Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
MathCad предоставляет возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно пятидесяти. Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:
задать начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;
напечатать ключевое слово Given , которое указывает MathCad , что далее следует система уравнений;
ввести уравнения и неравенства в любом порядке ниже ключевого слова Given (между левыми и правыми частями уравнений должен стоять жирный знак равенства);
ввести любое выражение, которое включает функцию Find .
Если функция Find имеет более одного аргумента, то она возвращает ответ в виде вектора (рис. 20).
MathCad содержит функцию Minerr , очень похожую на функцию Find . Функция Minerr использует тот же самый алгоритм, что и функция Find .
6.4. Решение систем линейных уравнений
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных х 1 , х 2 , …, х n :
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … +a 1n x n =b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + … +a 2n x n =b 2
a n1 x 1 + a n2 x 2 + … +a nn x n =b n
Рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: A·X = B , где:
атрицаА называется матрицей системы ; столбец B , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется правой частью системы . Столбец Х называется решением системы .Если матрица А − неособенная (det A 0), то система имеет единственное решение, определяемое как:
X = A -1 · B .
Решение системы линейных уравнений может быть получено и с помощью встроенной функции lsolve(А,B). Она возвращает вектор решений B .
Третий способ получения решения системы линейных уравнений − использование решающего блока, описанного в предыдущем параграфе.
Варианты заданий
1
Вариант
Уравнение
Вариант
Уравнение
x 2
+ 4sin x-1 = 0 x 3
+ sin x-12x = 0 x 2
+ 2sin
x-2
=0 2 x
+ sin x = 0 0,5/x 2
- sin x -3 = 0 2 x
- sin x -1= 0 0,3/x 2
- sin x -2 = 0 (x+1) 1/2
–x 2
= 0 tg(1,57x)
– 2,3x +0,1 = 0 (x+1) 1/2
–x 2
+1 = 0 x 3
+ sin x-12x +1 = 0 e x-1
– x 2
=
0 x 3
- sin x-12x +1 = 0 e x-2
– x 2
=
0 x 3
- sin x-12x = 0 e x -1 ,5
– x 2
=
0
. Решить трансцендентное уравнение.
2
Вариант
Уравнение
Вариант
Уравнение
a
x 2
-2e x
= 0 a
x 2
-4e x
= 00 a
x 2
+2lnx = 0 a
x 2
+3lnx = 0 a
x 2
-6e x
= 0 a
x 2
-5e x
= 0 a
x 2
+3lnx = 0 a
x 2
+4lnx = 0 a
x 2
-3e x
= 0 a
x 2
-7e x
= 0 a
x 2
+5lnx = 0 a
x 2
+7lnx = 0 a
x 2
-9e x
= 0 a
x 2
-11e x
= 0 a
x 2
+10lnx = 0 a
x 2
+9lnx = 0
. Найти корни уравнения с параметромa
.
Интервал значений a
задать самостоятельно. Решить уравнение
в символьном.
3
Вариант
Уравнение
Вариант
Уравнение
. Найти решение неравенства в
символьном виде.
4. Решить систему нелинейных уравнений.
|
Вариант |
Уравнение |
Вариант |
Уравнение |
|
2x 2 + y 2 = 1 |
2x 2 + y 2 = 2 |
||
|
2x 2 + y 2 = 2 |
|||
|
2x 2 + y 2 = 2 |
|||
|
2x 2 + y 2 = 2 |
|||
5. Найти пересечение кривой и окружности переменного радиуса R. Интервал значений R задать самостоятельно.
|
Вариант |
Система уравнений |
Вариант |
Система уравнений |
|
x 2 + y 2 = R 2 |
x 2 + y 2 = R 2 |
||
|
x 2 + y 2 = R 2 |
x 2 + y 2 = R 2 |
||
|
2x 2 + y 2 = R 2 |
2x 2 + y 2 = R 2 |
||
|
x 2 + y 2 = R 2 |
2x 2 + y 2 = R 2 |
||
|
x 2 + y 2 = R 2 |
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения. Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения. Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением. Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается. Правила ввода уравнений В качестве переменной может выступать любая латинсая буква. При вводе уравнений можно использовать скобки
. При этом уравнения сначала упрощаются.
Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0
с точностью порядка следования элементов. В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей. Правила ввода десятичных дробей.
Правила ввода обыкновенных дробей.
Примеры. Решить систему уравнений Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript. Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере . Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи . Наши игры, головоломки, эмуляторы: Немного теории.Решение систем линейных уравнений. Способ подстановкиПоследовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему: Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только
одну переменную. Решим это уравнение: Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y: Пара (1;4) - решение системы Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными. Решение систем линейных уравнений способом сложенияРассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения: Пример. Решим систему уравнений: В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений,
получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с
переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение: Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \) Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задачПонравилась статья? Поделитесь с друзьями!
Поделиться в Facebook
Читайте также
Наверх
|
