Сложение и вычитание одночленов: правило и примеры. Сложение и вычитание одночленов

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены - одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab 2 и -7ab 2 - подобные одночлены

5a 2 b и 5ab - не подобные одночлены

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить, поэтому, прежде чем приступать к определению подобны ли данные одночлены или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду . Например, возьмём два одночлена:

5abb и -7b 2 a

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить являются ли они подобными. Чтобы это узнать приведём одночлены к стандартному виду:

5ab 2 и -7ab 2

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными . Например:

5a 2 bc и -5a 2 bc - противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов - это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых .

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены надо:

1. Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим
2. Привести подобные слагаемые, для этого нужно:

Пример 1. Сложить одночлены 12ab , -4a 2 b и -5ab .

Решение: составим сумму одночленов:

12ab + (-4a 2 b ) + (-5ab )

12ab - 4a 2 b - 5ab

Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b

Пример 2. Сложить одночлены 5a 2 bc и -5a 2 bc .

Решение: составим сумму одночленов:

5a 2 bc + (-5a 2 bc )

Раскроем скобки:

5a 2 bc - 5a 2 bc

Эти два одночлена являются противоположными, то есть отличаются только знаком. Значит если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

5a 2 bc - 5a 2 bc = (5 - 5)a 2 bc = 0a 2 bc = 0

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль .

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки, и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов надо:

1. Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком - (минус)
2. Привести все одночлены к стандартному виду
3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении
4. Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
   1. сложить их численные множители
   2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

Пример. Найти разность одночленов 8ab 2 , -5a 2 b и -ab 2 .

Решение: составим разность одночленов:

8ab 2 - (-5a 2 b ) - (-ab 2)

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите .

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2

Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b

Общее правило вычитания одночленов:

Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.

Цели урока:

образовательные: формировать у учащихся умение решать типовые математические задачи на сложение и вычитание одночленов; применять теорию (знание правил действий со степенями, определения одночлена, приведение одночленов к стандартному виду) в конкретных ситуациях.

развивающие: развитие мыслительной деятельности учащихся; развитие устной и письменной речи; формирование навыков владения математическими терминами.

воспитательные: формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, доска, карточки с заданиями.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

Сегодня на уроке мы продолжим работу с одночленами и рассмотрим некоторые арифметические действия с ними. Но сначала повторим основные понятия.

1. Устный опрос учащихся.

• Что называется одночленом? Приведите пример.
• Как привести одночлен к стандартному виду?
• Что называется коэффициентом одночлена?
• Какие одночлены называются подобными?

Теперь проверим как вы применяете свои знания на практике.

2. Учащиеся 2-го варианта выполняют тестовые задания на местах(им раздаются листки с заданиями). Приложение 1 . Затем на проекторе высвечиваются правильные ответы к тесту, учащиеся проверяют, оценивают и сдают работы учителю.

3. Учащиеся 1-го варианта выполняют задания на компьютере. (Презентация . Слайд3)

3. Объяснение нового материала.

Когда математики вводят новое понятие, то перед ними встает вопрос, как с ним работать. Сегодня нам предстоит подумать над тем, как работать с одночленами, как выполнять с ними такие действия как сложение и вычитание. При этом мы будем работать с одночленами, записанными только в стандартном виде. Итак, запишем тему урока: “Сложение и вычитание одночленов”. Рассмотрим сумму одночленов: 5a 2 b + 23a 2 b заметим, что оба одночлена стандартного вида, и они подобны. Заменим буквенную часть a 2 b через c. Тогда имеем: 5с + 23с = 28с. Но с = a 2 b, то получим 28a 2 b. Нам удалось сложить подобные одночлены. Оказалось, что для этого достаточно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения. Запишем следующий пример: 7abc 3 + 11abc 3 =…(одночлены стандартного вида и подобны, значит, можно выполнять действия). Аналогично вычитаем одночлены: 4x 2 y 3 – 8,8x 2 y 3 = -…(-4,8x 2 y 3). А как сложить такие одночлены:

a) 7m 5 n + mm 4 8n =?

Ученик: Сначала нужно привести к стандартному виду, убедиться, что они подобны. (Выполняет у доски) = 7m 5 n+8m 5 n=15m 5 n.

b) 3,5c 3 cd 2 d 3 – 6,7c 2 c 2 d 2 d 2 = ученики работают самостоятельно, получают 3,5c 4 d 5 - 6,7c 4 d 4. . Получили одночлены, которые не являются подобными, поэтому складывать и вычитать их нельзя. Разумеется, между неподобными одночленами можно поставить знак “+” или “ - ”, например, 8ab + 9x или 12,5c – 45d, но дальше нам продвинуться не удастся. Итак, в процессе обсуждения мы установили определенный порядок действий сложения (вычитания) одночленов или, как говорят, алгоритм. (Презентация. Слайд 7).

4. Закрепление. Выполните следующие задания: 1) 2a 2 b-7a0,5ba+3b2a 2 ученик у доски 2) 3x 3 y-4x 2 y+2,7x 3 y ученик у доски Работаем по задачникам: выполняем № 282, № 297 (а, б). № 282 - а, б - ученик у доски с комментированием; в, г – учащиеся выполняют самостоятельно с последующей проверкой. № 297 (а, б) – у доски работает ученик без комментария, остальные учащиеся в тетрадях. Ребята, а теперь немного поиграем. Разделимся на 2 команды. Победит та команда, которая быстрее вместо ** впишет такой одночлен, чтобы получилось верное равенство. (Задания написаны на доске)

Команда 1 варианта

**+ 6xy 3 = -12xy 3

12a 3 b 2 + **= - 24a 3 b 2

3m 2 n 2 – 2m 2 3n 2 + **= 6m 2 n 2

Команда 2 варианта

8a 2 b + ** = 17a 2 b

** +(-13x 3 y 2)= - 26x 3 y 2

2m 2 n +** - 4m 2 3n = - 10 m 2 n

5. Теперь продолжим работу.

Учащиеся 1 варианта будут выполнять работу на местах. Вы выполняете тест и записываете ответы. Приложение 2 . Учащиеся самостоятельно проверяют свою работу, перевернув листок с заданиями(на обратной стороне ответы к тесту). Учащиеся 2 варианта выполняют работу на компьютере. (Презентация. Слайд 8).

6. Итог урока.

• Какие арифметические действия мы выполняли с одночленами сегодня на уроке?
• В каком виде должны быть записаны одночлены?
• Какие одночлены можно складывать и вычитать? Приведите примеры.
• Как сложить (вычесть) подобные одночлены?
• Упростите выражение: 3x 2 y+2,8yx 2 ; 8,1aa 3 -10,9a 4 ; 24c 2 d – 17cd 2 .
• Какие знания помогали на уроке?
• Кого из учащихся хотелось бы особо отметить и почему?
• Как оцениваете свою работу на уроке?

7. Домашнее задание.

На этом уроке мы вспомним, что такое одночлен, стандартный вид одночлена, дадим определение подобным одночленам. Научимся отличать подобные одночлены от неподобных. Сформулируем правила сложения и вычитания подобных одночленов. Научимся решать типовые задачи с использованием сложения и вычитания.

Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Сложение и вычитание одночленов

Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Одночлен - это произведение чисел и степеней. Рассмотрим два примера:

Оба выражения являются одночленами и перед тем, как приступить к сложению или вычитанию, необходимо привести их к стандартному виду:

Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

Выясним, можно ли складывать наши два одночлена - нет, нельзя, потому что можно складывать лишь те одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть только подобные одночлены. То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены.

Рассмотрим примеры подобных одночленов:

Одночлены и являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть -

Еще один пример. Запишем одночлен и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент и получим два подобных одночлена: и

Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например, . Имеем два подобных одночлена: и .

Сделаем вывод : подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

Теперь приведем примеры не подобных одночленов:

И ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная а в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными

Еще один пример: одночлены и также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.

Рассмотрим третью пару одночленов: и также не являются подобными.

Теперь разберем сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:

Сложить два одночлена:

Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на

Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернемся к исходным переменным - заменим в ответе переменную t на , получаем окончательный ответ:

Теперь сформулируем правило сложения одночленов :

Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.

Рассмотрим примеры:

2)

Комментарий к примеру №1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть

Комментарий к примеру №2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений - .

Перейдем к правилу вычитания одночленов . Рассмотри примеры:

Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:

Сделаем вывод : складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.

Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.

Задачи на упрощение:

Упростить выражение:

Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.

Итак, приведем к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:

Перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований:

Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трех одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:

Существует обратная задача . Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.

У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом - . Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму.

Слайд 2

Урок – путешествиепо вершинам знаний