Статическая и динамическая ошибки регулирования определения. Статическая ошибка

Точность систем управления является важнейшим показателем их качества. Чем выше точность, тем выше качество системы. Однако предъявление повышенных требований к точности вызывает неоправданное удорожание системы, усложняет ее конструкцию. Недостаточная точность может привести к несоответствию характеристик системы условиям функционирования и необходимости ее повторной разработки. Поэтому на этапе проектирования системы должно быть проведено тщательное обоснование требуемых показателей точности.

В этом разделе рассматриваются методы определения ошибок, возникающих при работе систем управления с детерминированными входными воздействиями. Вначале анализируются ошибки систем в переходном режиме. Затем особое внимание уделено простым способам расчета ошибок систем в установившемся режиме. Будет показано, что все системы управления можно разделить по величине установившихся ошибок на системы без памяти, так называемые статические системы, и системы, обладающие памятью, – астатические системы управления.

Типовые входные воздействия

Для оценки качества работы систем управления рассматривают их поведение при некоторых типовых воздействиях. Обычно такими воздействиями служат следующие три основные вида функций:

а) ступенчатое воздействие: g(t) = , g(p) = ;

б) линейное воздействие: g(t) = t , t > 0 ; ;

в) квадратичное воздействие: /2 , t > 0 ; g(p) = .

В некоторых случаях рассматривают обобщенное полиномиальное воздействие:

Ступенчатое воздействие является одним из простейших, но именно с его помощью определяется ряд важных свойств систем управления, связанных с видом переходного процесса. Линейное и квадратичное воздействия часто бывают связаны с задачами слежения за координатами движущегося объекта. Тогда линейное воздействие соответствует движению объекта с постоянной скоростью; квадратичное - движению объекта с постоянным ускорением.

Переходные процессы при типовых воздействиях можно построить следующим образом. Пусть задана передаточная функция замкнутой системы управления W(p). Тогда

x(p) = W(p) g(p),

где g(p) – изображение соответствующего воздействия.

Например, если , то и для g(t) = g0 получим .

С помощью вычетов или по таблицам находим обратное преобразование Лапласа и получаем вид переходного процесса x(t) для заданного входного воздействия:

где Res x(p) – вычет функции x(p) в точке a.

Обычно реакция системы на ступенчатое воздействие имеет вид, показанный на рис. 21,а или рис. 21,б.

Переходный процесс, как правило, характеризуют двумя параметрами – длительностью переходного процесса (временем установления) и величиной перерегулирования.

Под временем установления tу понимают временной интервал, по истечении которого отклонение |x(t) - xуст | выходного процесса от установившегося значения xуст не превышает определенную величину, например, 0,1gо. Время установления является важным параметром САУ, позволяющим оценить ее быстродействие. Величину tу можно оценить приближенно по амплитудно-частотной характеристике системы. При заданной частоте среза . Для оценки качества системы используется также величина перерегулирования, определяемая соотношением .

В зависимости от характера собственных колебаний системы переходный процесс в ней может быть колебательным, как это показано на рис. 21, б, или плавным гладким, называемым апериодическим (рис. 21,а). Если корни характеристического уравнения системы действительны, то переходный процесс в ней апериодический. В случае комплексных корней характеристического уравнения собственные колебания устойчивой системы управления являются затухающими гармоническими и переходный процесс в системе имеет колебательный характер.

При малом запасе устойчивости САУ ее собственные колебания затухают медленно, и перерегулирование в переходном режиме получается значительным. Как следствие, величина перерегулирования может служить мерой запаса устойчивости системы. Для многих систем запас устойчивости считается достаточным, если величина перерегулирования .

Установившийся режим

При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме . В зависимости от вида воздействия и свойств системы эта ошибка может быть нулевой, постоянной или бесконечно большой величиной.

Очень важно, что величина установившейся ошибки может быть легко найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала: .

При использовании этой теоремы нужно выразить величину ошибки e (p) через g(p). Для этого рассмотрим структурную схему замкнутой системы управления (рис. 22).

Очевидно, e (p) = g(p) - x(p) = g(p) - H(p)e(p). Отсюда или e (p) = He(p)g(p) , где He(p) = называется передаточной функцией системы управления от входного воздействия g(p) к ошибке слежения e(p). Таким образом, величину установившейся ошибки можно найти с помощью следующего соотношения:

,

где He(p) = 1/(1+H(p)); g(p) - изображение типового входного воздействия.

Пример 1. Рассмотрим систему управления, в составе которой нет интеграторов, например,

.

Найдем величину установившейся ошибки при ступенчатом входном воздействии g(t) = g0, t ³ 0. В этом случае

.

Предположим теперь, что входное воздействие изменяется линейно t или .

Тогда . Соответствующие входные воздействия и переходные процессы можно представить графиками на рис. 23,а и б.

Пример 2. Рассмотрим теперь систему, содержащую один интегратор. Типичным примером может быть система сервопривода (рис. 6) с .

Для ступенчатого воздействия g(t) = g0 или g(p) = получим

.

При линейном входном воздействии

.

Такие процессы можно проиллюстрировать соответствующими кривыми на рис.24, а и б.

Пример 3. Рассмотрим систему с двумя интеграторами. Пусть, например, . При ступенчатом воздействии .

При линейном .

Наконец, если входное воздействие квадратичное g(t) = at2/2 (g(p) = a/p3), то

.

Таким образом, в системе с двумя интеграторами может осуществляться слежение за квадратичным входным воздействием при конечной величине установившейся ошибки. Например, можно следить за координатами объекта, движущегося с постоянным ускорением.

Статические и астатические системы управления

Анализ рассмотренных примеров показывает, что системы управления, содержащие интегрирующие звенья, выгодно отличаются от систем без интеграторов. По этому признаку все системы делятся на статические системы, не содержащие интегрирующих звеньев, и астатические системы, которые содержат интеграторы. Системы с одним интегратором называются системами с астатизмом первого порядка . Системы с двумя интеграторами – системами с астатизмом второго порядка и т.д.

Для статических систем даже при неизменяющемся воздействии g(t) = g0 установившаяся ошибка имеет конечную величину g(t) = g0 . В системах с астатизмом первого порядка при ступенчатом воздействии установившаяся ошибка равна нулю, но при линейно изменяющемся воздействии . Наконец, в системах с астатизмом второго порядка ненулевая установившаяся ошибка появляется только при квадратичных входных воздействиях g(t) = at2 /2 и составляет величину eуст = a/k.

Какие же физические причины лежат в основе таких свойств астатических систем управления?

Рассмотрим систему управления с астатизмом второго порядка (рис. 25)

Пусть входной сигнал системы управления изменяется линейно: t. Как было установлено, в такой системе установившаяся ошибка равна нулю, т.е. e (t) =0. Каким же образом система работает при нулевом сигнале ошибки? Если x(t) = t , то на входе второго интегратора должен быть сигнал . Действительно, при нулевом рассогласовании e (t) =0 в системе с интеграторами возможно существование ненулевого выходного сигнала первого интегратора . Первый интегратор после окончания переходного процесса «запоминает» скорость изменения входного воздействия и в дальнейшем работа системы управления осуществляется по «памяти». Таким образом, физическим объяснением такого значительного различия статических и астатических систем является наличие памяти у астатических систем управления.

Итак, существуют простые возможности определения важнейшего показателя систем управления – величины их динамических ошибок. Детальный анализ переходных процессов в системах управления обычно выполняют с помощью моделирования на ПЭВМ. Вместе с тем величины установившихся ошибок легко находятся аналитически. При этом астатические системы управления, т.е. системы с интеграторами, имеют существенно лучшие показатели качества по сравнению со статическими системами.

Оценивают по величинам статической и динамической ошибок. По этим характеристикам автоматические системы бывают статические и астатические.

Статическая ошибка - это разность величин регулируемого параметра в исходном и конечном (после окончания регулирования) состояниях равновесия системы.

Рисунок 6.17 - График регулирования астатической (а) и статической (б) САУ.

В астатической системе статическая ошибка равна нулю, т.е. система после процесса регулирования возвращается в исходное состояние равновесия. В астатических САУ конечное и исходное равновесие совпадает с заданием. Поэтому в этих САУ динамическая ошибка равна максимальному отклонению параметра в процессе регулирования (рис. 6.17а).

В статической системе в установившемся состоянии - через достаточно долгое время после начала регулирования τ, всегда имеется статическая ошибка регулирования (рис.6.17б).

Динамическая ошибка - это максимальное в процессе регулирования отклонение регулируемого параметра от конечного состояния равновесия

Δ дин = (Y вых ма x - Y вых ном).

Время регулирования - это отрезок времени Δτ с момента нанесения на замкнутую САУ возмущающего воздействия, по истечении которого отличие регулируемого параметра от конечного состояния равновесия становится равным и меньше ± 5% от заданной величины. Если заданная величина равна нулю, то ± 5% берут от величины динамической ошибки.

Перерегулирование - это динамическая ошибка, отнесённая к номинальной величине регулируемого параметра в процентах.

Перерегулирование вычисляют по формуле:

σ = (Y вых ма x - Y вых ном)100%/Y вых ном.

Степень затухания - это показатель качества, который характеризует, насколько процентов уменьшается амплитуда колебаний выходного сигнала системы за один период колебаний. Степень затухания Ψ определяется по формуле:

ψ = (Δ дин - Δ 3) 100% / Δ дин ,

где: Δ з - амплитуда колебаний третьего периода. Если Δ з = 0, то Ψ = 100%.

Обобщённый показатель качества . Для определения величины этого показателя вычисляют интеграл (площадь подынтегральной фигуры) изменения в процессе регулирования выходного сигнала системы за период времени регулирования:

t рег

J = ∫ (Δ) 2 dt.

Δ - амплитуду колебаний берут в квадрате, чтобы просуммировать как положительные, так и отрицательные отклонения выходного сигнала. Естественно, чем меньше динамическая, статическая ошибки и время регулирования, тем меньше величина интеграла J и выше качество работы САУ.

Оптимальные процессы регулирования.

На практике часто требования к качеству работы проектируемой САУ задаются не в виде величины отдельных показателей качества, а в виде требования реализации одного из трёх оптимальных процессов регулирования.

Первый из них - апериодический процесс регулирования показан на рис. 6.18а.

Регулируемый параметр после отклонения плавно возвращается к заданной величине. В этом процессе по сравнению с двумя последующими будет минимально время регулирования, но максимальна динамическая ошибка.

Второй - процесс регулирования с 20% перерегулированием условно дан на рис. 6.18б. В этом процессе по сравнению с апериодическим меньше динамическая ошибка, но больше время регулирования. Для этого процесса перерегулирование не должно превышать 20%.

Третий- процесс регулирования с минимальным интегральным показателем качества (рис. 6.18в). В этом процессе регулирования интегральный показатель качества сведён к минимуму, а из трёх рассмотренных оптимальных процессов регулирования будет минимальная динамическая ошибка, но время регулирования - максимальное.

Выбор оптимального процесса из трёх определяется видом технологического процесса объекта управления. Иногда кратковременная большая динамическая ошибка может быть очень опасна. Например, при управлении давлением пара в котле. Для такого объекта апериодический процесс не самый лучший. В некоторых случаях большое время перерегулирования может быть опасным для проведения операции - например, при выпечке хлеба, значительное повышение температуры в печи не может быть длительным.

Автоматические системы регулирования принято подразделять на статические и астатические в зависимости от того имеют ли они или не имеют отклонение или ошибку в установившемся состоянии при воздействиях, удовлетворяющих определенным условиям. Система регулирования называется статической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины так же стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. Система регулирования называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия.

Рис. 1.9 Переходные процессы в статических (1) и астатических (2) АСР.

В статической системе регулирования статическая характеристика всегда изображается наклонной линией (Рис.1.10,а).

Рис. 1.10 Статические характеристики статической и астатической АСР.

Система регулирования называется статической по отношению к управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемуся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка так же стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. Система регулирования называется астатической по отношению к управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемуся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия. Для астатических систем регулирования статическая характеристика всегда изображается прямой, параллельной оси абсцисс (Рис. 1.10,б). Следует подчеркнуть, что одна и та же система регулирования может быть астатической по отношению, например, какому-либо возмущающему воздействию и статической по отношению к управляющему воздействию и наоборот. Таковой, в частности, является автоматическая система регулирования давления свежего пара при выходе из котла.

Определение: . САУ называется статической , если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся значению, ошибка также стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. САУ называется астатической , если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся значению, ошибка стремится к нулю независимо от величины воздействия.

2.2. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ .

Математические модели систем управления включают два вида описания состояния: статическое и динамическое.

Виды статических характеристик. Режим работы систем, в котором управляемая и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется статическим (установившимся) и описывается уравнениями зависимости выходного состояния объекта управления от постоянных (независимых от времени) значений управляющих воздействий u и любых других дестабилизирующих факторов f. Уравнения этой зависимости вида y = F(u,f) называются уравнениями статики систем. Соответствующие им графики называются статическими характеристиками.

Рис. 2.2.1. Статическая характеристика САУ.

Статическая характеристика звена с одним входом u может быть представлена кривой y = F(u). Если звено имеет второй вход по возмущению f, то статическая характеристика задается семейством кривых y = F(u) при различных значениях f, или y = F(f) при различных u (рис. 2.2.1).

Примером функционального звена системы регулирования уровня воды в баке может быть обычный рычаг с поплавком. Уравнение статики для него имеет вид y = K u. Функцией звена является усиление (или ослабление) входного сигнала в K раз. Коэффициент K = y/u, равный отношению выходной величины к входной, называется коэффициентом усиления звена . Если входная и выходная величины имеют разную природу, его называют коэффициентом передачи . Звенья с линейными статическими характеристиками называются линейными . Статические характеристики реальных звеньев систем, как правило, нелинейные. Для них характерна зависимость коэффициента передачи от величины входного сигнала: K=Dy/Du ≠ const, которая может быть выражена какой-либо математической зависимостью, задаваться таблично или графически. Если все звенья системы линейные, то система имеет линейную статическую характеристику. Если хотя бы одно звено нелинейное, то система нелинейная .

Рис. 2.2.2.

Статическое и астатическое регулирование. Если на управляемый процесс действует возмущение (дестабилизирующий фактор) f, то значение имеет статическая характеристика системы в форме y = F(f) при y 0 = const. Возможны два характерных вида этих характеристик (рис. 2.2.2). В соответствии с тем, какая из двух характеристик свойственна данной системе, различают статическое и астатическое регулирование .

Рассмотрим систему регулирования уровня воды в баке. Возмущающим фактором системы является поток Q воды из бака. Пусть при Q = 0 имеем y = y 0 , сигнал рассогласования по заданному уровню воды e = 0. Звено управления Р системы (регулятор) настраивается так, чтобы вода при этом в бак не поступала. При Q ≠ 0, уровень воды понижается (e ≠ 0), поплавок опускается и открывает заслонку, в бак начинает поступать вода. Новое состояние равновесия достигается при равенстве входящего и выходящего потоков воды. Следовательно, при Q ≠ 0 заслонка должна быть обязательно открыта, что возможно только при каком-то новом уровне воды y 1 , при котором e = К (y 0 -y 1) ≠ 0. Причем, чем больше Q, тем при больших значениях e устанавливается новое равновесное состояние. Статическая характеристика системы имеет характерный наклон (рис. 2.2.2б).

Статические регуляторы работают при обязательном отклонении e регулируемой величины y от требуемого значения у 0 . Это отклонение тем больше, чем больше возмущение f, и называется статической ошибкой регулятора . Чем больше коэффициент передачи К регулятора, тем на большую величину будет открываться заслонка при одних и тех же значениях e, обеспечивая большую величину потока Q, при этом статическая характеристика системы пойдет более полого. Поэтому для уменьшения статической ошибки надо увеличивать коэффициент передачи регулятора. Этот параметр регулирования получил название статизма d и равен тангенсу угла a наклона статической характеристики, построенной в относительных единицах:

d = tg(a) = (Dy/y н) / (Df/f н),

где y н, f н - точка номинального режима системы. При достаточно больших значениях К имеем d » 1/K.

Астатический регулятор применяется, если статическая ошибка регулирования недопустима и регулируемая величина должна поддерживать постоянное требуемое значение независимо от величины возмущающего фактора. Статическая характеристика астатической системы не имеет наклона. Для того чтобы получить астатическое регулирование, необходимо в регулятор включить астатическое звено. Астатическое звено отличается тем, что каждому значению входной величины может соответствовать множество значений выходной величины. Так, для регулирования уровня воды в астатическом режиме может быть применен импульсный двигатель. Если уровень воды понизится, то появившееся значение e > 0 включит импульсный двигатель и он начнет открывать заслонку до тех пор, пока значение e не станет равным нулю (по определенному порогу). При поднятии уровня воды значение e сменит знак, и запустит двигатель в противоположную сторону, опуская заслонку.

Астатические регуляторы не имеют статической ошибки, но они инерционны, сложны конструктивно и более дороги.

Обеспечение требуемой статической точности регулирования является первой основной задачей при расчете элементов системы управления.

Статическая система - это такая система автоматического регулирования, в которой ошибка регулирования стремится к постоянному значению при входном воздействии, стремящемся к некоторому постоянному значению. Иными словами статическая система не может обеспечить постоянства управляемого параметра при переменной нагрузке.

Зависимость между значением управляемого параметра и величиной внешнего воздействия (нагрузкой) на объект управления. По виду зависимости между значением управляемого параметра и нагрузкой системы делят на статические и динамические. Зависимость динамической ошибки (q) от времени (t) для систем в установившемся режиме имеет вид q(t) = x(t) - y(t), где x(t) - сигнал управления, y(t) - выходная характеристика.

При установившихся значениях сигнала управления и выходной характеристики ошибка системы q(уст) = x(уст) - y(уст). В зависимости от значения q(уст) и определяют тип системы.

Точность регулирования

Точность в установившемся режиме

Качество работы любой системы регулирования в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым (заданным) и действительным (фактическим) значениями регулируемой величины. В следящих системах, в частности, совпадает с командой . Величина мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы системы позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Ошибки регулирования можно разделить на статические и динамические, т.е. соответствующие установившемуся (статическому) и переходному (динамическому) режимам. В данном разделе речь пойдет об ошибке установившегося режима.

Теорема о конечном значении оригинала

Для определения величины ошибки в установившемся режиме можно воспользоваться теоремой о конечном значении оригинала:

Согласно этой теореме установившемуся режиму () по Лапласу соответствует , а по Фурье - круговая частота .

Пример 2.8.1. Оценим величину ошибок от управляющего и возмущающих воздействий, приложенных в различных точках схемы рис.2.8.1. На схеме - передаточная функция регулятора; - передаточная функция объекта; - возмущение, приложенное к объекту; - возмущение, приложенное к регулятору.

Любому чувствительному элементу присущи свои ошибки. Ошибку чувствительного элемента можно рассматривать как некоторое возмущающее воздействие, которое отнесем к . Воспользовавшись принципом суперпозиции (наложения), изображение реакции найдем как сумму реакций на все входные сигналы. В результате для изображения ошибки получим

Здесь - изображение ошибки от команды;

Изображение ошибки от помехи на входе регулятора;

Изображение ошибки от помехи на входе объекта.

Передаточные функции для ошибок равны

; ;.

Таким образом, общая ошибка является суммой составляющих ошибки от команды и помех. При этом в случае статического регулятора и объекта с коэффициентами усиления , и постоянных входных воздействиях , и по теореме о конечном значении оригинала (2.8.1) получим

– статическая ошибка от входного сигнала;

- статическая ошибка от погрешности чувствительного элемента (или возмущения на входе регулятора);

- статическая ошибка от возмущающего воздействия на входе объекта регулирования (выходе регулятора).

Чтобы ошибка от команды была маленькой, надо взять . В этом случае ; . То есть помеха на входе системы переходит в ошибку (с противоположным знаком), помеха на входе объекта уменьшается в раз. Очевидно, что нельзя уменьшить за счет выбора коэффициента усиления (методами теории автоматического регулирования). Для уменьшения ошибки надо уменьшить величину возмущающего воздействия. Ошибку можно уменьшить за счет увеличения коэффициента усиления регулятора, т.е. части схемы до точки приложения возмущения.

Коэффициенты ошибок

Метод может применяться как для управляющего, так и для возмущающих воздействий. В конкретном случае необходимо использовать передаточную функцию по соответствующему воздействию. Поэтому ограничимся только случаем управляющего воздействия.

Если функция времени имеет произвольную форму, но достаточно плавную, так что вдали от начальной точки существенное значение имеет только конечное число производных ; ;…; , то ошибку системы можно определить следующим образом. Пусть

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд Тейлора (по возрастающим степеням комплексной величины) в окрестности . Тогда

Степенной ряд сходится при малых значениях, т.е. при достаточно больших значениях времени , что согласно теореме о конечном значении оригинала соответствует установившемуся режиму. Коэффициенты ряда Тейлора можно определить по формуле . (2.8.5)

Переходя от (2.8.4) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки . (2.8.6)

Таким образом, ошибка установившегося режима выражена через входной сигнал и его производные, а также через коэффициенты , которые в связи с этим называются коэффициентами ошибок .

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то производные для (2.8.4) вычислять сложно и коэффициенты ошибок более просто получить делением числителя на знаменатель младшими степенями вперед и сравнением получающегося ряда с выражением в (2.8.3).

Пример 2.8.2 . Найти ошибку установившегося режима от команды для системы рис.2.8.1, у которой .

Имеем передаточную функцию для ошибки .

Делим числитель на знаменатель, начиная с младших степеней переменной :

Теперь сравниваем результат деления с рядом в общем виде. В результате деления нет свободного члена и поэтому . Имеем также ; и т.д.

Пусть . Тогда по (2.7.4) найдем

Пусть , т.е. команда изменяется по линейному закону (с постоянной скоростью). Тогда по (2.8.4) найдем

Порядок астатизма системы

Обобщая предыдущий пример, можно заметить, что в системе с астатизмом порядка первые коэффициентов ошибок равны нулю. Если сигнал является полиномом степени , то первые слагаемых в (2.8.6) обращаются в нуль за счет нулевых коэффициентов ошибок, а следующие – за счет нулевых производных. Если сигнал представляет собой полином степени , то ()-е слагаемое не равно нулю.

В последнем примере имели систему с астатизмом первого порядка. В случае сигнала – полинома нулевой степени (константа) ошибка была равна нулю. В случае сигнала – полинома первой степени ошибка не равна нулю.

Не трудно заметить, что порядок астатизма связан с количеством интегрирующих звеньев в системе. Если бы их было , то младший член числителя передаточной функции по ошибке содержал бы и при делении числителя передаточной функции на знаменатель младший член результата также содержал

Соответственно первые коэффициентов ошибок были бы равны нулю.

Таким образом, для повышения точности желательно увеличивать порядок астатизма, т.е. количество интегрирующих звеньев в системе. Однако это трудно сделать по двум причинам. Во-первых, набор аналоговых интегрирующих звеньев ограничен. Это двигатели (электрические, гидравлические и т.д.). Включать в систему несколько двигателей несуразно. Во-вторых, интегрирующее звено вносит отставание по фазе (- на всех частотах), что приводит к потере устойчивости. Поэтому одновременно приходится вводить корректирующие звенья. Этого можно избежать за счет включения интегрирующего звена параллельно основному тракту прохождения сигнала. В этом случае передаточная функция равна , где регулирования характеризует быстродействие системы. Рис. 1 2. Величина...

Входной сигнал x (t )= X = const и изображением его является. В соответствии с (1.56) статическую ошибкуε СТ следует вычислять по формуле

(1.57)

1). Пусть в (1.57) значение порядка ν астатизма САУ равно нулю:ν=0 . Такая САУ называется статической. Тогда статическая ошибкаε СТ будет равна

В статической САУ имеется статическая ошибка ε СТ , которую можно только уменьшить путем увеличения общего коэффициента усиленияК разомкнутой САУ, но обратить в ноль ее нельзя.

2). Пусть в (1.57) значение порядка ν астатизма САУ равно 1:ν=1 . Такая САУ называется астатической 1-го порядка. Тогда статическая ошибкаε СТ будет равна

В астатической САУ 1-го порядка статическая ошибка ε СТ равна нулю, т.е САУ является абсолютно точной. Можно проверить, что при астатизме САУ выше1 , статическая ошибка регулирования всегда будет нулевой.

Расчеты скоростной ошибки εСт регулирования

Входной сигнал x (t )= Vt и изображением его является
. В соответствии с (1.56) скоростную ошибкуε СК следует вычислять по формуле

(1.58)

1). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно нулю:ν=0 . Такая САУ называется статической. Тогда скоростная ошибкаε СК будет равна

В статической САУ скоростная ошибка ε СК бесконечно большая и, поэтому, такая САУ неработоспособна.

2). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно 1:ν=1 . Такая САУ называется астатической 1-го порядка. Тогда скоростная ошибкаε СК будет равна

В астатической САУ 1-го порядка имеется скоростная ошибка ε СК , которую можно только уменьшить путем увеличения общего коэффициента усиленияК разомкнутой САУ, но обратить в ноль ее нельзя.

3). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно 2:ν=2 . Такая САУ называется астатической 2-го порядка. Тогда скоростная ошибкаε СК будет равна

В астатической САУ 2-го порядка скоростная ошибка ε СК равна нулю, т.е САУ является абсолютно точной.

Выводы по расчетам статической и скоростной ошибок регулирования:

1. Ошибки регулирования могут быть уменьшены путем увеличения общего коэффициента усиления К и порядка астатизмаν разомкнутой САУ.

2. При увеличении К ошибки регулирования только уменьшаются. но не обращаются в ноль.

3. При увеличении ν САУ становится абсолютно точной - ошибка регулирования становится нулевой.

Косвенные показатели качества САУ и их связь с прямыми показателями качества. Использование ЛАЧХ для оценки качества САУ

Невозможность получения формул для расчета динамических показателей качества (рис.1.42), а также требования задач синтеза САУ, обусловило разработки комплексных показателей качества. Косвенные показатели качества, в большинстве своем, являются частотными, которые определяются из ЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ. Косвенные показатели качества должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Косвенные показатели должны просто вычисляться или определяться из частотных характеристик разомкнутой САУ.

2. Погрешность определения значений прямых показателей качества через значения косвенных показателей качества должна быть мала.

3. Косвенные показатели должны быть приспособлены для эффективного решения задач синтеза САУ.

4
. Косвенные показатели должны давать возможность просто анализировать влияние параметров настроек регуляторов САУ и характеристик любых других звеньев САУ на прямые показатели качества.

Косвенных показателей качества или их наборов разработано достаточно много. Каждый косвенный показатель качества или их набор вводятся для эффективного решения конкретных типов задач автоматического управления и, поэтому, универсальных косвенных показателей качества не существует в принципе. По сути, косвенные показатели упрощают анализ и синтез САУ, но прямые показатели качества определяются через косвенные всегда неточно.

Прежде всего рассмотрим набор косвенных показателей качества, полученных из построений Найквиста (см. тему 1.12): частоту среза ω СР и запас по фазеγ . Частота срезаω СР просто определяется из ЛАЧХ (рис.1.41). Запас по фазеγ рассчитывается по выражению ФЧХφ (ω ) только при одном значении частотыω СР :γ=φ (ω СР ).

Основой применения косвенных показателей качества - частоты среза ω СР и запаса по фазеγ - являются графические зависимости (рис.14.1) между косвенными и прямыми показателями качества - перерегулированиемσ , временем первой установкиt 1 и временем переходного процессаt ПП .

По оси ординат отложены значения перерегулирования σ , в процентах от установившегося значенияh ycm (рис.1.42). По оси временt 1 иt ПП записаны формулы, по которым рассчитываютсяt 1 иt ПП в зависимости от частоты срезаω СР . Если из частотных характеристик определены значения запаса по фазеγ и частоты срезаω СР , то по графикам можно определить значения перерегулированияσ , времени первой установкиt 1 и времени переходного процессаt ПП . Например, пусть заданы значенияγ=30 о иω СР =1,5 с -1 . Тогда, согласно приведенным на рис.1.44 построениям, получим:

σ=19 %,

Найденные значения σ, t 1 иt ПП не являются точными. Этот факт, отражен на рис.1.44 как "размытость" графиков.

По этим значениям σ ,t 1 иt ПП можно построить примерный график переходного процесса (рис.1.45). Как принято, косвенные показатели качества выбираются такими, чтобы найденные с их помощью оценки прямых показателей качества имели бы погрешность не более 10 %. Это вполне приемлемо в инженерной практике.

Графические зависимости между косвенными γ иω СР и прямымиσ ,t 1 иt ПП показателями качества САУ, приведенные на рис.1.44, можно описать в виде следующих зависимостей пропорционального типа

Важная в практике эксплуатации САУ задача определения влияния типовых законов регулирования (пропорционального, интегрального и дифференциального) на прямые показатели качества чрезвычайно эффективно решается с помощью введенных косвенных показателей γ иω СР .

Ч
астотный метод синтеза следящей САУ (см. тему 1.23) основан на использовании косвенного показателя качества – показателя колебательностиМ . Показателем колебательностиМ называется величина, численно равная максимуму нормированной АЧХ (рис.1.46). По значению показателя колебательностиМ можно оценить величину перерегулированияσ (рис.1.47).

Значение показателя колебательности М может быть найдено графически, без вычислений АЧХ, при использовании только годографа частотной характеристикиW раз (p ) и, соответственно, ЛАЧХ разомкнутой САУ. Именно такие построения положены в основу расчета среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ при упомянутом выше частотном синтезе следящей САУ.

Требования

САУ рулевого устройства.

привод должен обеспечивать перекладку от -35˚ до +30˚ за 28с.

При полном ходе в течение 1 часа привод должен обеспечить 350 перекладок.

Посты управления должны снабжаться аксиометрами с точностью до 1º в ДП и 1,5º при α = ± 5º. При больших углах ± 2,5º

Требования к СЭЭС:

А) статические требования:

Ошибка регулирования частоты- менее 5%

Ошибка регулирования напряжения – от -10 до +6%

Неравномерность распределения нагрузки параллельно работающих генераторов: не более 10% от мощности наибольшего генератора или не более 25% от мощности наименьшего генератора. Из двух вариантов или выбирается меньший.

Б) динамические показатели

Заброс/провал частоты – не более 10% в течение 5сек

Заброс/провал напряжения – не более 20% в течение 1,5сек

Требования ДАУ ГД

Регулятор частоты должен быть всережимным, допустимая регулировка частоты в пределах от 40 до 115%

Не должно быть временной задержки между перемещением рукоятки на мостике и началом разворота лопастей и частоты вращения дизеля

Точность поддержания частоты не хуже 1,5%

Должно быть реализовано несколько постов управления ГД и ВРШ, а именно с разных постов, при наборе и сбросе хода, при реверсе, при управлении ВГ, когда он включен в судовую сеть

Пуск реверсивной характеристики ГД должны быть соизмеримы с квалифицированным ручным управлением

Перечислите типовые позиционные, интегрирующие и дифференцирующие звенья САУ и приведите их примеры из судовых систем автоматики. Укажите передаточные функции и переходные характеристики этих звеньев.

Виды типовых позиционных звеньев:

1. Безинерционное (пропорциональное) звено имеет передаточную функцию и описывается алгебраическим уравнением, соответственно, вида W (p )= k , y = kx

Примерами безинерционных звеньев служат рычажная передача (рис.1.10а), потенциометрический датчик перемещения (рис.1.10б).

В этих звеньях выходной сигнал у повторяет без задержки по форме входной сигналх .

Выражение переходного процесса y = kx

2. Апериодическое (инерционное) звено 1-го порядка имеет передаточную функцию и описывается уравнением вида

где k , Т - коэффициент передачи и постоянная времени звена.

Примерами этого звена служат интегрирующая RC - цепь (рис.1.11а), "электродвигатель, обмотки которого разогреваются во время работы (рис.1.11б).

Выполним вывод передаточной функции для RC - цепи. Используя закон Ома, получим

Переходный процесс описывается выражением

где вместо x =1(t ) , как должно быть для переходного процесса, принято фактическое значение сигналаx , благодаря чему рассчитывается реакция звена на скачок произвольной величины.

График переходного процесса приведён на рис.1.11в. Установившееся значение y уст , равноеkx , достигается на бесконечности:t  . Время переходного процессаt пп , определяемое по моменту окончательного вхождения графика в 5% зону допуска оту уст , составляет3 T . Звено обладаетсамовыравниванием . Свойство самовыравнивания состоит в том, что звено самостоятельно без применения дополнительного регулирования приходит к постоянному по величине установившемуся значению.

3
. Инерционное звено 2-го порядка имеет передаточную функцию

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет действительные корни.

Примерами этого звена служит RLC -цепь (рис.1.13а) при большом сопротивленииR резистора
, электропривод, приводящий во вращение нагрузку с большим моментом инерцииJ (рис.6.4б).

Переходный процесс описывается выражением

где с 1 и с 2 - постоянные интегрирования.

Г
рафик переходного процесса (рис.1.14а) имеет точку перегиба. Время переходного процессаt пп можно определить только графически.

4. Колебательное звено имеет передаточную функцию

где T - период свободных (незатухающих) колебаний;

ξ - параметр затухания, принимающий значения0< ξ <1.

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни.

Примерами этого звена служит RLC -цепь (рис.1.13а) при малом сопротивленииR резистора
, электропривод, приводящий во вращение нагрузку с малым моментом инерцииJ (рис.1.13б). Переходный процесс описывается выражением

где
- резонансная частота с учётом затухания колебаний.

График переходного процесса приведён на рис.1.14б. Чем меньше значение параметра ξ , тем медленнее затухает переходный процесс. Время переходного процесса можно определить только графически.