С р а в н е н и е о б ы к н о в е н н ы х д р о б е й 5 класс (декабрь) Презентацию подготовила учитель математики Харкевич О.Г.
Цели урока: ввести правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми числителями; ввести правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями; ввести правила сравнения обыкновенных правильных и неправильных дробей.
Решите задачу В классе 30 учеников. Задачу по алгебре решили всех учащихся, задачу по геометрии - , а - обе задачи. Сколько учеников решили только задачу по алгебре, только по геометрии? Сколько учеников решили обе задачи? Сколько учеников не решили ни одной задачи?
Упражнение на внимание!
Упражнение на внимание!
Математический диктант Составьте и запишите дроби по рисункам.
7. 8. проверим правильность решения поочереди выходим к доске и из лепестков ромашки выбираем правильные ответы 9.
Сравнение. Тема урока: "Сравнение дробей".
Практическое задание. На координатном луче отмечены дроби: 1-й ряд: Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми знаменателями. 2-й ряд: Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми числителями. 3-й ряд: Запишите неравенства двух дробей, одна их которых правильная, а другая неправильная. 1 0
1 группа Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.
2 группа Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше, и больше та, у которой знаменатель меньше.
3 группа Правильная дробь всегда меньше неправильной.
Физкультурная минутка - правильная дробь - несократимая дробь - несократимая дробь - правильная дробь - сократимая дробь «Да» - делаем наклоны вперед, руки на поясе. «Нет» - делаем повороты туловищем, руки за голову. - правильная дробь - сократимая дробь - неправильная дробь - правильная, несократимая дробь
Лабораторная работа Сравните и сделайте вывод. 1 вариант 2 вариант 1 1 и и и и и и > >
В ы в о д: 1 вариант 2 вариант При сравнении правильной и неправильной дробей удобно сравнивать их с 1 При сравнении двух правильных дробей удобно пользоваться сравнением этих дробей с 1 2
Первичное закрепление Сравните: 1. и и и 3. 2. - неправильная дробь - правильная дробь > Числители этих дробей одинаковые, знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй дроби >
4. и и 5. Знаменатели этих дробей одинаковые, числитель первой дроби больше, чем числитель второй дроби > Неприменимо ни одно из известных нам пока правил Какой способ сравнения применим в данном случае? Подведение итогов урока
Перефразируя Л.Н. Толстого, можно сказать, что человек подобен дроби, числитель – это хорошее, что о нём говорят и думают люди, а знаменатель – это то, что думает о себе сам. Известное правило – чем больше числитель, тем больше дробь, верно не только в математике, но и в жизни.
Задание на дом № 965 № 966 № 967 Повторить: 1) сокращение дробей; 2) приведение дробей к новому знаменателю.
Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.
Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.
Рассмотрим пример:
Сравните дроби \(\frac{7}{26}\) и \(\frac{13}{26}\).
Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:
\(\frac{7}{26} < \frac{13}{26}\)
Сравнение дробей с равными числителями.
Если у дроби одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Понять это правило можно, если привести пример из жизни. У нас есть торт. К нам в гости могут прийти 5 или 11 гостей. Если придут 5 гостей, то мы разрежем торт на 5 равных кусков, а если придут 11 гостей, то разделим на 11 равных кусков. А теперь подумайте в каком случаем на одного гостя придется кусок торта большего размера? Конечно, когда придут 5 гостей, кусок торта будет больше.
Или еще пример. У нас есть 20 конфет. Мы можем поровну раздать конфеты 4 друзьям или поровну поделить конфеты между 10 друзьями. В каком случае у каждого друга будет конфет больше? Конечно, когда мы разделим только на 4 друзей, количество конфет у каждого друга будет больше. Проверим эту задачу математически.
\(\frac{20}{4} > \frac{20}{10}\)
Если мы до решаем эти дроби, то получим числа \(\frac{20}{4} = 5\) и \(\frac{20}{10} = 2\). Получаем, что 5 > 2
В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Рассмотрим еще пример.
Сравните дроби с одинаковым числителем \(\frac{1}{17}\) и \(\frac{1}{15}\) .
Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.
\(\frac{1}{17} < \frac{1}{15}\)
Сравнение дробей с разными знаменателями и числителями.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо дроби привести к , а потом сравнить числители.
Сравните дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{5}{7}\).
Сначала найдем общий знаменатель дробей. Он будет равен числу 21.
\(\begin{align}&\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}\\\\&\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}\\\\ \end{align}\)
Потом переходим к сравнению числителей. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
\(\begin{align}&\frac{14}{21} < \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)
Сравнение .
Неправильная дробь всегда больше правильной. Потому что неправильная дробь больше 1, а правильная дробь меньше 1.
Пример:
Сравните дроби \(\frac{11}{13}\) и \(\frac{8}{7}\).
Дробь \(\frac{8}{7}\) неправильная и она больше 1.
\(1 < \frac{8}{7}\)
Дробь \(\frac{11}{13}\) правильная и она меньше 1. Сравниваем:
\(1 > \frac{11}{13}\)
Получаем, \(\frac{11}{13} < \frac{8}{7}\)
Вопросы по теме:
Как сравнить дроби с разными знаменателями?
Ответ: надо привести к общему знаменателю дроби и потом сравнить их числители.
Как сравнивать дроби?
Ответ: сначала нужно определиться к какой категории относятся дроби: у них есть общий знаменатель, у них есть общий числитель, у них нет общего знаменателя и числителя или у вас правильная и неправильная дробь. После классификации дробей применить соответствующее правило сравнения.
Что такое сравнение дробей с одинаковыми числителями?
Ответ: если у дробей одинаковые числители, та дробь больше у которой знаменатель меньше.
Пример №1:
Сравните дроби \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{13}{16}\).
Решение:
Так как нет одинаковых числителей или знаменателей, применяем правило сравнения с разными знаменателями. Нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен 96. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь \(\frac{11}{12}\) умножим на дополнительный множитель 8, а вторую дробь \(\frac{13}{16}\) умножим на 6.
\(\begin{align}&\frac{11}{12} = \frac{11 \times 8}{12 \times 8} = \frac{88}{96}\\\\&\frac{13}{16} = \frac{13 \times 6}{16 \times 6} = \frac{78}{96}\\\\ \end{align}\)
Сравниваем дроби числителями, та дробь больше у которой числитель больше.
\(\begin{align}&\frac{88}{96} > \frac{78}{96}\\\\&\frac{11}{12} > \frac{13}{16}\\\\ \end{align}\)
Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?
Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.
Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?
Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{5}{10} \).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{3}{5} \).
Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.
\(\begin{align}&\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)
Ответ: у папы результат лучше.
Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48
. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12
будет число 48:12=4
, а дополнительным множителем дроби 9/16
будет число 48:16=3
. Получаем 
и 
.
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями
: если a·d>b·c
, то , а если a·d Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом. Пример.
Сравните обыкновенные дроби 5/18
и 23/86
.
Решение.
В этом примере a=5
, b=18
, c=23
и d=86
. Вычислим произведения a·d
и b·c
. Имеем a·d=5·86=430
и b·c=18·23=414
. Так как 430>414
, то дробь 5/18
больше, чем дробь 23/86
.
Ответ:
Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей. Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями
: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше. Рассмотрим решение примера. Пример.
Сравните дроби 54/19
и 54/31
.
Решение.
Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19
дроби 54/19
меньше знаменателя 31
дроби 54/31
, то 54/19
больше 54/31
.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше
. На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли. Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5
, а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8
частей, а другой на 5
частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше? Конечно, от круга, поделенного на 5
частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую? Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:
Характеристика темы:
Данный урок в главе V “Дроби” п. 5.5. “Сравнение
дробей”. /По учебнику С.А. Козлова, А.Г. Рубин.
Математика. Учебник. 5 класс. Часть 2. Учебник для
общеобразовательных учреждений. В 2 ч. – М.:
БАЛАСС, 2011./ Учащиеся знают понятие дроби,
основное свойство дроби, сравнивать дроби с
одинаковыми числителями, с одинаковыми
знаменателями, правильные и неправильные дроби,
умеют приводить дроби к общему знаменателю. Урок
длится 90 мин. согласно блочной системе, принятой
в нашей школе. Система целей к уроку. Общие дидактическая цель: приобретение новых
знаний с использованием ранее изученного
материала, выработка умений и навыков их
применения к решению задач. Триединая дидактическая цель. Образовательный аспект: Создать условия для
актуализации и усвоения знаний осравнении
разных дробей, формирования умений применять эти
знания для сравнения дробей, с разными
знаменателями и числителями. Воспитательный аспект: Создать условия для
формирования коммуникативной культуры - умения
работать в группах, выслушивать и уважать мнения
других. Способствовать формированию умения
аккуратно вести рабочие записи. Развивающий аспект: Создать условия для
развития логического мышления, речи,
интеллектуальных умений. Развивать потребность
и навыки совместного поиска ответа на вопрос.
Формирование исследовательских умений:
способности анализировать условия задачи,
результаты опыта, формулировать выводы,
аргументировать собственную позицию,
способствовать дальнейшему росту интереса к
процессу познания. Тип урока: урок изучения нового материала. Структура урока 2. Подготовка к основному этапу занятия.
Обеспечение мотивации и принятие учащимися цели
учебно-познавательной деятельности. Определение
темы и задач в изучении нового материала, через
создание проблемной ситуации и постановки
проблемы исследования, выделение и проверка
гипотезы. 3. Усвоение новых знаний. Дать учащимся
конкретные представления об изу-чаемых фактах,
явлениях через повторение ранее изученного;
систематизация новых знаний; на основе
приобретенных знаний выработка соответствующих
умений и навыков. 4. Проверка понимания учащимися нового
материала. Установить, усвоили или нет учащиеся
связь между фактами, содержание новых понятий,
закономерности; устранить обнаруженные пробелы. 5. Закрепление нового материала.
Самостоятельная работа. Закрепить у учащихся
знания и умения, которые необходимы для перехода
учащихся на более высокий уровень
(конструктивный и творческий). Проверить
качество усвоения материала. 6. Тренировочные упражнения.
Систематизировать и устранить пробелы в знаниях
и умениях учащихся действий сложения и вычитания
со смешанными числами. 7.Подведение итогов занятия. Дать оценку
успешности достижения цели. 8. Информация о домашнем задании. Дать
информацию о домашнем задании. Дидактические задачи. Подготовка учащихся к работе на уроке. Формы организации познавательной
деятельности: общеклассная; групповая; парная. Методы обучения:
Объяснительно-иллюстративные;
частично-поисковые; проблемные. Формы реализации методов: беседа, рассказ,
фронтальный эксперимент, самостоятельная
работа. Средства обучения: наглядные, дидактические
материал. Система контроля на уроке. За достижением промежуточных и конечных
результатов: сочетание контроля учителя,
самоконтроля, взаимоконтроля. Конспект урока. 1. Организация начала занятия. 2. Подготовка к основному этапу занятия. Здравствуйте, ребята! О чем мы говорили на
последних уроках? (Об основном свойстве дроби, о
сокращении дробей, приведение дробей к общему
знаменателю) При этом дети называют правило, которое
называют. Устная фронтальная работа. 1. На слайде записаны две дроби: 2/13 и 5/9. Что можно сказать об этих дробях? (Они
несократимы. Имеют разные знаменатели и разные
числители. Дробь 2/13 меньше половины доли 1/13, а
дробь 5/9 больше половины доли 1/9). На слайде 3 вам предложены дроби, которые нужно
сгруппировать. Работа в группах. Подумайте над заданием. От
каждой группы выступающий аргументирует свое
решение. Другие группы высказывают свое решение,
не повторяясь. Сколько групп получилось и по
какому признаку? (1 гр. – одинаковые числители 2 гр. – одинаковые знаменатели 3 гр. – четные знаменатели 4 гр. – разные числители и разные знаменатели 5 гр. – нечетные знаменатели) 2. Сравните предложенные дроби. Ответ
аргументируем. Слайд 3. (Если есть интерактивная
доска, то дети выходят к доске и ставят знак
сравнения). Какой пример мы затрудняемся выполнить?
Почему? (Последний, т.к. мы незнаем как сравнивать
дроби с разными числителями и с разными
знаменателями) Значит нам надо это изучить. Какая тема
сегодняшнего урока? (Сравнение дробей. Если
обучающиеся предложат тему: “Сравнение дробей с
разными числителями и с разными знаменателями”,
то можно записать и её.) Запишем тему урока в тетрадь и наметим план
урока. (учитель записывает предложения учащихся
на доске: * научиться сравнивать любые дроби, * подготовиться к проверочной работе на эту
тему, * узнать, где это применяется) Как сравнить такие дроби? Ваши предложения?
(Взять полоски бумаги, смоделировать доли и
сравнить их) А если, дроби будут даны с большими
знаменателями? (Обратиться за помощью к учебнику) Прочитаем правило в учебнике. Запишите в
тетрадь. Или: дети могут догадаться и предложить
привести дроби к общему знаменателю. Тогда нужно
все равно обратиться к правилу в учебнике, чтобы
убедиться в правильности найденного решения. 3. Усвоение новых знаний. Поработайте в группах и составьте алгоритм
сравнения дробей. Ребята работают в группах. После определенного
времени, группы выступают с решениями. Остальные
слушают и дополняют алгоритм. Можно предложить
нарисовать (записать) полученный алгоритм на
листе формата А-3, если позволяет время. Затем
лучший вывесить на доску в кабинете. Сравним с
алгоритмом, который предлагают математики. Слайд
4. 4. Проверка понимания учащимися нового
материала. Решение номеров из учебника №№ 1, 2, 3, 4, 5.
Желающие выходят к доске, решают пример с
комментируя свое решение и с дальнейшей
самооценкой по схеме. Схема вывешена на доску или
можно показать слайд 5. 5. Самостоятельная работа. Задание
выполняется из учебника на стр. 73. Работа предлагается на два варианта. Варианты
разные по сложности. Первый вариант более легкий,
второй вариант – более сложный. Дети сам
выбирают сложность варианта. После сдачи тетрадей можно обсудить задания,
которые вызвали затруднения. Вопрос, который
появился у обучающегося, обсуждается вместе со
всеми. 6. Тренировочные упражнения. Решение тренировочных заданий на стр. 73
учебника. (Задания написаны на доске). Дети могут
работать в парах, помогая друг другу выполнять
задания. Можно самостоятельно. За выполненную
работу в конце урока учитель выставляет отметку,
проверив правильность выполнения заданий. 7. Итог урока. Подведем итоги урока. Обратимся к нашему плану
урока, который мы с вами написали в самом начале.
Выскажитесь, пожалуйста, по каждому пункту. Обратите внимание на памятку по итогу урока
(вывешена на доске или на слайде 6) 8. Информация о д/з. Обговариваем с ребятами,
что выбираем по два номера из разных уровней
сложности.Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4;
6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3
(12:
4=3
). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2
(12:
6=2
). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10)
, то и сама первая дробь меньше второй дроби.
