Решение некоторых задач по теории множеств.

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы, видеоразборы и подборка задач по решению последней задачи ЕГЭ.

Полезные материалы

Видеоразборы задач

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

< 15$.
в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$, если обе контрольные работы писали 10 студентов?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности, состоящей из десяти членов?

в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?

Число $S$ таково, что для любого представления $S$ в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а) Может ли число $S$ быть равным 34?
б) Может ли число $S$ быть больше $33\dfrac{1}{18}$?
в) Найдите максимальное возможное значение $S$.

Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: $-11,$ $12,$ $13,$ $-14,$ $-15,$ $17,$ $-18,$ $19.$ Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел: $-11,$ $12,$ $13,$ $-14,$ $-15,$ $17,$ $-18,$ $19.$ После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $123$?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Подборка задач

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41. (ЕГЭ-2017)
Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий? (ЕГЭ-2017)
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма зелёных чисел быть меньше 2325?
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467. (ЕГЭ-2017)
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске? (ЕГЭ-2017)
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске? (ЕГЭ-2017)
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2502.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 или на 7?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске? (ЕГЭ-2017)
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S < 15$.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если $S = 13$?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если $S = 13$? (ЕГЭ-2017)
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S < 15$.
б) Могло ли значение $S$ быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$, если обе контрольные работы писали 10 студентов? (ЕГЭ-2017)
Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число $A$.
а) Может ли число $A$ равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б) Может ли число $A$ быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число $A$ может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел? (ЕГЭ-2017)
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа? (ЕГЭ-2017)
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000? (ЕГЭ-2017)
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре? (ЕГЭ-2017)
Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99;
б) 101;
в) 100. (ЕГЭ-2016)
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество $\{200; 201; 202; \ldots; 299\}$ хорошим?
б) Является ли множество $\{2; 4; 8; \ldots; 2^{100}\}$ хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества $\{1; 2; 4; 5; 7; 9; 11\}$? (ЕГЭ-2016)
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа $a$ и $b$, записанные на доске, заменяются на два числа: или $a + b$ и $2a - 1$, или $a + b$ и $2b - 1$ (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел? (ЕГЭ-2016)
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать? (ЕГЭ-2016)
Последовательность $a_1, a_2, \ldots a_n$ ($n\geqslant 3$) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n = 10$? (ЕГЭ-2016)
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличится показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1? (ЕГЭ-2016)
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно $\dfrac{113}{27}$.
б) Может ли это частное равняться $\dfrac{125}{27}$?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27? (ЕГЭ-2016)
На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A + B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A + B}{2}$.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$. (ЕГЭ-2016)
Последовательность $a_1, a_2, \ldots a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$-го. Известно, что $M_1 = 1$, $M_2 = 2$.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3 = 1,6$.
б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3 = 3$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $M_3$. (ЕГЭ-2016)
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. (ЕГЭ-2015)
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий? (ЕГЭ-2015)
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках? (ЕГЭ-2015)
Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них? (ЕГЭ-2015)
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого участника является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, сдавших тест, понизился, и средний балл учеников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл учеников, сдавших тест, составил 100, а средний балл учеников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? (ЕГЭ-2015)
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\dfrac{1}{25}$?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться$\dfrac{1}{35}$?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания. (ЕГЭ-2014)
На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов? (ЕГЭ-2014)
а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. (ЕГЭ-2014)
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе? (ЕГЭ-2014)
Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, ..., 22 выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число $k$ быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$. (ЕГЭ-2014)
На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа $k$ можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше $k$? (ЕГЭ-2014)
Целое число $S$ является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли $S$ равняться 8?
б) Может ли $S$ равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать $S$. (ЕГЭ-2014)
Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123. (ЕГЭ-2013)
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? (ЕГЭ-2013)
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$, а остальные числа, равные $n$, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41. (ЕГЭ-2013)
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа? (ЕГЭ-2013)
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87? в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр? (ЕГЭ-2013)
Каждое из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{350}$ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим $$S_1 = a_1+a_2+\ldots+a_{350},$$ $$S_2 = a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{350}^2,$$ $$S_3 = a_1^3+a_2^3+\ldots+a_{350}^3,$$ $$S_4 = a_1^4+a_2^4+\ldots+a_{350}^4.$$ Известно, что $S_1 = 513$.
а) Найдите $S_4$, если еще известно, что $S_2 = 1097$, $S_3 = 3243$.
б) Может ли $S_4 = 4547$?
в) Пусть $S_4 = 4745$. Найдите все значения, которые может принимать $S_2$. (ЕГЭ-2013)
а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде $1292 = a_3\cdot 10^3 + a_2\cdot 10^2 + a_1\cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 \leqslant a_i \leqslant 99$, $i = 0; 1; 2; 3$.
б) Существуют ли 10 различных чисел $N$ таких, что их можно представить в виде $N = a_3\cdot 10^3 + a_2\cdot 10^2 + a_1\cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 \leqslant a_i \leqslant 99$, $i = 0; 1; 2; 3$ ровно 130 способами?
в) Сколько существует чисел $N$ таких, что их можно представить в виде $N = a_3\cdot 10^3 + a_2\cdot 10^2 + a_1\cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 \leqslant a_i \leqslant 99$, $i = 0; 1; 2; 3$ ровно 130 способами? (ЕГЭ-2013)

а) =

б) =

f ( x ) = 3 x - и y = 0.

10 . В олимпиаде по математике для студентов 1 курса приняло участие 40 человек, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

11. D (X σ (Х).

х i

p i

0 ,09

0,15

0,24

0,15

0,23

0,1

ВАРИАНТ 2

1. Найти предел:

а) =

б) =

2. Составить уравнение касательной к кривой у = - 1 в точке х = 2.

3. Найти производную: у = .

4. Найти промежутки выпуклости функции у =- .

5. Исследовать функцию у = - 9 + 6 на экстремумы.

f ( x )=4 x - и y = 0.

ydy = (1 - 3

9. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка – 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найдите вероятность того, что в мишень попали хотя бы один раз.

10. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

Сколько учащихся решило две задачи?

11. Используя заданный ряд распределения ДСВ, найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D (X ), среднее квадратичное отклонение σ (Х).

х i

-1

p i

0 ,18

0,27

0,12

0,32

0,15

0,25

ВАРИАНТ 3

1. Найти предел:

а) =

б) =

2. Дана функция f ( x ) = в точке х = 1.

3. Найти производную: у = .

5. Исследовать функцию y = на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f ( x )=2 x - и y = 0.

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: (4 ) dy = 6

9. В олимпиаде по математике для студентов 1 курса приняло участие 40 человек, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи.

10. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7; для второго станка эта вероятность равна 0,8; для третьего – 0,9;для четвёртого – 0,85. Найдите вероятность того, что в течение час хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

11.Используя заданный ряд распределения ДСВ, найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D (X ), среднее квадратичное отклонение σ (Х).

х i

p i

0 ,23

0,17

0,18

0,25

0,23

0,20

ВАРИАНТ 4

1. Найти предел:

а) =

б) =

2. Дана функция f ( x ) = в точке х = 1.

3. Найти производную: у = .

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y = 3 - на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f ( x )=4 x - и y = 0.

8. Найти общее решение дифференциального уравнения: 2 dy = (1-3

9. Произведён залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, а из второго – 0,91. Найдите вероятность поражения цели.

10. Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

х i

p i

0 ,12

0,16

0,15

0,17

0,28

0,30

ВАРИАНТ 5

1. Найти предел:

а) =

б) =

2. C y =3 -2 x +1 в точке с координатами (2;5)

3. Найти производную: у =

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y = 4 x - на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f ( x )=3 x - и y = 0.

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 6 dy =

9. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка составляет 0,6, а для второго- 0,8. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того что в мишень попали хотя бы один раз?

10. В группе 35 студентов. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 студентов, метро и автобусом – 15 студентов, метро и троллейбусом – 13 студентов, троллейбусом и автобусом – 9 студентов.

Сколько студентов используют только один вид транспорта?

х i

p i

0 ,15

0,21

0,13

0,32

0,23

0,12

ВАРИАНТ 6

1. Найти предел:

а) =

б) =

2. C оставьте уравнение касательной к кривой y = -3 x +4 в точке с координатами (3;4)

3. Найти производную: у =

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y = 4 x - на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f ( x )=3 x - и y = 0.

dy =

10. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

х i

p i

0 ,14

0,20

0,39

0,15

0,17

0,25

ВАРИАНТ 7

1. Найти предел:

а) =

б) =

2. C оставьте уравнение касательной к кривой y = -1 в точке x 0 =2

3. Найти производную: у =

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y = 9 +6 на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f ( x )=4 x - и y = 0.

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 3 dy =(1-

9. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка – 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найдите вероятность того, что только один стрелок попадёт в цель..

10. На студенческой спартакиаде каждый из 25 студентов 1 курса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 студентов выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько студентов выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

х i

p i

ВАРИАНТ 8

1. Найти предел:

а) =

б) =

2.Дана функция f (x )-1. Составьте уравнение касательной к её графику в точке x =1

3. Найти производную: у =

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y = +6 на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f ( x )=2 x - и y = 0.

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 2 ydy =

9. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка – 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найдите вероятность того, что только два стрелка попали в цель.

10. Из 52 первокурсников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки.Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько студентов 1 курса не увлекаются коллекционированием?

х i

p i

ВАРИАНТ 9.

1. Найти предел:

а) =

б)

y = -2 x +4 в точке x =2

3. Найти производную: у =

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y =3 +5на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f ( x )=4 x - и y = 0.

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 2 ydy =

9. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка – 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найдите вероятность того, не более двух стрелков попадут в цель.

10. Каждый из студентов одной из групп 2 курса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 студента. Сколько студентов в группе?

х i

p i

ВАРИАНТ 10

1. Найти предел:

а) =

б) =

2. Составить уравнение касательной к кривой y =3 -2 x +1 в точке c координатами (2;5)

3. Найти производную: у =

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y =4 +6на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f (x )=3 x - и y = 0.

8. Найти общее решение дифференциального уравнения: 2 dy =

9.Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы равна 0,9, на третий – 0, 8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить на любые два вопроса.

10. В воскресенье 19 студентов нашей группы побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 человек; планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько студентов в нашей группе, если никто не успел посетить все три места, а три студента не посетили ни одного места?

х i

p i

0 ,15

0,20

0,10

0,25

0,10

ВАРИАНТ 11.

1. Найти предел:

а) =

б) =

2.Составить уравнение касательной к кривой y = -3 x +4 в точке c координатами (3;4)

3. Найти производную: у =

4. Найти промежутки выпуклости функции у = .

5. Исследовать функцию y =4 x - на экстремумы.

6. Найти неопределённый интеграл:

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

f (x )=3 x - и y = 0.

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 2 dy =

9. Товар поступает в магазин с трёх баз. Вероятности того, что нужный товар находится на первой, второй и третьей базе равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найдите вероятность того, что нужный товар имеется только на одной базе.

10. В одной группе 25 студентов. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в группе два человека, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько студентов этой группы любят яблоки?

х i

p i = = 0.

8. Найдите общее решение дифференциального уравнения: 2ydy =(1-3x 2)dx .

х i

p i

0 ,20

0,10

0,20

0,30

0,05

0,15

ВАРИАНТ 13.

1.Найти предел: 7.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

8.Найти общее решение дифференциального уравнения: 2 ydy = 3 dx .

10. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический. Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

х i

p i

0 ,25

0,05

0,10

0,20

0,30 10. В летнем лагере отдыхало 86 семиклассников. 8 из них не любят играть в компьютерные игры. 54 семиклассника предпочитают квесты, 62 - симуляторы. Сколько ребят с одинаковым удовольствием играют и в квесты, и в симуляторы?

х i

p i

0,05

0,10

0,25

0,20

0,10

0,30

Пояснительная записка.

Данный зачёт разработан для проведения итоговой аттестации изучения дисциплины «Математика» для специальности 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта».

Зачёт состоит из 11 заданий, не выходящих за рамки содержания курса математики. Данные задания соответствуют основным темам дисциплины «Математика», а именно:

Интегральное и дифференциальное исчисление.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Множества и отношения. Операции над множествами.

Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Зачётная работа разработана с учетом положения, что результатом освоения основной образовательной программы должна стать математическая компетентность выпускников. Они должны не только овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности, но и научится преобразованию знания и его применения в учебных и внеучебных ситуациях, сформировать качества, присущие математическому мышлению, овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами.

Критерий выставления оценок

0 - 6 заданий оценка «2»

7 – 8 заданий оценка «3»

9 – 10 заданий оценка «4»

11 заданий оценка «5»

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Колледж автомобильного транспорта №9

ОДОБРЕНО

Председатель ПЦК

_________________ Вельчинская Г.В..

Протокол № __ от «__» ______ 2015 г.

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по учебной работе

_________________ Ризванова Э.Р.

«____» ____________ 2015 г .

Зачет

по дисциплине: «Математика»

для специальности 190631

«Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта »

2 курс 4 семестр

Преподаватель Матвеева Е.В.

2015г.

22. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 7 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест - 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: а) да; б) да; в) 35

23. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника - целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Ответ: а) да; б) нет; в) 63

24. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Ответ: а) да; б) нет; в) 35

25. На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается их сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9; а вместо 3,3 и 5 записывается 8).
а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.
б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?
в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?
Ответ: а) пример: 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; б) нет; в) 5

26. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a−1 , или a+b и 2b−1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2

27. В последовательности , состоящей из целых чисел

Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Ответ: а) пример: 1, 2, 3, 0, 5, -2, …,-232, 235; б) нет; в) 35

28. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество хорошим?

б) Является ли множество хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ?

Ответ: а) да; б) нет; в) 8

29. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d .
а) Найдите числа a, b, c и d , если и .

б) Может ли быть и ?

в) Пусть и . Найдите количество возможных значений числа a .

Ответ: а) пример: 7; 5; 2; 1; б) нет; в) 248

30. Каждое из чисел равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4 , если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2 .
Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917

31. В ряд выписаны числа 1 2 , 2 2 ,..., N 2 . Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «-» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

а) -4, если N=12?
б) 0, если N=49?
в) 0, если N=80?
г) -3, если N=90?
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да

32. а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде , где числа – целые, .

б) Существует ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде , где числа – целые, ровно 130 способами.

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в таком виде ровно 130 способами.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20

33. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 374944128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169

34. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11

35. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
Ответ: а) да; б) нет; в) 4

36. Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных числе, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41

37. На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 6

38. Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть - среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k - го. Известно, что

а) Приведите пример такой последовательности, для которой .

б) Существует ли такая последовательность, для которой .

в) Найдите наименьшее возможное значение .

Ответ: а) пример: 5, 0, 2, 1, 1, 1; б) нет, в) 2,8

39. Две девочки делают фотографии. Наташа P фотографий, Маша K фотографий. И каждый день каждая делает на одну фотографию больше. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Максимальное количество фотографий Наташи, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1430

40. Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S<15.
б) Могло ли значение S быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
Ответ: а) Пример: 14 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов, а остальные только одну и получили по 5 баллов; б) нет; в) 185/4

41. На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из красные, а какие-то зеленые. Красные числа кратны 7, а зеленые числа кратны 5. Все зеленые и красные числа отличаются друг от друга. Но между зелеными и красными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма зеленых чисел быть меньше 2325?
б) Может ли сумма чисел быть 1469, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467
Ответ: а) да; б) нет; в) 10

42. В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Ответ: а) да; б) нет; в) 31/6

Единый государственный экзамен, 2017 г. Математика, 11 класс 02.06.17 Основная волна Образец варианта
Часть 1

1. Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 1596 рублей.
Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его
оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси
ординат — крутящий момент в Н∙м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно
выражается формулой v  0,036n где n — число оборотов двигателя в минуту. С
какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент
был равен 120 Н∙м? Ответ дайте в километрах в час.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 5  5
изображен треугольник АВС. Найдите длину его
высоты, опущенной на сторону ВС.

4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов —
первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и
пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М.
окажется запланированным на последний день конференции?

1

2

5. Найдите корень уравнения: 

6. Четырехугольник ABCD вписан в
окружность. Угол ABC равен 1050, угол CAD
равен 350. Найдите угол ABD. Ответ дайте в
градусах.

Y  f (x) производной функции f (x) ,
7. На рисунке изображён график
определенной на интервале (‐7; 14). Найдите количество точек максимума функции
f (x) , принадлежащих отрезку [‐6;9].

8. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна
111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Часть 2

9. Найдите значение выражения

5
3  12 sin
12
2

10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории
используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см.
Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а
расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на
экране будет четким, если выполнено соотношение

1
1
1

 . Укажите, на
d1 d 2
f

Каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe
изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

11. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт
B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 24 км.
Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.

12. Найдите точку максимума функции y

 ln(x  5) 5  5 x

Условия заданий 13‐19 представлены в нескольких разновидностях
для различных типов вариантов

13.1 а) Решите уравнение 25

1
 
5

7 


2 

2
13.2 а) Решите уравнение 2 log 2 (2 sin x)  7 log 2 (2 sin x)  3  0

2 ;



;2 
2

13.3 а) Решите уравнение log 8 7 3 sin x  cos 2 x  10  0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

 3

;3 
 2


Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14.1 На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N
соответственно, причем АМ:МВ =CN:NB=3:1. Точки P и Q - середины рёбер DA и DC
соответственно
а) Докажите, что точки P,Q,M и N лежат в одной плоскости
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды

14.2 Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD,
причем АВ= 3 2 , ВС=6. Высота пирамиды падает в центр прямоугольника. Из
вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB
а) Докажите, что точки P - середина BQ
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=9

14.3 В основании пирамиды PABCD ‐ трапеция ABCD с большим основанием AD.
Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD
перпендикулярны плоскости основания, прямые АВ и CD пересекаются в точке К.
а) Доказать, что плоскость РАВ перпендикулярна плоскости PCD.
б) Найдите объем PKBC, если AB‐BC=CD=3, а высота пирамиды PABCD равна 8.

15.1 Решите неравенство:

Log 5 (25 x) log 5 x  2 6  log 5 x 4



log 5 x  2 log 5 (25 x) log 52 x  4

Alexlarin.net 2017 Публикуется ПОСЛЕ окончания экзамена в ознакомительных целях

Единый государственный экзамен, 2017 г. Математика, 11 класс 02.06.17 Основная волна Образец варианта
15.2 Решите неравенство:

Log 2 (4 x 2)  35
 1
log 22 x  36

15.3 Решите неравенство:

3x
3x  1
5
 x

 0
x
x
3  3 3  2 9  5  3x  6

16.1 Точка Е - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На её стороне АВ взяли
точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки СК и ВЕ пересекаются в точке О.
а) Докажите, что СО=КО.
б) Найдите отношение оснований трапеции BС: АD, если площадь треугольника ВСК
составляет

9
площади всей трапеции ABCD.
64

16.2 Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

16.3 Две окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точках А и В, причем точки О1
и О2 лежат по разные стороны от прямой АВ. Продолжение диаметра СА первой
окружности и хорды СВ этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D
и E соответственно.
а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найти AD, если углы DAE и BAC равны, радиус второй окружности в четыре раза
больше радиус первой и АВ=2.

16.4 Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая
окружность проходит через центр О большей. Диаметр ВС большей окружности
вторично пересекает меньшую окружность в точке М, отличной от точки А. Лучи АО и
АМ вторично пересекают большую окружность в точках Р и Q соответственно. Точка С
лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку Р.
а) Докажите что прямые PQ и ВС параллельны
б) Известно, что sin AOC 
Найдите отношение QK:KA

15
. Прямые РС и AQ пересекаются в точке К.
4

17.1 В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его
возврата таковы:
‐ каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга
Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей, то кредит будет
погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет
полностью погашен за 2 года?

17.2 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия
его возврата таковы:
‐ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
долга Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью
погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит
взятую в банке сумму на 77200 рублей?

17.3 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400000 рублей.
Условия его возврата таковы:
‐ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть
долга
Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года,
причем в первый год было переведено 330000 рублей, а во второй год - 121000
рублей.

18.1 Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

X  a  sin x   x  a  cos x
имеет ровно один корень на отрезке 0;  

18.2 Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

2 x  1  ln(4 x  a)  2 x  1  ln(5 x  a)
имеет ровно один корень на отрезке 0;1

18.3 Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

Ln(4 x  1)  x 2  6 x  6a  a 2  0
имеет ровно один корень на отрезке 0;3

Alexlarin.net 2017 Публикуется ПОСЛЕ окончания экзамена в ознакомительных целях

Единый государственный экзамен, 2017 г. Математика, 11 класс

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

“” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Например:

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4)

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā

А ∩ Ā= Ø Ē = Ø (Ā)=А

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

m (A) + m (Ā) = m (E)

А = В => m(A) = m(B)

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) - m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

Сколько учащихся решили все задачи?
Сколько учащихся решили только две задачи?
Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

m (Е) = 40
m (А) = 20
m (В) = 18
m (С) = 18
m (А∩В) = 7
m (А∩С) = 8
m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

Найти m (К1 ) + m (К3 ) + m (К7 )

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

m (Е) = 35
m (А∩В∩С)= m (К5 ) = 6
m (А∩В)= 15
m (А∩С)= 13
m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К7 )

m (К2 ) = m (А∩В) - m (К5 ) = 15-6=9
m (К4 ) = m (А∩С) - m (К5 ) = 13-6=7
m (К6 ) = m (В∩С) - m (К5 ) = 9-6=3
m (К1 ) + m (К3 ) + m (К7 ) = m (Е) - m (К4 ) - m (К2 ) - m (К6 ) - m (К5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»