Дифференциальное уравнение в символической форме
Дифференциальное уравнение в классической форме
Однородное дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Характеристический полином
Передаточная функция
Корни характеристического уравнения:
Общее решение дифференциального уравнения
Так как корни являются комплексными попарно сопряженными, то характер переходного процесса является немонотонным (колебательным).
Корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости. Система устойчива.
Частотную передаточную функцию, или комплексный коэффициент усиления W(j), можно ввести двумя способами:
1. Путем нахождения реакции на синусоидальный (гармонический сигнал).
2. С помощью преобразования Фурье.
Начнем с первого способа и найдем реакцию системы (2.2.1) на гармонический сигнал, который представим в показательной форме
где Хm и - амплитуда и круговая частота.
Так как в линейной системе отсутствуют нелинейные искажения, то в установившемся режиме на выходе также будет гармонический сигнал той же частоты, в общем случае с другими амплитудой и фазой, т.е.
Для определения амплитуды и фазы подставим выражения сигналов (2.4.11), (2.4.12) и их производных в дифференциальное уравнение и после сокращения на еjt 0 и элементарных преобразований получим тождество
Эти соотношения можно рассматривать как определение частотной передаточной функции. В них заключается физический смысл частотной передаточной функции и из них вытекает способ её экспериментального нахождения путем измерения амплитуд гармонических сигналов на входе и выходе и сдвига по фазе между ними для одной и той же частоты.
В случае второго способа определения частотной передаточной функции сравним (2.4.13) и (2.2.15). Из сравнения следует, что частотная передаточная функция является частным случаем передаточной функции по Лапласу при р = j, т.е.
Так как передаточная функция по Лапласу применима к сигналам произвольной (любой) формы, то и частотная передаточная функция применима для нахождения реакции на сигнал произвольной формы, а не обязательно гармонический. Из (2.4.5) для Фурье-изображения реакции имеем
Сама реакция, то есть оригинал, находится по формуле обращения
Таким образом, из второго определения частотной передаточной функции вытекает частотный метод (метод преобразования Фурье) нахождения реакции:
1. Для заданного входного сигнала находим изображение по Фурье
2. Находим Фурье-изображение реакции, используя (2.4.16)
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. По формуле обращения (обратного преобразования Фурье) находим реакцию
Характер преобразования входного сигнала звеном или системой определяется частотной передаточной функцией или соответствующими ей частотными характеристиками. Виды частотных характеристик тесно связаны с формами записи комплексных чисел, поскольку для частотная передаточная функция является комплексным числом.
Основные частотные характеристики (рис.2.4.3-2.4.6).
1. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) - зависимость W(j) на комплексной плоскости при изменении от от - до + (Рис. 2.4.3). Так как Wх() = Wх(-) - четная функция, а Wу() = Wу(-) - нечетная функция, то АФХ для < 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 и ее обычно не изображают.
2. Вещественная Wх() и мнимая Wу() частотные характеристики (рис. 2.4.4) - зависимости вещественной и мнимой части от частоты. Имея в виду четность вещественной характеристики и нечетность мнимой, их для < 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - действительное число (отходит к Wх()), а в нечетной -мнимое (отходит к Wy()).
3. Амплитудная (АЧХ) и фазовая (ФЧХ) частотные характеристики - зависимости А() и () от частоты (рис.2.4.5). В силу четности А() и нечетности (), их для < 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. Обратная частотная характеристика W-1(j) = 1/ W(j). Определяя амплитуду и аргумент (фазу) для дроби по правилу (2.4.6), найдем
Из связи между формами записи комплексных чисел вытекает, что по АФХ можно построить Wх(), Wу() или А(), (), а также W-1(j) и наоборот. На рис.2.4.6 изображена обратная для характеристики на рис.2.4.3 характеристика. На рисунке построена окружность единичного радиуса. В соответствии с правилом (2.4.22) точки, соответствующие А() > 1, лежат внутри круга единичного радиуса. Точка А() = 1 остается на окружности, но фаза меняется на противоположную (на 180).
Тем не менее, рассматриваются звенья, для которых условие физической осуществимости не выполняется. Это правомерно в определенном диапазоне частот. Если спектр сигнала на входе звена выходит за пределы этого диапазона, то возникнут искажения в реакции, не предусмотренные передаточной функцией звена.
5. Логарифмические частотные характеристики.
Наиболее широкое применение нашли логарифмические характеристики. Для их объяснения представим частотную передаточную функцию в показательной форме и возьмем натуральный логарифм от:
Он равен комплексному выражению; вещественная его часть является логарифмом от модуля, а мнимая - фазой.
На практике берется десятичный логарифм, так что логарифмические амплитудная (ЛАХ) и фазовая (ЛФХ) характеристики определяются выражениями:
По оси абсцисс на графиках откладывается частота в логарифмическом масштабе, т.е. lg. Однако желательно делать оцифровку непосредственно в значениях круговой частоты, а для разметки можно воспользоваться табл.2.4.1. Значения
Таблица 2.4.1
Амплитуда измеряется в децибелах, фаза - в градусах. Для разметки оси абсцисс непосредственно в значениях (рад/с) можно воспользоваться любой из трех шкал (основной, квадратичной и кубической) логарифмической линейки (рис.2.4.7).
Если взять за декаду D мм, то, например, 0.301 дек (соответствует = 2 рад/с) составит 0.301D мм, 1.301 дек (соответствует 20 рад/с) составит D+0.301D мм и т.д. Таким образом, точки с оцифровкой в пределах от 1 до 10 смещаем вправо на декаду и оцифровываем от 10 до 100 и т.д. (рис.2.4.7), смещаем влево от исходного положения на одну декаду и оцифровываем от 0.1 до 1 и т.д.
Если 2 /1 = 10, то расстояние между частотами равно одной декаде (lg10=1), если 2 /1 = 2, то расстояние равно одной октаве.
Так как lg(= 0) = -, то точка = 0 находится на бесконечности слева. Поэтому ось ординат проводят в любом месте с таким расчетом, чтобы на график попал интересующий диапазон частот. Так как 20lg1 = 0, то L() > 0, если А()>1 и L() < 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
Рассмотрим ЛАХ инерционного звена. Имеем
A() = ; . (2.4.24)
Левее частоты сопряжения 0, т.е. в случае 0, пренебрежем под знаком радикала величиной 2 по сравнению с 02. Тогда
L() 20lg(k). (2.4.25)
Следовательно, левее 0 асимптотическая ЛАХ представляет собой горизонтальную прямую на высоте 20lg(k). Если k = 1, то эта прямая совпадает с осью частот.
Правее частоты сопряжения 0, где 0, аналогично получим прямую с наклоном -20 дБ/дек, так как по оси абсцисс откладывается lg.
L() 20lg(k) - 20lg, (2.4.26)
В точке 0 имеем погрешность замены точной (реальной) характеристики на асимптотическую, равную
Lточ(0)=Lприб(0)+L(0),
то реальная характеристика в точке 0 расположена ниже асимптотической на 3дБ. На практике погрешность в 3дБ считается небольшой и не учитывается.
Логарифмические характеристики звеньев
Таблица 2.4.6
Из табл.2.4.6 следует:
1. Наклон и соответственно сдвиг по фазе на низких частотах могут дать только интегрирующие или дифференцирующие звенья. Если, например, в передаточной функции имеется r интегрирующих звеньев, то наклон ЛАХ на низких частотах равен, а сдвиг по фазе соответственно.
2. n корням знаменателя (полюсам передаточной функции), т.е. степени знаменателя n, соответствует наклон ЛАХ на верхних частотах, равный, и в случае минимально фазовой системы - соответственно сдвиг по фазе на высоких частотах, равных.
3. корням числителя (нулям передаточной функции) на высоких частотах аналогично соответствуют наклон ЛАХ, равный, и сдвиг по фазе.
4. В случае передаточной функции
минимально-фазовой системы с n полюсами и n1 нулями наклон ЛАХ на высоких частотах равен, а сдвиг по фазе равен градусов.
Построение логарифмических характеристик систем
и восстановление передаточной функции по ЛАХ
Если звенья системы соединены последовательно, то
и для модуля и аргумента комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы соответственно имеем:
Очевидно,
Следовательно, для построения ЛАХ и ЛФХ нужно просуммировать соответствующие характеристики отдельных звеньев.
Пример 2.4.3. Построить ЛАХ и ЛФХ по передаточной функции
где; с; с. Соответственно сопрягающие частоты равны; ;.
Передаточную функцию представим в виде произведения передаточных функций интегрирующего звена
инерционных звеньев
и форсирующего
Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики отдельных звеньев, а также результирующие ЛАХ и ЛФХ системы построены на рис.2.4.13 и 2.4.14.
На рис.2.4.13 жирными линиями показаны асимптотические ЛАХ звеньев. Характеристики двух инерционных звеньев с передаточными функциями и на графиках сливаются, но их необходимо учитывать дважды. Это касается также и ЛФХ этих звеньев. Для построения результирующей ЛАХ к ЛАХ интегрирующего звена последовательно добавлялись характеристики остальных звеньев при перемещении вдоль оси частот слева направо по мере встречи сопрягающих частот. После очередной частоты сопряжения наклон ЛАХ изменялся на. Приращение наклона соответствовало звену, которому принадлежала сопрягающая частота.
Анализируя результаты примера и характеристики типовых звеньев (табл.2.4.6), можно сделать вывод, что ЛАХ разомкнутой системы можно построить сразу, минуя промежуточные построения ЛАХ звеньев и суммирование их, по правилу:
1. Найти сопрягающие частоты и отложить их на оси частот. Ось ординат провести для удобства левее самой низкой сопрягающей частоты.
2. При щ = 1 отложить 20 lgk и через эту точку провести прямую с наклоном -20 дБ/дек, если в системе имеется интегрирующих звеньев, или с наклоном +20 дБ/дек, если в системе имеется дифференцирующих звеньев (при = 0 низкочастотная асимптота ЛАХ параллельна оси абсцисс).
3. При прохождении слева направо каждой из частот сопряжения характеристика испытывает приращение наклона -20 дБ/дек (для инерционного звена), -40 дБ/дек (для колебательного звена), +20 дБ/дек (для форсирующего звена), +40 дБ/дек (для звена, обратного колебательному). Если сопрягающие частоты нескольких звеньев одинаковы, то приращение наклона ЛАХ равно суммарному приращению от всех звеньев. Если имеется хотя бы одна частота сопряжения, меньшая единицы, то точка 20lgk при щ = 1 не будет лежать на результирующей ЛАХ.
4. Ввести поправку к асимптотической ЛАХ при наличии колебательных или обратных им звеньев.
Для контроля правильности построения ЛАХ и ЛФХ полезно помнить, что наклон ЛАХ в области высоких частот (щ > ?) равен 20 (m-n) дБ/дек, где m - порядок числителя, n - порядок знаменателя передаточной функции системы. Кроме того
где знак минус берётся при наличии интегрирующих, а плюс - дифференцирующих звеньев. Из анализа методики построения ЛАХ по передаточной функции вытекает возможность обратного перехода, т. е. восстановления передаточной функции минимально-фазовой системы по ЛАХ.
При восстановлении передаточной функции минимально-фазовой системы по ЛАХ записываем дробь, в числителе которой ставим общий коэффициент усиления и далее делаем начинку дроби. По величине наклона низкочастотного участка определяем количество интегрирующих или дифференцирующих звеньев (формально отрицательному наклону соответствуют интегрирующие звенья и, соответственно, множитель в знаменателе, положительному наклону - множитель в числителе, - кратность наклона 20-ти децибелам). В случае нулевого наклона интегрирующие или дифференцирующие звенья отсутствуют. Далее при движении слева направо по мере встречи частот сопряжения анализируем приращение (изменение) наклона. Если приращение составляет +20 Дб/дек, то в числитель записываем для форсирующего звена вида, если приращение составляет -20 Дб/дек, то в знаменатель записываем для инерционного звена вида. В случае приращения наклона +40 Дб/дек в числитель записываем два форсирующих звена, в случае приращения наклона -20 Дб/дек в знаменатель записываем для двух инерционных звена вида. Если на ЛАХ показана поправка на коэффициент затухания, то вместо двух форсирующих или инерционных звеньев записываем обратное колебательному или колебательное звено (множитель в числителе или в знаменателе). Если кратность наклона 3 и более, то записываем соответствующее количество звеньев с одинаковыми частотами сопряжения. Для определения коэффициента усиления находим точку пересечения продолжения низкочастотного участок ЛАХ с вертикальной прямой с абсциссой и по ординате этой точки определяем.
В случае минимально-фазовой системы в двучленах и трехчленах, упомянутых выше, берем знаки “+”. Если бы имелись не минимально-фазовые звенья, то нужно было бы взять знак “-“. При этом ЛАХ осталась бы прежней, а ЛФХ была бы другой. Поэтому в случае минимально-фазовой системы восстановление однозначно и нет необходимости контролировать АФХ.
Пример 2.4.4. Восстановить передаточную функцию минимально-фазовой системы по ЛАХ рис.2.4.15.
Рис.2.4.15.
В соответствие с приведенными соображениями передаточная функция минимально-фазовой системы будет равна
По RLC-цепи задания 1 записать частотную передаточную функцию и аналитические выражения частотных характеристик.
5. Построить амплитудно-фазовую характеристику (АФХ).
6. Построить амплитудную и фазовую частотные характеристики.
7. Построить вещественную и мнимую частотные характеристики.
8. Построить логарифмические характеристики (ЛАХ и ЛФХ). Определить к какому типу корректирующих звеньев относится данное звено (интегрирующее, дифференцирующее, интегро-дифференцирующее). Каких частот этот фильтр.
9. По АФХ построить обратную частотную характеристику.
Частотная передаточная функция в параметрической форме
Амплитудная частотная характеристика
Фазовая частотная характеристика
Вещественная частотная характеристика
Свободный режим схемы не зависит от источников энергии, определяется только структурой схемы и параметрами ее элементов. Из этого следует, что корни характеристического уравнения p1, p2,…, pn будут одинаковыми для всех переменных функций (токов и напряжений).
Характеристическое уравнение можно составить различными методами. Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составляется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений выполняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Составляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным дифференциальным и определяют его корни.
Пример. Составить характеристическое уравнение и определить его корни для переменных в схеме рис. 59.1. Параметры элементов заданы в общем виде.
Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:
Решим систему уравнений относительно переменной i 3 , в результате получим неоднородное дифференциальное уравнение:
Второй способ составления характеристического уравнения заключается в приравнивании нулю главного определителя системы уравнений Кирхгофа для свободных составляющих переменных.
Пусть свободная составляющая произвольного тока имеет вид i ксв =А k e pt , тогда:
Система уравнений для свободных составляющих получается из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа путем замены производных от переменных на множитель р, а интегралов – на 1/р. Для рассматриваемого примера система уравнений для свободных составляющих имеет вид:
Характеристическое уравнение и его корень:
Третий способ составления характеристического уравнения (инженерный) заключается в приравнивании нулю входного операторного сопротивления схемы относительно любой ее ветви.
Операторное сопротивление элемента получается из его комплексного сопротивления путем простой замены множителя jω на р, следовательно
Для рассматриваемого примера:
Третий способ является наиболее простым и экономичным, поэтому он чаще других применяется при расчете переходных процессов в электрических цепях.
Корни характеристического уравнения характеризуют свободный переходной процесс в схеме без источников энергии. Такой процесс протекает с потерями энергии и поэтому затухает во времени. Из этого следует, что корни характеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрицательную вещественную часть.
В общем случае порядок дифференциального уравнения, которым описывается переходный процесс в схеме, и, следовательно, степень характеристического уравнения и число его корней равны числу независимых начальных условий, или числу независимых накопителей энергии (катушек L и конденсаторов C). Если в схеме цепи содержатся параллельно включенные конденсаторы С1, С2,… или последовательно включенные катушки L1, L2,…, то при расчете переходных процессов они должны быть заменены одним эквивалентным элемен¬том С Э =С1 +С2+… или L Э =L1 +L2+…
Таким образом, общий вид решения для любой переменной при расчете переходного процесса может быть составлен только из анализа схемы цепи, без составления и решения системы дифференциальных уравнений.
Для рассматриваемого выше примера.
Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами
Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,
где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа представим в матричной записи:
- матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
- матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
- матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.
Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$.
Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами
Пусть имеется матрица некоторых чисел $\alpha =\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_{1} =\alpha _{1} \cdot e^{k\cdot x} $, $y_{2} =\alpha _{2} \cdot e^{k\cdot x} $, \dots , $y_{n} =\alpha _{n} \cdot e^{k\cdot x} $. В матричной форме: $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=e^{k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Отсюда получаем:
Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:
Полученное уравнение можно представить так:
Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.
Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.
Это уравнение называется характеристическим.
Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. Для каждого значения $k_{i} $ из системы $\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)=0$ может быть определена матрица значений $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(i\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(i\right)} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(i\right)} } \end{array}\right)$.
Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.
Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:
$\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{k_{1} \cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{k_{2} \cdot x} } \\ {\ldots } \\ {C_{n} \cdot e^{k_{n} \cdot x} } \end{array}\right)$,
где $C_{i} $ -- произвольные постоянные.
Задача
Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =5\cdot y_{1} +4y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +5\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.
Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)$.
В матричной форме данная СОДУ записывается так: $\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dt} } \\ {\frac{dy_{2} }{dt} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)$.
Получаем характеристическое уравнение:
$\left|\begin{array}{cc} {5-k} & {4} \\ {4} & {5-k} \end{array}\right|=0$, то есть $k^{2} -10\cdot k+9=0$.
Корни характеристического уравнения: $k_{1} =1$, $k_{2} =9$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{1} =1$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{1} } & {4} \\ {4} & {5-k_{1} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)=0,\]
то есть $\left(5-1\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +\left(5-1\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(1\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(1\right)} =-1$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{2} =9$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{2} } & {4} \\ {4} & {5-k_{2} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)=0, \]
то есть $\left(5-9\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +\left(5-9\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(2\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(2\right)} =1$.
Получаем решение СОДУ в матричной форме:
\[\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{1\cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right).\]
В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {y_{1} =C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \\ {y_{2} =-C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right. $.
