1. Понятие неравенства с одной переменной
2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
3. Решение неравенств с одной переменной
4. Графическое решение неравенств с одной переменной
5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
6. Основные выводы
Неравенства с одной переменной
Предложения 2х + 7 > 10-х, х 2 +7х < 2,(х + 2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.
В общем виде это понятие определяют так:
Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
Так, решением неравенства 2 x + 7 > 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.
Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x) равносильны на множестве X.
f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.
Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h (х ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x) равносильны на множестве X .
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.
Решение неравенств с одной переменной
Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R , и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 является промежуток (-∞, 7).
Упражнения
1. Установите, какие из следующих записей являются неравенствами с одной переменной:
а) -12 - 7х < 3x + 8; г) 12х + 3(х - 2);
б) 15(x + 2)>4; д) 17-12·8;
в) 17-(13 + 8) < 14-9; е) 2х 2 + 3x -4> 0.
2. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R ? А число 4,25?
3. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:
а) -17х < -51 и х > 3;
б) (3x -1)/4 >0 и 3х -1>0;
в) 6-5x >-4 и х <2?
4. Какие из следующих высказываний истинны:
а) -7 х < -28 => x >4;
б) x < 6 => x < 5;
в) х < 6 => х < 20?
5. Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.
6. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х ) является любое действительное число.
7. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х ) - 2 > 5 - 3х .
8. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:
а) меньше 22 см;
б) больше 17 см?
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить графики функций
у = f (х) = g (х) и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).
Пример 17.8. Решите графически неравенство х 2 - 4 > 3х.
| У - х* - 4 |
Решение. Построим в одной системе координат графики функций
у = х 2 - 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х 2 - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество
(- ¥; -1) È (4; + оо).
Ответ: х Î (- оо; -1) и ( 4; + оо).
Графиком квадратичной функции у = ах 2 + bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции у = ах 2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.
Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х г + 5х - 3 > 0; б) -Зх 2 - 2х - 6 < 0.
Решение, а) Уравнение 2х 2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х 2 = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < х х или при х > х г> т.е. при х < -3 или при х > 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).
б) Уравнение -Зх 2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х 2 - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. Поскольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.
НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:
| f(х) | =
f(х) , если f(х) ³ 0,
- f(х) , если f(х) < 0,
При этом область допустимых значений неравенства следует разбить на интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.
Пример 17.10. Решите неравенство:
|х -1| + |2- х| > 3+х.
Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х. .Значит, имеет место система:
х – 1 + 2 – х > 3 + х,
Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.
Если х > 2, то х - 1 >0 и 2 – х <0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
х -1 + х – 2 > 3+х,
х > 6 или
Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).
Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а | а - b | означает расстояние между точками а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства.
Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.
58. Основные выводы § 12
В данном параграфе мы определили следующие понятия:
Числовое выражение;
Значение числового выражения;
Выражение, не имеющее смысла;
Выражение с переменной (переменными);
Область определения выражения;
Тождественно равные выражения;
Тождество;
Тождественное преобразование выражения;
Числовое равенство;
Уравнение с одной переменной;
Корень уравнения;
Что значит решить уравнение;
Равносильные уравнения;
Неравенство с одной переменной;
Решение неравенства;
Что значит решить неравенство;
Равносильные неравенства.
Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.
Знание определений всех названных выше понятий и теорем о равносильности уравнений и неравенств - необходимое условие методически грамотного изучения с младшими школьниками алгебраического материала.
УРОК: «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Предмет:
Алгебра
Тема:
Решение неравенств с одной переменной
Цели урока:
Образовательные:
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению таких понятий как решение неравенств с одной переменной, равносильное неравенство, решить неравенство; проверить умение учащихся применять полученные знания и навыки на прошлых уроках для решения поставленных задач на данном уроке.
Воспитательные:
развивать интерес к математике путем использования в практике ИКТ; воспитывать познавательные потребности учащихся; формировать такие личные качества как ответственность, настойчивость в достижении цели, самостоятельность.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания (Актуализация опорных знаний)
1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1;8) и (5;10); б) (-4;4) и [-6;6]; в) (5;+∞) и [-∞;4]
Ответ: а) (1;5); б) (-4;4); в) пересечений нет
2. Запишите промежутки, изображенные на рисунке:
2) 
3) 
Ответ: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .
Пример3 , решим неравенство 3(х-1)<-4+3х.
Раскроем скобки в левой части неравенства: 3х-3<-4+3х.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 3х из правой части в левую, а слагаемое -3 из левой части в правую и приведем подобные члены: 3х-3х<-4+3,
Как видим, данное числовое неравенство не является верным ни при каких значениях х. Значит, наше неравенство с одной переменной не имеет решения.
Тренажер
Решите неравенство и отметьте его решение:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Ответ: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. Выводы
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. В остальных случаях он остается прежний.
V. Итоговое тестирование
1) Решением неравенства с одной переменной называется…
а) значение переменной, которое обращает его в верное неравенство;
б) значение переменной, которое обращает его в верное числовое
неравенство;
в) переменная, которая обращает его в верное числовое неравенство.
2) Какие из чисел являются решением неравенства 8+5у>21+6у:
а) 2 и 5 б) -1 и 8 в) -12 и 1 г) -15 и -30 ?
3) Укажите множество решений неравенства 4(х+1)>20:
а) (- ∞; 4); б) (4; +∞);
в) }
