Релятивистская динамика.

Из предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы не привели. Сейчас, однако, мы можем доказать, что (как следствие принципа относительности и прочих разумных соображений) масса должна изменяться именно таким образом. (Мы должны говорить о «прочих соображениях» по той причине, что нельзя ничего доказать, нельзя надеяться на осмысленные выводы, не опираясь на какие-то законы, которые предполагаются верными.) Чтобы не изучать законы преобразования силы, обратимся к столкновениям частиц. Здесь нам не понадобится закон действия силы, а хватит только предположения о сохранении энергии и импульса. Кроме того, мы предположим, что импульс движущейся частицы - это вектор, всегда направленный по ее движению. Но мы не будем считать импульс пропорциональным скорости, как это делал Ньютон. Для нас он будет просто некоторой функцией скорости. Мы будем писать вектор импульса в виде вектора скорости, умноженного на некоторый коэффициент

Индекс у коэффициента будет напоминать нам, что это функция скорости . Будем называть этот коэффициент «массой». Ясно, что при небольших скоростях это как раз та самая масса, которую мы привыкли измерять. Теперь, исходя из того принципа, что законы физики во всех системах координат одинаковы, попробуем показать, что формула для должна иметь вид .

Пусть у нас есть две частицы (к примеру, два протона), которые между собой совершенно одинаковы и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Их общий импульс равен нулю. Что с ними случится? После столкновения их направления движения должны все равно остаться противоположными, потому что если это не так, то их суммарный вектор импульса будет отличен от нуля, т. е. не сохранится. Раз частицы одинаковы, то и скорости их должны быть одинаковы; более того, они просто должны остаться прежними, иначе энергия при столкновении изменится. Значит, схема такого упругого обратимого столкновения будет выглядеть, как на фиг. 16.2,а: все стрелки одинаковы, все скорости равны. Предположим, что такие столкновения всегда можно подготовить, что в них допустимы любые углы и что начальные скорости частиц могут быть любыми. Далее, напомним, что одно и то же столкновение выглядит по-разному, смотря по тому, как повернуты оси. Для удобства мы гак повернем оси, чтобы горизонталь делила пополам угол между направлениями частиц до и после столкновения (фиг. 16.2,б). Это то же столкновение, что и на фиг. 16.2,а, но с повернутыми осями.

Фиг. 16.2. Упругое столкновение одинаковых тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при различном выборе систем координат.

Теперь начинается самое главное: взглянем на это столкновение с позиции наблюдателя, движущегося на автомашине со скоростью, совпадающей с горизонтальной компонентой скорости одной из частиц. Как оно будет выглядеть? Наблюдателю покажется, что частица 1 поднимается прямо вверх (горизонтальная компонента у нее пропала), а после столкновения падает прямо вниз по той же причине (фиг. 16.3, а). Зато частица 2 движется совсем иначе, она проносится мимо с колоссальной скоростью и под малым углом (но этот угол и до и после столкновения одинаков). Обозначим горизонтальную компоненту скорости частицы 2 через , а вертикальную скорость частицы 1 - через .

Фиг. 16.3. Еще две картины того же столкновения (видимые из движущихся автомашин).

Чему же равна вертикальная скорость частицы 2? Зная это, можно получить правильное выражение для импульса, пользуясь сохранением импульса в вертикальном направлении. (Сохранение горизонтальной компоненты импульса и так обеспечено: у обеих частиц до и после столкновения эта компонента одинакова, а у частицы 1 она вообще равна нулю. Так что следует требовать только сохранения вертикальной скорости .) Но вертикальную скорость можно получить, просто взглянув на это столкновение с другой точки зрения! Посмотрите на столкновение, изображенное на фиг. 16.3,а из автомашины, которая движется теперь налево со скоростью . Вы увидите то же столкновение, но перевернутое «вверх ногами» (фиг. 16.3,б). Теперь уже частица 2 упадет и подскочит со скоростью , а горизонтальную скорость приобретет частица 1. Вы уже, конечно, догадываетесь, чему равна горизонтальная скорость ; она равна [см. уравнение (16.7)]. Кроме того, нам известно, что изменение вертикального импульса вертикально движущейся частицы равно

(двойка здесь потому, что движение вверх перешло в движение вниз). У частицы, движущейся косо, скорость равна , ее компоненты равны и , а масса ее . Изменение вертикального импульса этой частицы , так как в соответствии с нашим предположением (16.8) любая компонента импульса равна произведению одноименной компоненты скорости на массу, отвечающую этой скорости. Но суммарный импульс равен нулю. Значит, и вертикальные импульсы должны взаимно сократиться, отношение же массы, движущейся со скоростью , к массе, движущейся со скоростью , должно оказаться равным

Перейдем к предельному случаю, когда стремится к нулю. При очень малых величины и практически совпадут , а . Окончательный результат таков:

. (16.10)

Проделайте теперь такое интересное упражнение: проверьте, будет ли выполнено условие (16.9) при произвольных , когда масса подчиняется формуле (16.10). При этом скорость , стоящую в уравнении (16.9), можно найти из прямоугольного треугольника

.

Вы увидите, что (16.9) выполняется тождественно, хотя выше нам понадобился только предел этого равенства при .

Теперь перейдем к дальнейшим следствиям, считая уже, что, согласно (16.10), масса зависит от скорости. Рассмотрим так называемое неупругое столкновение. Для простоты предположим, что из двух одинаковых тел, сталкивающихся с равными скоростями , образуется новое тело, которое больше не распадается (фиг. 16.4,а). Массы тел до столкновения равны, как мы знаем, . Предположив сохраняемость импульса и приняв принцип относительности, можно продемонстрировать интересное свойство массы вновь образованного тела. Представим себе бесконечно малую скорость , поперечную к скоростям (можно было бы работать и с конечной скоростью , но с бесконечно малым значением легчу во всем разобраться), и посмотрим на это столкновение, двигаясь в лифте со скоростью . Перед нами окажется картина, изображенная па фиг. 16.4,а. Составное тело обладает неизвестной массой . У тела 1, как и у тела 2, есть компонента скорости , направленная вверх, и горизонтальная компонента, практически равная . После столкновения остается масса , движущаяся вверх со скоростью , много меньшей и скорости света и скорости . Импульс должен остаться прежним; посмотрим поэтому, каким он был до столкновения и каким стал потом. До столкновения он был равен , а потом стал . Но из-за малости , по существу, совпадает с . Благодаря сохранению импульса

Итак, масса тела, образуемого при столкновении двух одинаковых тел, равна их удвоенной массе. Вы, правда, можете сказать: «Ну и что ж, это просто сохранение массы». Но не торопитесь восклицать: «Ну и что ж!», потому что сами-то массы тел были больше, чем когда тела неподвижны. Они вносят в суммарную массу не массу покоя, а больше. Не правда ли, поразительно! Оказывается, сохранение импульса в столкновении двух тел требует, чтобы образуемая ими масса была больше их масс покоя, хотя после столкновения эти тела сами придут в состояние покоя!

Фиг. 16.4. Две картины неупругого соударения тел равной массы.

При решении задач используйте таблицу.

Таблица

Масса и энергия покоя некоторых элементарных частиц и легких ядер

10.31. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя? Ответ: = 0,866 с.

10.32. Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при которой его полная энергия стала равна удвоенной энергии покоя. Чему равна ускоряющая разность потенциалов? Отношение заряда электрона к его массе e/m = 1,76×10 11 Кл/кг. Ответ: U = 1,02×10 6 В.

10.33. Электрон движется в магнитном поле по окружности радиуса r = 2 см. Индукция поля B = 0,1 Тл. Определить кинетическую энергию электрона. Ответ: E к = 0,28 МэВ.

10.34. Электрон, кинетическая энергия которого E к = 1,5 МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Индукция поля B = 0,02 Тл. Определить период его вращения. Энергия покоя электрона E 0 = 0,5 МэВ. Ответ: T = 7,14×10 -9 с.

10.35. Электрон движется со скоростью 0,8 с. Определить энергию покоя электрона (в джоулях и электронвольтах), массу электрона, его полную и кинетическую энергию. Ответ: E 0 = 8,2×10 -14 Дж = 0,51 МэВ; m e = 1,52×10 -30 кг; E = 13,7 ×10 -14 Дж; E к = 5,5×10 -14 Дж.

10.36. Определить общую энергию гамма-квантов, возникающих в результате аннигиляции электрона и позитрона. Ответ: =1,6×10 -13 Дж.

10.37. Протон и a-частица, переходя из состояния покоя в движение, проходят одинаковую ускоряющую электрическую разность потенциалов U , после чего масса протона составляет одну треть массы a-частицы. Найти эту разность потенциалов. Ответ: = 9,4×10 8 В.

10.38. Масса движущегося электрона в 11 раз больше его массы покоя. Определить кинетическую энергию электрона и его импульс. Ответ: E к = 8,2×10 -13 Дж; = 2,99×10 -21 кг×м/с.

10.39. Определить импульс протона, масса которого равна массе покоя a-частицы. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы приобрести этот импульс? Ответ: = 1,94×10 -18 кг×м/с; U = 2,8×10 9 В.

10.40. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы от 0,5 до 0,7 с . Ответ: А = 0,245 mc 2 .

10.41. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в 2 раза превышает ее импульс, определяемый в классической механике. Ответ: = 2,598×10 8 м/с.

10.42. Полная энергия тела возросла на DE = 1 Дж. На сколько при этом изменилась масса тела? Ответ: = 11,1×10 -15 г.

10.43. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на = 1 г. Ответ: Е = 9×10 13 Дж.

10.44. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия n увеличится в 4 раза? Ответ: в 2,82 раза.

10.45. До какой кинетической энергии можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать h = 5 % ? Задачу решить для электронов и протонов. Ответ: E e = 2,56×10 4 эВ, E p = 47 МэВ.

10.46. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию E к = 10 9 эВ? Ответ: в 1,94 раза.

10.47. С единицы площади поверхности Солнца ежесекундно испускается энергия = 74 МДж/ (м 2 ×с). На сколько уменьшается масса Солнца за год? Ответ: = 1,57×10 13 кг.

10.48. Масса Солнца m = 1,99×10 30 кг. Солнце в течение времени t = 1 год излучает энергию = 12,6×10 33 Дж. За какое время масса Солнца уменьшится вдвое? Ответ: t = 7,1×10 12 лет.

10.49. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы его продольные размеры стали меньше в n = 2 раза?
Ответ: U = 9,39×10 8 В.

10.50. Чайник с 2 кг воды нагрели от 10 ˚С до кипения. На сколько изменилась масса воды? Ответ: увеличилась на 8,4×10 –12 кг.

10.51. Какому изменению массы соответствует энергия, вырабатываемая за 1 час электростанцией мощностью 2,5 МВт? Ответ: Δm = 0,1 мг.

10.52. На сколько изменяется масса 1 кг льда при плавлении? Ответ: = 3,7×10 -12 кг.

10.53. На сколько увеличится масса 1 кг алюминия, взятого при температуре плавления? Удельная теплота плавления алюминия 3,22×10 5 Дж/кг. Ответ: = 3,58×10 -12 кг.

10.54. Электрон движется со скоростью . Определить релятивистский импульс электрона. Ответ: p = 2,05×10 -22 кг м/с.

10.55. На сколько увеличится масса пружины жесткостью 10 кН/м при ее растяжении на 3 см? Ответ: = 5×10 –17 кг.

10.56. Кинетическая энергия тела равна его энергии покоя. Во сколько раз длина этого тела, измеренная в неподвижной системе отсчета? меньше его собственной длины? Ответ: в 2 раза.

10.57. Определить кинетическую энергию электрона при скорости по классическим и релятивистским формулам. Ответ: Е кл . = 2,3×10 -14 Дж; Е рел = 4×10 -14 Дж.

10.58. Груз массой 18 т подъемный кран поднял на высоту 5 м. На сколько изменилась масса груза? Ответ: = 10 -11 кг.

10.59. На сколько процентов увеличится масса воды при нагревании ее на 100°С? Ответ: на 4,6×10 -10 %.

10.60. Релятивистский импульс электрона (кг×м)/с. Определить скорость движения электрона. Ответ: = 0,75 c .