Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны

и уравнения отраженной волны

Отраженная волна движется в направлении, противоположном падающей волне, поэтому расстояние х берем со знаком минус. Смещение точки, которая участвует одновременно в двух колебаниях, равно алгебраической сумме . После несложных преобразований, получаем

не зависит от времени и определяет амплитуду любой точки с координатой х. Каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т. Амплитуда А ст для каждой точки вполне определена. Но при переходе от одной точки волны к другой она изменяется в зависимости от расстояния х. Если придавать х значения, равные и т.д., то при подстановке в уравнение (8.16) получим . Следовательно, указанные точки волны остаются в покое, т.к. амплитуды их колебаний равны нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания происходят с максимальной амплитудой, называются пучностями. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называются длиной стоячей волны и равно

где λ - длина бегущей волны.

В стоячей волне все точки среды, в которой они распространяются, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе. Точки среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе -фазы их отличаются на π. т.е. при переходе через узел фаза колебаний скачкообразно меняется на π. В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии вследствие того, что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в прямом и в противоположном направлениях. В том случае, когда волна отражается от среды более плотной, чем та среда, где распространяется волна, в месте отражения возникает узел, фаза изменяется на противоположную. При этом говорят, что происходит потеря половины волны. Когда волна отражается от среды менее плотной в месте отражения, появляется кучность, и потери половины волны нет.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. (Более строгое определение когерентности будет дано в § 120.) При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, Дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета так, чтобы разность , стала равной нулю, а начало отсчета - так, чтобы оказалась равной нулю сумма Кроме того, заменим волновое число k его значением

Тогда уравнение (99.1) примет вид

Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей:

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.5).

Из формул (99.4) и (99.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (99.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия.

Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (99.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды :

Уравнение (99.6) описывает стоячую волну скорости, а (99.7) - стоячую волну деформации.

На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время как достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот.

Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Стоячие волны. 6.1 Стоячие волны в упругой среде

6.1 Стоячие волны в упругой среде

Согласно принципу суперпозиции, при распростране-нии в упругой среде одновременно нескольких волн воз-никает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды являются векторной сум-мой колебаний, которые совершали бы частицы при рас-пространении каждой из волн в отдельности.

Волны, создающие колебания среды, разности фаз меж-ду которыми в каждой точке пространства постоянны, на-зываются когерентными .

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что в одних точ-ках пространства волны усиливают друг друга, а в других точках – ослабляют. Важный случай интерференции наб-людается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой . Возникающие при этом колебания называют стоячей волной . Чаще все-го стоячие волны возникают при отражении бегущей вол-ны от преграды. При этом падающая волна и отраженная навстречу ей волна при сложении дают стоячую волну.

Получим уравнение стоячей волны. Возьмем две плос-кие гармонические волны, распространяющиеся навстечу друг другу вдоль оси X и имеющие одинаковую частоту и амплитуду :

где – фаза колебаний точек среды при про-хождении первой волны;

– фаза колебаний точек среды при про-хождении второй волны.

Разность фаз в каждой точке на оси X не будет зави-сеть от времени, т.е. будет постоянной:

Следовательно, обе волны будут когерентными.

Возникшее в результате сложения рассматриваемых волн колебание частиц среды будет следующим:

Преобразуем сумму косинусов углов по правилу (4.4) и получим:

Перегруппировав множители, получим:

Для упрощения выражения выберем начало отсчета так, чтобы разность фаз и начало отсчета времени , чтобы и сумма фаз была равна нулю: .

Тогда уравнение для суммы волн примет вид:

Уравнение (6.6) называется уравнением стоячей вол-ны . Из него видно, что частота стоячей волны равна частоте бегущей волны, а амплитуда, в отличие от бегу-щей волны, зависит от расстояния от начала отсчета :

. (6.7)

С учетом (6.7) уравнение стоячей волны принимает вид:

. (6.8)

Таким образом, точки среды колеблются с частотой , совпадающей с частотой бегущей волны, и амплитудой a , зависящей от положения точки на оси X . Соответственно, амплитуда изменяется по закону косинуса и имеет свои максимумы и минимумы (рис. 6.1).

Для того, чтобы наглядно представить расположение минимумов и максимумов амплитуды заменим, согласно (5.29), волновое число его значением:

Тогда выражение (6.7) для амплитуды примет вид

(6.10)

Отсюда становится видно, что амплитуда смещения мак-симальна при , т.е. в точках, координата кото-рых удовлетворяет условию:

, (6.11)

где

Отсюда получаем координаты точек, где амплитуда сме-щения максимальна:

; (6.12)

Точки, где амплитуда колебаний среды максимальна, называются пучностями волны .

Амплитуда волны равна нулю в точках, где . Координата таких точек, называемых узлами волны , удов-летворяет условию:

, (6.13)

где

Из (6.13) видно, что координаты узлов имеют зна-чения:

, (6.14)

На рис. 6.2 показан примерный вид стоячей волны, от-мечено расположение узлов и пучностей. Видно, что со-седние узлы и пучности смещения отстоят друг от друга на одно и то же расстояние.

Найдем расстояние между соседними пучностями и уз-лами. Из (6.12) получаем расстояние между пучностями:

(6.15)

Расстояние между узлами получаем из (6.14):

(6.16)

Из полученных соотношений (6.15) и (6.16) видно, что расстояние между соседними узлами, как и между сосед-ними пучностями, постоянно и равно ; узлы и пуч-ности сдвинуты относительно друг друга на (рис. 6.3).

Из определения длины волны можно записать выра-жение для длины стоячей волны: она равна половине дли-ны бегущей волны:

Запишем, с учетом (6.17), выражения для координат уз-лов и пучностей:

, (6.18)

, (6.19)

Множитель , определяющий амплитуду стоя-чей волны, меняет свой знак при переходе через нулевое значение, вследствие чего фаза колебаний по разные сто-роны от узла отличается на . Следовательно, все точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в про-тивофазе. Все точки, находящиеся между соседними уз-лами, колеблются синфазно.

Узлы условно разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются незави-симо. Никакой передачи движения между областями нет, и, значит, перетекания энергии между областями нет. То есть нет передачи возмущения вдоль оси . Поэтому волна называется стоячей.

Итак, стоячая волна образуется из двух противополож-но направленных бегущих волн равных частот и амп-литуд. Векторы Умова каждой из этих волн равны по мо-дулю и противоположны при направлению, и при сложе-нии дают ноль. Следовательно, стоячая волна энергии не переносит.

6.2 Примеры стоячих волн

6.2.1 Стоячая волна в струне

Расмотрим струну длиной L , закрепленную с обоих кон-цов (рис. 6.4).

Расположим вдоль струны ось X таким образом, чтобы левый конец струны имел координату x=0 , а правый – x=L . В струне возникают колебания, описываемые урав-нением:

Запишем граничные условия для рассматриваемой стру-ны. Поскольку её концы закреплены, то в точках с коор-динатами x=0 и x=L колебаний нет:

(6.22)

Найдем уравнение колебаний струны исходя из запи-санных граничных условий. Запишем уравнение (6.20) для левого конца струны с учетом (6.21):

Соотношение (6.23) выполняется для любого времени t в двух случаях:

1. . Это возможно в том случае, если коле-бания в струне отсутствуют (). Данный случай инте-реса не представляет, и мы его рассматривать не будем.

2. . Здесь фаза . Этот случай и позволит нам получить уравнение колебаний струны.

Подставим полученное значение фазы в граничное условие (6.22) для правого конца струны:

. (6.25)

Учитывая, что

, (6.26)

из (6.25) получим:

Снова возникают два случая, при которых выполняется соотношение (6.27). Случай, когда колебания в струне от-сутствуют (), мы рассматривать не будем.

Во втором случае должно выполняться равенство:

а это возможно, только когда аргумент синуса кратен це-лому числу :

Значение мы отбрасываем, т.к. при этом , а это означало бы или нулевую длину струны (L=0 ) или вол-новое число k=0 . Учитывая связь (6.9) между волновым числом и длиной волны видно, что для того, чтобы вол-новое число равнялось бы нулю, длина волны должна бы быть бесконечной, а это означало бы отсутствие колебаний.

Из (6.28) видно, что волновое число при колебаниях струны, закрепленной с обоих концов, может принимать только определенные дискретные значения:

Учитывая (6.9), запишем (6.30) в виде:

откуда волучаем выражение для возможных длин волн в струне:

Другими словами, на длине струны L должно уклады-ваться целое число n полуволн:

Соответствующие частоты колебаний можно опреде-лить из (5.7):

Здесь – фазовая скорость волны, зависящая, соглас-но (5.102), от линейной плотности струны и силы на-тяжения струны :

Подставив (6.34) в (6.33), получим выражение, описы-вающее возможные частоты колебаний струны:

, (6.36)

Частоты называют собственными частотами стру-ны. Частоту (при n = 1):

(6.37)

называют основной частотой (или основным тоном ) струны. Частоты, определяемые при n>1 называются обертонами или гармониками . Номер гармоники равен n-1 . Например, частота :

соответствует первой гармонике, а частота :

сответствует второй гармонике, и т.д. Поскольку струну можно представить в виде дискретной системы с беско-нечным числом степеней свободы, то каждая гармоника является модой колебаний струны. В общем случае коле-бания струны представляют собой суперпозицию мод.

Каждой гармонике соответствует своя длина волны. Для основного тона (при n= 1) длина волны:

соответственно для первой и второй гармоники (при n= 2 и n= 3) длины волн будут:

На рис.6.5 показан вид нескольких мод колебаний, осуществляемых струной.

Таким образом, струна с закрепленными концами реа-лизует в рамках классической физики исключительный случай – дискретный спектр частоты колебаний (или длин волн). Таким же образом ведет себя упругий стер-жень с одним или обоими зажатыми концами и колебания воздушного столба в трубах, что и будет рассмотрено в последующих разделах.

6.2.2 Влияние начальных условий на движение

непрерывной струны. Фурье-анализ

Колебания струны с зажатыми концами помимо дис-кретного спектра частот колебаний обладают еще одним важным свойством: конкретная форма колебаний струны зависит от способа возбуждения колебаний, т.е. от на-чальных условий. Рассмотрим подробней.

Уравнение (6.20), описывающее одну моду стоячей вол-ны в струне, является частным решением дифференциаль-ного волнового уравнения (5.61). Поскольку колебание стру-ны складывается из всех возможных мод (для струны – бес-конечное количество), то и общее решение волнового уравнения (5.61) складывается из бесконечного числа частных решений:

, (6.43)

где i – номер моды колебаний. Выражение (6.43) записа-но с учетом того, что концы струны закреплены:

а также с учетом связи частоты i -й моды и ее волнового числа:

(6.46)

Здесь – волновое число i -й моды;

– волновое число 1-й моды;

Найдем величину начальной фазы для каждой моды колебаний. Для этого в момент времени t=0 придадим струне форму, описываемую функцией f 0 (x) , выражение для которой получим из (6.43):

. (6.47)

На рис. 6.6 показан пример формы струны, описывае-мой функцией f 0 (x) .

В момент времени t=0 струна еще покоится, т.е. ско-рость всех ее точек равна нулю. Из (6.43) найдем выраже-ние для скорости точек струны:

и, подставив в него t=0 , получим выражение для скорос-ти точек струны в начальный момент времени:

. (6.49)

Поскольку в начальный момент времени скорость рав-на нулю, то выражение (6.49) будет равно нулю для всех точек струны, если . Из этого следует, что на-чальная фаза для всех мод тоже равна нулю (). С учетом этого выражение (6.43), описывающее движение струны, принимает вид:

, (6.50)

а выражение (6.47), описывающее начальную форму стру-ны, выглядит как:

. (6.51)

Стоячая волна в струне описывается функцией, перио-дичной на интервале , где равна двум длинам струны (рис. 6.7):

Это видно из того, что периодичность на интервале означает:

Следовательно,

что и приводит нас к выражению (6.52).

Из математического анализа известно, что любая пе-риодическая функция может быть разложена с высо-кой точностью в ряд Фурье:

, (6.57)

где , , – коэффициенты Фурье.

Что такое стоячая волна? Что такое стоячая волна? Как она возникает? В чем отличие стоячей волны от бегущей?

1. Лист шифера видели?
   Тоже самое на поверхности воды, лужа в ветреный день, например.
2. ай как вы сложно ответили. Объясняю просто как пряник.
   Что такое волновой процесс. Это когда нечто изменяется и у него есть максимум и минимум (пример водяных волн когда в разные моменты времени в одной и той же точке изменяется максимум волны (пик) на минимум) . Когда максимум сменяется на минимум это бегущие волны. Волны бывают стоячими. Это когда максимум на минимум не изменяется, но разные уровни в разных местах есть (стоячая рябь на поверхности воды от ветра).
3. Охо. Это такое понятие, от которого пухнет мозг у десятков тысяч людей и круглосуточно! Стоячая волна -это суть БТГ. Суть тесластроения. Суть будущей энергетики из ничего!)))
4. Стоя#769;чая волна#769; колебания в распределенных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражнной волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

   Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе волны Шумана.

   Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам е поглощения или излучения.

   Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

5. Налейте воды в ванну и пошлепайте рукой по поверхности. От руки будут разбегаться волны во все стороны. Они называются бегущие. Плавно изменяя частоту колебаний руки Вы можете добиться того, чтобы волны перестали перемещаться в стороны, а оставались на месте. Движение происходило бы только вверх и вниз. Это и есть стоячие волны.

   Образуются они в данном случае только потому, что ванна имеет стенки, от которых происходит отражение, если бы стенок не было, то стоячие волны бы не образовались, как например, на открытой водной поверхности.

   Объяснение возникновения стоячих волн простое, при сталкивании прямой волны и волны, отраженной от стенки, они усиливают друг друга, и если это сталкивание происходит все время в одном и том же месте, то исчезает горизонтальное перемещение волн.

6. Стоячие волны,
   волны, возникающие вследствие интерференции волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Практически С. в. возникают при отражениях волн от преград и неоднородностей в результате наложения отражнной волны на прямую. Различные участки С. в. колеблются в одной и той же фазе, но с различной амплитудой (рис.) . В С. в. , в отличие от бегущей, не происходит течения энергии. Такие волны возникают, например, в упругой системе стержне или столбе воздуха, находящегося внутри трубы, закрытой с одного конца, при колебаниях поршня в трубе. Бегущие волны отражаются от границ системы, и в результате наложения падающих и отражнных волн в системе устанавливаются С. в. При этом по длине воздушного столба образуются т. н. узлы смещений (скоростей) плоскости, перпендикулярные к оси столба, на которых смещения частиц воздуха отсутствуют, а амплитуды давлений максимальны, и пучности смещений плоскости, на которых смещения максимальны, а давления равны нулю. Узлы и пучности смещений располагаются в трубе на расстояниях четверти длины волны, причм у тврдой стенки образуются всегда узел смещений и пучность давлений. Подобная же картина наблюдается, если убрать тврдую стенку в конце трубы, но тогда пучность скорости и узел давлений находятся на плоскости отверстия (приблизительно) . Во всяком объме, имеющем определнные границы и источник звука, образуются С. в. , но более сложной структуры.

   Всякий волновой процесс, связанный с распространением возмущений, может сопровождаться образованием С. в. Они могут возникать не только в газообразных, жидких и тврдых средах, но также и в вакууме при распространении и отражении электромагнитных возмущений, например в электрических длинных линиях. Антенна радиопередатчика часто выполняется в виде прямолинейного вибратора или системы вибраторов, по длине которых устанавливается С. в. В отрезках волноводов и замкнутых объмах различной формы, используемых в качестве резонаторов в технике сверхвысоких частот, устанавливаются С. в. определнных типов. В электромагнитных С. в. электрические и магнитные поля разделяются аналогично тому, как в упругих С. в. разделяются смещение и давление.

   Чистые С. в. могут установиться, строго говоря, только при отсутствии затухания в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме С. в. , присутствуют также бегущие волны, подводящие энергию к местам е поглощения или излучения.

   В оптике также возможно установление С. в. с видимыми максимумами и минимумами электрического поля. Если свет не монохроматический, то в С. в. пучности электрического поля разных длин волн будут расположены в разных местах и нередко наблюдается разделение цветов.

Стоячие волны могут образовываться при различных условиях. Этот феномен легче всего продемонстрировать в условиях ограниченного пространства. Такого эффекта можно добиться с помощью комбинирования двух колебаний с одинаковой длиной волны, распространяющихся в противоположных направлениях. Интерференция двух сигналов дает результирующую волну, которая, на первый взгляд, не движется (то есть стоячая).

Важным условием является то, что энергия должна поступать в систему с определенной скоростью. Это означает, что частота возбуждения должна быть приблизительно равной собственной частоте колебаний. Такое понятие также известно как резонанс. Стоячие волны всегда связаны с . Возникновение резонанса можно определить по резкому увеличению амплитуды результирующих колебаний. На создание стоячих волн затрачивается гораздо меньше энергии, по сравнению с бегущими волнами, имеющими такие же амплитуды.

Не стоит забывать и о том, что в любой системе, где есть стоячие волны, есть и многочисленные собственные частоты. Многообразие всех возможных стоячих волн известно как гармоники системы. Простейшая из гармоник называется фундаментальной или первой. Последующие стоячие волны называются второй, третья и т.д. Гармоники, которые отличаются от фундаментальной, иногда называют подтекстовыми.

Виды стоячих волн

В зависимости от физических характеристик существуют несколько видов стоячих волн. Все их можно условно разделить на три большие группы: одномерные, двумерные и трехмерные.

Одномерные стоячие волны появляются тогда, когда имеется плоское замкнутое пространство. В этом случае волна может распространяться только в одном направлении: от источника к границе пространства. Существуют три подгруппы одномерных стоячих волн: с двумя узлами на концах, с одним узлом посередине и с узлом на одном из концов волны. Узел – это точка с наименьшей амплитудой и энергией сигнала.

Двумерные стоячие волны возникают в случае, когда колебания распространяются в двух направлениях от источника. После отражения от преграды возникает стоячая волна.

Трехмерные стоячие волны – это сигналы, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Узлы при таком виде колебаний будут представлять собой двумерные поверхности. Это значительно осложняет их исследование. Примером таких волн может служить орбита движения электрона в атоме.

Практическое значение стоячих волн

Стоячие волны имеют большое значение , так как звук является комбинацией нескольких колебаний. Правильный расчет длины и жесткости струн позволяет добиться наилучшего звучания того или иного инструмента.

Стоячие волны также очень важны . В методе исследования частиц с помощью рентгеновской спектроскопии обработка отраженного сигнала позволяет выяснить приблизительный количественный и качественный состав объекта.