Рассмотрим периодическую последовательность импульсов прямоугольной формы с периодом Т, длительностью импульсов и максимальным значением. Найдем разложение в ряд такого сигнала, выбрав начало координат как показано на рис. 15. при этом функция симметрична относительно оси ординат, т.е. все коэффициенты синусоидальных составляющих=0, и нужно рассчитать только коэффициенты.

- 0 T t

постоянная составляющая
(28)

Постоянная составляющая – это среднее значение за период, т.е. это площадь импульса
, деленная на весь период, т.е.
, т.е. то же, что получилось и при строгом формальном вычислении (28).

Вспомним, что частота первой гармоники  1 =, где Т – период прямоугольного сигнала. Расстояние между гармониками= 1 . Если номер гармоники n окажется таким, что аргумент синуса
, откуда. Номер гармоники, при котором амплитуда ее обращается в ноль первый раз, называют«первым нулем» и обозначают его буквой N, подчеркивая особые свойства этой гармоники:

(29)

с другой стороны, скважность S импульсов – это отношение периода Т к длительности импульсов t u , т.е. . Следовательно «первый нуль» численно равен скважности импульсаN = S . Поскольку синус обращается в ноль при всех значениях аргумента, кратных , то и амплитуды всех гармоник с номерами, кратными номеру «первого нуля», тоже обращаются в ноль. То есть
при
, гдеk – любое целое число. Так, например, из (22) и (23) следует, что спектр прямоугольных импульсов со скважностью 2 состоит только из нечетных гармоник. Поскольку S =2 , то и N =2 , т.е. амплитуда второй гармоники первый раз обращается в ноль – это «первый нуль». Но тогда и амплитуды всех остальных гармоник с номерами, кратными 2, т.е. все четные тоже должны обращаться в ноль. При скважности S=3 нулевые амплитуды будут у 3, 6, 9, 12, ….гармоник.

С увеличением скважности «первый нуль» смещается в область гармоник с большими номерами и, следовательно, скорость убывания амплитуд гармоник уменьшается. Простой расчет амплитуды первой гармоники при U m =100В для скважности S =2, U m 1 =63,7B, при S =5, U m 1 =37,4B и при S =10, U m 1 =19,7B, т.е. с ростом скважности амплитуда первой гармоники резко уменьшается. Если же найти отношение амплитуды, например, 5-й гармоники U m 5 к амплитуде первой гармоники U m 1 , то для S =2, U m 5 /U m 1 =0,2, а для S =10, U m 5 / U m 1 = 0,9, т.е. скорость затухания высших гармоник с ростом скважности уменьшается.

Таким образом, с ростом скважности спектр последовательности прямоугольных импульсов становится более равномерным.

2.5. Спектры при уменьшении длительности импульса и периода сигнала.

Регулировать скважность S = T / t n можно либо изменением длительности импульса t n при T =const, либо изменением периода Т при t n =const. Рассмотрим спектры сигналов при этом.

T =const, t n =var. Частота первой гармоники f 1 =1/ T = const и  f = f 1 = const. Первый нуль N = T / t n и по мере укорочения импульса t n смещается в область гармоник с большими номерами. При t n 0 N , спектр получается дискретным и  f = f 1 , бесконечно широкий и с бесконечно малыми амплитудами гармоник.

t n =const, T =var. Будем увеличивать период Т , тогда частота первой гармоники f 1 и расстояние между спектральными линиями  f будут уменьшаться. Так как  f = f 1 =1/Т , то спектральные линии будут смещаться в область более низких частот и «плотность» спектра возрастет. Если Т , то сигнал из периодического становится непериодическим (одиночный импульс). В этом случае f 1 =  f 0, т.е. спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга.

Отсюда следует правило: периодические сигналы порождают дискретные (линейчатые) спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).

При переходе от дискретного спектра к непрерывному ряд Фурье заменяется интегралом Фурье. Наиболее просто эта замена выполняется, если использовать запись ряда Фурье в комплексной форме (16) и (17). Интеграл Фурье для непрерывного спектра записывается

, (30)

где
(31)

Функция F (j  ) называется спектральной функцией или спектральной плотностью , которая зависит от частоты. Формулы (30) и (31) называют в совокупности односторонним преобразованием Фурье , которое является частным случаем более общего преобразования Лапласа и получается заменой в преобразовании Лапласа комплексной переменной р на j  .

Спектральную функцию можно представить как огибающую коэффициентов ряда Фурье, т.е. как предел линейчатого спектра периодической функции при Т . Функция F (j  ) может быть действительной или комплексной. Считая в общем случае
, мы получаем две частотные характеристики:
-амплитудный спектр , т.е. зависимость амплитуды спектральных составляющих от частоты, и  ( ) – фазовый спектр , т.е. закон изменения фазы спектральных составляющих сигнала от частоты. Можно показать, что амплитудный спектр – всегда четная, а фазовый спектр – всегда нечетная функция  . Спектральную функцию для многих непериодических сигналов (одиночных импульсов различной формы) наиболее легко и просто находить с помощью таблиц оригиналов и изображений в преобразовании Лапласа, которые приводятся в учебной и справочной литературе. После нахождения изображения по Лапласу F (p ) для заданной непериодической функции f (t ) , спектральная функция находится

(32)

Итак, согласно (30) непериодическая функция f (t ) представляется совокупностью бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами
во всем диапазоне частот от - до +, т.е. представление f (t ) в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование незатухающих гармонических колебаний бесконечного сплошного спектра частот.

описание лабораторной установки

Работа выполняется на блоке «Синтезатор сигнала», функциональная схема которого приведена на рис. 16.

Блок содержит генераторов Г1-Г6 шести первых гармоник сигнала. Частота первой гармоники равна 10 кГц. Гармонический сигнал с выхода n-го генератора через фазовращатель Ф n и аттенюатор А n поступает на сумматор. Фазовращателями задают начальные фазы  n гармоник, а аттенюаторами – их амплитуды А n .

На выходе сумматора в общем случае получается сумма шести гармоник сигнала

.

С выхода сумматора сигнал подается на вход Y осциллографа. Для его внешней синхронизации используется специальный импульсный сигнал, подаваемый с гнезда «Синхр.» на вход Х осциллографа. Для установки и контроля амплитуд гармоник предусмотрена возможность отключения любой из гармоник. Включив только генератор n-ой гармоники, можно установить ее амплитуду аттенюатором А n и оценить ее значения с помощью осциллографа. Каждый фазовращатель с помощью переключателя позволяет установить требуемое дискретное значение начальной фазы гармоники, либо отключить генератор.

Классификация сигналов и их параметры.

Электрические сигналы представляют собой электрические процессы, используемые для передачи или хранения информации.

Сигналы можно разделить на два больших класса: детерминированные и случайные. Детерминированными называются сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени можно предсказать с вероятностью, равной единице и которые задаются в виде некоторой определенной функции времени. Приведем несколько характерных примеров: гармонический сигнал с известной амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 а ); последовательность прямоугольных импульсов с известным периодом следования T , длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 б ); последовательность импульсов произвольной формы с известнымидлительностью t и, амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 в ). Детерминированные сигналы не содержат никакой информации.

Случайные сигналы представляют собой хаотические функции времени, значения которых заранее неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице (одиночный импульс с длительностью t и и амплитудой A (рис. 1.1 г ) речь, музыка в выражении электрических величин). К случайным сигналам относятся также шумы.

Детерминированные сигналы, в свою очередь, подразделяются на периодические, для которых выполняется условие S (t )=S (t+kT ), где T – период, k -любое целое число, а под S (t ) понимается изменяющиеся со временем ток, напряжение или заряд (рис. 1.1 а, б, в ).

Очевидно, что к непериодическим относится любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие S (t )¹S (t+kT ).

Простейшим периодическим сигналом является гармонический сигнал вида .

Любой сложный периодический сигнал можно разложить на гармонические составляющие. Ниже такое разложение будет проведено для нескольких конкретных видов сигналов.

Гармонический сигнал высокой частоты, в котором путем модуляции заложена информация, называется радиосигналом (рис. 1.1 д ).

Периодические сигналы.

Любой сложный периодический сигнал S (t )=S (t+kT ) (рис.1.2), заданный на интервале значений t от –¥ до +¥, может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов. Это представление осуществляется в виде ряда Фурье, если только заданная периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле:

1. На любом конечном интервале времени функция S (t ) должна быть непрерывна или иметь конечное число разрывов первого рода.

2. В пределах одного периода функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов.

Обычно все реальные радиотехнические сигналы удовлетворяют этим условиям. В тригонометрической форме ряд Фурье имеет вид (1.1)

где постоянная составляющая равна (1.2)

а коэффициенты a n , и b n при косинусоидальных и синусоидальных членах разложения определяются выражениями (1.3)

Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) n-ой гармоники выражаются через коэффициенты a n , и b n следующим образом (1.4)

При использовании комплексной формы записи выражение для сигнала S(t) принимает вид . Здесь коэффициенты , называемые комплексными амплитудами, равны и связаны с величинами а n и b n формулами: при n>0, и при n<0. С учётом обозначений .

Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, w, 2w, 3w …, т. е. имеет линейчатый или дискретный характер (рис.1.3). Использование рядов Фурье в сочетании с принципом суперпозици является мощным средством анализа влияния линейных систем на прохождение через них различного вида периодических сигналов.

При разложении периодической функции в ряд Фурье, следует учитывать симметрию самой функции, т. к. это позволяет упростить расчеты. В зависимости от вида симметрии представленные рядом Фурье функции могут:

1. Не иметь постоянной составляющей если площадь фигуры для положительного полупериода равна площади фигуры для отрицательного полупериода.

2. Не иметь четных гармоник и постоянной составляющей, если значения функции повторяются через половину периода с обратным знаком.

Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов при различном периоде их скважности.

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов изображена на рис. 1.4. Постоянная составляющая ряда Фурье определяется из выражения и для данного случая равна .

Амплитуда cos-составлящей а n равна

, а амплитуда sin-составляющей b n равна .

Амплитуда n -ой гармоники

Название образовательной организации:

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»

Год и место создания работы: 2016 год, цикловая комиссия естественных и общепрофессиональных дисциплин.

Методические указания к выполнению практической работы по дисциплине «Теория электросвязи»

«Расчет и построение спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов»

для студентов 2 курса специальностей:

11.02.11 Сети связи и системы коммутации

11.02.09 Многоканальные телекоммуникационные системы

очной формы обучения

Цель работы: закрепить знания, полученные на теоретических занятиях, выработать навыки расчета спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Литература: П.А. Ушаков «Цепи и сигналы электросвязи». М.: Издательский центр «Академия», 2010, с.24-27.

1. Оснащение:

1.Персональный компьютер

2.Описание практической работы

2. Теоретический материал

2.1. Периодический сигнал произвольной формы может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, это называется спектральным разложение сигналом.

2.2 . Гармониками называются колебания, частоты которых в целое число раз больше частоты следования импульсов сигнала.

2.3. Мгновенное значение напряжения периодического сигнала производной формы может быть записано следующим образом:

Где постоянная составляющая, равная среднему значению сигнала за период;

Мгновенное значение синусоидального напряжения первой гармоники;

Частота гармоники, равная частоте следования импульсов;

Амплитуда первой гармоники;

Начальная фаза колебания первой гармоники;

Мгновенное значение синусоидального напряжения второй гармоники;

Частота второй гармоники;

Амплитуда второй гармоники;

Начальная фаза колебания второй гармоники;

Мгновенное значение синусоидального напряжения третий гармоники;

Частота третий гармоники;

Амплитуда третий гармоники;

Начальная фаза колебания третий гармоники;

2.4. Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнала. На практике чаще всего используется диаграмма амплитуд

Если сигнал представлен собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов, то постоянная составляющая равна

где Um - амплитуда напряжения ПППИ

s - скважность сигнала (S - T/t);

T - период следования импульсов;

t - длительность импульсов;

Амплитуды всех гармоник определяются выражением:

Umk = 2Um | sin kπ/s | / kπ

где k - номер гармоника;

2.5. Номера гармоника, амплитуды которых равны нулю

где n - любое целое число 1,2,3…..

Номер гармоники, амплитуда которой первый раз обращается в нуль, равен скважности ПППИ

2.6. Интервал между любыми соседними спектральными линиями равен частоте первой гармоники или частоте следования импульсов.

2.7 Огибающая амплитудного спектра сигнала (на рис. 1 показанная пунктирной линией)

выделяет группы спектральных линий называемых лепестками. Согласно рис. 1 каждый лепесток огибающей спектра содержит число линий, равное скважности сигнала.

3 . П орядок выполнения работы .

3.1. Получить вариант индивидуального задания, который соответствует номеру в списке журнала группы (см. приложение).

3.2. Ознакомиться с примером расчета (см. раздел 4)

4. Пример

4.1. Пусть период следования ПППИ Т=.1мкс, длительность импульсов t=0,25 мкс, амплитуда импульса =10В.

4.2. Расчет и построение временной диаграммы ПППИ.

4.2.1 . Для построения временной диаграммы ПППИ необходимо знать период следования импульсов Т, амплитуду и длительность импульсов t, которые известны из условия задачи.

4.2.2. Для построения временной диаграммы ПППИ необходимо выбрать масштабы по осям напряжений и времени. Масштабы должны соответствовать числам 1,2 и 4, умноженным на 10 n -(где n=0,1,2,3...). Ось времени должна занимать примерно 3/4 ширины листа и на ней следует разместить 2-3 периода сигнала. Вертикальная ось напряжений должна быть равна 5-10 см. При ширине листа 20 см длинна оси времени должна равна примерно 15 см. На 15-ти см удобно разместить 3 периода, при этом на каждый период будет приходиться L 1 =5см. Так как

Mt=T/Lt=1мкс/5см= 0,2 мкс/см

Полученный результат не противоречит выше указанным условиям. На оси напряжений удобно взять масштаб Мu=2В/см (см.рис.2).

4.3.Расчет и построение спектральной диаграммы.

4.3.1.Скважность ПППИ равна

4.3.2. Так как скважность S=4, то следует рассчитывать 3лепестка, т.к. 12 гармоник.

4.3.3.Частоты гармонических составляющих равны

Где к- номер гармоники, l- период ПППИ.

4.3.4. Амплитуды составляющих ПППИ равны

4.3.5. Математическая модель ПППИ напряжения

4.3.6.Выбор масштабов.

Ось частот располагается горизонтально и при ширине листа 20см должна иметь длину около 15 см. Так как на оси частот нужно показать самую высокую частоту 12 МГц удобно взять масштаб по этой оси Mf=1MГц/см.

Ось напряжений располагается вертикально и должна иметь длину 4-5 см. Так как из оси напряжений нужно показать самое большое напряжение

Удобно взять масштаб по этой оси M=1В/см.

4.3.7.Спектральная диаграмма показана на рис.3

Задание:

T=0.75мс; τ=0.15мс 21.T=24мкс; τ=8мкс

T=1.5 мкс; τ=0.25мкс 22. T=6.4мс; τ=1.6мс

T=2.45мс; τ=0.35мс 23. T=7мс; τ=1.4мс

T=13.5мкс; τ=4.5мкс 24. T=5.4мс; τ=0.9мс

T=0.26мс; τ=0.65мкс 25. T=17.5мкс; τ=2.5мкс

Т=0.9мс; τ=150мкс 26. T=1.4мкс; τ=0.35мкс

Т=0.165мс; τ=55мкс 27. T=5.4мкс; τ=1.8мкс

Т=0.3мс; τ=75мкс 28. T=2.1мс; τ=0.3мс

Т=42.5мкс; τ=8.5мкс 29. T=3.5мс; τ=7мс

Т=0.665мс; τ=95мкс 30. T=27мкс; τ=4.5мкс

Т=12.5мкс; τ=2.5мкс 31. T=4.2мкс; τ=0.7мкс

Т=38мкс; τ=9.5мкс 32.T=28мкс; τ=7мкс

Т=0.9мкс; τ=0.3мкс 33. T=0.3мс; τ=60мкс

Т=38.5мкс; τ=5.5мкс

Т=0.21мc; τ=35мс

Т=2.25мс; τ=0.45мс

Т=39мкс; τ=6.5мкс

Т=5.95мс; τ=0.85мс

Т=48мкс; τ=16мкс

Спектральное представление временных функций широко используется в теории связи. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используется различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательности прямоугольных и радиоимпульсов и т. д. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют вычислительные сигналы в форме единичной функции и импульсной функции (функции Дирака). Определим спектры наиболее распространенных типовых сигналов.

11.1 Спектр последовательности прямоугольных импульсов

Пусть имеется периодическая последовательность импульсов прямоугольной формы периодом Т длительностью импульсов t и и амплитудой А. Аналитическое выражение функции , описывающей импульс на отрезке , имеет вид

(11.1)

График периодической последовательности импульсов изображен на рисунке 11.1.



Рисунок 11.1

Данная функция является четной, так как ее график симметричен относительно оси ординат. Тогда коэффициенты Фурье это функции вычисляются по формулам (КФТ2), где .



Число представляет собой среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей. Частоту называют основной, или первой гармоникой, а частоты k высшими гармониками, где k=2,3,4,…

Построим амплитудный спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов. Так как функция периодическая, то ее амплитудный спектр является линейчатым. Обозначим через расстояние между любыми соседними гармониками. Очевидно, оно равно . Амплитуда k-ой гармоники согласно (11.2) имеет вид

(11.3)

Найдем отношение между периодом Т и длительностью импульса , при котором амплитуда k-ой гармоники обращается в нуль.

А 2 ≈32В, А 3 ≈15В, А 4 ≈0, А 5 ≈6,36В, А 6 ≈10,5В, А 7 ≈6,36В, А 8 ≈0, А 9 ≈4,95В, А 10 ≈6,37В.

Полученный в результате расчета амплитудный спектр приведен на рисунке 11.2.



Рисунок 11.2

Такой спектр называют линейчатым или дискретным спектром.

Аналогично рассчитаны и построены спектры для q=8 и q=16. Они приведены на рисунках 11.3 и 11.4 соответственно.



Рисунок 11.3



Рисунок 11.4

Из рисунка видно, что чем больше скважность прямоугольных импульсов, тем меньше значение имеет амплитуда первой гармоники, но тем медленнее убывает спектр.

11.2 Спектр одиночного прямоугольного импульса

Рассмотрим Ф (11.1) для случая, когда Т→∞, то есть периодическая последовательность импульсов вырождается в одиночный прямоугольный импульс, длительностью t u .

Аналитическое выражение для этого импульса запишется в виде:



График этой функции изображен на рисунке 11.5.



Рисунок 11.5

В этом случае частота первой гармоники и расстояние между гармониками становится равным 0, следовательно, спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга. Такой спектр называют сплошным. Отсюда следует важнейшее правило: периодические сигналы порождают дискретные спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).

Спектр прямоугольного одиночного импульса можно найти непосредственно из прямого преобразования Фурье (10.1)

Спектральный анализ периодических сигналов

Как известно, любой сигнал S(t), описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:



где - среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала;



Коэффициенты ряда Фурье;

Основная частота (частота первой гармоники); n=1,2,3,…

Совокупность значений An и n (или при разложении по синусоидальным функциям n) называется спектром периодической функции. Амплитуды гармоник An характеризуют амплитудный спектр, а начальные фазы n (или "n) - фазовый спектр.

Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических колебаний (синусоидальных или косинусоидальных) с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.

На рис. 1. приведены амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического сигнала. Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезки, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым.

С целью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье комплексную форму его записи, коэффициенты которой объединяют коэффициенты An и n:




Совокупность комплексных амплитуд n называют комплексным спектром периодического сигнала.

Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще, поскольку нет необходимости рассматривать отдельно коэффициенты и тригонометрической формы записи ряд Фурье.

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Прежде чем рассмотреть спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, рассмотрим параметры этих импульсов.

Параметрами одиночного импульса являются амплитуда, длительность импульса, длительность фронта, длительность спада, спад (скол) плоской вершины.

Амплитуда импульса Um измеряется в вольтах.

Длительность импульса измеряется по основанию, на уровнях 0,1Um или 0,5Um. В последнем случае длительность импульса называется активной. Измеряется длительность импульса в единицах времени.

Длительность фронта tф и спада tс измеряется либо на уровне 0 - Um, либо на уровне (0,1-0,9)Um. В последнем случае длительность фронта и спада называют активными.

Скол плоской вершины характеризуется коэффициентом скола? = ?u/Um,

где?u - значение скола; Um - амплитуда импульса.

Параметрами серии импульсов являются период повторения T, частота следования f, скважность Q, коэффициент заполнения, средние значения напряжения Uср и среднее значение мощности Pср.

Период повторения T = tи +tп, где T - период, tи - длительность импульса, tп - длительность паузы. Измеряются T, tи, и tп в единицах времени.

Частота следования f = 1/T измеряется в герцах и т.д.

Скважность Q = T/tи - величина безразмерная.

Коэффициент заполнения = tи/T - величина безразмерная.

Среднее значение напряжения



Перейдем к рассмотрению амплитудного и фазового спектров сигнала в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью и амплитудой Um, следующих с периодом T (рис. 2).




Рассмотрим случай, когда середина импульса является началом отсчета времени. Тогда на периоде сигнал описывается выражением



Комплексные амплитуды гармонических составляющих.

Функция является знакопеременной и меняет свой знак на обратный при изменении аргумента n1 на величину?щ = 2р/ф, что соответствует приращению фазы на.



где k - порядковый номер интервала на шкале частот, отсчитываемый с нулевой частоты.

Таким образом, амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, определяются выражением:



а фазы - выражением =1, 2,3,…

Функция характеризует изменение амплитудного спектра сигнала в зависимости от частоты. Она обращается в нуль, при значениях её аргумента, кратных. Отсюда следует, что гармоники с номером n = , где = 1,2,3,…будут иметь нулевые амплитуды, т.е. отсутствовать в спектре.

Как известно, отношение называется скважностью последовательности импульсов. Таким образом, в спектре рассматриваемой последовательности будут отсутствовать гармоники, номера которой кратны скважности.

Если начало отсчета времени связать с началом импульса, то амплитудный спектр останется без изменений, а фазы гармоник в соответствии со свойством преобразования Фурье получат дополнительный фазовый сдвиг nщ1ф/2. В результате



Выражения для тригонометрической формы записи ряда Фурье при отсчете времени от середины и начала импульса соответственно имеют вид:




На рис. 3. приведены амплитудные и фазовые спектры рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов при скважности, равной двум.

Фазовые спектры показаны соответственно при отсчете времени от середины и начала импульса. Пунктирные линии на амплитудных спектрах характеризуют поведение модуля спектральной плотности одиночного импульса.

Выражение для значений амплитуд и фаз гармоник легко получить в виде, удобном для расчетов. Так при отсчете времени от середины импульса для скважности, равной двум, имеем