Способы сравнения отрезков. Урок "сравнение отрезков и углов"

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.

Способы сравнения двух отрезков

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.

Сравнить фигуры - значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.

Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; <; =). Например, длина отрезка АБ - 2 см, а ВГ - 8 см, записываем результат сравнения так: АБ < ВГ или ВГ > АБ.

Сравнивать фигуры можно разными способами , выбор которых зависит от возможностей или условий:

• визуальный способ;
• измерительный;
• сравнение наложением;
• сравнение в координатной сетке.

Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.

Измерение длины

Самый простой способ - измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки . Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.

Наложение друг на друга

Как происходит совмещение АБ и ВГ:

• Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков - Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
• Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или <).

Бывает так, что при наложении одного отрезка на другой ровно половина одного из них будет совмещена с другим. Точку, которая делит его на две равные части, называют серединной точкой. И если у нас есть серединная точка В, то АВ=ВБ.

Примерно так же наложением сравнивают не только прямые, но и другие геометрические фигуры, а также углы.

Можно сделать «линейку» из полоски бумаги, при этом такую линейку не нужно линовать, достаточно отметить на ней начало и конец одного из отрезков. Затем вы прикладываете импровизированную линейку ко второму, совмещая его начало с первой отметкой и, сравниваете расположение второй отметки по отношению к его концу. Таким способом можно сравнивать и довольно большие фигуры, например, расстояние между столбиками забора, но использовать при этом лучше не бумажную полоску, а веревку.

Два отрезка называются равными , если их можно совместить методом наложения. Если есть возможность приложить их друг к другу, просто посмотрите, какой из них длиннее. Но так можно сделать не всегда.

Если под рукой имеется циркуль, поставьте одну ножку циркуля в начало, а другую в конец первого отрезка. Затем не сдвигая ножки циркуля, установите одну из них в начало второго и посмотрите, если вторая ножка циркуля в точке, обозначающей конец - они равны. Если вторая ножка на самой прямой - первый отрезок меньше, если за ним - первый больше.

Сравнение в координатной сетке

Допустим, что у нас есть два отрезка, координаты которых мы знаем - а (Х1, Y1; Х2, Y2) и b (Х3, Y3; X4, Y4).

Первое, что нужно сделать - придать координатам числовые значения:

• Длина, а - Da = √((X1 - X2) ² + (Y1 - Y2) ²);
• Длина b - Db = √((X3 - X4) ² + (Y3 - Y4) ²).

Пусть X1 = -7, Y1 = 4, X2 = 3, Y2 = -4, X3 = -3, Y3 = -5, X4 = 0, Y4 = -3. Получаем:

Da = √ ((-7 - 3) ² + (4 - (-4)) ²) = √ (-10 ² + 8 ²) = √ 100 + 64 = √ 164

Db = √ ((-3 - 0) ² + (-5 - (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73

√ 164 > √ 73, значит, Da > Db.

Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.

Примеры

Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка - АБ и ВГ.

Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.

Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ< ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются - значит, они равны.

Теперь рассмотрим сравнение отрезков путем измерения. При помощи линейки вычисляем длину каждого отрезка. Например, длина AB = 2 см, а CD = 8 см. 8>2, значит, CD>AB, то есть отрезок CD длиннее AB.

На этом уроке учитель продолжит разговор о линиях и точках, расскажет, что такое отрезок, как он обозначается. Также вы узнаете о четырех способах сравнения отрезков и узнаете о единицах измерения длины. В конце урока вы вместе с учителем потренируетесь решать задачи, используя единицы измерения длины.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок и

Если заданы точка и линия, то точка либо принадлежит этой линии, либо нет. Еще говорят, что линия проходит через точку.

На рисунке 1 точка не принадлежит линии , или линия не проходит через точку . Точка принадлежит линии , или линия проходит через точку .

Рис. 1. Линия и точки: принадлежащие линии и не принадлежащие

Пусть у нас есть две точки и (рис. 2). Сколько можно провести линий, которые будут проходить через обе эти точки? Или сколькими линиями можно соединить эти две точки? Бесконечное количество.

Рис. 2. Точки и

Точки и могут обозначать два места, например дом и школу. А линии, их соединяющие, - траекторию, по которой можно пройти от дома до школы (рис. 3). Часто интересует самая короткая дорога от дома до школы, от одного места до другого, от точки до точки .

Рис. 3. Дорога от дома до школы как отрезок

Какая дорога от школы до дома самая короткая? Какая линия, соединяющая и , будем самой короткой?

Чтобы дорога оказалась самой короткой, идти от школы до дома надо по прямой. Чтобы линия, соединяющая точки, оказалась самой короткой, соединять их нужно по прямой.

Соединим и самой короткой возможной линией. Такая линия называется отрезком (рис. 4). Точки и называются концами отрезка.

Рис. 4. Точки и - концы отрезка

Обозначается сам отрезок , по именам точек - концов отрезка. Другой такой же короткой линии, соединяющей и , не существует. Если провести из в любую другую линию, она обязательно окажется длиннее. То есть существует только одна кратчайшая линия между и . Она и называется отрезком.

Если мы хотим указать на другие линии, соединяющие наши точки, например верхние или нижние, то нужно добавить еще точки, чтобы не было путаницы (рис. 5).

Рис. 5. Линии и , соединяющие точки и

Если две точки и необходимо соединить отрезком, то используется линейка. Линия, проведенная по линейке от точки до точки по линейке, и будет нужным отрезком (рис. 6). Сам отрезок будет называться . Точки и - его концами. Отрезок является кратчайшей линией, соединяющей точки и .

Рис. 6. Построение отрезка с помощью линейки

Любая точка либо принадлежит отрезку, либо не принадлежит.

Или говорят еще: «точка лежит на отрезке либо не лежит на отрезке». На рисунке точки и не принадлежат отрезку , точка принадлежит отрезку (рис. 7).

Рис. 7. Точки, принадлежащие и не принадлежащие отрезку

Сами точки и , концы отрезка, тоже принадлежат отрезку .

Посмотрим на два отрезка на рисунке 8. Что про них можно сказать? Отрезок короче отрезка (рис. 8). .

Рис. 8. Отрезки и

Как мы это поняли? Просто увидели. То есть сравнить эти два отрезка оказалось несложно.

Задача сравнения отрезков, их длины встречается в жизни достаточно часто. Например, два человека хотят выяснить, чей рост больше, кто из них выше.

1 способ: на глаз

Он подходит, если отрезки сильно отличаются и ответ однозначен.

Очевидно, что на рисунке 9 отрезок больше, длиннее, чем отрезок .

Очевидно, что папа выше сына.

Рис. 9. Сравнение роста папы и сына

Очевидно, что телебашня выше дерева на рисунке 10.

Рис. 10. Сравнение высоты телебашни и дерева

Этот способ очень прост, но может привести к ошибке.

Иногда, когда мы смотрим на картинку, то мы совершенно уверены, что понимаем, какой из двух отрезков больше. Но оказывается, что мы ошибаемся, потому что дополнительные построения вокруг отрезков обманывают зрение.

На картинке 1 нам кажется, что верхний отрезок длиннее нижнего.

Рис. 10.2. Иллюзия: кажется, что отрезки разной длины

Но это не так. В этом легко убедиться, если построить еще две линии.

Рис. 10.3. Одинаковые отрезки

Один из самых простых примеров ошибки восприятия. Какой отрезок короче на рисунке 3?

Рис. 10.4. Иллюзия: кажется, что отрезки не равны по длине

«Конечно же, первый!» - говорит наше восприятие. Но это не так. Эти отрезки одинаковые. В этом можно будет убедиться, воспользовавшись любым из остальных способов сравнения отрезков, которые мы рассматриваем на нашем сегодняшнем уроке.

Сложно поверить, что отрезки и равны. Дополнительные линии вокруг заставляют нас поверить, что отрезок намного короче отрезка на рисунке 4.

Рис. 10.5. Иллюзия: отрезки и имеют одинаковую длину

Все рассмотренные картинки являются примерами оптических иллюзий. Наберите в поисковой системе «оптические иллюзии», и вы найдете огромное количество очень интересных примеров по этой теме. Не только про сравнение отрезков.

Ну а мы с вами делаем главный вывод из этих примеров: не всегда можно доверять нашей оценке «на глаз». Нужны более точные методы сравнения отрезков.

Если бабушка хочет понять, одинаковы ли две спицы по длине, то она возьмет их вместе, зажмет в руку и несильно стукнет ими по столу, чтобы нижние края спиц оказались на одном уровне (рис. 11). По положению верхних краев она поймет, одинаковы ли спицы, если нет, то какая из них длиннее.

Рис. 11. Проверка с помощью наложения

Такой способ можно использовать, если предметы, которые мы сравниваем, можно легко приложить один к другому. Например, для сравнения роста люди встают спиной друг к другу и смотрят, чья макушка окажется выше.

Итак, метод заключается в том, что два предмета прикладывают друг к другу, совмещают концы с одной стороны и по положению других концов понимают, какой отрезок больше или, может быть, они равны.

Этот метод уже является точным, в отличие от первого. Но у него есть один серьезный недостаток. Чтобы им воспользоваться, нужно иметь возможность взять один отрезок и переместить, приложить его ко второму. Это не всегда возможно.

Ведь даже если нарисованы два отрезка, затруднительно взять один из них и приложить к другому. Если только разрезать лист, сложить части друг с другом и посмотреть на просвет.

Если один предмет мы не можем приставить к другому, то можно использовать третий, который легко совмещается с первым и вторым по очереди. Таким измерителем часто являются наши руки.

Если мы хотим понять, пройдет ли диван в дверной проем, мы руками отмечаем его ширину и, стараясь не изменить расстояние между руками, подходим к дверному проему и проверяем, хватит ли ширины дверей.

Мы можем использовать веревку, нитку, палку, чтобы сравнить длины двух предметов, которые сложно перемещать. Приложить нитку к одному предмету, потом ее же к другому. Так сразу будет понятно, какой из предметов длиннее. В математике для этой цели используются специальный измеритель, циркуль.

Нужно сравнить два отрезка и (рис. 12).

Рис. 12. Отрезки для сравнения

Совмещаем концы отрезка с иголками измерителя (рис. 13) и, не меняя раствора, сравниваем с другим отрезком (рис. 14).

Отрезок равен отрезку .

Записывается это так: .

Или может оказаться такая ситуация (рис. 15).

Рис. 15. Отрезки для сравнения

Отрезок не равен отрезку . Он равен отрезку , который является частью отрезка (рис. 16).

Рис. 16. Отрезок равен части отрезка

Отрезок меньше отрезка , так как является его частью.

Отрезок меньше отрезка , потому что равен его части.

Во всех предыдущих способах мы сравнивали отрезки, выясняли, у кого из них длина больше. Но саму длину не измеряли. Мы ее не знали.

Так, два человека могут встать друг другу спиной и выяснить, кто из них выше. Но каков рост каждого из них, они не узнают.

Последний способ, который мы сейчас рассмотрим, заключается в том, чтобы измерить длину каждого отрезка и сравнить их длины.

Так, если два человека знают, что рост одного составляет 1 м 73 см, а другого - 1 м 75 см, то понятно, что второй выше, и не нужно вставать рядом, чтобы это понять.

Длина, выраженная числом, то есть измеренная, становится очень удобным инструментом. Мы теперь эту длину можем записать, передать по телефону, запомнить.

Чтобы измерить отрезок, нужно приложить к нему линейку с нанесенной шкалой.

На рисунке 17 мы видим, что длина первого отрезка составляет 6 см, второго - 7 см.

Рис. 17. Измерение отрезков линейкой

Второй отрезок больше. Кроме того, мы теперь знаем, что второй не просто больше, а больше на 1 см.

А что если один отрезок измерял один человек, а второй - другой человек, да еще и в другом городе? Можно ли будет сравнить эти два отрезка? Да, это возможно потому, что на всех линейках нанесены одинаковые деления и не важно, какой конкретно линейкой мы пользовались. Скорее всего, на всех таких линейках мы увидим одинаковые деления - сантиметры и миллиметры.

Одна из самых часто встречающихся единиц длины - это метр.

Метр используется при измерении объектов не маленьких, но и не огромных, таких, которые можно оценить на глаз, увидеть сразу целиком: длина комнаты или двора, высота дерева или дома, расстояние от дома до школы и так далее. Сокращенно метр обозначается буквой «м». Точка, обозначающая сокращение, не нужна.

Все остальные единицы для измерения либо очень больших объектов, либо намного меньших получаются из метра.

Приставка «кило-» означает тысячу. Если перед словом метр поставить приставку «кило-», то полученное слово «километр» будет обозначать тысячу метров.

Сам километр кратко обозначается двумя буквами «км», тоже без точки для сокращения.

В километрах мы меряем большие расстояния, например расстояния между городами.

Если соединить центры Москвы и Санкт-Петербурга воображаемым отрезком (рис. 18), то его длина будет равна 635 км, или 635 000 метров.

Цели урока:

• Обучающие: ввести понятие равенства геометрических фигур; научить сравнивать отрезки и углы; ввести понятие середины отрезка и биссектрисы угла
• Развивающие: создание условий для развития умения анализировать, сравнивать, делать выводы; развитие памяти, логического мышления, культуры речи
• Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к предмету, активности и самостоятельности обучающихся; воспитывать внимательность, уверенность в своих силах.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор (работа со слайдами по программе «Презентация»), экран, тетрадь.

I. Организационный момент (Приложение 1 , слайды 1, 2)

II. Проверка домашнего задания (Приложение 1 , слайд 3)

III. Изучение нового материала

Изучение нового материала проводится в форме беседы учителя с обучающимися. Важно чтобы учитель и класс выслушали разные варианты ответов на поставленные вопросы, при этом обучающиеся сами должны выбрать какое из предложенных решений является верным.

– Как можно сравнить два прямоугольника? (Чтобы сравнить два прямоугольника, надо один прямоугольник наложить на другой, если из-за верхнего прямоугольника будет виден нижний, значит верхний прямоугольник меньше нижнего и наоборот. А если они совместятся, то данные прямоугольники равны.)

– Как сравнить два треугольника, изображенных на доске (внешне два треугольника должны быть почти равными)? (Скопировать один треугольник на прозрачный материал, например на кальку, и наложить на второй.)

– Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? (Две геометрические фигуры называются равными, если при наложении они совмещаются) (Приложение 1 , слайд 4)
– Сравните отрезки АВ и CD (Приложение 1 , слайд 5)

– На рисунке точка С – середина отрезка АВ. Что можно сказать об отрезках АС и СВ? (АС = СВ, АВ = 2АС = 2СВ) (Приложение 1 , слайд 6)

– Как сравнить два угла? (Наложить один на другой угол таким образом, чтобы у них совпали вершины и по одной стороне. Если вторая сторона угла будет проходить между сторонами второго угла, то первый угол меньше второго. Если второй угол не будет проходить между сторонами второго угла, а во внешней области второго угла, то первый угол больше второго. Если вторая сторона угла совместиться со второй стороной другого угла, то данные углы равны) (Приложение 1 , слайд 7)

Луч исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла (Приложение 1 , слайд 8)

– С помощью какого инструмента и как можно построить биссектрису данного угла? (Биссектрису угла можно построить с помощью транспортира. Для этого нужно измерить градусную меру данного угла и провести луч, исходящий из вершины этого угла так, чтобы градусные меры образовавшихся углов были равны.)

§ 1 Равенство геометрических фигур

В повседневной жизни мы нередко встречаемся с равными фигурами: два одинаковых листа бумаги, две облицовочные плитки, две одинаковые тарелки. Представим, что вы решили украсить свой походный костюм нашивкой. Для этого вы рисуете на бумаге изображение, вырезаете его, затем накладываете на материал, из которого будет нашивка, и вновь вырезаете по границе. Фигуры, вырезанные из бумаги и из материала, равны, потому что они совмещаются одна с другой. На равенстве совмещенных фигур основаны раскрой материала для шитья одежды на фабриках, штамповка плоских деталей на заводе и т.д.

Итак, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

§ 2 Сравнение отрезков и углов

Рассмотрим два отрезка АВ и СD и ответим на вопрос: равны они или нет?

Для этого наложим отрезок АВ на отрезок СD так, чтобы один конец отрезков АВ совпал с концом отрезка СD, т.е. точка А совпала с точкой С.

Если при этом два других конца совместятся, т.е. точка В совпадет с точкой D, то отрезки АВ и СDравны.

Если точка В не совпадет с точкой D, то меньшим отрезком считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке отрезок СD составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок СD меньше отрезка АВ. Пишут СD < АВ.

А теперь возьмем отрезок МN и отметим на нем точку О так, что отрезки МО и NО будут равны.

Такая точка О, которая делит отрезок пополам, т.е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Рассмотрим два неразвернутых угла АОВ и СОD.

Чтобы сравнить два неразвернутых угла, надо наложить один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если сторона ОА совместится со стороной ОС, а сторона ОВ совместится со стороной ОD, то углы АОВ и СОD равны. Если же сторона ОВ не совместится со стороной ОD, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке угол АОВ меньше угла СОD, так как угол АОВ составляет часть угла СОD.

Рассмотрим развернутый угол, т.е. угол, обе стороны которого лежат на одной прямой. Неразвернутый угол составляет часть развернутого угла, поэтому любой развернутый угол больше любого неразвернутого угла, а два развернутых угла всегда равны.

А теперь из вершины угла проведем луч так, что он будет делить этот угол на два равных угла, такой луч называется биссектрисой угла.

На рисунке луч ОС - биссектриса угла АОВ, так как этот луч исходит из вершины угла АОВ и делит этот угол на два равных угла АОС и СОВ.

§ 3 Измерение отрезков. Единицы измерения

Фигуры на практике не всегда можно совместить наложением, например, невозможно таким образом проверить, равны ли земельные участки. Поэтому приходится искать другие способы установления равенства фигур. Для сравнения, например, отрезков пользуются измерением, т.е. находят длины отрезков. Чтобы измерить отрезок, надо его сравнить с некоторым другим отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок называют еще масштабным отрезком. За единицу измерения можно взять отрезок длиной 1 мм, 1 см, 1 дм, 1м, 1 км или другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Равные отрезки имеют равные длины.

Меньший отрезок имеет меньшую длину.

Когда произвольная точка С делит отрезок АВ на два отрезка, то длина всего отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.

Длину отрезка называют также расстояниеммежду его концами.

Международной единицей измерения выбран метр, это отрезок, приближенно равный одной сорока миллионной части земного меридиана. Эталон метра хранится во Франции, а копии хранятся во всех странах, в том числе и в России. Для измерения очень больших расстояний, например, измерение расстояний между планетами солнечной системы, используют единицу измерения световой год, это путь, который свет проходит в течение одного года. В старину на Руси использовались другие единицы измерения аршин, локоть, сажень.

Для измерения расстояний пользуются различными инструментами, например, линейка, штангенциркуль, рулетка.

§ 4 Решение задачи по теме урока

Решим задачу.

Отрезок ОD длиной 28 см разделен точкой М на два отрезка. Найдите расстояние между серединами получившихся отрезков ОМ и МD.

Расстояние между серединами отрезков ОМ и МD- это расстояние между точками А и В, оно равно сумме отрезков АМ и МВ.

Точка А - середина отрезка ОМ, значит отрезки ОА и АМ равны, точка В - середина отрезка МD, значит отрезки МВ и ВD равны. Отрезок ОD равен сумме отрезков ОА, АМ, МВ, ВD. Так как отрезок ОА равен отрезку АМ, отрезок МВ равен ВD, то длина отрезка ОD равна удвоенной сумме отрезков АМ и МВ, т.е. двум отрезкам АВ.

Следовательно, длину отрезка АВ находим так: 28:2=14 см. Это искомое расстояние между серединами отрезков ОМ и МD.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Использованные изображения: