Решение дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных. Примеры на метод вариации произвольной постоянной

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь - произвольные постоянные; - n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем - члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь - уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида

где - искомая функция аргумента, а функции

заданы и непрерывны на некотором интервале
.

Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (2.31),

Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.31).

Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).

Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области

есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.

где - частное решение уравнения (2.31),
- фундаментальная система решений однородного уравнения (2.32), а
- произвольные постоянные.

Доказательство этой теоремы Вы найдете в .

На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных .

Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение

(2.35)

где коэффициенты
и правая часть
непрерывны в некотором интервале
.

Обозначим через
и
фундаментальную систему решений однородного уравнения

(2.36)

Тогда его общее решение имеет вид

(2.37)

где и- произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.35) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от (варьируем произвольные постоянные), т.е.

где
и
- некоторые дифференцируемые функции от, которые пока неизвестны и которые попытаемся определить так, чтобы функция (2.38) была бы решением неоднородного уравнения (2.35). Дифференцируя обе части равенства (2.38), получим

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от
и
, потребуем, чтобы всюду в
выполнялось условие

Тогда для будем иметь

Вычислим вторую производную

Подставляя выражения для,,из (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получим

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю всюду в
, так каки- частные решения уравнения (2.36). При этом (2.42) примет видОбъединяя это условие с условием (2.39), получим систему уравнений для определения
и

(2.43)

Последняя система представляет собой систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений относительно
и
. Определителем этой системы является определитель Вронского для фундаментальной системы решений,и, следовательно, отличен от нуля всюду в
. Это означает, что система (2.43) имеет единственное решение. Решив ее любым способом относительно
,
найдем

где
и
- известные функции.

Выполняя интегрирование и учитывая, что в качестве
,
следует брать одну какую-нибудь пару функций, положим постоянные интегрирования равными нулю. Получим

Подставив выражения (2.44) в соотношения (2.38), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2.35) в виде

Этот метод можно обобщить для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка.

Пример 2.6 . Решить уравнение
при
если функции

образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Найдем частное решение данного уравнения. Для этого в согласии с методом Лагранжа следует сначала решить систему (2.43), которая в нашем случае имеет вид
Сократив обе части каждого из уравнений наполучим

Вычитая почленно из второго уравнения первое, найдем
а тогда из первого уравнения следует
Выполняя интегрирование и полагая постоянные интегрирования равными нулю, будем иметь

Частное решение данного уравнения можно представить в виде

Общее решение данного уравнения имеет при этом вид

где и- произвольные постоянные.

Отметим, наконец, одно замечательное свойство, которое часто называют принципом наложения решений и описывают следующей теоремой.

Теорема 2.7. Если на промежутке
функция
- частное решение уравненияа функция
частное решение уравнениято на этом же промежутке функция
есть частное решение уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

метод вариации постоянной (Лагранжа).

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение:
(1)

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные - умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y - табличный :

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1) :
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2) :
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решить уравнение

Решение

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные :

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )

состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении

z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + ... + c n z n (t )

соответствующего однородного уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0

на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,...,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если - первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z (t ) - базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .

Внешние ссылки

exponenta.ru - Теоретическая справка c примерами

Wikimedia Foundation . 2010 .

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):