Сообщение история открытия треугольника паскаля. Математика, которая мне нравится

Опубликовано в журнале Hard"n"Soft №10 2003

Удивительный треугольник великого француза

Я хорошо помню одного профессора, имевшего
видение и подумавшего, что он сходит с ума.
Он пришел ко мне в состоянии полнейшей паники.
В ответ я просто взял с полки книгу, написанную
около четырехсот лет назад, и показал пациенту
гравюру по дереву, изображавшую в точности
то, что ему привиделось.
Карл Густав Юнг. Человек и его символы.

Когда я читаю Паскаля, Мне кажется,
что я читаю себя.
Стендаль

Уничижительная формулировка "незаменимых людей нет", столь любимая бездарными управленцами, может и подошла бы, если бы речь шла о копании траншеи или уборке мусора. Всякий же вид деятельности, связанный с творчеством, наоборот, покажет незаменимость и уникальность каждого человека. А когда речь идет о гениях, то мы все должны благодарить судьбу за возможность пользоваться плодами их деятельности, за исходящий от них свет, освещающий пути развития человечества. На сайте журнала "Знание-сила" есть голосование по вопросу о том, кого вы считаете самым значительным ученым за прошедшие 2000 лет. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - посмотрите, кстати, интересно сравнить свои предпочтения с выбором большинства.) И, естественно, среди самых популярных ученых мы по праву видим имя Блеза Паскаля (1623-1662).

Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Особенно популярен был Турбо Паскаль 5.5 для ДОС, ныне - Борланд Паскаль 7.0 и его дальнейшее развитие в Delphi. Работы Паскаля охватывают самые разные области. Он является одним из создателей математического анализа, проективной геометрии, теории вероятностей, гидростатики (широко известен закон Паскаля, в соответствии с которым изменение давления в покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений), создателем механического счетного устройства - "паскалева колеса" - как говорили современники. Паскаль продемонстрировал, что воздух обладает упругостью, и доказал, что он имеет вес, открыл, что показания барометра зависят от влажности и температуры воздуха и потому его можно использовать для предсказания погоды.

Некоторые из практических достижений Паскаля удостоились высшего отличия - сегодня мало кто знает имя их автора. Например, сейчас очень немногие скажут, что самая обыкновенная тачка - это изобретение Блеза Паскаля. Ему же принадлежит идея омнибусов - многоместных конных экипажей с фиксированными маршрутами - первого вида регулярного общедоступного городского транспорта. Уже в шестнадцатилетнем возрасте Паскаль сформулировал теорему о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение (теорема Паскаля). (Известно, что позже он получил из своей теоремы около 400 следствий.) Через несколько лет Блез Паскаль создал механическое вычислительное устройство - суммирующую машину, которая позволяла складывать числа в десятичной системе счисления. В этой машине цифры задавались путем соответствующих поворотов дисков (колесиков) с цифровыми делениями, а результат операции можно было прочитать в окошках - по одному на каждую цифру.

Блез Паскаль и другой великий француз, Пьер Ферма, стали основателями теории вероятностей, причем годом ее рождения часто называют 1654-й, когда Паскаль и Ферма независимо друг от друга дали правильное объяснение так называемого парадокса раздела ставки. Два игрока играют в "безобидную" игру (т.е. шансы победить у обоих одинаковы), договорившись, что тот, кто первым выигрывает шесть партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй - три). Как справедливо разделить приз? Хотя, вообще говоря, данная проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых видных ученых ее решить, а также неверные ответы создали легенду о парадоксе. Так, согласно одному решению следовало разделить приз в отношении 5: 3, т.е. пропорционально выигранным партиям, согласно другому - в отношении 2: 1 (здесь рассуждения велись, по всей видимости, следующим образом: поскольку первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы шести партий, то он должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть нужно разделить пополам).

А между тем делить надо в отношении 7:1. И Паскаль, и Ферма рассматривали парадокс раздела ставки как задачу о вероятностях, установив, что справедливым является раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Предположим, первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму для победы необходимо выиграть еще три партии, причем игроки продолжают игру и играют все три партии, даже если некоторые из них окажутся лишними для определения победителя. Для такого продолжения все 2 3 = 8 возможных исходов будут равновероятными. Так как второй игрок получает приз только при одном исходе (если он выиграл все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7: 1. (Паскаль и Ферма нашли также общее решение для случая, когда одному игроку для получения приза нужно выиграть еще n партий, а другому - m партий.)

Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об "арифметическом треугольнике", образованном биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля), который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами. Рассмотрением этого волшебного треугольника мы и займемся, желающие углубить знания о гениальном ученом найдут на http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm список литературы о нем, а на "Подводной лодке" http://schools.techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm интригующий рассказ о Паскале, его отце, сестре и самом кардинале Ришелье.

Треугольник будет выпит
На ура его даешь!
Будь он хоть параллепипед,
Будь он куб, ядрена вошь
В.Высоцкий

В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом "Математическом калейдоскопе".

А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть (напрягитесь и представьте!) - итого десять, и так далее. Подробнее о треугольных числах можно прочитать в Hard"n"Soft №4 2002 в статье "Кролики-каннибалы, четверостишия и заповедник последовательностей" доступной также на Арбузе .

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним.

Как же нам нарисовать треугольник Паскаля чтобы поиграть с ним? Лучше всего использовать идею, рассмотренную нами при программировании шестиугольной жизни в Hard"n"Soft №5 2002 (на Арбузе), а именно - берется обычный двумерный массив, но при выводе на экран ряды через один сдвигаются - четные ряды вправо на четверть шага, нечетные влево на четверть шага, и тогда ряды смещены на полшага, что дает нам шестиугольную структуру поля при прямоугольном массиве. А двумерность массива позволяет очень легко с ним работать, задав в цикле по строкам и рядам действия над ячейкой.

Повозившись пару минут, вы будете вознаграждены появившимся на экране треугольником и, значит, готовы к предстоящим необычным экспериментам. (Слишком много рядов задавать не стоит, так как с 13-14 рядов в середине начинают появляться четырех и пятизначные числа, они сливаются с рядом стоящими и картина смазывается. Можно, конечно, увеличить радиус ячейки и уменьшить шрифт, но все равно, числа в середине треугольника быстро растут и будут сливаться, хоть и на пару рядов ниже.)

Но сначала еще парочка интересных свойств треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого. (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр. Попробуйте с вишнями или яблоками одинакового размера, только не пытайтесь выйти с ними в четвертое измерение, они могут исчезнуть.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную постоянным читателям последовательность Фибоначчи. Смотрите, например, вышеупомянутую статью "Кролики-каннибалы, четверостишия..." или многочисленные материалы на Арбузе.

Но в предыдущих публикациях мы не говорили о том, что числа Фибоначчи часто встречаются и в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4, ... число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8, ..., то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y) n по степеням x и y. Например, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 и (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3 . Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y) n , достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

Предположим (пример от Мартина Гарднера), что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема? Для ответа на этот волнующий вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35. Если, охваченные радостным волнением, вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. И еще раз, для тех, кто хоть что-то понял. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой

Где n!=1*2*3*4*....*n так называемый факториал числа n. И тех же трех жен из семи можно выбрать столькими вариантами: C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1*2*3*4=5040/6/24=35, что мы раньше и получили. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.

Кстати, из формулы сочетаний следует, что количество вариантов выбора трех из семи равно количеству вариантов выбора четырех из семи, или, число вариантов заполнения карточек Спортлото 5 из 36 равно количеству выбора 31 из 36, поразмышляйте об этом приятном предмете.

Связь между комбинаторикой и теорией вероятностей станет ясной, если мы рассмотрим восемь возможных исходов бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три герба выпадают лишь в одном случае, два герба - в трех случаях, один герб - также в трех случаях и ни одного герба - в одном случае. Числа благоприятных испытаний для получения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3, 3, 1. Именно эти числа стоят в третьей строке треугольника Паскаля. Предположим теперь, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Прежде всего, необходимо подсчитать, сколько существуют различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно равно 252. Сложив все числа, стоящие в 10-й строке, мы найдем число возможных исходов, вычисления можно намного сократить, если воспользоваться следующим свойством биномиальных коэффициентов: сумма коэффициентов бинома (х+у) n , а именно они и стоят в n-й строке треугольника Паскаля, равна 2 n . Действительно, сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды. Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ... . Десятая степень числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024= 63/256 . Желающее подробнее узнать о связи треугольника Паскаля с комбинаторикой могут посетить страничку http://combinatorica.narod.ru/third.html .

Треугольник Паскаля двумерный, лежит в плоскости. Непроизвольно появляется мыль - а нельзя ли его закономерности распространить на трехмерный (и четырех-...) аналог? Оказывается можно! В статье О. В. Кузьмина (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) рассмотрен трехмерный аналог треугольника - пирамида Паскаля, ее связь с триномиальными коэффициентами и приведены примеры процессов, которые такая модель может отражать.

Теперь, наконец-то, переходим к самому интересному для нас удивительному свойству треугольника Паскаля. Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - прозрачным, или цветом фона. Результат окажется непредсказуемо-удивительным: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Узоры эти таят в себе много неожиданностей. По мере удаления от вершины нам будут встречаться треугольники все возрастающих размеров, не содержащие ни одной жирной точки, то есть "составленные" из одних лишь четных чисел. У вершины треугольника Паскаля "притаился" треугольник состоящий из одной - единственной точки, затем идут треугольники, содержащие 6, 28, 120, 496, ... точек. Три из названных чисел - 6, 28 и 496 - известны как совершенные, поскольку каждая из них равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа. Например, 6=1+2+3. Неизвестно, существует ли бесконечно много совершенных чисел, а также существует ли хоть одно нечетное совершенное число. Подробнее о совершенных числах можно прочитать на Арбузе .

Приведем программу, реализующую расцветку треугольника в соответствии с четностью каждого числа треугольника. Вместо значения числа на его месте рисуется круг, заливаемый черным цветом для нечетных значений и белым для четных.

Четность числа легко определить сравнением остатка от деления на два с нулем, для четного остаток нуль, для нечетного - единица. А для определения остатка можно использовать функцию Mod, имеющуюся практически во всех языках программирования. Если же вам лень программировать, а увидеть это чудо непременно хочется, то зайдите на http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html и найдете там аплет, рисующий треугольник Паскаля точками с учетом четности.

Там же есть ссылка на исходный код на языке Java, можете разобраться и улучшить по своему усмотрению. Любителям математики сразу же бросится в глаза "фрактальность" полученного объекта, а точнее, мы видим не что иное, как "Треугольник Серпинского", аналог знаменитого "Ковра Серпинского". Особенно популярны эти модели, наряду со "Снежинкой Коха" и множествами Мандельброта и Жюли стали в последние годы ввиду повального увлечения фракталами и синергетикой. Поясним вкратце для новичков.

У мэтра популярной математики Мартина Гарднера найдём, что ещё в 1905 году на ежегодной математической олимпиаде в Венгрии предлагалась задача: "Квадрат разделён на 9 частей (как для игры крестики-нолики) и центральный квадрат удалён. Затем каждый из оставшихся 8 квадратов разделён на 9 частей, центральный квадрат удалён и процедура повторяется многократно. Найти предел, к которому стремится площадь полученной фигуры". Так вот - полученная фигура и есть ковёр Серпинского - квадрат настолько дырявый, что он уже ближе к линии. Аналогично можно получить и увиденный нами треугольник - первоначально у треугольника соединяются середины сторон и полученный треугольник удаляется.

На втором этапе эта же операция проводится с тремя оставшимися треугольниками, потом с девятью оставшимися и так далее. Сможете ли вы найти предел, к которому стремится оставшаяся площадь? И как объяснить совпадение двух моделей?

Авторы странички http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ предлагают сразу строить треугольник Паскаля заполняя его не числами, а нулями или единицами по правилу: сумма двух нулей или двух единиц дает нуль (то есть, сумма двух четных или двух нечетных чисел всегда четна), а сумма нуля и единицы дает единицу (как сумма четного числа с нечетным). Этот прием позволит строить сколь угодно большой треугольник, а при заполнении его "настоящими" цифрами мы можем столкнуться с ограничением на машинное представление чисел, и с тем, что функция Mod на пределе числа, объявленного как Double начинает сбоить. Еще авторы упомянутой странички предлагают организовать треугольник как двумерный массив (что мы с вами и проделали) и использовать его поле для моделирования Клеточных Автоматов, чем мы и занимались в статье об игре Жизнь (на Арбузе), правда, не ограничивая поле треугольником.

Движемся далее - пробуем проверять не четность, а остаток от деления на другие числа, и каждый раз удивляемся открывающимся видом треугольника. Поиграв некоторое время, заметим, что при задании числа, деление на которое мы проверяем, простым, получаются красивые орнаменты с ярко выраженной закономерностью (попробуйте задать 3, 5, 7, 11, 13, 17....), а при делении на составное число орнамент рассыпается, сохраняя, впрочем, симметрию и закономерность в чередовании узоров. Причем, чем больше делителей имеет проверяемое число (например, 12 делится на2, на 3, 4 и 6), тем более "размытым" получается узор.

Рассмотрите треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся - белым, и попробуйте увидеть закономерности.

Желающим углубиться в связи комбинаторики, теории вероятности и треугольника Паскаля рекомендуем статью Грегори Дж.Чейтин "Случайность в арифметике" из журнала В МИРЕ НАУКИ. (Scientific American. Издание на русском языке). № 9 1988, расположенную на http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html , а мы пока займемся новой забавой - попробуем раскрасить треугольник Паскаля. Для этого назначим три переменных (r,g,b), ответственных, соответственно, за красную, зеленую и синюю составляющую раскраски ячейки и привяжем их значение (максимальное может быть равным 255) к проверке делимости на разные числа. В приведенном листинге программы красный цвет зависит, по-прежнему, от четности числа, зеленый - от делимости его на 9, а синий - от делимости на 11. Многочисленные варианты экспериментов помечены апострофами как комментарии, вы можете их "оживить" или придумать свои "контрольные числа" и их цветовые оттенки.

Dim a(100, 100) As Double Dim radius As Byte, i As Byte, kol As Byte Dim sdvig As Integer, X As Integer, Y As Integer, X1 As Integer, Y1 As Integer Private Sub Form_Load() For Y = 1 To kol For X = 1 To kol a(X, Y) = 0 Next X Next Y radius = 5 " радиус ячейки в пикселя kol = 20 " Количество рядов a(Int(kol / 2), 0) = 1 " первая единица, от которой и растет треугольник DrawWidth = 1 " Толщина линии For Y = 0 To kol For X = 1 To kol sdvig = radius / 2 * (-1) ^ Y " Сдвиг каждого ряда то влево, то вправо If Y > 0 Then If sdvig > 0 Then a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Else a(X, Y) = a(X + 0, Y - 1) + a(X - 1, Y - 1) End If End If X1 = 60 + X * radius * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * radius * 1.7 FillStyle = 0 r = 0: g = 0: b = 0 If a(X, Y) > 0 Then If (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Then r = 250 "If (a(X, Y) / 4) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Then r = 120 "If (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Then r = 180 "If (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Then r = 250 "If (a(X, Y) / 3) - Int(a(X, Y) / 3) = 0 Then g = 60 If (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Then g = 250 "If (a(X, Y) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Then g = 180 "If (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Then g = 250 If (a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Then b = 250 "If (a(X, Y) / 13) - Int(a(X, Y) / 13) = 0 Then b = 120 "If (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Then b = 180 "If (a(X, Y) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Then b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Цвет заливки Circle (X1, Y1), radius, RGB(90, 90, 90) End If Next X Next Y " Выход из программы Private Sub Exit_Click() End End Sub

И вот результат работы программы. Не правда ли красиво? Видны красные треугольные "зоны Серпинского", которые, накладываясь на зеленые окошки от девяток, дают желтые зоны, а с синими участками от деления на 11 дают сиреневые участки. Имеет ли эта красота прикладное значение кроме узора для обоев пока не ясно, но от треугольника Паскаля, особенно цветного, можно ожидать любых чудес, возможно, и в скором будущем. А вот еще один вариант раскраски, выполненный по алгоритму

R = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255

Рассмотрите картинку, попытайтесь увязать ее с алгоритмом, а еще лучше, попробовать свой вариант. В статье http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm предлагается использовать для построения треугольника Паскаля рекурсию. Что такое рекурсия, и насколько она оптимальна при программировании, можно посмотреть на http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm . На страницах http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html и http://dkws.narod.ru/math/tpas.html вы найдете программы для составления треугольника Паскаля, а на странице http://galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html еще и аплет, рисующий его на экране, правда, вы теперь уже и так во всеоружии, но эти странички могут натолкнуть вас на новые идеи.

О треугольнике Паскаля есть еще хорошая статья ведущего рубрики занимательного программирования "Компьютерных вестей" А. Колесникова на http://www.kv.by/index2002151201.htm . Мы начинали рассмотрение треугольника Паскаля с вариантов движения, ими и закончим. На страничке, посвященной головоломкам, выложена книга Евгения Гика "Шахматы и математика". В главе, посвященной геометрии шахматной доски (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml) автор приводит удивительные примеры, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные позиции. (Приведен знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски.) А связь с нашей темой в том, что количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля! Смотрите диаграмму, как пишут в шахматных учебниках. И используйте это в ваших эндшпилях.

И самый последний вопрос, связанный одновременно с треугольником Паскаля и с шахматами. Чему равна сумма всех чисел, стоящих выше какого-либо ряда? Рассмотрите сами, начиная сверху эти суммы, и увидите значения 1, 3, 7, 15, 31,... Не надо обладать большой фантазией, чтобы увидеть простую закономерность: сумма всех чисел для n рядов равна 2 n -1. А причем здесь шахматы? По общеизвестной легенде раджа обещал создателю шахмат любую награду, которую тот попросит. Когда же первый шахматист попросил положить на первый квадрат доски одно пшеничное зерно, на второй - два, на третий - четыре, и так продолжая удваивать, до 64-го квадрата, то раджа даже обиделся сначала мизерностью просимой награды. Когда же его завхозы-кладовщики прикинули просимое количество, то оказалось, что этим зерном можно было бы засыпать всю Землю по колено, это намного больше, чем было и будет собрано во всех урожаях человечества. (Кстати, можно прикинуть высоту слоя зерна, задавшись объемом зернышка, например, 1 мм 3 , умножить на 2 64 , непременно отнять 1 и разделить на площадь земной поверхности.) Так вот - на каждой клетке доски лежало (бы) количество зерен, равное сумме чисел в соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зернышек на первых n клетках равнялась (бы) сумме чисел на этих n строках этого волшебного треугольника. На этой изобильной фантазии и завершим его рассмотрение.

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n - целое число.

Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c i ? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля :

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1 ;
второе число равно 1 + 5, или 6 ;
третье число это 5 + 10, или 15 ;
четвертое число это 10 + 10, или 20 ;
пятое число это 10 + 5, или 15 ; и
шестое число это 5 + 1, или 6 .

Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно
(a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6 .

Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
где числа c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u - v) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u - v) 5 = 5 = 1 (u) 5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку - скажем, 8-ю строку - без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом .

Пример 3 Возведите в степень: (x 2 - 2y) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x ) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y) 6 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x - 2) 10 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n:

.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр }.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Треугольник Паскаля

Введение 3

1.Определение треугольника Паскаля 4

2.Построение треугольника Паскаля 6

3.Свойства треугольника Паскаля и их применения 7

4.Применение свойств треугольника Паскаля 13

Заключение 16

Список использованной литературы 17

Треугольник Паскаля так прост,

что выписать его сможет даже

десятилетний ребенок.

В тоже время он таит в себе

неисчерпаемые сокровища и связывает

воедино различные аспекты математики,

не имеющие на первый взгляд между

собой ничего общего.

Столь необычные свойства позволяют

наиболее изящных схем

во всей математике".
Мартин Гарднер

"Математические новеллы"

Введение

В школьном курсе алгебры рассматриваются формулы сокращенного умножения второй и третей степени, но меня заинтересовала задача возведение двучлена в более высокую степень.

Изучая треугольник Паскаля знакомимся с множеством интересных и удивительных свойств. Применение этих свойств поможет при решение задач комбинаторики. Изучение этих свойств и их применение рассмотрено в данной работе.

Определение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля - арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля, данный треугольник представлен на рисунке 1.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух, расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами.

Рисунок 1 Треугольник Паскаля
Из истории.

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). Данный треугольник приведен на рисунке 2. На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

Рисунок 2 Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника рисунок 3, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.

Рисунок 3 Треугольник Паскаля

Свойства треугольника Паскаля и их применения

1 - Второе число каждой строки соответствует её номеру.
2 - Третье число каждой строки равно сумме номеров строк, ей предшествующих.
3 – Треугольник Паскаля представляет собой различные системы измерения пространства:

одномерное, двухмерное, трехмерное, четырехмерное и т.д. На рисунке 4 каждая зеленая линия показывает пространство, т.е. то количество шаров которые можно выложить друг под другом.

Рисунок 4 Треугольник Паскаля

3.1 – Одномерное пространство - первая зеленая линия

Это треугольные числа в одномерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем.

3.2. – Двухмерное пространство – вторая зеленая линия

Треугольное число - это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, смотри рисунок 5.

Рисунок 5 Треугольное число

Последовательность треугольных чисел для n = 0, 1, 2, … начинается так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120

Классический пример треугольных чисел встречающихся в повседневной жизни – это начальная расстановка шаров в бильярде, представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 Треугольные числа на бильярдном столе
3.3 – Трехмерное пространство это третья зеленая линия.

Это треугольные числа в трехмерном пространстве т.е. один шар мы можем положить на три – итого четыре, под три подложим шесть, представлено на рисунке 7.

Рисунок 7 Расположение четырех шаров в трехмерном пространстве
4 - Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи:

Числа Фибоначчи - элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,…

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F n = F n + 2 − F n + 1

n	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F n	-55	34	-21	13	-8	5	-3	2	-1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

5 - Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

Числа Катала́на - числовая последовательность, встречающаяся в многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,…

Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению

И для
6 - Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2 n .
7 - Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.

Рассмотрите треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся - белым, и попробуем увидеть закономерность.

Рисунок 8 Треугольник Паскаля относительно делителя 7

8 - Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского. Данный треугольник представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 Треугольник Серпинского

Применение свойств треугольника Паскаля

Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом "Математическом калейдоскопе".

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Альтернатива треугольнику Паскаля:

перемножить почленно четыре скобки:

вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

общий член разложения бинома n-й степени: ,

где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.

Используя свойства треугольника Паскаля мы можем вычислить сумму чисел натурального ряда. Например: нам необходимо вычислить сумму натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму.

Заключение

В работе приведены треугольник Паскаля, его интересные и удивительные свойства. Треугольник Паскаля применяется при решении различных алгебраических задач.

Данная работа позволяет научиться возводить двучлен в любую целую положительную степень, познакомиться с биномом Ньютона.

Список использованной литературы

В.А. Успенский Популярные лекции по математике «Треугольник Паскаля» Главная редакция физико-математической литературы Москва «Наука» 1979г..
Квант «Треугольник Паскаля».
В. Байдикова Вариации на тему «Треугольник Паскаля»
Энциклопедия юного математика.
О. В. Кузьмин Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения

Биномиальные коэффициенты коэффициенты в разложении (1 + x)n по степеням x (т. н. бином Ньютона): Иначе говоря, (1 + x)n является производящей функцией для биномиальных коэффициентов. Значение биномиального коэффициента определено для всех целых… … Википедия

Треугольник (значения) - В Викисловаре есть статья «треугольник» Треугольник в широком смысле объект треугольной формы, либо тройка объектов, попарно связ … Википедия

ПАСКАЛЯ ТРЕУГОЛЬНИК - таблица чисел, являющихся биномиальными коэффициентами. В этой таблице по боковым сторонам равнобедренного треугольника стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа: В строке с номером n+1… … Математическая энциклопедия

Треугольник Серпинского - Треугольник Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпински … Википедия

Треугольник Рёло - Построение треугольника Рёло Треугольник Рёло[* 1] предста … Википедия

Паскаля треугольник - треугольная числовая таблица для составления биномиальных коэффициентов (см. Ньютона бином). П. т. предложен Б. Паскалем (См. Паскаль). См. Арифметический треугольник …

Арифметический треугольник - треугольник Паскаля, треугольная числовая таблица для составления биномиальных коэффициентов (см. Ньютона бином). По бокам А. т. стоят единицы, внутри суммы двух верхних чисел. В (n + 1) й строке А. т. биномиальные коэффициенты… … Большая советская энциклопедия

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК - то же, что Паскаля треугольник … Математическая энциклопедия

Биномиальный коэффициент - В математике биномиальные коэффициенты это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»): В … Википедия

Биномиальные коэффициенты - коэффициенты в разложении (1 + x)n по степеням x (т. н. бином Ньютона): Иначе говоря, (1 + x)n является производящей функцией для биномиальных коэффициентов. Значение биномиального коэффициента определено для всех целых чисел n и k. Явные формулы … Википедия

Книги

Треугольник Паскаля. Книга 102 , В. А. Успенский. В настоящей лекции рассматривается одна важная числовая таблица (которая и называется треугольником Паскаля), полезная при решении ряда вычислительных задач. Попутно с решением таких задач… Купить за 211 грн (только Украина)
Треугольник Паскаля. Книга № 102 , Успенский В.А.. В настоящей лекции рассматривается одна важная числовая таблица (которая и называется треугольником Паскаля), полезная при решении ряда вычислительных задач. Попутно с решением таких задач…

Вариации на тему "Треугольник Паскаля"

История

Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике".

Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата.

Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.

Изображен треугольник и на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.

Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Свойства треугольника Паскаля

Свойства строк

Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1) Все строки Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична) Каждый член строки Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда т - простое число, а n - степень этого простого числа

Треугольные числа
Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные, тетраэдрические и другие числа. Треугольные числа указывают количество шаров или других предметов, уложенных в виде треугольника (эти числа образуют следующую последовательность: 1,3,6,10,15,21,..., в которой 1- первое треугольное число, 3- второе треугольное число, 6-третье и т. д. до m-ro, которое показывает, сколько членов треугольника Паскаля содержится в первых m его строках - от нулевой до (m-1)-й).

Тетраэдрические числа
Члены последовательности 1,4, 10, 20, 36, 56,... называются пирамидальными, или, более точно, тетраэдрическими числами: 1- первое тетраэдрическое число, 4- второе, 10- третье и т. д. до m-ro. Эти числа показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

Числа Фибоначчи
В 1228 году выдающийся итальянский математик Леонардо из Пизы, более известный сейчас под именем Фибоначчи, написал свою знаменитую "Книгу об абаке". Одна из задач этой книги - задача о размножении кроликов - приводила к последовательности чисел 1,1,2,3,5,8,13,21..., в которой каждый член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи, члены ряда Фибоначчи называют числами Фибоначчи. Обозначая n-е число Фибоначчи через

Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи. Для доказательства интересующего нас предложения достаточно показать, что сумма всех чисел, составляющих n-ю и (n+1) диоганали треугольника Паскаля равна сумме чисел, составляющих его т+2-ю диагональ.

Биномиальные коэффициенты
Числа, стоящие по горизонтальным строкам, являются биномиальными коэффициентами. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома (1+n)n. Покажем это при помощи операции Паскаля. Но сначала представим, как биномиальные коэффициенты определяются.

Возьмем бином 1+х и начнем возводить его в степени 0, 1, 2, 3 и т. д., располагая получающиеся при этом многочлены по возрастающим степеням буквы х. Мы получим

1.(1+х)0=1,
2.(1+х)1=1+х,
3. (1 +х)2=(1 +х)(1 +х)= 1 +2х+х2,
4.(1+х)3=1+Зх+Зх2+хЗ
и т. д.

Вообще, для любого целого неотрицательного числа n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+...+apxp,
где a0,a1,...,ap

Последнее соотношение можно переписать в виде а из соотношений 1-4 получаем

Образовался треугольник Паскаля, каждый элемент которого

Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.

Решение задач с применением треугольника Паскаля

Старинные задачи о случайном
Еще в глубокой древности появились различные азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы, когда игроки бросали кости животных. Также пользовались популярностью игральные кости - кубики с нанесенными на гранях точками. Позднее азартные игры распространились в средневековой Европе.

Эти игры подарили математикам массу интересных задач, которые потом легли в основу теории вероятностей. Очень популярны были задачи о дележе ставки. Ведь, как правило, игра велась на деньги: игроки делали ставки, а победитель забирал всю сумму. Однако игра иногда прерывалась раньше финала, и возникал вопрос: как разделить деньги.

Многие математики занимались решением этой проблемы, но до середины XVII века так и не нашли его. В 1654 году между французскими математиками Блезом Паскалем, уже хорошо известным нам, и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда комбинаторных задач, в том числе и задач о дележе ставки. Оба ученых, хотя и несколько разными путями, пришли к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выигрыша всей суммы при продолжении игры.

Следует отметить, что до них никто из математиков вероятность событий не вычислял, в их переписке теория вероятностей и комбинаторика впервые были научно обоснованы, и поэтому Паскаль и Ферма считаются основателями теории вероятностей.

Рассмотрим одну из задач Ферма, решенную Паскалем с помощью своей числовой таблицы.

Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В - трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?

Паскаль складывает количество партий, недостающих игрокам, и берет строку таблицы, в которой количество членов равно найденной сумме, т. е. 5. Тогда доля игрока А будет равна сумме трех (по количеству партий, недостающих игроку В) первых членов пятой строки, а доля игрока В - сумме оставшихся двух чисел. Выпишем эту строку: 1,4,6,4, 1. Доля игрока А равна 1+4+6=11, а доля В -1+4=5.

Другие арифметические треугольники

Рассмотрим треугольники, построение которых связано с известными однопараметрическими комбинаторными числами. Создание таких треугольников основано на принципе построения рассматриваемого выше треугольника Паскаля.

Треугольник Люка

Рассмотрим построенный арифметический треугольник. Данный треугольник носит название треугольника Люка, так как суммы чисел, стоящих на восходящих диагоналях, дают последовательность чисел Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / которые могут быть определены как

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Каждый элемент треугольника определяется по правилу Паскаля Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k при начальных условиях L1,0=1, L1,1=2 и L0,k=0

т. е. n-я строка треугольника люка может быть получена сложением n-й и (n-1)-й строк треугольника Паскаля.

Треугольник Фибоначчи

Из чисел (fm, n), удовлетворяющих уравнениям
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, где с начальными условиями f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 строится следующий треугольник.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, где fn - n - е число Фибоначчи. Построенный треугольник назван треугольником Фибоначчи.

Треугольник Трибоначчи

Рассмотрим еще один треугольник, создание которого основано на методе построения треугольника Паскаля. Это треугольник Трибоначчи. Он назван так потому, что суммы элементов, стоящих на восходящих диагоналях, образуют последовательность чисел Трибоначчи: 1,1,2,4,7,13,24,44,..., которая может быть определена следующим рекуррентным соотношением: tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn с начальными условиями t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

"Знаковый треугольник"

Построение "знакового треугольника"

Перед нами треугольник, составленный из одних знаков, плюсов и минусов, по принципу образования треугольника Паскаля. В отличие от последнего, он расположен основанием вверх.

Сначала задается первая строка, состоящая из произвольного количества знаков и их расположения. Каждый знак следующей строки получается путем перемножения двух вышестоящих знаков.

Одной из наших задач является установить, при каком количестве знаков первой строки число минусов и плюсов будет одинаковым. Общее количество знаков в таблице можно определить формулой

где n - число знаков в первой строке.

Образуется последовательность чисел, при которых количество минусов и плюсов может быть равным: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,..., каждое из которых показывает количество знаков в первой строке. Однако не установлено, при каком расположении знаков число минусов и плюсов будет однозначно одинаковым.

Второй нашей задачей, касающейся треугольника произведения знаков, является установление наименьшего количества плюсов, которое может иметь "знаковый треугольник".

Существует интересная последовательность знаков первой строки: +, -, -, +, -, -, ... (или -, -, + ,- ,- ,+ , ...), при которой число плюсов, как до сих пор считается, будет наименьшим и равным 1/3 от общего числа знаков, т. е. равным

Важно заметить, что если постепенно обходить треугольник, то последовательность знаков +, -, -, ... сохранится.

Обратим внимание на тот факт, что наименьшее количество плюсов, равное 1/3 от общего числа знаков, можно увидеть и в треугольнике при n = 2.

n	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F n	-55	34	-21	13	-8	5	-3	2	-1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

n	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F n	-55	34	-21	13	-8	5	-3	2	-1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

n	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F n	-55	34	-21	13	-8	5	-3	2	-1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55