Случайные функции. Определение характеристик случайной функции из опыта

Задание на курсовую работу

Дано: пять начальных моментов

а1 = 1, а2 = 2, а3 = 2, а4 = 1, а5 = 1 (µ г = 0, µ 0 = 1).

Найти: пять центральных моментов.

Имея в своём распоряжении пять начальных и пять центральных моментов, вычислить значения:

а) математическое ожидание;

б) дисперсию;

в) стандартное отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) коэффициент асимметрии;

е) коэффициент эксцессии.

По полученным данным качественно описать плотность вероятности данного процесса.

1. Теоретические сведения

Распределения случайных величин и функции распределения

Распределение числовой случайной величины - это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Первое - если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией Р (Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины X вероятность того, что X = х.

Второе - если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей Р (а Х для всех пар чисел а, b таких, что аРаспределение может быть задано с помощью т.н. функции распределения F(x) = Р (Х<х), определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие х. Ясно, что

Р (а Х

Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения - по распределению.

Используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.

Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счетными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рис. 1).

Пример 1. Число X дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины X изображен на рис. 1.

Рис. 1. График функции распределения числа дефектных изделий.

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента - от 0 при х→∞ до 1 при х→+∞. Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными.

Непрерывные функции распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, имеют производные. Первая производная f(x) функции распределения F(x) называется плотностью вероятности,

По плотности вероятности можно определить функцию распределения:

Для любой функции распределения

Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже.

Пример 2. Часто используется следующая функция распределения:

(1)

где а и b - некоторые числа, аНайдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках х = а их = b производная функции F(x) не существует).

Случайная величина с функцией распределения (1) называется «равномерно распределенной на отрезке ».

Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытании на надежность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта.

Пример 3. Пусть, например, срок службы электрической лампочки - случайная величина с функцией распределения F(t), а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента t 0 = 100 часов. Пусть G(t) - функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда

Функция G(t) имеет скачок в точке t 0 , поскольку соответствующая случайная величина принимает значение t 0 с вероятностью 1-F(t 0 )>0.

Характеристики случайных величин. В вероятностно-статистических методах принятия решений используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей.

При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях используется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 <р < 1 (обозначается х р ). Квантиль порядка р - значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньшер до значения больше р (рис. 2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль х р порядка р (рис. 2), причем

F(x p )=p. (2)

Рис. 2. Определение квантиля х р порядка р.

Пример 4. Найдем квантиль х р порядка р для функции распределения F(x) из (1).

При 0 <р < 1 квантиль х р находится из уравнения

т.е. х р = а + p (b - а) = а (1-р) +bр. При р = 0 любое х а является квантилем порядка p = 0. Квантилем порядка р = 1 является любое число х b.

Для дискретных распределений, как правило, не существует х р , удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины дается табл. 1, где x 1 < х 2 <… < х к , то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно х р , имеет решения только для k значений р, а именно,

p =p 1

p =p 1 +p 2 ,

p = p 1 +p 2 +p 3 ,

p = p 1 +p 2 + р т , 3<т<к,

р =р, + р 2 +… +p k

Таблица 1. Распределение дискретной случайной величины

Значения х случайной величины Xх 1 х 2 …х k Вероятности Р (Х =х)P 1 Р 2 …Р k

Для перечисленных к значений вероятности р решение х р уравнения (2) неединственно, а именно,

F(x) =р, +р 2 +… + Р т

для всех х таких, что х т < х < х т+1 . Т.е. х р - любое число из интервала (х т ; x m+1 ). Для всех остальных р из промежутка (0; 1), не входящих в перечень (3), имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р. А именно, если

p 1 +p 2 +… + p т 1 +p 2 + … + p т + p т+1 ,

то x р =x т+1 .

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.

Большое значение в статистике имеет квантиль порядка p = ½. Он называется медианой (случайной величины X или ее функции распределения F(x)) и обозначается Ме(Х). В геометрии есть понятие «медиана» - прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x 0,5 ) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x 0,5 и вероятность попасть правее x 0,5 (или непосредственно x 0,5 ) равны между собой и равны ½ , т.е.

Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций - теории устойчивых статистических процедур - медиана является более хорошей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание . При обработке результатов измерений в порядковой шкале (см. главу о теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием - нет.

Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода - значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Если х 0 - мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно

из дифференциального исчисления,

У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения (1) каждая точка х такая, что а < х < b, является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в главе «События и вероятности». Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины X равно

Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии .

Каждая из трех характеристик - математическое ожидание, медиана, мода - описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами - отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений - симметричных унимодальных - все три характеристики совпадают.

Плотность распределения f(x) - плотность симметричного распределения, если найдется число х 0 такое, что

(3)

Равенство (3) означает, что график функции у =f(х) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х 0 . Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

(4)

Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны х 0 .

Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. х п = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства

(5)

(6)

соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех х, достаточно иметь таблицы при х х 0 .

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения

Р(а) = Р (-а <Х а) = F(a) - F(-a),

где F - функция распределения случайной величины X. Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

Р(а) =2F(a) - 1.

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

Если и - квантили порядка α и 1-α соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

От характеристик положения - математического ожидания, медианы, моды - перейдем к характеристикам разброса случайной величины X:

дисперсии , среднему квадратическому отклонению σ и коэффициенту вариации v . Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение - это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется при М(Х)>0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение - в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины X найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где с = (b - а )/2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно , а коэффициент вариации таков:

По каждой случайной величине X определяют еще три величины - центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y - это разность между данной случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y= Х - М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Г равно 0, а дисперсия - дисперсии данной случайной величины: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Функция распределения F Y (x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x) =F (x + М(Х)).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x) =f (x + М(Х)).

Нормированная случайная величина V -это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению σ, т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

где v - коэффициент вариации исходной случайной величины X. Для функции распределения F v (x) и плотности f v (x) нормированной случайной величины V имеем:

где F(x) - функция распределения исходной случайной величины X, a f(x) - ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U - это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины:

(7)

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y= аХ+ b, где а и b - некоторые числа, то

(8)

Пример 7. Если то У - приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной X можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой У = аХ+b при различных а>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной X. Функции распределения F Y (x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо Y= аХ+ b часто используют запись

(9)

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х - результат измерения некоторой величины - переходит в У - результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение X называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины X рассматривают Y= gX, где lgX -десятичный логарифм числа X. Цепочка равенств

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

М.М. Гхашим, Т.В.Чернэуцану

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Учебное пособие

Утверждено

ученым советом института

Севастополь

Гхашим М.М., Т.В.Чернэуцану

Случайные функции: учеб.-метод. пособие. – Севастополь: СевГУ, 2015.

В данном пособии рассмотрены три основных раздела: « », « », « ». Каждый из разделов включает в себя основные вопросы теории, разбор типовых примеров, задания для самостоятельной работы с ответами к ним.

предназначено для студентов третьего курса при изучении темы « ».

Рецензенты:

к.ф.-м..,

к.т.н, доцент

нк.ф.-м.н доцент

© Издание СевГУ, 2015

§ 1. Понятие о случайной функции……………………………………

§ 2. Характеристики случайных функций……………………………

§ 3. Оператор динамической системы……………………………….

§ 4. Линейные преобразования случайных функций………………

§ 5. Стационарные случайные процессы ……………………

§ 6. Спектральное разложение стационарной случайной функции………

§ 7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций………….

Решение типовых задач………………………………………………..

Задачи для самостоятельного решения………………………………

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………

Случайные функции

Понятие о случайной функции.

В курсе теории вероятностей основным предметом исследования были случайные величины, которые характеризовались тем, что в результате опыта принимали некоторое одно, заранее неизвестное, но единственное значение. Т.е., случайные явления изучались как бы в «статике», в каких-то фиксированных постоянных условиях отдельного опыта. Однако на практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Например, угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения, и т.д. В принципе, любые системы с автоматизированным управлением предъявляют определенные требования к соответствующей теоретической базе – теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно действующих случайных возмущений или «помех». Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Итак:

Определение . Случайной функцией X (t ) называют функцию неслучайного аргумента t , которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией X (t ) в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Пример . Самолет на воздушном курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость V . Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция V (t ) принимает определенную реализацию (Рис.1).

От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете установлен самописец, то он в каждом полете запишет новую, отличную от других, реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции V (t ) (Рис.2).

На практике встречаются случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких, например, состояние атмосферы (температура, давление, ветер, осадки). В данном курсе мы будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой t . Кроме того, условимся обозначать случайные функции большими буквами (X (t ), Y (t ), …) в отличие от неслучайных функций (x (t ), y (t ), …).

Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t ). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций, которые мы обозначим соответственно номерам опытов x 1 (t ), x 2 (t ), …, x n (t ). Очевидно, каждая реализация есть обычная (не случайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X (t ) превращается в не случайную функцию.

Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t . В этом случае случайная функция X (t ) превратится в случайную величину.

Определение. Сечением случайной функции X (t ) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.

Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. В дальнейшем часто будем попеременно рассматривать одну и ту же функцию X (t ) то как случайную функцию, то как случайную величину, в зависимости от того, рассматривается ли она на всем диапазоне изменения t или при его фиксированном значении.

Рассмотрим случайную величину X (t ) – сечение случайной функции в момент t . Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t . Обозначим его f (x , t ). Функция f (x , t ) называется одномерным законом распределения случайной функции X (t ).

Очевидно, функция f (x , t ) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции X (t ), т.к. она характеризует только закон распределения X (t ) для данного, хотя и произвольного t и не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин X (t ) при различных t . С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции X (t ) является так называемый двумерный закон распределения : f (x 1 , x 2 ; t 1 , t 2). Это – закон распределения системы двух случайных величин X (t 1), X (t 2), т.е. двух произвольных сечений случайной функции X (t ). Но и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей. Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать все более полную характеристику случайной функции, но оперировать столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне затруднительно. В пределах данного курса мы вообще не будем пользоваться законами распределения, а ограничимся рассмотрением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин.

o Случайной функцией называется функция X(t), значение которой при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, при этом заранее не известно, какой именно.

o Конкретный вид, принимаемый случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом.

На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса.

Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции , соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t).

Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция -совместная плотность распределения системы случайных величин , где t 1 и t 2 -произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин и т.д.

o Говорят, что случайный процесс имеет порядок n , если он полностью определяется плотностью совместимого распределения n произвольных сечений процесса, т.е. системы n случайных величин , где X(t i)-сечение процесса, отвечающее моменту времени t i , но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений.

o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским.

Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию -математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса .

Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них-это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t 1) и X(t 2). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.

Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках.

У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X 1 (t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X 2 (t). У первого процесса зависимость между сечениями X 1 (t) и будет больше, чем зависимость для сечений X 2 (t) и второго процесса, т.е. убывает медленнее, чем , при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое.

Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин.

Свойство 1. Свойство симметричности .

Свойство 2. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое , то от этого корреляционная функция не изменится, т.е. .

Действительно,

Свойство 3. , где -неслучайная функция.

Комплексной слуюйной функцией называютфункцию

Z (t )=X (t )+Y (t )i ,

где Х (t ) и Y (t )-действительные случайные функции действительного аргумента t .

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при Y=0 эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования:

m z (t )=m x (t )(*)

D z (t )=D x (t )(**)

Математическим , ожиданием , комплексной случайной функции Z (t )=Х (t )+Y (t )i называют комплексную функцию (неслучайную)

m z (t )=m x (t )+m y (t )i .

В частности, при Y=0 получим т z (t )=т x (t ),т.е. требование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z (t ) называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной функции Z (t ):

D z (t )=M [| (t )| 2 ].

В частности, при Y==0 получим D z (t )= M [| (t )|] 2 =D x (t ), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D z (t )=M [| (t )| 2 ]= M {[ (t )] 2 + [ (t ) 2 ]}= M [ (t )] 2 +M [ (t ) 2 ]= D x (t )+D y (t ).

Итак,дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D z (t )=D x (t )+D y (t ).

Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х (t ) при разных значениях аргументов равна дисперсии D x (t ). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z (t ) так, чтобы при равных значениях аргументов t 1 =t 2 =t корреляционная функция K z (t , t ) была равна дисперсии D z (t ), т. е. чтобы выполнялось требование

K z (t , t )=D z (t ). (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z (t ) называют корреляционный момент сечений (t 1)и (t 2)

K z (t 1 , t 2)= M .

В частности, при равных значениях аргументов

K z (t , t )= M =M [| | 2 ]= D z (t ).

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции Х (t ) и Y (t )коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2)+ [R xy (t 2 ,t 1)]+ [ R xy (t 1 ,t 1)].

если Х (t ) и Y (t ) не коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2).

Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z 1 (t )=Х 1 (t )+ Y 1 (t )i и Z 2 (t )=Х 2 (t )+ Y 2 (t )i так, чтобы, в частности, при Y 1 =Y 2 = 0 выполнялось требование

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

В частности, при Y 1 =Y 2 =0 получим

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X (t )=Ut 2 , где U- случайная величина, причем M (U )=5 ,

б ) Х (t )=U cos2t+Vt , где U и V- случайные величины, причем M (U )=3 , M (V )=4 .

Отв. а) m x (t)=5t 2 ; б) т x (t)=3 cos2t+4t.

2. К х (t 1 ,t 2) случайной функции X (t ). Найти корреляционные функции случайных функций:

a) Y (t )=X (t )+t; б) Y (t )=(t +1)X (t ); в) Y (t )=4X (t ).

Отв. a) К y (t 1 ,t 2)= К х (t 1 ,t 2); б) К y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) К х (t 1 ,t 2); в) К y (t 1 ,t 2)=16 К x (t 1 ,t 2)=.

3. Задана дисперсия D x (t ) случайной функции Х (t ). Найти дисперсию случайных функций: a) Y (t )=Х (t )+e t б ) Y (t )=tX (t ).

Отв . a) D y (t )=D x (t ); б) D y (t )=t 2 D x (t ).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х (t )=Usin 2t , где U- случайная величина, причем M (U )=3 , D (U )=6 .

Отв . а)m x (t ) =3sin 2t; б) К х (t 1 ,t 2)= 6sin 2t 1 sin 2t 2 ; в) D x (t )=6sin 2 2t .

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ), зная ее корреляционную функцию К х (t 1 ,t 2)=3cos (t 2 -t 1).

Отв. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X (t )=(t +1)U , и Y(t )= (t 2 + 1)U , где U- случайная величина, причем D (U )=7.

Отв . a) R xy (t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)(t 2 2 +l); б) ρ xy (t 1 ,t 2)=1.

7. Заданы случайные функции Х (t )= (t- 1)U и Y (t )=t 2 U , где U и V - некоррелированные случайные величины, причем M (U )=2, M (V )= 3, D (U )=4 , D (V )=5 . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z (t )=X (t )+Y (t ).

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х (t ) и Y (t ) не коррелированы.

Отв . а) m z (t )=2(t - 1)+3t 2 ; б) К z (t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)(t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; в) D z (t )=4(t - 1) 2 +6t 4 .

8. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +1 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание ее производной.

9. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +3 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание случайной функции Y (t )=tХ" (t )+t 3 .

Отв. m y (t)=t 2 (t+2).

10. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию ее производной.

11. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции Х (t ). Найти взаимные корреляционные функции.
Лабораторная работа № 4
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

4.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Ознакомление с основными понятиями теории случайных процессов. Выполнение измерений моментных характеристик и оценки ПРВ мгновенных значений случайных процессов. Анализ вида автокорреляционной функции (АКФ) и спектральной плотности мощности (СПМ) случайного процесса. Исследование преобразований случайного процесса линейными стационарными и нелинейными безынерционными цепями.
4.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Случайные события и случайные величины
Событие , которое может произойти или не произойти в некотором опыте, называется случайным событием и характеризуется вероятностью осуществления
. Случайная величина (СВ)
может принять в опыте одно значение из некоторого множества
; это значение называется реализацией данной СВ. может быть, например, множеством вещественных чисел или его подмножеством. Если множество конечно или счетно (дискретная СВ), можно говорить о вероятности
осуществления события, которое заключается в принятии случайной величиной значения , т. е. на множестве значений дискретной случайной величины задается распределение вероятностей . Если множество несчетно (например, вся вещественная прямая), то полное описание случайной величины дает функция распределения, определяемая выражением
,
где
. Если функция распределения непрерывна и дифференцируема, то можно определить плотность распределения вероятностей (ПРВ), называемую также для краткости плотностью вероятности
(а иногда просто плотностью):
, при этом
.
Очевидно, функция распределения – неотрицательная неубывающая функция со свойствами
,
. Следовательно,
ПРВ – неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки
.
Иногда ограничиваются числовыми характеристиками случайной величины, чаще всего моментами . Начальный момент -го порядка (-й начальный момент)
,
где горизонтальная черта и
– символические обозначения интегрального оператора усреднения по ансамблю . Первый начальный момент
, называется математическим ожиданием или центром распределения.
Центральный момент -го порядка (-й центральный момент)
Наиболее употребительным из центральных моментов является второй центральный момент, или дисперсия
Вместо дисперсии часто оперируют среднеквадратическим отклонением (СКО) случайной величины
.
^ Средний квадрат , или второй начальный момент
, связан с дисперсией и математическим ожиданием:
Для описания формы ПРВ используют коэффициент асимметрии
и коэффициент эксцесса
(иногда эксцесс характеризуют величиной
).
Часто используется нормальное, или гауссовское (гауссово), распределение с ПРВ
,
где и – параметры распределения (математическое ожидание и СКО соответственно). Для гауссовского распределения
,
.
Две случайные величины и характеризуются совместной плотностью распределения
. Числовыми характеристиками совместной плотности служат начальные и центральные смешанные моменты
,
,
где и – произвольные целые положительные числа;
и – математические ожидания СВ x и y .
Наиболее часто используются смешанные моменты второго порядка – начальный (корреляционный момент):
и центральный (ковариационный момент, или ковариация )
.
Для пары гауссовских случайных величин двумерная совместная ПРВ имеет вид
где , – среднеквадратические отклонения;
– математические ожидания; – коэффициент корреляции – нормированный ковариационный момент
.
При нулевом коэффициенте корреляции очевидно,
,
т. е. некоррелированные гауссовские случайные величины независимы.
^
Случайные процессы

Случайный процесс – это последовательность случайных величин, упорядоченная по возрастанию некоторой переменной (чаще всего времени). Перейти от описания случайной величины к описанию случайного процесса можно, рассматривая совместные распределения двух, трех и более значений процесса в некоторые различные моменты времени. В частности, рассматривая процесс в временных сечениях (при
), получаем -мерные совместные функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайных величин
…
, определяемые выражением
.
Случайный процесс считается полностью определенным, если для любого можно записать его совместную ПРВ при любом выборе моментов времени
.
Часто при описании случайного процесса можно ограничиться совокупностью его смешанных начальных моментов (если они существуют, т.е. сходятся соответствующие интегралы)
и смешанных центральных моментов
при целых неотрицательных
и целом .
В общем случае моменты совместной ПРВ зависят от расположения сечений на оси времени и называются моментными функциями . Чаще всего используют второй смешанный центральный момент
,
называемый функцией автокорреляции или автокорреляционной функцией (АКФ). Напомним, что здесь и далее явно не указана зависимость от времени, а именно – функциями времени являются
,
и
.
Можно рассматривать совместно два случайных процесса
и
; такое рассмотрение предполагает их описание в виде совместной многомерной ПРВ, а также в виде совокупности всех моментов, в том числе смешанных. Наиболее часто при этом используют второй смешанный центральный момент
,
называемый взаимно корреляционной функцией
.
Среди всех случайных процессов выделяют СП, для которых совместная -мерная ПРВ не изменяется при одновременном изменении (сдвиге) всех временных сечений на одну и ту же величину. Такие процессы называются стационарными в узком смысле или строго стационарными .
Чаще рассматривают более широкий класс случайных процессов с ослабленным свойствам стационарности. СП называется стационарным в широком смысле , если при одновременном сдвиге сечений не изменяются лишь его моменты не выше второго порядка. Практически это означает, что СП стационарен в широком смысле, если он имеет постоянные среднее (математическое ожидание ) и дисперсию
, а АКФ зависит только от разности моментов времени, но не от их положений на временнóй оси:
1)
,
2) ,
.
Заметим, что
, откуда и следует постоянство дисперсии.
Нетрудно убедиться, что процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле. Обратное утверждение вообще неверно, хотя существуют процессы, для которых стационарность в широком смысле влечет стационарность в узком смысле.
Совместная -мерная ПРВ отсчетов
гауссовского процесса, взятых во временных сечениях , имеет вид
, (4.1)
где – определитель квадратной матрицы, составленной из попарных коэффициентов корреляции отсчетов;
– алгебраическое дополнение элемента этой матрицы.
Совместная гауссовская ПРВ при любом полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентами корреляции отсчетов, т. е. моментными функциями не выше второго порядка. Если гауссовский процесс стационарен в широком смысле, то все математические ожидания одинаковы, все дисперсии (а значит, и СКО) равны друг другу, а коэффициенты корреляции определяются только тем, насколько временные сечения отстоят друг от друга. Тогда, очевидно, ПРВ (4.1) не изменится, если все временные сечения сдвинуть влево или вправо на одну и ту же величину. Отсюда следует, что гауссовский процесс, стационарный в широком смысле, стационарен и в узком смысле (строго стационарен).
Среди строго стационарных случайных процессов часто выделяют более узкий класс эргодических случайных процессов. Для эргодических процессов моменты, найденные усреднением по ансамблю, равны соответствующим моментам, найденным усреднением по времени:
,
(здесь – символическое обозначение оператора усреднения по времени).
В частности, для эргодического процесса математическое ожидание, дисперсия и АКФ равны соответственно
,
,
Эргодичность весьма желательна, так как дает возможность практически измерять (оценивать) числовые характеристики случайного процесса. Дело в том, что обычно наблюдателю доступна лишь одна (хотя, возможно, достаточно длинная) реализация случайного процесса. Эргодичность означает, по существу, что эта единственная реализация является полноправным представителем всего ансамбля .
Измерение характеристик эргодического процесса может быть выполнено при помощи простых измерительных устройств; так, если процесс представляет собой напряжение, зависящее от времени, то вольтметр магнитоэлектрической системы измеряет его математическое ожидание (постоянную составляющую), вольтметр электромагнитной или термоэлектрической системы, подключенный через разделительную емкость (для исключения постоянной составляющей), – его среднеквадратическое значение (СКО). Устройство, структурная схема которого показана на рис. 4.1, позволяет измерить значения функции автокорреляции при различных . Фильтр нижних частот играет здесь роль интегратора, конденсатор выполняет центрирование процесса, так как не пропускает постоянную составляющую тока. Это устройство называется коррелометром .

Рис. 4.1
Достаточными условиями эргодичности стационарного случайного процесса служат условие
, а также менее сильное условие Слуцкого
.
^
Дискретные алгоритмы оценивания параметров СП

Приведенные выше выражения для нахождения оценок параметров СП и корреляционной функции справедливы для непрерывного времени. В данной лабораторной работе (как и во многих современных технических системах и приборах) аналоговые сигналы генерируются и обрабатываются цифровыми устройствами, что приводит к необходимости некоторого изменения соответствующих выражений. В частности, для определения оценки математического ожидания используется выражение выборочного среднего
,
где
– последовательность отсчетов процесса (выборка объема
). Оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия , определяемая выражением
.
Оценка автокорреляционной функции, иначе называемая коррелограммой , находится как
.
Оценкой плотности распределения вероятностей мгновенного значения ССП служит гистограмма . Для ее нахождения диапазон возможных значений СП разбивается на интервалов равной ширины, затем для каждого -го интервала подсчитывается количество отсчетов выборки, попавших в него. Гистограмма представляет собой набор чисел
, обычно изображаемый в виде решетчатой диаграммы. Количество интервалов при заданном объеме выборки выбирается исходя из компромисса между точностью оценивания и разрешением (степенью подробности) гистограммы.
^
Корреляционно-спектральная теория случайных процессов

Если интересоваться только моментными характеристиками первого и второго порядка, которые определяют свойство стационарности в широком смысле, то описание стационарного СП осуществляется на уровне автокорреляционной функции
и спектральной плотности мощности
, связанных парой преобразований Фурье (теорема Винера–Хинчина ):
,
.
Очевидно, СПМ – неотрицательная функция. Если процесс имеет ненулевое математическое ожидание , то к СПМ добавляется слагаемое
.
Для вещественного процесса АКФ и СПМ – четные вещественные функции.
Иногда можно ограничиться числовыми характеристиками – интервалом корреляции и эффективной шириной спектра. ^ Интервал корреляции определяют по-разному, в частности, известны следующие определе