Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.
Правила ввода функций :
Если для некоторого значения х
r n
→0 при n
→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
:
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
:
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции
Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.
Пример №1
. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=
2 x
.
Решение
. Найдем значения функции и ее производных при х
=0
f(x)
= 2 x
, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x)
= 2 x
ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x)
= 2 x
ln 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x)
= 2 x
ln n
2, f (n) ( 0)
= 2 0
ln n
2= ln n
2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №2
. Написать ряд Тейлора по степеням (х
+4) для функции f(x)=
e x
.
Решение
. Находим производные функции e x
и их значения в точке х
=-4.
f(x)
= е x
, f(-4)
= е -4
;
f"(x)
= е x
, f"(-4)
= е -4
;
f""(x)
= е x
, f""(-4)
= е -4
;
…
f (n) (x)
= е x
, f (n) ( -4)
= е -4
.
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №3
. Разложить функцию f(x)
=lnx
в ряд по степеням (х-
1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х
=1).
Решение
. Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,
Ряд сходится, если ½х-
1½<1, т.е. при 0<x
<2. При х
=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Пример №4
. Разложить в степенной ряд функцию .
Пример №5
. Разложить в ряд Маклорена функцию .
Замечание
.
Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось. Пример №5а
. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример №6
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Пример №7
. Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Пример №8
. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Пример №1
. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Пример №2
. Вычислить с точностью до 0,0001.
Пример №3
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Пример №4
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
В теории функциональных
рядов центральное место занимает раздел,
посвященный разложению функции в ряд. Таким образом,
ставится задача: по заданной функции
требуется
найти такой степенной ряд который на некотором
интервале сходился и его сумма была
равна
=
..
Эта задача называется
задачей
разложения функции в степенной ряд.
Необходимым
условием разложимости функции в степенной
ряд
является
её дифференцируемость бесконечное
число раз – это следует из свойств
сходящихся степенных рядов. Такое
условие выполняется, как правило, для
элементарных функций в их области
определения. Итак, предположим,
что функция
Допустим, что
функцию =
..
(*) где а
0 ,а
1 ,а
2 ,...,а
п
,...
– неопределенные
(пока) коэффициенты. Положим в равенстве
(*) значение х
= х
0 ,
тогда получим . Продифференцируем
степенной ряд (*) почленно =
..
и полагая здесь
х = х
0 ,
получим . При следующем
дифференцировании получим ряд =
..
полагая х
= х
0 ,
получим После п
-кратного
дифференцирования получим Полагая в последнем
равенстве х
= х
0 ,
получим
Итак, коэффициенты
найдены ,
подставляя которые
в ряд (*), получим Полученный
ряд называется рядом
Тейлора
для функции
Таким образом, мы
установили, что если
функцию можно разложить в степенной
ряд по степеням (х - х
0 ),
то это разложение единственно и полученный
ряд обязательно является рядом Тейлора.
Заметим,
что ряд Тейлора можно получить для любой
функции, имеющей производные любого
порядка в точке х
= х
0 .
Но это еще
не означает, что между функцией и
полученным рядом можно поставить знак
равенства, т.е. что сумма ряда равна
исходной функции. Во-первых, такое
равенство может иметь смысл только в
области сходимости, а полученный для
функции ряд Тейлора может и расходиться,
во-вторых, если ряд Тейлора будет
сходиться, то его сумма может не совпадать
с исходной функцией. Сформулируем
утверждение, с помощью которого будет
решена поставленная задача. Если функция
где
R
n
(х
)-остаточный
член формулы Тейлора – имеет вид (форма
Лагранжа)
где
точка
ξ
лежит между
х и х
0 . Отметим, что между
рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется
различие: формула Тейлора представляет
собой конечную сумму, т.е. п
-
фиксированное
число. Напомним, что сумма
ряда S
(x
)
может быть
определена как предел функциональной
последовательности частичных сумм
S
п
(x
)
на некотором
промежутке Х
: . Согласно этому,
разложить функцию в ряд Тейлора означает
найти такой ряд, что для любого х
X
Запишем формулу
Тейлора в виде,
где Заметим, что Если
Тем самыммы доказали
критерий
разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того, чтобы
в некотором промежутке функция
f
(х)
разлагалась в ряд Тейлора, необходимо
и достаточно, чтобы на этом промежутке
С помощью
сформулированного критерия можно
получить достаточные
условия
разложимости функции в ряд Тейлора.
Если в
некоторой
окрестности точки х
0
абсолютные величины всех производных
функции ограничены одним и тем же числом
М
≥ 0,
т.е.
,
т
о в этой
окрестности функция разлагается в ряд
Тейлора.
Из вышеизложенного
следует алгоритм
разложения
функции
f
(x
)
в ряд Тейлора
в
окрестности точки х
0 :
1.
Находим
производные функции f
(x
):
f(x),
f’(x), f”(x), f’”(x), f
(n)
(x),…
2. Вычисляем значение
функции и значения её производных в
точке х
0 f(x
0
),
f’(x
0
),
f”(x
0
),
f’”(x
0
),
f
(n)
(x
0
),…
3. Формально
записываем ряд Тейлора и находим область
сходимости полученного степенного
ряда. 4. Проверяем
выполнение достаточных условий, т.е.
устанавливаем, для каких х
из области
сходимости, остаточный член R
n
(x
)
стремится
к нулю при
Разложение функций
в ряд Тейлора по данному алгоритму
называют разложением
функции в ряд Тейлора по определению
или
непосредственным
разложением.
Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =) Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда. Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате: При любом натуральном значении : 1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»: 2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»: Пожалуй, достаточно. И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать
. Пример 1
Вычислить определённые интегралы где принимает натуральные значения. Решение
: интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала
: Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так: Привыкаем: Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока. После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры Рассмотрим некоторую функцию , которая определена
по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
: При этом число называют периодом разложения
, а число – полупериодом разложения
. Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов: Действительно, распишем его подробно: Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам: Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения
, полупериод
, коэффициенты Фурье
и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами: Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё. По существу, нужно найти коэффициенты Фурье
, то есть, составить и вычислить три определённых интеграла
. Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =) Пример 2
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы . Решение
: первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье. Начало стандартное, обязательно записываем, что: В данной задаче период разложения , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке : Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье
. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла
. Для удобства я буду нумеровать пункты: 1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз: 2) Используем вторую формулу: Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям
: При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала
. В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле
: Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки
, так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её
! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-) И самое главное – предельная концентрация внимания!
3) Ищем третий коэффициент Фурье: Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям
: Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово: (1) Выражение полностью заключаем в большие скобки
. Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу . (2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание
уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-) (3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования. (4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: . (5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения. Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье: Подставим их в формулу : При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы. Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке : Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле
, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее)
. Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы . График функции представляет собой обычную прямую на плоскости
, которая проведена чёрным пунктиром: Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс»
сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода
в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже) Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства. Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда. На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции). Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию
. Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична
и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа. Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется. На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается. Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода
. В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина. Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда
. Распишем наше богатство подробно: Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть, На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме . Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция
, однако полная сумма ряда всё же разрывна. На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора. Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё. После выполнения чертежа завершаем задание: Ответ
: Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода
прямо на периоде разложения: Пример 3
Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда. Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке )
и терпит разрыв 1-го рода
в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента: Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье. Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5. В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям. По сути-то ничего нового здесь нет. Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока. Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса: Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали. Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений: Пример 4
Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы. Решение
: фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода
в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы. Разложим функцию в ряд Фурье: Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов: 1) Первый интеграл распишу максимально подробно: Второй интеграл берём по частям
: На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения? Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала
. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках
при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге. Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов. Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье
в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =) 3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом: Интегрируем по частям: Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам: Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды: Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах Ответ
: Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана)
такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции
в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов. На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода
и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное
количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности. А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы: Пример 5
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда. В данной задаче функция непрерывна
на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается. С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» . Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: . Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам
: Поскольку интегралы от чётных функций
по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье. Для промежутка : Для произвольного промежутка: К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике: Пример 6
Дана функция . Требуется: 1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число; 2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда . Решение
: в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение. 1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: . Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование. Два: Интегрируем по частям: Таким образом: Ответ
: 2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода : Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах. Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов): Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+..., где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е. Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:
Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье
, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье,
соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,
Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n . Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой,
(a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой
и так далее. Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов. Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.
Разложение непериодических функций.
Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π. Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) . Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье. Четные и нечетные функции.
Говорят, функция y=f(x) четная
, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx. Говорят, что функция y=f(x) нечетная,
если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат. Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно, где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами). Следовательно, где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье на полупериоде.
Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам
функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам
функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b Ряд Фурье для произвольного интервала.
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной. Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид (Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L) Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.
Для подстановки
u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от
u=0 до
u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде
. Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до
L имеет вид Если функция f(x)
имеет на некотором интервале, содержащем точку а
, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора: где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа: , где число x заключено между х
и а
. Если для некоторого значения х r n
®0 при n
®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
: Таким образом, функция f(x)
может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х
, если: 1) она имеет производные всех порядков; 2) построенный ряд сходится в этой точке. При а
=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
: Пример 1
f(x)=
2 x
. Решение
. Найдем значения функции и ее производных при х
=0 f(x)
= 2 x
, f( 0)
= 2 0
=1; f¢(x)
= 2 x
ln2, f¢( 0)
= 2 0
ln2= ln2; f¢¢(x)
= 2 x
ln 2 2, f¢¢( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2; f (n) (x)
= 2 x
ln n
2, f (n) ( 0)
= 2 0
ln n
2= ln n
2. Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим: Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x
<+¥. Пример 2
х
+4) для функции f(x)=
e x
. Решение
. Находим производные функции e x
и их значения в точке х
=-4. f(x)
= е x
, f(-4)
= е -4
; f¢(x)
= е x
, f¢(-4)
= е -4
; f¢¢(x)
= е x
, f¢¢(-4)
= е -4
; f (n) (x)
= е x
, f (n) ( -4)
= е -4
. Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид: Данное разложение также справедливо для -¥<x
<+¥. Пример 3
. Разложить функцию f(x)
=lnx
в ряд по степеням (х-
1), (т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х
=1). Решение
. Находим производные данной функции. Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора: С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-
1½<1. Действительно, Ряд сходится, если ½х-
1½<1, т.е. при 0<x
<2. При х
=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х
=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2]. Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х
=0) для некоторых элементарных функций: (2) , (3) , (последнее разложение называют биномиальным рядом)
Пример 4
. Разложить в степенной ряд функцию Решение
. В разложении (1) заменяем х
на –х
2 , получаем: Пример 5
. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение
. Имеем Пользуясь формулой (4), можем записать: подставляя вместо х
в формулу –х
, получим: Отсюда находим: Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале. Замечание
. Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а
). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х
стоит k(х-а
) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t
=х-а
и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена. Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось. Пример 6
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х
=3. Решение
. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х
=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5): Полученный ряд сходится при или –3<x-
3<3, 0<x
< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции. Пример 7
. Написать ряд Тейлора по степеням (х
-1) функции . Решение
. Ряд сходится при , или -2 < x
£ 5.
Решение
. В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞
Решение
. Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х, получим:
Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а
). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х
стоит k(х-а
) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t
=х-а
и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:
с областью сходимости |x| < 1/3.
Решение
. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х
=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3
Решение
.
Ряд сходится при , или -2 < x < 5.
Решение
. Сделаем замену t=х-2:
Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:
Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х
, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n
членов (n
– конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:
Решение
. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
Решение
. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Решение
. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx
на x
, получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Решение
.
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .
,
т.е.
имеет производные любого порядка. Можно
ли её разложить в степенной ряд, если
можно, то как найти этот ряд? Проще
решается вторая часть задачи, с неё и
начнем.
можно представить в виде суммы степенного
ряда, сходящегося в интервале, содержащем
точкух
0 :
,
откуда
.
,
откуда
,
,
…,
,….,
.
3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
в некоторой
окрестности точки х
0
имеет производные до (n
+
1)-го
порядка включительно, то в этой окрестности
имеет место
формула
Тейлора
определяет ту
ошибку, которую мы получаем, заменяй
функцию f
(x
)
многочленом
S
n
(x
).
,
то
,т.е. функция
разлагается в ряд
Тейлора. Инаоборот,
если
,
то
.
,
где
R
n
(x
)
- остаточный член ряда Тейлора.
или
.
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .
Отрицательный аргумент дела не меняет: .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала
, интегрировать по частям
и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница
. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:
и готовимся к старту!Разложение функции в ряд Фурье на промежутке
, где – так называемые коэффициенты Фурье
.
Нулевой член ряда принято записывать в виде .Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?
Как разложить функцию в ряд Фурье?
Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде
2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:
На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.