Сейчас мы разберем положительные и отрицательные числа . Сначала дадим определения, введем обозначения, после чего приведем примеры положительных и отрицательных чисел. Также остановимся на смысловой нагрузке, которую несут в себе положительные и отрицательные числа.
Навигация по странице.
Положительные и отрицательные числа – определения и примеры
Дать определение положительных и отрицательных чисел нам поможет . Для удобства будем считать, что она расположена горизонтально и направлена слева направо.
Определение.
Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными .
Определение.
Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными .
Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.
Из определения отрицательных и положительных чисел следует, что множество всех отрицательных чисел представляет собой множество чисел, противоположных всем положительным числам (при необходимости смотрите статью противоположные числа). Следовательно, отрицательные числа всегда записываются со знаком минус.
Теперь, зная определения положительных и отрицательных чисел, мы с легкостью можем привести примеры положительных и отрицательных чисел . Примерами положительных чисел являются натуральные числа 5 , 792 и 101 330 , да и вообще любое натуральное число является положительным. Примерами положительных рациональных чисел являются числа , 4,67 и 0,(12)=0,121212... , а отрицательных – числа , −11 , −51,51 и −3,(3) . В качестве примеров положительных иррациональных чисел можно привести число пи, число e , и бесконечную непериодическую десятичную дробь 809,030030003… , а примерами отрицательных иррациональных чисел являются числа минус пи, минус e и число, равное . Следует отметить, что в последнем примере отнюдь не очевидно, что значение выражения является отрицательным числом. Чтобы это узнать наверняка, нужно получить значение этого выражения в виде десятичной дроби, а как это делается, мы расскажем в статье сравнение действительных чисел .
Иногда перед положительными числами записывается знак плюс, также как перед отрицательными числами записывается знак минус. В этих случаях следует знать, что +5=5
, 
и т.п. То есть, +5
и 5
и т.п. – это одно и то же число, но по-разному обозначенное. Более того, можно встретить определение положительных и отрицательных чисел, на основании знака плюс или минус.
Определение.
Числа со знаком плюс называют положительными , а со знаком минус – отрицательными .
Существует еще одно определение положительных и отрицательных чисел, основанное на сравнении чисел. Чтобы дать это определение, достаточно лишь вспомнить, что точка на координатной прямой, соответствующая большему числу, лежит правее точки, соответствующей меньшему числу.
Определение.
Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.
Таким образом, нуль как бы отделяет положительные числа от отрицательных.
Конечно же, следует еще остановиться на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, +8 читается как плюс восемь, а - как минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем» (не минусу трем).
Интерпретация положительных и отрицательных чисел
Мы уже достаточно долго описываем положительные и отрицательные числа. Однако неплохо было бы знать, какой смысл они несут в себе? Давайте разберемся с этим вопросом.
Положительные числа можно интерпретировать как приход, как прибавку, как увеличение какой-либо величины и тому подобное. Отрицательные числа, в свою очередь, означают строго противоположное – расход, недостаток, долг, уменьшение какой-либо величины и т.п. Разберемся с этим на примерах.
Можно сказать, что мы обладаем 3 предметами. Здесь положительное число 3 указывает количество находящихся у нас предметов. А как можно интерпретировать отрицательное число −3 ? Например, число −3 может означать, что мы должны кому-нибудь отдать 3 предмета, которых у нас даже нет в наличии. Аналогично можно сказать, что в кассе нам выдали 3,45 тысяч рублей. То есть, число 3,45 связано с нашим приходом. В свою очередь отрицательное число −3,45 будет указывать на уменьшение денег в кассе, выдавшей эти деньги нам. То есть, −3,45 – это расход. Еще пример: повышение температуры на 17,3 градуса можно описать положительным числом +17,3 , а понижение температуры на 2,4 можно описать с помощью отрицательного числа, как изменение температуры на −2,4 градуса.
Положительные и отрицательные числа часто используются для описания значений каких-либо величин в различных измерительных приборах. Самым доступным примером является прибор для измерения температур – термометр - со шкалой, на которой записаны и положительные и отрицательные числа. Часто отрицательные числа изображают синим цветом (он символизирует снег, лед, а при температуре ниже нуля градусов Цельсия начинает замерзать вода), а положительные числа записывают красным цветом (цвет огня, солнца, при температуре выше нуля градусов начинает таять лед). Запись положительных и отрицательных чисел красным и синим цветом используют и в других случаях, когда нужно особо выделить знак чисел.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Допустим, у Дениса очень много конфет - целая большая коробка. Сперва Денис съел 3 конфеты. Потом папа дал Денису 5 конфет. Потом Денис подарил Матвею 9 конфет. Наконец, мама дала Денису 6 конфет. Вопрос: Стало ли у Дениса в конечном итоге больше или меньше конфет, чем было вначале? Если больше, то насколько больше? Если меньше, то насколько меньше?
Для того чтобы не запутаться с этой задачей, удобно применить один трюк. Давайте выпишем подряд все числа из условия. При этом мы будем ставить знак «+» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса прибавилось, и знак «−» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса убавилось. Тогда всё условие выпишется очень коротко:
− 3 + 5 − 9 + 6.
Эту запись можно прочитать, например, так: «Сперва Денис получил минус три конфеты. Потом плюс пять конфет. Потом минус девять конфет. И наконец плюс шесть конфет». Слово «минус» меняет смысл фразы на прямо противоположный. Когда я говорю: «Денис получил минус три конфеты», - это на самом деле означает, что у Дениса на три конфеты убыло. Слово «плюс», напротив, подтверждает смысл фразы. «Денис получил плюс пять конфет» означает то же самое, что и просто «Денис получил пять конфет».
Итак, сперва Денис получил минус три конфеты. Значит, у Дениса стало на минус три конфеты больше, чем было вначале. Для краткости можно сказать: у Дениса стало минус три конфеты.
Потом Денис получил плюс пять конфет. Легко сообразить, что у Дениса стало плюс две конфеты. Значит,
− 3 + 5 = + 2.
Потом Денис получил минус девять конфет. И вот сколько конфет у него стало:
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Наконец Денису досталось еще +6 конфет. И всего конфет стало:
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
На привычном языке это означает, что в конце концов у Дениса оказалось на одну конфету меньше, чем было вначале. Задача решена.
Трюк со знаками «+» или «−» применяется очень широко. Числа со знаком «+» называются положительными . Числа со знаком «−» называются отрицательными . Число 0 (ноль) не является ни положительным, ни отрицательным, потому что +0 ничем не отличается от −0. Таким образом, мы имеем дело с числами из ряда
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Такие числа называются целыми числами . А те числа, у которых вообще нет никакого знака и с которыми мы имели дело до сих пор, называются натуральными числами (только ноль не относится к натуральным числам).
Целые числа можно представить себе как ступеньки лестницы. Число ноль - это лестничная площадка, находящаяся вровень с улицей. Отсюда можно ступенька за ступенькой подняться наверх, к более высоким этажам, а можно и спуститься вниз, в подвал. До тех пор, пока нам не нужно заходить в подвал, нам вполне достаточно одних только натуральных чисел и нуля. Натуральные числа - это, по сути дела, то же самое, что положительные целые числа.
Строго говоря, целое число - это не номер ступеньки, а команда на перемещение по лестнице. Например, число +3 говорит, что следует подняться на три ступеньки вверх, а число −5 означает, что надо спуститься на пять ступенек вниз. Просто за номер ступеньки принимают такую команду, которая перемещает нас на данную спупеньку, если мы начинаем движение с нулевого уровня.
Вычисления с целыми числами легко проделывать, просто мысленно прыгая вверх или вниз по ступенькам - если, конечно, не потребуется делать слишком большие прыжки. Но как быть, когда надо прыгнуть на сто или более ступенек? Ведь не будем же мы рисовать такую длиннющую лестницу!
А впрочем, почему бы и нет? Мы можем нарисовать длинную лестницу с такого большого расстояния, на котором отдельные ступеньки уже неразличимы. Тогда наша лестница превратиться просто в одну прямую линию. А чтобы ее удобнее было поместить на страницу, нарисуем ее без наклона и отдельно отметим положение ступеньки 0.
Поучимся вначале прыгать по такой прямой на примере выражений, значения которых мы уже давно умеем вычислять. Пусть требуется найти
Строго говоря, раз уж мы имеем дело с целыми числами, то нам следовало бы написать
Но у положительного числа, стоящего в начале строки знак «+» обычно не ставят. Прыжки по лестнице выглядят приблизительно так:
Вместо двух больших прыжков нарисованных над прямой (+42 и +53), можно сделать один прыжок, нарисованный под прямой, причем длина этого прыжка, конечно, равна
Такого рода рисуночки на математическом языке принято называть диаграммами. Вот как выглядит диаграмма для привычного нам примера на вычитание
Вначале мы сделали большой прыжок вправо, потом прыжок поменьше влево. В результате мы так и остались справа от нуля. Но возможна и другая ситуация, как, например, в случае выражения
На этот раз прыжок враво оказался короче прыжка влево: мы перелетели через ноль и оказались в «подвале» - там, где находятся ступеньки с отрицательными номерами. Вглядимся попристальнее в наш прыжок влево. Всего мы преодолели 95 ступенек. После того как мы преодолели 53 ступеньки, мы поравнялись с отметкой 0. Спрашивается сколько ступенек мы предолели после этого? Ну, конечно
Таким образом, оказавшись на ступеньке 0, мы спустились вниз еще на 42 ступеньки, а значит, в конце концов мы пришли на ступеньку с номером −42. Итак,
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
Подобным же образом, рисуя диаграммы, легко установить что
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
и, наконец,
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Таким образом, мы научились свободно путешествовать по всей лестнице целых чисел.
Рассмотрим теперь такую задачу. Денис и Матвей обмениваются фантиками. Вначале Денис дал Матвею 3 фантика, а потом взял у него 5 фантиков. Сколько фантиков в итоге получил Матвей?
Но раз Денис получил 2 фантика, то Матвей получил −2 фантика. К прибыли Дениса мы приписали минус и получили прибыль Матвея. Наше решение можно записать в виде единственного выражения
−(−3 + 5) = −2.
Тут всё просто. Но давайте слегка видоизменим условие задачи. Пусть Денис дал сперва Матвею 5 фантиков, а потом взял у него 3 фантика. Спрашивается, опять-таки, сколько фантиков в итоге получил Матвей?
Снова вначале рассчитаем «прибыль» Дениса:
−5 + 3 = −2.
Значит, Матвей получил 2 фантика. Но как теперь наше решение записать в виде единственного выражения? Что бы такое приписать к отрицательному числу −2, чтобы получить положительное число 2? Оказывается, и на этот раз надо приписать знак минус. Математики очень любят единообразие. Они стремятся к тому, чтобы решение похожих задач записывались в виде похожих выражений. В данном случае решение выглядит так:
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
Так уж математики договорились: если к положительному числу приписать минус, то оно превращается в отрицательное, а если к отрицательному числу приписать минус, то оно превращается в положительное. Это очень логично. В конце концов, спуститься на минус две ступеньки вниз это то же самое, что подняться на плюс две ступеньки вверх. Итак,
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Для полноты картины отметим еще, что
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
Это дает нам возможность по-новому взглянуть на давно привычные вещи. Пусть дано выражение
Смысл этой записи можно представлять себе по-разному. Можно, по-старинке, считать, что из положительного числа +5 отнимается положительное число +3:
В этом случае +5 называется уменьшаемым , +3 - вычитаемым , а всё выражение - разностью . Именно так учат в школе. Однако слова «уменьшаемое» и «вычитаемое» нигде, кроме школы, не употребляются и их можно забыть после итоговой контрольной работы. Про эту же самую запись можно сказать, что к положительному числу +5 прибавляется отрицательное число −3:
Числа +5 и −3 называются слагаемыми , а всё выражение - суммой . В данной сумме только два слагаемых, но, вообще, сумма может состоять из скольких угодно слагаемых. Подобным же образом, выражение
можно с одинаковым правом рассматривать как сумму двух положительных чисел:
и как разность положительного и отрицательного чисел:
(+5) − (−3).
После того как мы познакомились с целыми числами, нам обязательно надо уточнить правила раскрытия скобок. Если перед скобками стоит знак «+», то такие скобки можно просто стереть, и все числа в них сохраняют свои знаки, например:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
и так далее.
Если же перед скобками стоит знак «−», то стирая скобку, мы должны также поменять знаки у всех чисел, стоявших в ней:
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
и так далее.
При этом полезно держать в голове задачу про обмен фантиками между Денисом и Матвеем. Например, последнюю строчку можно получить так. Считаем, что Денис вначале взял 5 фантиков у Матвея, а потом еще −3. Всего Денис получил 5 − 3 фантиков, а Матвей - то же самое число, но с противоположным знаком, то есть −(5 − 3) фантиков. Но ведь эту же задачу можно решить и другим способом, имея в виду, что всякий раз, когда Денис получает, Матвей отдает. Значит, вначале Матвей получил −5 фантиков, а потом еще +3, что в итоге дает −5 + 3.
Подобно натуральным числам, целые числа можно сравнивать между собой. Зададимся, например, вопросом: какое число больше: −3 или −1? Посмотрим на лестницу с целыми числами, и сразу станет ясно, что −1 больше, чем −3, и, значит, −3 меньше, чем −1:
−1 > −3;
−3 < −1.
А теперь давайте уточним: насколько −1 больше, чем −3? Иными словами, на сколько ступенек надо подняться, чтобы перейти со ступеньки −3 на ступеньку −1? Ответ на этот вопрос можно записать в виде разности чисел −1 и −3:
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
Прыгая по ступенькам, легко проверить, что это так. А вот еще один любопытный вопрос: насколько число 3 больше числа 5? Или, что то же самое: на сколько ступенек надо подняться вверх, чтобы перейти со ступеньки 5 на ступеньку 3? Еще недавно этот вопрос поставил бы нас в тупик. Но теперь мы легко можем выписать ответ:
3 − 5 = − 2.
Действительно, если мы находимся на ступеньке 5 и поднимемся вверх еще на −2 ступеньки, то окажемся как раз на ступеньке 3.
Задачи
2.3.1. Какой смысл имеют следующие фразы?
Денис дал папе минус три конфеты.
Матвей старше Дениса на минус два года.
Чтобы попасть в нашу квартиру, надо спуститься на минус два этажа вниз.
2.3.2. Имеют ли смысл такие фразы?
У Дениса минус три конфеты.
На лугу пасется минус две коровы.
Замечание. Эта задача не имеет однозначного решения. Не будет, конечно, ошибкой утверждать, что данные высказывания бессмысленны. И в то же время им можно придать вполне ясный смысл. Допустим, у Дениса есть большая коробка, доверху наполненная конфетами, но содержимое этой коробки - не в счет. Или допустим, что две коровы из стада не вышли пастись на луг, а по какой-то причине остались в коровнике. Стоит иметь в виду, что и самые привычные фразы могут оказаться неоднозначными:
У Дениса три конфеты.
Это высказывание не исключает, что у Дениса припрятана где-то еще огромная коробка с конфетами, но о тех конфетах просто умалчивается. Точно так же, когда я говорю: «У меня пять рублей», - я не имею в виду, что это и есть всё мое состояние.
2.3.3. Кузнечик прыгает по лестнице, начиная с этажа, где находится квартира Дениса. Сначала он прыгнул на 2 ступеньки вниз, потом на 5 ступенек вверх, и наконец на 7 ступенек вниз. На сколько ступенек и в каком направлении переместился кузнечик?
2.3.4. Найти значения выражений:
− 6 + 10;
− 28 + 76;
и т.п.
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. Найти значения выражений:
8 − 20;
34 − 98;
и т.п.
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. Найти значения выражений:
− 4 − 13;
− 48 − 53;
и т.п.
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Для следующих выражений найти значения, проводя вычисления в том порядке, который задается скобками. Затем раскрыть скобки и убедиться, что значения выражений остались прежними. Составить задачи про конфеты, которые решаются таким образом.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
и т.п.
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
«У Дениса было 25 конфет. Он отдал папе минус десять конфет, а Матвею четыре конфеты. Сколько конфет у него стало?»
Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.
Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.
То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.
Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».
Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.
Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.
Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.
Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.
Отрицательные числа
используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.
Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.
- Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.
Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.
Стрелкой указывают положительное направление.
Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой
или числовой осью.
Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.
В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.
Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.
Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).
- Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.
Каждое число имеет единственное противоположное ему число
. Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.
Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.
Пример:
-3 - число противоположное числу 3.
Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)
Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.
Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6
Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.
Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.
Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.
Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо
. В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5
Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево
.
В этом случае координата точки B равна - 2.
Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.
Пример.
- 2 + (- 6) =
Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8
Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.
Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.
Пример.
Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5
- Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.
Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.
Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5
Пример сложения смешанных чисел.
Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.
Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a
Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел
можно заменить сложением.
- Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.
Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)
Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
- Стоит запомнить выражения ниже.
- 0 - a = - a
- a - 0 = a
- a - a = 0
Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.
Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.
Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков,
которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.
Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел
Или выучить простое правило.
- Минус на минус даёт плюс,
- Плюс на минус даёт минус.
Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.
Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6
Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4
Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.
- Минус на минус даёт плюс,
- Плюс на минус даёт минус.
В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.
При чётном
числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном
количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =
В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728
Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728
Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).
- При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.
В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a
При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.
Пример умножения отрицательных и положительных чисел.
Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.
Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.
Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.
Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15
значит
(- 15) : 5 = - 3
Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12
Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).
Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:
. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2
Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении
При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби
Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».
Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:
- Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
- 0: a = 0, a ≠ 0
- Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!
Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.
Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.
Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2
Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).
Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.
Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.
- При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.
Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.
Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.
Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.
С предыдущих уроков по языку Assembler мы знаем что процессор работает с двоичными числами, эти числа могут быть положительными или отрицательными. И сегодня я подробно расскажу какие бывают положительные (без знака) и отрицательные (со знаком) числа.
Положительные числа
Если число положительное, то оно просто представляет собой результат перевода десятичного числа в двоичный вид. Для представления положительных чисел используется специальное кодирование. Старший бит в этом случае обозначает знак числа. Если знаковый бит равен нулю, то число положительное, иначе - отрицательное.
В процессорах семейства Intel основной единицей хранения всех типов данных является байт. Байт, состоит из восьми битов. В таблице представленной ниже приведены диапазоны возможных значений целых положительных чисел, с которыми может работать процессор:
При работе с числами не забывайте, что в байт можно записать число со значением не более 255, в слово – со значением не более 65 535 и т.д. Например, если при работе с байтом вы выполните операцию сложения 255 + 1, то в результате должно получиться число 256. Однако если вы запишите результат в байт, то, результатом будет не 256, а 0. Такая ситуация бывает в случаи “переполнения”.
Переполнение – это когда результат какой-либо операции не помещается в предназначенный для этого результата регистр. Также при переполнении результатом может быть не ноль, а другое число.
Отрицательные числа
Представление отрицательных чисел в вычислительных машинах встречает определенные трудности. Отрицательное число, не имеет числового смысла, оно символизирует, скорее, будущее действие – то, что в дальнейшем из вновь появившихся у нас предметов мы должны вычесть еще несколько.
Отрицательные числа – это числа со знаком минус.
Диапазоны возможных значений отрицательных чисел:
Для того чтобы указать знак числа, достаточно одного разряда (бита). Обычно знаковый бит занимает старший разряд числа. Если старший бит числа равен 0, то число считается положительным. Если старший разряд числа равен 1, то число считается отрицательным.
При программировании на ассемблере необходимо учитывать один важный момент “Ограничение диапазона представления чисел”.
Например, если размер положительной переменной равен 1 байт, то она может принимать всего 256 различных значений. Это означает, что мы не сможем представить с её помощью число, больше 255 (111111112). Для такой же отрицательной переменной максимальным значением будет 127 (011111112), а минимальным -128 (100000002). Аналогично определяется диапазон для 2- и 4-байтных переменных.
История отрицательных чисел
Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.
Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Было и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравнений, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это потребовало введения новых чисел.
Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа, правила умножения и деления не применялись.
Во II в. до н. э. китайский ученый Чжан Цань написал книгу «Арифметика в девяти главах». Из содержания книги видно, что это не вполне самостоятельный труд, а переработка других книг, написанных задолго до Чжан Цаня. В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные количества. Они понимаются им не так, как понимаем и применяем их мы. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет. Каждое отрицательное число он понимал как долг, а положительное – как имущество. Действия с отрицательными числами он производил не так, как мы, а используя рассуждения о долге. Например, если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получиться долг, а не имущество (т, е. по нашему (- х) + (- х) = - 2х. Знака минус тогда не знали, поэтому, чтобы отличить числа, выражавшие долг, Чжань Цань писал их другими чернилами, чем числа, выражавшие имущество (положительные).
Положительные количества в китайской математике называли «чен» и изображали красным цветом, а отрицательные – «фу» и изображали черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Хотя китайские ученые и объяснили отрицательные количества как долг, а положительные - как имущество, всё же они избегали широкого употребления их, так как числа эти казались непонятными, действия с ними были неясны. Если же задача приводила к отрицательному решению, то старались заменить условие (как греки), чтобы в итоге получалось решение положительное.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. Для вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков + и – в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же - палочками черного цвета и называли «долг» и «недостача». Положительные числа толковались как «имущество». В отличие от Китая в Индии были уже известны и правила умножения, деления. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».
Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.
Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по - латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.
Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как “недоступный”. И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком .
Несмотря на то, что отрицательные числа использовались давно, относились к ним с некоторым недоверием, считая их не совсем реальными, истолкование их как имущество-долг вызывало недоумение: как можно «складывать» и «вычитать» имущество и долги?
В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг».
В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Однако, в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.
Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными ». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…
Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.
В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!
Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками
« + » и « - » применил немецкий математик Видман.
Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно , навыворот».
После Штифеля ученые стали более уверенно производить действия с отрицательными числами.
Все чаще сохранялись и истолковывались отрицательные решения в задачах.
В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но, чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта.
В трудах Декарта отрицательные числа получили, как говорят, реальное истолкование. Декарт и его последователи признавали их наравне с положительными. Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них), поэтому многие ученые не желали признавать отрицательные числа за числа действительные. Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет. За этот период математика как наука получила очень большое развитие, и на каждом шагу в ней встречались отрицательные числа. Математика стала немыслимой, невозможной без отрицательных чисел. Все большему числу ученых становилось ясно, что отрицательные числа – это числа действительные, такие же реальные, на самом деле существующие числа, как числа положительные.
С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их. Все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе. Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.
Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».
Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?
Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, напряжение между электродами, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.
Не следует думать, что любая характеристика предмета или явление природы может быть измерена и, следовательно, является физической величиной. Это совсем не так. Например, мы говорим: «Какие красивые горы вокруг! И какое красивое озеро там, в низу! А какая красивая ель вон на той скале! Но мы не можем измерить красоту гор, озера, или этой одинокой ели!» Значит такая характеристика, как красота, не является физической величиной.
Измерения физических величин проводятся при помощи измерительных приборов, таких как линейка, часы, весы и т. д.
Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения .
Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.
Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами.
Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет,
Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов: положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.
В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.
В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).
3.1 Как в древности считали года?
В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.
Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н. Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет.
Заключение
Большинство людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел неверное.
Отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и физике.
В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории – 157 лет до н. э.
Литература
1. Большая научная энциклопедия, 2005.
2. Вигасин А. А,., «История древнего мира» учебник 5 класса , 2001г.
3.Выговская В. В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс » - М.:ВАКО, 2008 г
4. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
5. Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.
6.. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 г.
7. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе », Москва, «Просвещение», 1982г
8. Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г
9. «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.
