. На первом складе было 40% всего зерна, засыпанного в три склада. Количество зерна, засыпанного во второй и третий склады, относится, как 16 к 21. Сколько зерна было на первом складе, если на третьем складе было на 450 ц больше, чем на втором.
Ответ: 2220 ц зерна было засыпано в первый склад.

Задача 4.

Три цеха изготовили 6500 деталей. Количество деталей, изготовленных первым и вторым цехами, относится, как 0,1875 к 0,25., количество деталей, изготовленных третьим цехом на 50% больше, чем количество деталей, изготовленных вторым цехом.. Сколько деталей изготовил каждый цех.

Задача 5.

Отряд отправился в поход из пункта А в пункт В. Первую часть пути школьники проехали на велосипедах, вторую часть пути прошли пешком, а оставшиеся 30 километров проплыли на лодке. Зная, что длины этих частей пути относятся, как 1,625 к 1,3 к 3, 25, определите длину всего маршрута.
Ответ: длина всего маршрута 57 километров.

Задача 6.

Из четырех чисел первые три относятся между собой, как , а четвертое составляет 40% от первого числа. Найти сумму всех четырех чисел, если первое больше суммы остальных на 40.

Продолжим решение задач.

Задача 7.

Найти сумму трех чисел, зная, что первое число равно 100, а первое число относится ко второму, как ; а второе к третьему, как 12 к 7.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 385.

Задача 8.
Найти сумму трех чисел, зная, что первое число относится к третьему, как ; второе число относится к третьему как 5 к 2, а сумма первых двух чисел равна 500.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 650.

Задача 9.

Найти каждое из трех чисел, если первое число относится ко второму как 0,6: 0,75, а второе к третьему, как 1: 0,9. Сумма первого и третьего чисел на 105 больше второго числа.

Решение:

1. n 1 : n 3 = 0,6: 0,75 = 60: 75 = 4: 5
2. n 2 : n 3 = 1: 0,9 = 10: 9.
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 = 8: 10: 9.
4. (8 + 9) – 10 = 7 (ч.) – приходится на 105.
5. 105: 7 8 = 120 – первое число.
6. 105: 7 10 – 150 – второе число.
7. 105: 7 9 = 135 – третье число.

Ответ: 120; 150; 135.

Задача 10.

Из данных четырех чисел первые три относятся, как , а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти числа, если известно, что второе число больше суммы остальных на 8.

Решение:

Ответ: 48; 80; 12; 12.

Задача 11.

Задача 12.

Три колхоза построили хлебозавод. Суммы, внесенные колхозами в строительство, относятся, как . Сколько денег внес каждый колхоз, если стройматериалы стоят 1620 миллионов рублей, расход на рабочую силу составляет от стоимости материала, на оборудование израсходовали стоимости материала и рабочей силы вместе?

Решение:

Ответ: на материалы – 2700 млн.рублей; на рабочую силу – 3600 млн.рублей; на оборудование – 4500 млн. рублей.

В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционально. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:

а). задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

б). Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

в). задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

Остановимся на рассмотрении задач первого типа.

"За два куска одинаковой ткани в 5 м и 7 м заплатили 36 рублей.. Сколько стоит каждый кусок ткани?"

Составим таблицу:

Устанавливая зависимость между данными и искомыми, обращаем внимание на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.

Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани - в условиях она указана – и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:

Найдем число метров ткани в двух кусках.

Узнаем цену 1 м ткани.

Вычислим стоимость первого куска ткани.

Вычислим стоимость второго куска ткани.

Проверка решения задачи: 15+21 = 36. Стоимость всей ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в условии.

Для проверки решения такой задачи можно использовать составление и решение обратной задачи. Следует иметь в виду, что обратная задача должна быть также задачей на пропорциональное деление.

§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.

По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей. Например:

“Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила за бумагу девочка и сколько мальчик?”

Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:

Решая эту задачу, можно пойти по такому пути:

1) узнать, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11-7=4);

2). узнать цену листа бумаги (12:4=3);

3). найти, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3*7=21);

4). сколько заплатила за 11 листов девочка (3*11=33).

При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33-21=12, что совпадает с данным из условия.

Или составляют задачу, обратную данной. Обратная задача должна быть задачей того же типа.