Сложение и вычитание одночленов. Видеоурок «Арифметические действия с одночленами

Слайд 3

Слайд 4

1 этап: «Повторение - мать учения» Расшифруй слово: АЛГЕБРА от арабского слова “Аль” - джебр” (в переводе означает - восстановление.)

Слайд 5

Слайд 6

1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. 2. Одночленами считают так же все числа, любые переменные, степени переменных. 3. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. 4. Алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степени с натуральным показателем, называют одночленом

Слайд 7

5. Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называемый степенью одночлена. 6. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. 7. Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, называют подобными одночленами. 8. В результате сложения одночленов получается одночлен.

Слайд 8

9. Одночлен, в котором перемножены все числовые множители и их произведение поставлено на первое место, перемножены все имеющиеся степени с одинаковым буквенным основанием, перемножены все степени с другим буквенным основанием называется одночленом стандартного вида. 10. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак “+”, скобки надо опустить, сохранив знак каждого члена, который был заключен в скобки. 11. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак “-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, меняют на противоположные.

Слайд 9

Слайд 10

Найди ошибку:

Слайд 11

Из записанных одночленов выбрать подобные и найти их сумму:

Слайд 12

А Д У Г С И

Слайд 13

Первый этап - составление математической модели. (СММ) Пусть весь путь х км, тогда в первый день прошли Во второй день прошли

Слайд 14

Так как на третий день осталось 25 км, то получим математическую модель: Второй этап - работа с составленной моделью. РММ

Слайд 15

2. РММ 3 этап: Ответ на вопрос задачи: (ОВЗ) За х мы приняли длину пути, значит она равна 55 км. Ответ: длина пути 55 км.

Слайд 16

А З Д У Г С И

Слайд 17

«Книга – книгой, а мозгами двигай» № 292 № 293

На этом уроке мы вспомним, что такое одночлен, стандартный вид одночлена, дадим определение подобным одночленам. Научимся отличать подобные одночлены от неподобных. Сформулируем правила сложения и вычитания подобных одночленов. Научимся решать типовые задачи с использованием сложения и вычитания.

Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Сложение и вычитание одночленов

Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Одночлен - это произведение чисел и степеней. Рассмотрим два примера:

Оба выражения являются одночленами и перед тем, как приступить к сложению или вычитанию, необходимо привести их к стандартному виду:

Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

Выясним, можно ли складывать наши два одночлена - нет, нельзя, потому что можно складывать лишь те одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть только подобные одночлены. То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены.

Рассмотрим примеры подобных одночленов:

Одночлены и являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть -

Еще один пример. Запишем одночлен и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент и получим два подобных одночлена: и

Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например, . Имеем два подобных одночлена: и .

Сделаем вывод : подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

Теперь приведем примеры не подобных одночленов:

И ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная а в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными

Еще один пример: одночлены и также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.

Рассмотрим третью пару одночленов: и также не являются подобными.

Теперь разберем сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:

Сложить два одночлена:

Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на

Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернемся к исходным переменным - заменим в ответе переменную t на , получаем окончательный ответ:

Теперь сформулируем правило сложения одночленов :

Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.

Рассмотрим примеры:

2)

Комментарий к примеру №1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть

Комментарий к примеру №2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений - .

Перейдем к правилу вычитания одночленов . Рассмотри примеры:

Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:

Сделаем вывод : складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.

Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.

Задачи на упрощение:

Упростить выражение:

Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.

Итак, приведем к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:

Перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований:

Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трех одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:

Существует обратная задача . Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.

У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом - . Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму.

Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.

Результат сложения и вычитания одночленов

Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.

Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.

Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.

То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий - уже не одночлен.

А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения - многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).

Правило сложения и вычитания одночленов

Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:

Определение 1

Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:

• записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
• если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде, привести их к стандартному виду;
• раскрыть скобки;
• привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.

Теперь применим озвученное правило для решения задач.

Примеры сложения и вычитания одночленов

Заданы одночлены 8 · x и − 3 · x . Необходимо выполнить их сложение и вычитание.

Решение

1. Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: (8 · x) + (− 3 · x) . Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: 8 · x − 3 · x , а затем приведем подобные слагаемые: 8 · x − 3 · x = (8 − 3) · x = 5 · x .

Кратко решение запишем так: (8 · x) + (− 3 · x) = 8 · x − 3 · x = 5 · x .

1. Аналогично произведем действие вычитания: (8 · x) − (− 3 · x) = 8 · x + 3 · x = 11 · x .

Ответ: (8 · x) + (− 3 · x) = 5 · x и (8 · x) − (− 3 · x) = 11 · x .

Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.

Пример 2

Необходимо найти разность между одночленом - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 и одночленом x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y .

Решение

Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y . Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z . Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z , оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно 1 4 · x 2 · y 6 · z .

Таким образом, краткая запись решения будет такой:

5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y = = 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Ответ: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.

Пример 3

Заданы одночлены − 9 · x · z 3 и − 13 · x · y · z . Необходимо найти их сумму.

Решение

Записываем сумму: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) . Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z . Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

Ответ: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.

Пример 4

Необходимо решить пример: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 .

Решение

Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = = (0 , 2 + 7 − 3 − 2 , 7) · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2

Ответ: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2 .

Пример 5

Заданы одночлены: 5 , − 3 · a , 15 · a , − 0 , 5 · x · z 4 , − 12 · a , − 2 и 0 , 5 · x · z 4 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Запишем сумму: (5) + (− 3 · a) + (15 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4) + (− 12 · a) + (− 2) + (0 , 5 · x · z 4) . В результате раскрытия скобок получим: 5 − 3 · a + 15 · a − 0 , 5 · x · z 4 − 12 · a − 2 + 0 , 5 · x · z 4 . Сгруппируем подобные слагаемые: (5 − 2) + (− 3 · a + 15 · a − 12 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4 + 0 , 5 · x · z 4) и приведем их: 3 + 0 + 0 = 3

Ответ: (5) + (− 3 · a) + (15 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4) + (− 12 · a) + (− 2) + (0 , 5 · x · z 4) = 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены - одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab 2 и -7ab 2 - подобные одночлены

5a 2 b и 5ab - не подобные одночлены

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить, поэтому, прежде чем приступать к определению подобны ли данные одночлены или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду . Например, возьмём два одночлена:

5abb и -7b 2 a

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить являются ли они подобными. Чтобы это узнать приведём одночлены к стандартному виду:

5ab 2 и -7ab 2

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными . Например:

5a 2 bc и -5a 2 bc - противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов - это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых .

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены надо:

1. Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим
2. Привести подобные слагаемые, для этого нужно:

Пример 1. Сложить одночлены 12ab , -4a 2 b и -5ab .

Решение: составим сумму одночленов:

12ab + (-4a 2 b ) + (-5ab )

12ab - 4a 2 b - 5ab

Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b

Пример 2. Сложить одночлены 5a 2 bc и -5a 2 bc .

Решение: составим сумму одночленов:

5a 2 bc + (-5a 2 bc )

Раскроем скобки:

5a 2 bc - 5a 2 bc

Эти два одночлена являются противоположными, то есть отличаются только знаком. Значит если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

5a 2 bc - 5a 2 bc = (5 - 5)a 2 bc = 0a 2 bc = 0

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль .

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки, и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов надо:

1. Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком - (минус)
2. Привести все одночлены к стандартному виду
3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении
4. Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
   1. сложить их численные множители
   2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

Пример. Найти разность одночленов 8ab 2 , -5a 2 b и -ab 2 .

Решение: составим разность одночленов:

8ab 2 - (-5a 2 b ) - (-ab 2)

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите .

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2

Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b

Общее правило вычитания одночленов:

Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.