Сложение векторов по правилу параллелограмма примеры. Урок "Законы сложения векторов

Вектор с началом в точке A {\displaystyle A} и концом в точке B {\displaystyle B} принято обозначать как . Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например . Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом: a {\displaystyle \mathbf {a} } .

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector , несущий ). Итак, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} естественно определяет перенос, при котором точка A {\displaystyle A} перейдет в точку B {\displaystyle B} , также и обратно, параллельный перенос, при котором A {\displaystyle A} переходит в B {\displaystyle B} , определяет собой единственный направленный отрезок A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} (единственный - если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и - то есть рассматривать их как ; действительно, при параллельном переносе все точки смещаются в одинаковом направлении на одинаковое расстояние, так что в таком понимании A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … {\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}={\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\overrightarrow {A_{3}B_{3}}}=\dots } ).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию - как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок построенный по двум точкам, одна из которых считается началом, а другая концом.

Координаты вектора определяются как разность координат точек его начала и конца. Например, на координатной плоскости, если даны координаты начала и конца: T 1 = (x 1 , y 1) {\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})} и T 2 = (x 2 , y 2) {\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})} , то координаты вектора будут: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) {\displaystyle {\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})} .

Длиной вектора V → {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} называется расстояние между двумя точками T 1 {\displaystyle T_{1}} и T 2 {\displaystyle T_{2}} , её обычно обозначают | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 {\displaystyle |{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}

Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор , у которого начало и конец совпадают T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}} ; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления .

Для координатного представления векторов большое значение имеет понятие проекции вектора на ось (направленную прямую, см. рисунок). Проекцией называется длина отрезка, образованного проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую, причём проекции приписывается знак плюс, если направление проекции соответствует направлению оси, иначе - знак минус. Проекция равна длине исходного вектора, умноженной на косинус угла между исходным вектором и осью; проекция вектора на перпендикулярную ему ось равна нулю.

Применения

Векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.). Применение векторов упрощает ряд операций - например, определение углов между прямыми или отрезками, вычисление площадей фигур . В компьютерной графике векторы-нормали используются, чтобы создать правильное освещение тела. Использование векторов может быть положено в основу метода координат .

Виды векторов

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех направленных отрезков (рассматривая как различные все направленные отрезки, начала и концы которых не совпадают), берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество), то есть, некоторые направленные отрезки рассматривают как равные, если они имеют одинаковое направление и длину, хотя они могут иметь разное начало (и конец), то есть направленные отрезки одинаковой длины и направления считаются представляющими один и тот же вектор; таким образом, каждому вектору оказывается соответствующим целый класс направленных отрезков, одинаковых по длине и направлению, но различающихся началом (и концом).

Так, говорят о «свободных» , «скользящих» и «фиксированных» векторах . Эти виды отличаются понятием равенства двух векторов.

• Говоря о свободных векторах, отождествляют любые векторы, имеющие одинаковое направление и длину;
• говоря о скользящих векторах - добавляют, что начала равных скользящих векторов должны совпадать или лежать на одной прямой, на которой лежат изображающие эти векторы направленные отрезки (так что один может быть совмещен с другим перемещением в направлении, им же самим задаваемом);
• говоря о фиксированных векторах - говорят, что равными считаются только векторы, у которых совпадают и направления, и начала (то есть в этом случае факторизации нет: нет двух фиксированных векторов с различными началами, которые считались бы равными).

Формально:

Говорят, что свободные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и равны, если найдутся точки E {\displaystyle E} и F {\displaystyle F} такие, что четырёхугольники A B F E {\displaystyle ABFE} и C D F E {\displaystyle CDFE} - параллелограммы .

Говорят, что скользящие векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если

Скользящие векторы особо употребимы в механике . Простейший пример скользящего вектора в механике - сила , действующая на твердое тело. Перенос начала вектора силы вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы относительно любой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (даже почти всегда вызовет): поэтому при вычислении момента нельзя рассматривать силу как свободный вектор, то есть, нельзя её считать приложенной к произвольной точке твердого тела.

Говорят, что фиксированные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если попарно совпадают точки A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} , B {\displaystyle B} и D {\displaystyle D} .

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы - это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности . Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами и т. д.) в принципе определены одинаково для всех типов векторов, различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено - или лишено смысла - сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена - или имеет смысл - она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса и т. п.), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

Отношения между векторами

Координатное представление

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат и в ней определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам. Разложение по базису геометрически можно представить при помощи проекций вектора на координатные оси. Если известны координаты начала и конца вектора, координаты самого вектора получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.

За базис часто выбирают координатные орты , обозначаемые i → , j → , k → {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}} , соответственно осям x , y , z {\displaystyle x,y,z} . Тогда вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} можно записать как

Любое геометрическое свойство можно записать в координатах, после чего исследование из геометрического становится алгебраическим и при этом часто упрощается. Обратное, вообще говоря, не совсем верно: обычно принято говорить , что «геометрическое истолкование» имеют лишь те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные ).

Операции над векторами

Модуль вектора

Модулем вектора A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} называется число, равное длине отрезка A B {\displaystyle AB} . Обозначается, как | A B → | {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|} . Через координаты вычисляется, как:

Сложение векторов

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

Для геометрического построения вектора суммы c → = a → + b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}} используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса a → + b → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}} , соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же n {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n {\displaystyle n} -го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Модуль суммы векторов

Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов :

Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку - между сторонами треугольника - что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.

Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:

Вычитание векторов

Два вектора a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} и вектор их разности

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

Для получения вектора разности c → = a → − b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора c → {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец b → {\displaystyle {\vec {b}}} , а концом - конец a → {\displaystyle {\vec {a}}} . Если записать, используя точки векторов, то A C → − A B → = B C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}} .

Модуль разности векторов

Три вектора a → , b → , a → − b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}} , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

где cos ⁡ (a → , b →) {\displaystyle \cos({\vec {a}},{\vec {b}})} - косинус угла между векторами a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → . {\displaystyle {\vec {b}}.}

Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор b → {\displaystyle {\vec {b}}} переносится к концу вектора a → {\displaystyle {\vec {a}}} , когда же ищется модуль разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

Умножение вектора на число

Умножение вектора a → {\displaystyle {\vec {a}}} на число α > 0 {\displaystyle \alpha >0} , даёт сонаправленный вектор с длиной в раз больше.
Умножение вектора a → {\displaystyle {\vec {a}}} на число α < 0 {\displaystyle \alpha <0} , даёт противоположно направленный вектор с длиной в α {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число.

вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

Вектор $\overrightarrow{a}$ - ненулевой.

Обозначим точкой $A$ начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Сложение векторов. Правило треугольника

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Суммой векторов $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ называется вектор $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}$, построенный следующим образом: От произвольной точки $A$ отклабывается вектор $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $B$ откладывается вектор $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ и соединяют точку $A$ c точкой $C$ (рис. 3).

Рисунок 3. Сумма векторов

Замечание 1

Иначе, определение 2, еще называют правилом треугольника для сложения двух векторов.

Из этого правила следует несколько свойств сложения двух векторов:

Для любого вектора $\overrightarrow{a}$ выполняется равенство

\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\]

Для любых произвольных точек $A,\ B\ и\ C$ выполняется равенство

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]

Замечание 2

Аналогично правилу треугольника можно строить сумму любого количества векторов. Такое правило сложения называется правилом многоугольника.

Правило параллелограмма

Помимо правила треугольника для сложения двух векторов, есть еще правило параллелограмма для сложения двух векторов. Сформулируем и докажем для начала следующую теорему.

Теорема 2

Для любых треух векторов $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{c}$ справедливы следующие два закона:

1. Переместительный закон:

1. Сочетательный закон:

Доказательство.

Переместительный закон:

Сочетательный закон:

Построим следующий рисунок: Отложим от произвольной точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, от полученной точки $B$ -- вектор $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ и от точки $C$ -- вектор $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}$ (Рис. 5).

Рисунок 5. Иллюстрация сочетательного закона

Из свойства правила треугольника $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

Следовательно, $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

Теорема доказана.

Из этой теоремы мы теперь можем выделить правило параллелограмма для суммы двух неколлинеарных векторов: чтобы сложить два неколлинеарных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, нужно отложить от произвольной точки $A$ векторы $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ и построить параллелограмм $ABCD$. Тогда $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$.

Пример задачи на сложение векторов

Пример 1

Дан четырехугольник $ABCD$. Доказать, что $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

Рисунок 6.

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\]

Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами .

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется (длиной).

• скорость;
• ускорение;
• импульс;
• сила;
• момент;
• силы;
• перемещение;
• напряженность поля и др.

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов

Существуют несколько правил для расчета суммы

• правило треугольника;
• правило многоугольника;
• правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника .

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец - с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове» .

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Примеры :

• Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
• При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника , «хвост к голове»

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма .

Длина в этом случае вычисляется по формуле

Где θ – угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Элементы алгебры

1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
2. Коммутативность : сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
3. Ассоциативность : сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
5. Для каждого вектора есть противоположный . Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр - числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

• масса;
• время;
• заряд;
• длина;
• площадь;
• объем;
• плотность;
• температура;
• энергия.

Примеры :

• Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
• Импульс тела - масса, умноженная на скорость p = mv .
• Второй закон Ньютона . Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
• Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Пример :

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

7. Правило параллелограмма для элементарных частиц и при разных типах Силы

Окружающий нас мир соткан из Сил, поскольку Сила – это Эфир, а Эфир во Вселенной повсюду. Сила – это то, что стремится сдвинуть с места.

Одно из отличий механики тел от механики стабильных элементарных частиц состоит в том, что стабильные частицы под действием Сил могут только перемещаться. Деформироваться и разрушаться они не могут по понятной причине – они неделимы. В то время как тело (или даже нестабильная частица – конгломерат), когда на него действует Сила (или Силы), может и перемещаться, и деформироваться, и разрушаться.

В механике тел (в классической механике) существует замечательный способ, помогающий узнать, в каком направлении будет стремиться переместиться тело под влиянием всех Сил, что на него действуют. А также вычислить величину равнодействующей Силы. Этот способ хорошо известен, как Правило Параллелограмма Сил .

Открыл его Галилео Галилей , а точное определение этому правилу дал Пьер Вариньон в 1687 году .

Правило Параллелограмма Сил заключается в том, что вектор равнодействующей силы есть диагональ параллелограмма, построенного на векторах двух слагаемых сил как на сторонах .

Данное правило удивительно хорошо помогает точно рассчитать направление, в котором будет двигаться (или стремиться двигаться) тело в том случае, если на него действует больше одной Силы. А в нашем мире любое тело всегда одновременно испытывает на себе воздействие со стороны огромного множества внешних Сил (так как любая частица в составе любого химического элемента – это источник Силы).

Мало того, это Правило Параллелограмма прекрасно подходит и для элементарных частиц. С помощью него мы можем точно узнать, в каком направлении будет смещаться элементарная частица в каждый момент времени, если на нее одновременно действуют две или более Силы. А также узнаем соотношение величин Сил – исходных и равнодействующей. Причем тип каждой из Сил может быть любым. Диагональ Параллелограмма – это и есть указатель направления, а также показатель величины результирующей Силы. Однако обратите внимание на важную деталь – новый Параллелограмм Сил следует выстраивать для каждого следующего момента движения частицы.

Давайте чуть подробнее разберем суть Правила Параллелограмма. И в ходе этого разбора дадим ему несколько иное название – Правило Подчинения Доминирующей Силе . Это позволит нам лучше понять особенности поведения элементарных частиц (и любых конгломератов частиц), поскольку Правило Параллелограмма в том виде, в каком оно существует сейчас, не до конца раскрывает смысл происходящего с частицей, когда на нее воздействует более одной Силы. Например, в нем ничего не говорится о том, что существуют разные типы Сил.

Доминирующая Сила – это Сила, наибольшая по величине. Как мы говорили ранее, величина Силы – это скорость эфирного потока, увлекающего частицу. Причем в роли эфирного потока может выступать просто Эфир, заполняющий частицу (как в случае с Силой Давления Поверхности Частицы).

Правило Подчинения Доминирующей Силе (Правило Параллелограмма) сводится к тому, что частица, на которую действует больше одной Силы, в наибольшей мере будет подчиняться наибольшей из них. Что это значит? Это означает, что вектор равнодействующей всех Сил в каждый момент времени будет больше смещен в сторону вектора Силы, наибольшей по величине. Т. е. наибольшая Сила главенствует, однако остальные Силы также оказывают свое влияние на положение вектора равнодействующей Силы. Можно еще больше уточнить название правила – Подчинение Доминирующей Силе с учетом действия остальных Сил.

Доминирующая Сила смещает вектор равнодействующей Силы больше других в своем направлении. А другие, меньшие, Силы не дают этому вектору полностью подчиниться этой наибольшей Силе. Они пропорционально своей величине оттягивают вектор в своем направлении.

Вообще при анализе любой ситуации, когда элементарная частица оказывается под влиянием более, чем одной Силы, необходимо учитывать целый ряд факторов. Во-первых, нужно узнать, сколько Сил действует на частицу и величину каждой из них . Во-вторых, нужно узнать, под каким углом располагаются друг по отношению к другу векторы Сил. И, в-третьих, необходимо учесть тип каждой из Сил . Только оценив все эти факторы, можно попытаться рассчитать, какими будут направление и скорость движения частицы в каждый момент времени. Давайте чуть подробнее разберем указанные факторы.

1) Величину и общее число Сил, действующих на частицу, следует оценивать в каждом конкретном случае.

В том случае, если число Сил, действующих на частицу, превышает две, следует делать то же, что и в случае с телами. Строим параллелограмм для двух Сил. Затем строим следующий параллелограмм, используя полученный вектор равнодействующей и следующую из Сил. И так далее, пока не будут учтены все Силы.

2) Угол между векторами Сил, действующих на частицу, очень важен при выяснении величины и направления равнодействующей Силы.

А) Угол между векторами Сил от 0? до 90?.

В этом случае происходит своего рода суммирование Сил, действующих на частицу. Конечно, равнодействующая Сила не будет в точности равна сумме обеих Сил, действующих на частицу. Но она в любом случае окажется больше любой из двух Сил, из векторов которых мы строим параллелограмм. Это вы можете видеть по величине диагонали параллелограмма. И чем острее угол, тем больше величина равнодействующей Силы.

Крайний случай острого угла – 0?, т. е. отсутствие угла. Векторы Сил на одной прямой, и их направление совпадает. В данном случае параллелограмм построить невозможно. Вместо него – прямая, на ней мы откладываем два отрезка, каждый из которых равен величине одной из действующих Сил. При 0? происходит полное суммирование векторов Сил.

Б) Угол между векторами Сил более 90?.

В данном случае, если вы можете видеть по рисунку, происходит своего рода вычитание Сил. Равнодействующая Сила всегда оказывается больше меньшей из двух Сил и меньше большей. Подтверждение тому – величина диагонали. И чем больше угол, тем меньше величина равнодействующей Силы.

Крайний случай тупого угла – угол 180?. Векторы Сил лежат на одной прямой. Однако в отличие от угла, равного 0?, векторы противонаправлены. В этом крайнем случае просто происходит вычитание из вектора большей Силы вектора меньшей. Полученная разность точно соответствует величине равнодействующей Силы.

В любом случае, при любой величине угла вектор равнодействующей Силы всегда в большей мере смещен к вектору большей из двух Сил. Т. е. большая Сила заставляет частицу в большей мере смещаться в своем направлении.

3) И, наконец, приведем информацию о том, насколько зависит Правило Параллелограмма от типа воздействующих на частицу Сил.

А) Даже несмотря на то что источники всех типов Силы разные, их воздействие на частицу можно сопоставлять, так как любая из Сил стремится привести частицу в движение. А поэтому, даже если на частицу действуют Силы разного типа, можно выстроить Параллелограмм Сил на векторах, и его диагональ будет указанием направления, в котором частица будет смещаться.

Величина вектора Силы тем больше, чем больше Сила. А Сила тем больше, чем больше скорость, с которой частица смещалась бы в данном направлении, не действуй на нее еще другая Сила (или другие Силы).

Длина вектора результирующей (равнодействующей) Силы – диагонали – соответствует скорости, с которой частица будет смещаться под действием обеих приложенных к ней Сил.

Б) Мы установили ранее, что основных типов Силы всего четыре. Когда Галилей выводил Правило Параллелограмма, очевидно, что он делал это применительно к тем Силам, с которыми одни тела давят на другие или тащат их, заставляя таким путем перемещаться. Подобный тип Силы назван в этой книге Силой Давления Поверхности Частицы. Мы мало слышали о том, чтобы Правило Параллелограмма использовалось и для Силы Притяжения. Тем более, это ограничение относится к Силе Отталкивания и Силе Инерции, из которых первая наукой почти не признана, а вторая вообще ей не известна.

Но так или иначе, данное Правило имеет универсальный характер и может использоваться для любого из четырех типов Силы – Поверхности Частицы, Притяжения, Отталкивания и Инерции. Однако в неизменном виде оно может применяться только для Силы Давления Поверхности Частицы, т. е. для такого же случая, который описан Галилеем для тел.

На тело с двух сторон воздействуют два тела – либо давят на него, либо тащат. В нашем случае на частицу будут давить две частицы (механически тащить частицу они не могут).

Отдельно взятая, свободная частица никогда не станет оказывать долговременное давление на другую частицу, если только на нее не действует Сила Притяжения со стороны этой частицы. Или же если частицы входят в состав тел, и тела, сдавливая друг друга, давят и на какую-либо частицу между ними. Поэтому в нашем случае речь идет об одномоментном давлении на частицу двух частиц в результате их соударения с ней. После того как с частицей сталкиваются две другие частицы, она начинает двигаться по инерции именно в соответствии с Правилом Параллелограмма. Диагональ (вектор равнодействующей Силы) показывает направление, в котором станет двигаться частица. Как долго продлится инерционное движение, зависит от скорости, с которой двигались частицы в момент соударения с нею, от угла между векторами Сил и еще от качества самой частицы.

В) Единственная сложность, с которой мы столкнемся при построении Параллелограмма Сил, связана с Силами Притяжения и Отталкивания. Здесь идет речь даже скорее не о сложности, а о непривычности. Источники Сил Притяжения или Отталкивания отстоят от частицы на то или иное расстояние. Однако эффект воздействия этих Сил ощущается частицей непосредственно. Это и неудивительно, ведь гравитационное или антигравитационное взаимодействие распространяется мгновенно. Объясняется эта мгновенность распространения тем, что эфирное «полотно» – это своего рода монолит, который заполняет однородно всю Вселенную. И возникновение в этом полотне любого избытка или недостатка Эфира сразу ощущается на любом расстоянии.

В данном случае, когда типы Силы, действующие на частицу, различны, вектор Силы должен указывать направление, в котором Сила стремится сместить частицу. Так, например, если на частицу действует Сила Притяжения, то вектор будет направлен к объекту, источнику этой Силы, а не от него. А вот в случае с Силой Отталкивания все наоборот. Вектор будет направлен от источника данной Силы.

Что же касается Силы Давления Поверхности Частицы, то здесь все так же, как и в механике тел. В этом случае источник Силы непосредственно контактирует с частицей – соударяется с ней. И вектор этой Силы направлен в том же направлении, что вектор движения частицы, чья поверхность оказывает давление.

И, наконец, последняя из Сил – Инерции. О наличии этой Силы можно говорить только в том случае, если частица инерционно движется. Если частица не движется по инерции, то нет и Силы Инерции. Вектор Силы Инерции всегда совпадает с вектором движения частицы в данный момент. Источник Силы Инерции – испускаемый задним полушарием частицы Эфир.

Г) Никогда не случится, чтобы обе Силы, действующие на частицу, были инерционными, так как частица может двигаться по инерции в каждый момент времени только в одном направлении.

Д) Если одна или обе Силы, действующие на частицу, относятся к типу либо Притяжения, либо Отталкивания, частица будет двигаться по параболе , постепенно смещаясь под действием большей из Сил.

Если одна из Сил, действующих на частицу, относится к типу Притяжения или Отталкивания, а вторая – это Сила Инерции, тогда траектория движения частицы тоже параболическая.

Е) Никогда не бывает, чтобы на частицу одновременно действовали Сила Притяжения и Сила Отталкивания, и при этом векторы их лежали на одной прямой и были бы противонаправлены. Объясняется это тем, что Сила Притяжения и Сила Отталкивания – Силы-антиподы. Вектор Силы Притяжения направлен к источнику Силы. А вектор Силы Отталкивания – от него. Поэтому если источники Сил Притяжения и Отталкивания располагаются по разные стороны от частицы, векторы их Сил будут суммироваться. Если же источники Сил располагаются с одной стороны от частицы, то частица будет ощущать только какую-то одну из Сил – либо Притяжения, либо Отталкивания. А все потому, что Поля Притяжения и Поля Отталкивания экранируют и влияют на величину друг друга.

Но в любом случае, к любой частице можно применить Правило Параллелограмма и определить с его помощью направление и величину вектора равнодействующей Силы. В соответствии с величиной и направлением этого вектора частица и будет смещаться в данный момент времени.

Все, что было только что сказано относительно Правила Параллелограмма для частиц, может быть в полной мере использовано и для тел.

Глава XXI. О ЧЕРНОЙ МАГИИ; ОБ ОСНОВНЫХ ТИПАХ ОПЕРАЦИЙ МАГИЧЕСКОГО ИСКУССТВА; И О СИЛАХ СФИНКСА? IКак уже было сказано в начале первой главы, Единственный и Высший Ритуал - это достижение Знания и Собеседование со Священным Ангелом-Хранителем. "Это прямой вертикальный взлет

02. Температура элементарных частиц В физике понятие «температура» относят к веществу (телу, среде – это синонимы) в целом. В действительности, «температура» характеризует, в первую очередь, отдельно взятые элементарные частицы, а также комплексы элементарных частиц –

13. Распространение в веществе 2-ой составляющей тепла – элементарных частиц Итак, не всякий химический элемент в процессе нагрева приобретает Поле Отталкивания (за исключением тех элементов, у которых уже было Поле Отталкивания). И, соответственно, не всякий нагреваемый

07. Химические элементы в ДНК клеточных ядер – носители частиц астрального плана Химический элемент – это конгломерат частиц разного качества. В зависимости от того, в тело представителя какого царства входит в состав химический элемент, он имеет тот или иной

8. Механические процессы и явления раскрывают механические свойства элементарных частиц Механический процесс и механическое явление – это частные случаи физического процесса и физического явления.Процесс – это какое-либо событие, протекающее во времени.А явление

26. Инерция частиц в реальных условиях Рассмотренные нами чуть ранее основные характеристики инерционного движения элементарных частиц без каких-либо дополнительных условий применимы только к идеальным условиям. Да, только в идеальных условиях траектория движения