Структура и основные этапы процесса моделирования. Основные этапы компьютерного моделирования Порядок этапов моделирования

Каждый этап моделирования определяет поставленная задача и цели моделирования. В общем случае процесс построения и исследования модели может быть представлен с помощью схемы:

I этап. Постановка задачи

Включает в себя три стадии:

Описание задачи

Задача описывается на обычном языке.

Все множество задач можно разделить по характеру постановки на 2 основные группы:

1. Первая группа содержит задачи, в которых требуется исследовать, как изменятся характеристики объекта при некотором воздействии на него, т.е. требуется получить ответ на вопрос «Что будет, если?...».

   Например, что будет, если магнитную карточку положить на холодильник? Что будет, если повысить требования для поступления в вуз? Что будет, если резко повысить плату за коммунальные услуги? и т. п.

   Вторая группа содержит задачи, в которых требуется определить, что нужно сделать с объектом, чтобы его параметры удовлетворили определенное заданное условие, т.е. требуется получить ответ на вопрос «Как сделать, чтобы?..».

   Например, как построить урок математики, чтобы детям был понятен материал? Какой режим полета самолета выбрать, чтобы полет был безопаснее и экономически выгоднее? Как составить график выполнения работ на строительстве, чтобы оно было закончено максимально быстро?

Определение цели моделирования

На этой стадии среди многих характеристик (параметров) объекта выделяются наиболее существенные. Один и тот же объект при разных целях моделирования будет иметь разные существенные свойства.

Например, при построении модели яхты для участия в соревнованиях моделей судов, существенными будут ее судоходные характеристики. Для достижения поставленной цели построения модели будет отыскиваться ответ на вопрос «Как сделать, чтобы…?»

При построении модели яхты для совершения на ней путешествий, долгосрочных круизов, кроме судоходных характеристик существенным будет ее внутреннее строение : количество палуб, комфортабельность кают, наличие других удобств и т.д.

При построении компьютерной имитационной модели яхты для проверки надежности ее конструкции в штормовых условиях, моделью яхты будет представлять собой изменение изображения и расчетных параметров на экране монитора при изменении значений входных параметров. Будет решаться задача «Что будет, если…?»

Цель моделирования позволяет установить, какие данные будут исходными, чего нужно достичь в результате и какие свойства объекта можно не учитывать.

Таким образом происходит построение словесной модели задачи.

Анализ объекта

Подразумевается четкое выделение объекта, который моделируется, и его основных свойств.

II этап. Формализация задачи

Связан с созданием формализованной модели, т.е. модели, которая записана на каком-либо формальном языке. Например, показатели рождаемости, которые представлены в виде таблицы или диаграммы, являются формализованной моделью.

Под формализацией понимают приведение существенных свойств и признаков объекта моделирования к определенной форме.

Формальной моделью является модель, которая получена в результате формализации.

Замечание 1

Для решения задач с помощью компьютера наиболее подходящим является математический язык. Формальная модель фиксирует связи между исходными данными и конечным результатом с помощью разных формул, а также наложения ограничений на допустимые значения параметров.

III этап. Разработка компьютерной модели

Начинается с выбора инструмента моделирования (программной среды), с помощью которого будет создаваться и исследоваться модель.

От выбора программной среды зависит алгоритм построения компьютерной модели и форма его представления.

Например, в среде программирования формой представления является программа, которая написана на соответствующем языке. В прикладных средах (электронные таблицы, СУБД, графических редакторах и т.д.) формой представления алгоритма является последовательность технологических приемов, которые приводят к решению задачи.

Заметим, что одну и ту же задачу можно решить с помощью разных программных сред, выбор которой зависит, в первую очередь, от ее технических и материальных возможностей.

IV этап. Компьютерный эксперимент

Включает 2 стадии:

Тестирование модели – проверка правильности построения модели.

На этой стадии выполняется проверка разработанного алгоритма построения модели и адекватности полученной модели объекту и цели моделирования.

Замечание 2

Для проверки правильности алгоритма построения модели используются тестовые данные, для которых заранее известен конечный результат. Чаще всего тестовые данные определяются ручным способом. Если в ходе проверки результаты совпадают, значит разработан правильный алгоритм, а если нет – то нужно найти и устранить причину их несоответствия.

Тестирование должно отличаться целенаправленностью и систематизацией, усложнение же тестовых данных должно выполняться постепенно. Для определения правильности построения модели, которая отражает существенные для цели моделирования свойства оригинала, т.е. ее адекватности, необходим подбор таких тестовых данных, которые будут отражать реальную ситуацию.

Исследование модели

К исследованию модели можно переходить только после успешного прохождения тестирования и уверенности в том, что создана именно та модель, которую необходимо исследовать.

V этап. Анализ результатов

Является основным для процесса моделирования. Решение о продолжении или завершении исследования принимается по итогам именно этого этапа.

В случае, когда результаты не соответствуют целям поставленной задачи, делают вывод о том, что на предыдущих этапах были допущены ошибки. Тогда необходимо выполнить коррекцию модели, т.е. вернуться к одному из предыдущих этапов. Процесс должен повторяться до тех пор, пока результаты компьютерного эксперимента не будут соответствовать целям моделирования.

Теория моделирования является одной из составляющих теории автоматизации процессов управления. Одним из ее основополагающих принципов является утверждение: система представляется конечным множеством моделей, каждая из которых отражает определенную грань её сущности.

К настоящему времени накоплен значительный опыт, дающий основание сформулировать основные принципы построения моделей. Не смотря на то, что при построении моделей очень велика роль опыта, интуиции, интеллектуальных качеств исследователя, все же многие ошибки и неудачи в практике моделирования обусловлены незнанием методологии моделирования и несоблюдением принципов построения моделей.

К основным из них можно отнести:

Принцип соответствия модели целям исследования;

Принцип соответствия сложности модели требуемой точности результатов моделирования;

Принцип экономичности модели;

Принцип соразмерности;

Принцип модульности построения моделей;

Принцип открытости;

Принцип коллективности разработки (в создании модели принимают участие специалисты предметной области и в области моделирования);

Принцип сервисности (удобства пользования моделью).

Для одной и той же системы можно построить множество моделей. Эти модели будут отличаться степенью детализации и учета тех или иных особенностей и режимов функционирования реального объекта, отражать определенную грань сущности системы, ориентироваться на исследование определенного свойства или группы свойств системы. Поэтому важно четко сформулировать цель моделирования уже на начальном этапе построения модели. При этом следует также учитывать, что модель строится для решения конкретной задачи исследования. Опыт создания универсальных моделей не оправдал себя ввиду громоздкости создаваемых моделей и их непригодности к практическому применению. Для решения каждой конкретной задачи нужно иметь свою модель, отражающую наиболее важные стороны и связи с точки зрения исследования. Важность конкретного задания целей моделирования диктуется еще и тем, что все последующие этапы моделирования проводятся с ориентацией на определенную цель исследования.

Модель носит всегда приближенный характер по сравнению с оригиналом. Каким должно быть это приближение? Излишняя детализация усложняет модель, делает её дороже, затрудняет исследование. Необходимо найти компромисс между степенью сложности модели и ее адекватностью моделируемому объекту.

В общем плане проблема “точность - сложность” формулируется в виде одной из двух оптимизационных задач:

Задается точность результатов моделирования, а затем минимизируется сложность модели;

Имея модель определенной сложности, стремятся обеспечить максимальную точность результатов моделирования.

Уменьшение числа характеристик, параметров, возмущаю­щих факторов. Конкретизируя цели моделирования из множества характеристик системы либо исключают те, которые могут быть определены без моделирования или являются, с точки зрения ис­следователя, второстепенными, либо производится их объединение. Возможность реализации таких процедур связана с тем обстоя­тельством, что при моделировании не всегда целесообразно учиты­вать всё многообразие возмущающих факторов. Допускается неко­торая идеализация условий функционирования. Если целью моде­лирования является не просто фиксация свойств системы, но и оп­тимизация тех или иных решений по построению или функциони­рованию системы, то помимо ограничения числа параметров системы следует выявить и те параметры, которые иссле­дователь может изменять.

Изменение природы характеристик системы. Допускается с целью упрощения построения и исследования модели рассматривать некоторые переменные параметры в качестве постоянных, дискретные в качестве непрерывных и наоборот.

Изменение функциональной зависимости между параметрами. Нелинейная зависимость обычно заменяется линейной, дискретная функция непрерывной. В последнем случае упрощением может быть и обратное преобразование.

Изменение ограничений. При снятии ограничений процесс получения решения, как правило, упрощается. И, наоборот, при введении ограничений получить решение оказывается значительно сложнее. Варьируя ограничениями, возможно определить область решений, очерченную граничными значениями показателей эффективности функционирования системы.

Процесс моделирования сопровождается определенными затратами различных ресурсов (материальных, вычислительных и т. п.). Эти затраты тем больше, чем сложнее система и чем выше требования к результатам моделирования. Экономичной моделью будем считать такую модель, эффект от использования результатов моделирования которой имеет определенную норму превышения по отношению к расходам ресурсов, использованных на ее создание и использование.

При разработке математической модели необходимо стремится к соблюдению так называемого принципа соразмерности. Это означает, что систематическая ошибка моделирования (т. е. отклонение модели от описания моделируемой системы) должна быть соразмерной с погрешностью описания, в том числе и с погрешностью исходных данных. Кроме того, точность описания отдельных элементов модели должна быть одинаковой независимо от их физической природы и применяемого математического аппарата. И, наконец, должны быть соразмерны между собой систематическая ошибка моделирования и погрешность интерпретаций, а также погрешность усреднения результатов моделирования.

Суммарная ошибка моделирования может быть уменьшена, если использовать различные способы взаимной компенсации ошибок, обусловленных разными причинами. Другими словами, необходимо соблюдать принцип баланса ошибок. Суть этого принципа заключается в компенсации ошибок одного типа ошибками другого типа. Например, ошибки, вызванные неадекватностью модели, уравновешиваются ошибками исходных данных. Строго формальной процедуры соблюдения этого принципа не разработано, но опытным исследователям удается успешно использовать этот принцип в своей работе.

Модульность построения значительно “удешевляет” процесс создания моделей, так как позволяет применять накопленный опыт реализации типовых элементов, модулей при разработке сложных моделей систем. Кроме того, такая модель легко поддается модификации (развитию).

Открытость модели предполагает возможность включения в ее состав новых программных модулей, необходимость которых может выявиться в ходе исследования и в процессе совершенствования модели.

Качество модели во многом будет зависеть от того, насколько успешно решаются организационные аспекты моделирования, а именно привлечение специалистов различных областей. Особенно это важно для начальных этапов, где формулируется цель исследования (моделирования) и разрабатывается концептуальная модель системы. Обязательным является участие в работе представителей заказчика. Заказчик должен четко понимать цели моделирования, разработанную концептуальную модель, программу исследований, уметь анализировать и интерпретировать результаты моделирования.

Конечные цели моделирования могут быть достигнуты только путем проведения исследований с использованием разработанной модели. Исследования заключаются в проведении экспериментов с помощью модели, успешная реализация которых во многом обусловлена тем сервисом, который предоставляется в распоряжение исследователя, иными словами, удобством пользования моделью, под которым понимается удобство пользовательского интерфейса, ввода-вывода результатов моделирования, полнота средств отладки, простота интерпретации результатов и т. д.

Процесс моделирования можно условно разбить на ряд этапов.

Первый этап включает в себя: уяснение целей исследования, места и роли модели в процессе системных исследований, формулирование и конкретизацию цели моделирования, постановку задачи на моделирование.

Второй этап - это этап создания (разработки) модели. Начинается содержательным описанием моделируемого объекта и заканчивается программной реализацией модели.

На третьем этапе проводится исследование с помощью модели, заключающееся в планировании и проведении экспериментов.

Завершается процесс моделирования (четвертый этап) анализом и обработкой результатов моделирования, выработкой предложений и рекомендаций по использованию результатов моделирования на практике.

Непосредственное построение модели начинается с содержательного описания моделируемого объекта. Объект моделирования описывается с позиций системного подхода. Исходя из цели исследования определяется совокупность элементов, их возможные состояния, указываются связи между ними, даются сведения о физической природе и количественных характеристиках исследуемого объекта (системы). Содержательное описание может быть составлено в результате достаточно обстоятельного изучения исследуемого объекта. Описание ведется, как правило, на уровне качественных категорий. Такое предварительное, приближенное представление объекта называют обычно вербальной моделью. Содержательное описание объекта, как правило, самостоятельного значения не имеет, а служит лишь основой для дальнейшей формализации объекта исследования - построения концептуальной модели.

Концептуальная модель объекта является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью. Она разрабатывается не во всех случаях, а лишь тогда, когда из-за сложности исследуемого объекта или трудностей формализации некоторых его элементов непосредственный переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным или нецелесообразным. Процесс создания концептуальной модели носит творческий характер. Именно в связи с этим иногда говорят, что моделирование является не столько наукой, сколько искусством.

Следующим этапом моделирования является разработка математической модели объекта. Создание математической модели преследует две основные цели: дать формализованное описание структуры и процесса функционирования исследуемого объекта и попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое или алгоритмическое исследование объекта.

Для преобразования концептуальной модели в математическую необходимо записать, например, а аналитической форме все соотношения между существенными параметрами, их связь с целевой функцией и задать ограничения на значения управляемых параметров.

Такую математическую модель можно представить в виде:

где U - целевая функция (функция эффективности, критериальная функция);

Вектор управляемых параметров;

Вектор неуправляемых параметров;

{x,y} - ограничения на значения управляемых параметров.

Математический аппарат, используемый для формализации, конкретный вид целевой функции и ограничений определяются существом решаемой задачи.

Разработанная математическая модель может быть исследована различными методами - аналитическими, численными, “качественными”, имитационными.

С помощью аналитических методов можно произвести наиболее полное исследование модели. Однако применить эти методы можно только для модели, которую удается представить в виде явных аналитических зависимостей, что удается лишь для сравнительно простых систем. Поэтому аналитические методы исследования используются обычно для первоначальной грубой оценки характеристик объекта (экспресс-оценки), а также на ранних стадиях проектирования систем.

Основная часть исследуемых реальных объектов не поддается исследованию аналитическими методами. Для исследования таких объектов могут быть использованы численные и имитационные методы. Они применимы к более широкому классу систем, для которых математическая модель представляется либо в виде системы уравнений, допускающей решение численными методами, либо в виде алгоритма, имитирующего процесс ее функционирования.

Если полученные уравнения не удается решить аналитическими, численными или имитационными методами, то прибегают к использованию “качественных” методов. “Качественные” методы позволяют оценивать значения искомых величин, а также судить о поведении траектории системы в целом. К подобным методам, наряду с методами математической логики и методами теории расплывчатых множеств, относят и ряд методов теории искусственного интеллекта.

Математическая модель реальной системы является абстрактным, формально описанным объектом, исследование которого ведется также математическими методами, и главным образом, с помощью средств вычислительной техники. Следовательно, при математическом моделировании должен быть определен метод расчета или иначе - разработана алгоритмическая или программная модель, реализующая метод расчета.

Одну и ту же математическую модель можно реализовать на ЭВМ с помощью разных алгоритмов. Все они могут различаться точностью решения, временем расчета, объемом занимаемой памяти и другими показателями.

Естественно, что при исследовании нужен алгоритм, обеспечивающий моделирование с требуемой точностью результатов и минимальными затратами машинного времени и других ресурсов.

Математическая модель, являясь объектом машинного эксперимента, представляется в виде программы для ЭВМ (программной модели). При этом необходимо выбрать язык и средства программирования модели, произвести расчет ресурсов на составление и отладку программы. В последнее время процесс программирования моделей все больше автоматизируется (такой подход будет рассмотрен в разделе “Автоматизация моделирования сложных военных организационно-технических систем”). Созданы специальные алгоритмические языки моделирования, предназначенные для программирования широкого класса моделей (применение языка GPSS (дословный русский перевод – язык моделирования дискретных систем) для моделирования вычислительных систем будет также рассмотрено в последующих главах). Они обеспечивают простоту реализации таких общих задач, возникающих при моделировании, как организация псевдопараллельного выполнения алгоритмов, динамическое распределение памяти, ведение модельного времени, имитация случайных событий (процессов), ведение массива событий, сбор и обработка результатов моделирования и т. п. Описательные средства языков моделирования позволяют идентифицировать и задавать параметры моделируемой системы и внешних воздействий, алгоритмы функционирования и управления, режимы и требуемые результаты моделирования. Языки моделирования при этом выступают как формализованный базис создания математических моделей.

Прежде чем приступить к проведению эксперимента на модели, необходимо подготовить исходные данные. Подготовка исходных данных начинается еще на этапе разработки концептуальной модели, где выявляются некоторые качественные и количественные характеристики объекта и внешних воздействий. Для количественных характеристик необходимо определить их конкретные значения, которые будут использоваться в виде исходных данных при моделировании. Это трудоемкий и ответственный этап работы. Очевидно, что достоверность результатов моделирования однозначно зависит от точности и полноты исходных данных.

Как правило, сбор исходных данных является весьма сложным и трудоемким процессом. Это вызвано рядом причин. Во-первых, значения параметров могут быть не только детерминированными, но и стохастическими. Во-вторых, не все параметры оказываются стационарными. Особенно это относится к параметрам внешних воздействий. В-третьих, зачастую речь идет о моделировании несуществующей системы или системы, которая должна функционировать в новых условиях. Не учет любого из этих факторов приводит к существенным нарушениям адекватности модели.

Конечные цели моделирования достигаются путем использования разработанной модели, заключающиеся в проведении экспериментов с моделью, в результате которых определяются все необходимые характеристики системы.

Эксперименты с моделью, как правило, проводятся по определенному плану. Это вызвано тем, что при ограниченных вычислительных и временных ресурсах обычно не представляется возможным провести все возможные эксперименты. Поэтому возникает необходимость в выборе определенных сочетаний параметров и последовательности проведения эксперимента, т. е. ставится задача построения оптимального плана достижения цели моделирования. Процесс разработки такого плана называется стратегическим планированием. Но при этом не все задачи, связанные с планированием экспериментов, решаются полностью. Появляется необходимость в уменьшении длительности машинных экспериментов при обеспечении статистической достоверности результатов моделирования. Этот процесс получил название тактического планирования.

План эксперимента может быть заложен в машинную программу исследований и выполняться автоматически. Однако чаще всего стратегия исследования предусматривает активное вмешательство исследователя в эксперимент с целью коррекции плана эксперимента. Такое вмешательство обычно реализуется в диалоговом режиме.

В ходе экспериментов обычно измеряется множество значений каждой характеристики, которые потом обрабатываются и анализируются. При большом количестве реализаций, воспроизводимых в процессе моделирования, объем информации о состояниях системы может быть настолько значительным, что ее хранение в памяти ЭВМ, обработка и последующий анализ оказываются практически невозможными. Поэтому необходимо таким образом организовать фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки искомых величин формировались постепенно в ходе моделирования.

Поскольку выходные характеристики зачастую являются случайными величинами или функциями, то суть обработки заключается в вычислении оценок математических ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов.

Для того, чтобы исключить необходимость хранения в машине всех измерений, обработку обычно проводят по рекуррентным формулам, когда оценки вычисляют в процессе эксперимента методом нарастающего итога по мере проведения новых измерений.

По обработанным результатам экспериментов производится анализ зависимостей, характеризующих поведение системы с учетом среды. Для хорошо формализуемых систем это можно сделать с помощью корреляционных, дисперсионных или регрессионных методов. К анализу результатов моделирования можно отнести и задачу чувствительности модели к вариациям ее параметров.

Анализ результатов моделирования позволяет уточнить множество информативных параметров модели, а следовательно, и уточнить саму модель. Это может привести к существенному изменению первоначального вида концептуальной модели, выявлению явной зависимости характеристик, появлению возможности создания аналитической модели системы, переопределению весовых коэффициентов векторного критерия эффективности и к другим модификациям начального варианта модели.

Завершающим этапом моделирования является использование результатов моделирования, их перенос на реальный объект - оригинал. В конечном счете результаты моделирования обычно используются для принятия решения о работоспособности системы, прогнозирования поведения системы, для оптимизации системы и т. п.

Решение о работоспособности принимается по тому, выходят или не выходят характеристики системы за установленные границы при любых допустимых изменениях параметров. Прогноз обычно является главной целью любого моделирования. Он заключается в оценке поведения системы в будущем при определенном сочетании ее управляемых и неуправляемых параметров.

Оптимизация представляет собой определение такой стратегии поведения системы (естественно, с учетом среды), при которой достижение цели системы обеспечивалось бы при оптимальном (в смысле принятого критерия) расходе ресурсов. Обычно в качестве методов оптимизации выступают различные методы теории исследования операций.

В процессе моделирования, на всех его этапах исследователь вынужден постоянно решать вопрос - правильно ли создаваемая модель будет отображать оригинал. До тех пор пока этот вопрос не будет решен положительно, ценность модели незначительна.

Требование адекватности, как уже отмечалось выше, находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно постоянно помнить при проверке модели на адекватность. В процессе создания модели адекватность объективно нарушается из-за идеализации внешних условий и режимов функционирования, исключения тех или иных параметров, пренебрежения некоторыми случайными факторами. Отсутствие точных сведений о внешних воздействиях, определенных особенностях структуры и процесса функционирования системы, принятые способы аппроксимации и интерполяции, эвристические предположения и гипотезы также ведут к уменьшению соответствия между моделью и оригиналом. Вследствие отсутствия достаточно проработанной методики оценки адекватности, на практике такую проверку производят либо сравнивая результаты доступных экспериментов на объекте с аналогичными результатами, полученными в ходе машинных экспериментов, либо путем сравнения результатов, полученных на аналогичных моделях. Могут применяться и другие косвенные способы проверки на адекватность.

По результатам проверки на адекватность делаются выводы о пригодности модели к проведению экспериментов. Если модель соответствует требованиям, то на ней проводят плановые эксперименты. В противном случае модель уточняется (корректируется) или полностью перерабатывается. При этом оценку адекватности модели необходимо проводить на каждом этапе моделирования, начиная с этапа формирования цели моделирования и постановки задачи на моделирование и заканчивая этапом выработки предложений по использованию результатов моделирования.

При корректировке или переработке модели могут быть выделены следующие типы изменений: глобальные, локальные и параметрические.

Глобальные изменения могут быть вызваны серьезными ошибками на начальных этапах моделирования: при постановке задачи на моделирование, при разработке вербальной, концептуальной и математической моделей. Устранение таких ошибок обычно ведет к разработке новой модели.

Локальные изменения связаны с уточнением некоторых параметров или алгоритмов. Локальные изменения требуют частичного изменения математической модели, но могут привести к необходимости разработки новой программной модели. Для уменьшения вероятности таких изменений рекомендуется сразу разрабатывать модель с большей степенью детализации, чем необходимо для достижения цели моделирования.

К параметрическим относятся изменения некоторых специальных параметров, называемых калибровочными. Для повышения адекватности модели путем параметрических изменений следует заранее выявить калибровочные параметры и предусмотреть простые способы варьирования ими.

Стратегия корректировки модели должна быть направлена на первоочередное введение глобальных, затем локальных и, наконец, параметрических изменений.

На практике этапы моделирования иногда проводятся изолированно друг от друга, что отрицательным образом сказывается на результатах в целом. Разрешение данной проблемы лежит на путях рассмотрения в единых рамках процессов построения модели, организации экспериментов на ней и создания программного обеспечения моделирования.

Моделирование необходимо рассматривать как единый процесс построения и исследования модели , имеющий соответствующую программно-аппаратную поддержку. При этом следует отметить два важных аспекта.

Методологический аспект - выявление закономерностей, приемов построения алгоритмических описаний систем, целенаправленного преобразования полученных описаний в пакеты взаимосвязанных машинных моделей, составлением применительно к таким пакетам сценариев и планов работы, направленных на достижение прикладных целей моделирования.

Творческий аспект - искусство, мастерство, умение достигать в ходе машинного моделирования сложных систем практически полезных результатов.

Реализация концепции системного моделирования как целостной совокупности методов построения и использования моделей возможна лишь при соответствующем уровне развития информационных технологий.

Моделирование является одновременно искусством и наукой. Успех применения моделирования в значительной мере зависит от квалификации и опыта исследователя, от имеющихся в его распоряжении средств для проведения исследования, но иногда от интуиции и просто догадки.

Это интересно

Широко известны работы академика Н. Н. Моисеева (1917-2000) по моделированию систем управления. Для проверки предложенного им метода математического моделирования была создана математическая модель последнего сражения эпохи парусного флота - Синопского сражения (1833). Компьютерное моделирование показало, что при той расстановке кораблей, которую выбрал руководивший русской эскадрой адмирал П. С. Нахимов, и при условии нанесения русскими первого удара единственной возможностью спасения для турок было отступление. Турецкое командование не воспользовалось этой возможностью, и главные силы турецкого флота были разгромлены в течение нескольких часов.

«Интуитивное» моделирование, использованное Нахимовым для принятия решения, дало тот же результат, что и сложное компьютерное моделирование. В первом случае моделирование - искусство, во втором - наука.

Как уже говорилось, не существует формализованной инструкции как создавать модели в общем случае. Тем не менее можно выделить основные этапы моделирования (рис. 1.8).

Первый этап (постановка задачи): описание объекта моделирования и уяснение конечных целей моделирования. «Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления... Данный этап можно назвать формулировкой предмодели» . Важно правильно обозначить и сформулировать проблему, определить те факторы и показатели, взаимосвязи между которыми интересуют исследователя в рамках поставленной конкретной задачи. При этом необходимо определить, какие из этих факторов и показателей можно считать входными (т.е. несущими смысловую нагрузку объясняющих), а какие - выходными (несущими смысловую нагрузку объясняемых). Если описание объекта моделирования предполагает использование статистической информации, то задача сбора статистических данных тоже включается в содержание первого этапа.

Рис. 1.8.

При определении целей моделирования следует иметь в виду, что различие между простой моделью и сложной порождается не столько их сущностью, сколько целями, которые ставит исследователь. Цели существенным образом определяют содержание остальных этапов моделирования.

Как правило, целями моделирования являются:

• прогноз поведения объекта при изменении его характеристик и характеристик внешних воздействий;
• определение значений параметров, обеспечивающих заданное значение выбранных показателей эффективности изучаемого процесса;
• анализ чувствительности системы к изменению тех или иных факторов;
• проверка различного рода гипотез о характеристиках случайных параметров исследуемого процесса;
• определение функциональных связей между объясняющими и объясняемыми факторами;
• лучшее понимание объекта исследования.

Результатами первого этапа являются описание объекта исследования и четко сформулированные цели исследования.

Второй этап (модель): построение и исследование модели. Этот этан начинается с построения концептуальной модели.

Определение 1.11. Концептуальная модель - модель на уровне определяющего замысла, который формируется при изучении моделируемого объекта.

На этом этапе выявляются существенные аспекты, исключаются второстепенные, принимаются необходимые допущения и упрощения, т.е. формируется априорная информация. По возможности концептуальная модель представляется в виде известных и хорошо изученных систем: массового обслуживания, управления, авторегулирования и т.д. Затем модель конкретизируется. Вопрос о необходимой и достаточной мере сходства модели и оригинала требует конкретного анализа с учетом целей моделирования. На этом этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение специальных экспериментов, при которых принимаемые допущения подвергаются проверке, варьируются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее поведении. Если по тем или иным причинам экспериментальная проверка допущений и упрощений не представляется возможной, то используют теоретические рассуждения о механизме изучаемого процесса или явления, признаваемые специалистами в данной прикладной области в качестве закономерностей.

Конечным результатом второго этапа является совокупность знаний о модели.

Третий этап (эксперименты с моделью): разработка плана экспериментирования с моделью и выбор технологии проведения экспериментов. В зависимости от вида модели это может быть, например, план натурного эксперимента и выбор средств для его проведения или выбор языка программирования или системы моделирования, разработка алгоритма и программы для реализации математической модели.

Эксперимент должен быть в максимально возможной степени информативным, обеспечивать получение данных с необходимой точностью и достоверностью. Для разработки такого плана используются методы теории планирования эксперимента.

Итогом третьего этапа являются результаты целенаправленных экспериментов с моделью.

На четвертом этапе (результат) осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование знаний об объекте исследования. Для этого выполняются обработка, анализ и интерпретация данных эксперимента. В соответствии с целью моделирования применяются разнообразные методы обработки: определение разного рода характеристик случайных величин и процессов, выполнение анализов - дисперсионного, регрессионного, факторного и др. Многие из этих методов реализованы в системах моделирования общего и специального назначения (MATLAB , GPSS World, AnyLogic и др.). Процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели.

Затем осуществляется перевод результатов на язык предметной области. Это необходимо, так как специалист предметной области (тот, кому нужны результаты исследований) не владеет, как правило, в необходимой степени терминологией математики и моделирования и может выполнять свои задачи, оперируя лишь хорошо знакомыми ему понятиями.

Итогом четвертого этапа является интерпретация результатов моделирования , т.е. перевод результатов в термины предметной области.

Отметим необходимость документирования результатов каждого этапа. Это важно в силу следующих причин.

Во-первых, процесс моделирования имеет, как правило, итеративный характер, т.е. с каждого этапа может осуществляться возврат на какой-либо из предыдущих этапов для уточнения информации, необходимой на этом этапе. Во-вторых, в случае исследования сложной системы в нем участвуют большие коллективы разработчиков, причем различные этапы выполняются различными группами. Поэтому должна быть возможность переноса результатов, полученных на каждом этапе, на последующие этапы в унифицированной форме представления.

Обратите внимание!

Основные этапы моделирования: «постановка задачи» -> «модель» -> «эксперименты с моделью» -> «результат». Как правило, это итеративный процесс, предполагающий возвращение к предшествующим этапам для учета новых данных.

Тем не менее и для таких процессов, называемых трудноформализуемыми, существуют подходы, позволяющие построить и исследовать модель.

Различные виды моделирования могут применяться самостоятельно или одновременно в некоторой комбинации. Так, например, имитационное моделирование включает в себя концептуальное (на ранних этапах формирования имитационной модели) и логико-математическое моделирование для описания отдельных подсистем модели, а также в процедурах обработки и анализа результатов вычислительного эксперимента и принятия решений. Технология проведения и планирования вычислительного эксперимента с соответствующими математическими методами привнесена в имитационное моделирование из физического (экспериментального натурного или лабораторного) моделирования.

В истории моделирования есть много примеров тому, когда необходимость моделирования разного рода процессов приводила к новым открытиям. Один из самых известных примеров - история открытия в 1846 г. планеты Нептун, восьмой планеты Солнечной системы. Крупнейшее астрономическое открытие XIX в. было сделано на основе моделирования аномалий движения планеты Уран по результатам чрезвычайно трудоемких по тем временам расчетов.

• Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. С. 25.
• Процесс построения модели включает в себя следующие типовые этапы: определение целей моделирования; качественный анализ системы, исходя из этих целей; формулировка законов и правдоподобных гипотез относительноструктуры системы, механизмов ее поведения в целом или отдельныхчастей; идентификация модели (определение ее параметров); верификация модели (проверка ее работоспособности и оценка степени адекватности реальной системе);
• исследование модели (анализ устойчивости ее решений, чувствительности к изменениям параметров и пр.) и эксперименты с ней. Моделирование часто применяется вместе с другими общенаучнымии специальными методами, особенно когда оно используется для исследования глобальных проблем. Моделирование в таких случаях является многомодельным. Оно сохраняет свои сущностные характеристики при моделировании и более «узких» проблем, например демографической ситуациив условиях рыночных отношений (в отдельных конкретных регионах);динамики занятости; состояния образования, здравоохранения, сферыуслуг, рынка жилья и т.д. Моделирование широко используется как метод исследования сложныхсистем, поддающихся формализации, т.е. таких, свойства и поведение которых могут быть формально описаны с достаточной строгостью. В том случае, когда речь идет о процессах творчества, эвристической деятельности,анализе психических функций, социальных процессах, игровых задачах,конфликтных ситуациях и т.п., объекты исследований обычно настолькосложны и разнообразны, что трудно говорить об их строгой формализации.

Прежде всего необходимо подчеркнуть, что в этом процессе обязательно участвуют и взаимодействуют друг с другом субъект, объект исследования и модель . В связи с этим нельзя забывать, что в большинстве случаев моделям присуща определенная доля субъективизма, поскольку практически в процессе исследования приходится иметь дело не с самим объектом, а с представлениями о нем, т.е. с его моделью . Безусловно, по мере совершенствования модели и приближения ее к объекту объективная сторона модели становится преобладающей, происходит постепенное движение от относительной к абсолютной истине.

Этапы моделирования

Четвертый этап - экспериментальная проверка модели - очень тесно связан с двумя предыдущими. В процессе совершенствования модели приходится неоднократно переходить от одного этапа к другому и даже возвращаться, например, от последнего ко второму или третьему этапу.

Процесс управления с помощью модели

Процесс управления объектом с помощью модели можно рассматривать как процесс управления знанием или обучения модели (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Процесс познания объекта с помощью модели

Исследователь, имея определенные знания об объекте, строит первый вариант модели и путем сравнения с экспериментальными данными проверяет соответствие модели объекту . При необходимости ставятся специальные эксперименты и на основе анализа предсказанных и фактических реакций объекта , корректируются параметры или структура модели

Такие циклы обращений (субъект - модель - объект - субъект), составляющие восходящий спиралевидный процесс познания, осуществляют до тех пор, пока не будет получена некоторая модель , находящаяся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными об объекте . Процесс построения модели с использованием эксперимента достаточно наглядно иллюстрируется структурной схемой , приведенной на рис. 1.2.

Рис. 1.2 Процесс построения модели с использованием эксперимента

В то же время необходимо отметить, что в целом ряде случаев для решения практических задач целесообразно использование полиномиальных моделей , построенных, например, с использованием экспериментально-статистических методов .

Пример поэтапного построения модели

Постановка задачи

Создание модели процесса обезуглероживания металла в подовом сталеплавильном агрегате, изучение имеющихся на момент создания модели литературных данных позволило составить определенное представление о внутреннем механизме процесса обезуглероживания (рис.1.3).

Рис. 1.3 Схема механизма процесса обезуглероживания

Газообразный кислород адсорбируется на верхней поверхности шлака

(1) и в пограничном слое газ-шлак окисляет низшие оксиды железа до высших, например, по реакции

(2) Эта стадия представляет достаточно большое сопротивление для переноса кислорода в металл и, следовательно, сопровождается значительным градиентом концентраций. Вторым источником поступлений оксидов железа в шлак, а затем в металл являются присадки руды или агломерата или интенсивная продувка кислородом с высоко поднятой фурмой. Поступление кислорода из этого источника осуществляется с некоторым запаздыванием, при этом за короткое время происходит как бы “накачка” значительного окислительного потенциала. В связи с этим, при математическом описании шлак будем представлять в виде некоторого промежуточного резервуара с временной задержкой.

Внутри шлака происходит турбулентный перенос оксидов железа от верхней границы (газ-шлак) к нижней (шлак-металл), где при соприкосновении с металлом происходит восстановление высших оксидов до низших

(4) Растворенный в металле углерод реагирует с растворенным в металле кислородом на поверхности поднимающихся в слоепараметры рьков по реакции

(5) Именно эта гетерогенная реакция с положительной обратной связью от продукта реакции и является ведущей во всех сталеплавильных процессах. Эта реакция может протекать только на поверхности пузырьков , зародыши которых образуются на огнеупорной (шероховатой) поверхности подины или на плавающих на границе шлак-металл кусках руды.

Так выглядит в данном примере первый этап моделирования – содержательная постановка задачи.

Выбор и построение модели

Структуризация

Таким образом, за основу механизма процесса обезуглероживания принято допущение о лимитирующей роли доставки кислорода к месту реакции. Далее сделаны следующие предположения.

Реакция окисления углерода

Вследствие малой растворимости оксида углерода в металле может происходить только на поверхности пузырьков , зарождающихся, главным образом, на подине, а также на поверхности кусков руды и известняка, плавающих на границе шлак – металл. При продувке ванны кислородом реакция обезуглероживания может протекать также на поверхности струй и пузырьков кислорода, внедряющихся непосредственно в ванну.

Поскольку скорость самой химической реакции значительно больше скорости диффузии, а скорость окисления углерода лимитируется скоростью подвода кислорода, то движущей силой диффузионного процесса является градиент концентраций кислорода.

Процесс передачи кислорода из газовой среды в металл можно рассматривать как ряд диффузионных звеньев, в каждом из которых кислород встречает более или менее значительное сопротивление (рис.1.4).

Рис. 1.4 Структуризация модели процесса обезуглероживания

Например:

1. преодоление границы газ – шлак;
2. диффузия кислорода через шлак;
3. преодоление границы шлак – металл и диффузия кислорода в металле к месту реакции;
4. реакция обезуглероживания и накопление кислорода в металле и шлаке.
градиент концентраций

Объект – некоторая часть окружающего нас мира, которая может быть рассмотрена как единое целое.
Свойства объекта – совокупность признаков объекта, по которым его можно отличить от других объектов
Модель – это упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.
Моделирование – построение моделей для изучения объектов, процессов, явлений.

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Метод моделирования основывается на принципе аналогии. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании является понятие адекватности модели, то есть соответствия модели моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно для моделирования экономических систем. При моделировании имеется в виду и не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования.

Изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле.

Модель воспроизводит изучаемый объект или процесс в упрощенном виде. Поэтому при построении любой модели перед исследователем всегда возникают две опасности: переупрощения и переусложнения. Отображая действительность, модель ее упрощает, отбрасывая все «второстепенное» и «побочное». Однако это упрощение не должно быть «произвольным» и грубым.

Процесс моделирования в общем может быть представлен в виде циклической схемы.

Все этапы определяются поставленной задачей и целями моделирования.

В процессе моделирования выделяют 4 этапа:
1. Постановка задачи.
Описание задачи
Задача (или проблема) формулируется на обычном языке, и описание должно быть понятным. Главное на этом этапе – определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат.
Формулировка цели моделирования
Целями моделирования могут быть: познание окружающего мира, создание объектов с заданными свойствами («как сделать, чтобы…»), определение последствий воздействия на объект и принятие правильного решения («что будет, если…»), эффективность управления объектом (процессом) и т.д.
Анализ объекта
На этом этапе, отталкиваясь от общей формулировки задачи, четко выделяют моделируемый объект и его основные свойства. Поскольку в большинстве случаев исходный объект – это целая совокупность более мелких составляющих, находящихся в некоторой взаимосвязи, то анализ объекта будет подразумевать разложение (расчленение) объекта с целью выявления составляющих и характера связей между ними.
2. Разработка модели (формализация задачи, связанная с созданием модели, то есть модели, записанной на каком-либо формальном языке).

В общем смысле формализация - это приведение существенных свойств и признаков объекта моделирования к выбранной форме.

Для решения задачи на компьютере больше всего подходит язык математики. В такой модели связь между исходными данными и конечными результатами фиксируется с помощью различных формул, а также накладываются ограничения на допустимые значения параметров.
Информационная модель
На этом этапе выявляются свойства, состояния и другие характеристики элементарных объектов, формируется представление об элементарных объектах, составляющих исходный объект, т.е. информационная модель.
Знаковая модель
Информационная модель, как правило, представляется в той или иной знаковой форме, которая может быть либо компьютерной, либо некомпьютерной.
Компьютерная модель
Существует большое количество программных комплексов, которые позволяют проводить исследование (моделирование)информационных моделей. Каждая среда имеет свой инструментарий и позволяет работать с определенными видами информационных объектов, что обуславливает проблему выбора наиболее удобной и эффективной среды для решения поставленной задачи.
3. Компьютерный эксперимент
План моделирования
План моделирования должен отражать последовательность работы с моделью. Первыми пунктами в таком плане должны стоять разработка теста и тестирование модели.
Тестирование – процесс проверки правильности модели.
Тест – набор исходных данных, для которых заранее известен результат.
В случае несовпадения тестовых значений необходимо искать и устранять причину.
Технология моделирования
Технология моделирования – совокупность целенаправленных действий пользователя над компьютерной моделью.
4. Анализ результатов моделирования
Конечная цель моделирования – принятие решения, которое должно быть выработано на основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий – либо исследование продолжается (возврат на 2 или 3 этапы), либо заканчивается.
Основой для выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов. Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, значит, допущены ошибки на предыдущих этапах. Это может быть слишком упрощенное построение информационной модели, либо неудачный выбор метода или среды моделирования, либо нарушение технологических приемов при построении модели. Если такие ошибки выявлены, то требуется редактирование модели, т.е. возврат к одному из предыдущих этапов. Процесс продолжается до тех пор, пока результаты моделирования не будут отвечать целям моделирования.

2. Управление как деятельность по принятию решений. Алгоритм процесса принятия решений: основные стадии и их характеристика.

Существует достаточно большое количество определений того, что есть управление, даваемых различными отраслями знания с учетом специфики той или иной из них. Только в менеджменте существует два основных подхода к определению того, что есть управление. В рамках функционального подхода – это совокупность функций по планированию, мотивации, организации и контролю, в рамках процессного подхода – это процесс, состоящий из ряда стадий: постановка цели, выбор исполнителей и средств, планирование путей ее достижения, организация ресурсов и исполнителей в рамках реализации плана, контроль за выполнением плана, анализ результатов деятельности по достижению цели.

Государственное управление – это деятельность по оказанию целенаправленного воздействия на различные сферы жизни человеческого общества, осуществляемая специальными уполномоченными на то общественными структурами – органами государственной власти и управления. Государство осуществляет управленческое воздействие на различные стороны жизнедеятельности общества.

Управленческое решение - это творческий акт субъекта управления, направленный на устранение проблем, которые возникли в объекте управления.

Принятие решений - это особый вид человеческой деятельности, направленный на выбор способа достижения поставленной цели. В широком смысле под решением понимают процесс выбора одного или нескольких вариантов действий из множества возможных.

Ни одна функция управления не может быть реализована иначе как посредством подготовки и исполнения управленческих решений. По существу, вся совокупность видов деятельности любого работника управления так или иначе связана с принятием и реализацией решений. Этим прежде всего определяется значимость деятельности по принятию решений и определению его роли в управлении.

Любое управленческое решение проходит три стадии. Рассмотрим их.
Первая стадия - уяснение проблемы - включает в себя: сбор информации; анализ информации; выяснение ее актуальности; определение условий, при которых проблема будет решена.
Вторая стадия - составление плана решения - включает в себя: разработку альтернативных вариантов решения; сопоставление их с имеющимися ресурсами; оценку альтернативных вариантов по социальным последствиям; оценку их по экономической эффективности; составление программ решения; разработку детального плана решения.
Третья стадия - выполнение решения - включает в себя доведение решений до конкретных исполнителей; разработку мер поощрений и наказаний; контроль за выполнением решений.
Работа менеджера над принятием решения состоит из ряда этапов:

Определение цели управления;

Диагностика проблемы;

Сбор информации, как основной, так и дополнительной;

Определение критериев ограничений;

Подготовка вариантов решений, в том числе альтернативных;

Оценка вариантов решений;

Выбор окончательного варианта.
Принятие решения является главным звеном в управлении - это творческий этап.

3.Поиск решения проблемы. Классификация проблем по степени структурированности.

Алгоритм принятия решений представляет собой шестифазовую последовательность.

В него входит не только собственно отыскание решения проблем (фаза 3), то есть анализ, анализ и выбор альтернатив на основе плановых и технико-экономических расчетов, но и выявление возникающих проблем (фаза1), а также постановка проблем (фаза 2), включая конструирования возможных действий подлежащих анализу. Опыт показывает, что две последние фазы процесса принятия решений (1 и 2), предшествующие оценки и выбору альтернатив, является, как правило, весьма сложными и ответственными, а зачастую и не менее трудно реализуемыми, их роль резко возрастает при переходе к решению нестандартных проблем, требующих творческого подхода к поиску решения. Не менее важное значение имеют в полном цикле решения проблем и последующие фазы – принятие решений уполномоченными на то руководителями (фаза 4), выполнение принятых решений (5.) и оценка результатов (6.). Обратная связь (от фазы 6 к фазе 3) стимулирует поиск новых решений, если результаты практического апробирования сделанного ранее выбора не приводят к решению выявленной проблемы. Строго говоря, обратная связь осуществляется в течении всего процесса принятия решений, взаимодействия управляющего и управляемого объектов.

Каждый класс проблем требует применения соответствующего метода нахождения решений, который в наибольшей степени будет способствовать выбору альтернативы, максимально приближающейся к оптимуму.

Укрупненная классификация методов нахождения решений базируется на понятии структуризации проблемы. Структура любой проблемы определяется пятью основными логическими элементами:

Цель или ряд целей, достижения которых будет означать, что проблема решена

Альтернативные средства, то есть курсы действий, с помощью которых может быть достигнута цель

Затраты ресурсов, требующихся для реализации каждого курса действий

Модель или модели, в которых с помощью некоторого формального языка (в том числе математики, формальной логики, обычного словесного, графического описания и т. п.) отображаются связи между целями, альтернативами и затратами

Критерий, с помощью которого сопоставляются в каждом конкретном случае цели и затраты и отыскивается наиболее предпочтительное решение.

Степень структуризации проблемы определяется тем, насколько хорошо выделены и осознаны указанные пять элементов проблемы. От этого зависит возможность применения для поиска решения того или иного метода.

Неструктурированные проблемы отличаются значительной неопределенностью и неформализуемостью как самих целей деятельности, так и возможных курсов действий (вариантов поведения). При решении этих проблем суждения, основанные на опыте, интуиции имеют весьма большое значение. Научные методы решения таких проблем состоят в использовании общих идей системного подхода в процессе систематизации мыслительной деятельности при рассмотрении проблем, а также в правильной организации экспертных опросов и квалифицированной обработке данных, получаемых на их основе.

К слабоструктурированным можно отнести такие проблемы, которые связаны с выработкой долгосрочных курсов действий, каждый из которых затрагивает многие аспекты деятельности отрасли или предприятия и реализуется поэтапно. Процесс решения этих проблем содержит наряду с хорошо изученными, количественно формализуемыми элементами также неизвестные и неизмеряемые компоненты, испытывающие сильное влияние фактора неопределенности.

Хорошо структурированные проблемы многовариантны по своему существу, но все их существенные элементы и связи могут быть выражены количественно. В этом случае наилучший из возможных вариантов решения может быть найден с помощью методов исследования операций и экономико-математического моделирования.

Стандартные проблемы, отличающиеся полной ясностью и однозначностью не только целей, альтернатив и затрат, но и самих вариантов решений, решаются на основе заранее выработанных процедур и правил. В частности, решение такой проблемы может быть однозначно получено на основе четко определенной методики.

Нужно подчеркнуть, что отнесение той или иной проблемы к одному из названных четырех классов не носит постоянного характера. В процессе все более глубокого изучения, анализа и осмысления проблемы она из неструктурированной может превратиться в структурированную (при повышении удельного веса формально-логического и математического описания в формулировке проблемы и ее элементов), затем в хорошо структурированную (полностью описываемую экономико-математической моделью), а в ряде случаев и в стандартную (сводимую к тривиальному, жестко алгоритмизированному процессу принятия решений или к выполнению рутинных, полностью автоматизированных операций).

Основным методом исследования систем, в том числе с целью решения проблем, возникающих при управлении ими, является моделирование. В случае с экономической системой часто требуется наличие комплексной модели экономики, охватывающей все аспекты ее функционирования и структуры. Экономико-математические методы и экономико-математические модели соотносятся между собой как инструменты и результат процесса моделирования.

По степени структурированности:
– слабоструктурированные (непрограммированные) принимаются в новых случаях; предполагают наличие недостоверной информации и большой выбор альтернатив; количество таких решений растет по мере роста масштабов организации

– высокоструктурированные (программируемые) являются результатом определенной последовательности шагов; ограничено число альтернатив; выбор происходит по заданной направленности в пределах правил и нормативов; принимаются на основе достоверной информации.

4. Классификация методов построения моделей (в частности, экономических) Понятие модели. Адекватность модели.

Моде́ль - это упрощенное представление реального устройства и/или протекающих в нем процессов, явлений.

Построение и исследование моделей, то есть моделирование, облегчает изучение имеющихся в реальном устройстве свойств и закономерностей. Применяют для нужд познания.

Классификация:

· экономическая кибернетика: системный анализ, теория экономической информации и теория управляющих систем

· математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины – выборочный метод, дисперсионный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов и др.

· математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.

· методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике: оптимальное программирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, теория и методы управления запасами, теория массового обслуживания, теория игр, теория и методы принятия решений. В оптимальное программирование входят в свою очередь линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое, дискретное, дробно-линейное, параметрическое, стохастическое, геометрическое программирование

· методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для рыночной экономики. К первым можно отнести теорию системы оптимального функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Ко вторым – методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, капиталистического цикла, модель монополии, индикативного планирования, модели теории фирм и т. д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики

· методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относятся, как правило, математические метолы анализа и планирования экспериментов экономического характера, методы машинной имитации, деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, с трудом поддающихся непосредственному измерению.

Метод моделирования основывается на принципе аналогии. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания. Качество модели зависит от ее способности отражать и воспроизводить предметы и явления объективного мира, их структуру и закономерный порядок.

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании является понятие адекватности модели, то есть соответствия модели моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно для моделирования экономических систем. При моделировании имеется в виду и не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования.

Построение модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливается тем, что модель отображает какие-либо существенные черты объекта оригинала. Вопрос о необходимой и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, что модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом, так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличиях от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть постоянно несколько специализированных моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

Адекватность:

Адекватность модели - совпадение свойств (функций/параметров/характеристик и т. п.) модели и соответствующих свойств моделируемого объекта. Адекватностью называется совпадение модели моделируемой системы в отношении цели моделирования.

В процессе работы модель выступает в роли относительносамостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании некоторые знания о самом объекте. Если результаты такого исследования (моделирования) подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Проверка адекватности и корректировка модели. Проверка адекватности модели необходима, так как по неверным результатам моделирования могут быть приняты неверные решения. Проверка может производиться путем сравнения показателей, полученных на модели, с реальными, а также путем экспертного анализа. Желательно проведение такого анализа независимым экспертом. Если по результатам проверки адекватности выявляются недопустимые расхождения между системой и ее моделью, в модель вносят необходимые изменения.В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится.Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (то есть в ситуациях, когда реальная система вообще не существует). Тем не менее, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования - использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев.При проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы - они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системы? Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

По средним значениям откликов модели и системы;

По дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

По максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

5. Процесс создания модели. Схема цикла моделирования. Взаимосвязь этапов процесса моделирования

Процесс моделирования включает три элемента:

Субъект (исследователь),

Объект исследования,

Модель, определяющую (отражающую) отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Первый этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что модель отображает (воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимой и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала. Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от исследования других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о её «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество (совокупность) знаний о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний. Одновременно происходит переход с «языка» модели на «язык» оригинала. Процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели.

Четвёртый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырёхэтапным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта или ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах.

Сейчас трудно указать область человеческой деятельности, где не применялось бы моделирование. Разработаны, например, модели производства автомобилей, выращивания пшеницы, функционирования отдельных органов человека, жизнедеятельности Азовского моря, последствий атомной войны. В перспективе для каждой системы могут быть созданы свои модели, перед реализацией каждого технического или организационного проекта должно проводиться моделирование.

Взаимосвязи этапов. Вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования, между ними возникают возвратные связи. Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализация дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации. Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т. д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики - математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью - они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и бланков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления.

Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтезпроцесса экономико-математического моделирования.

6. Классификации видов моделей: в зависимости от исходного принципа построения; по общему целевому назначению; по степени агрегированности объектов моделирования; по цели создания и применения; по типу используемой информации; в зависимости от учета фактора времени; по типу используемого математического аппарата; по типу подхода к изучаемым явлениям.

Единой системы классификации экономико-математических моделей не существует. Для стратификации их на виды могут использоваться различные основания. Например, когда говорилось о понятии системы, виды моделей подразделялись на функциональные, структурные и информационные модели в зависимости от того, какое описание системы положено в основу модели.

По общему целевому назначению модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей процессов, и прикладные, применяемые в целях решения конкретных задач управления: анализа, прогнозирования и планирования.

По степени агрегирования объектов моделирования модели экономических систем разделяются на макроэкономические и микроэкономические. Хотя четко разграничения между ними нет, к первым принято относить модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как ко вторым относят модели отдельных фирм, предприятий, организаций.

По конкретному предназначению, то есть по цели создания и применения, можно выделить:

1) балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования;

2) трендовые модели, в которых развитие моделируемой системы отражается через тренд ее основных показателей; (тренд в экономике - направление преимущественного движения показателей.)

3) оптимизационные модели, предназначенные для осуществления выбора наилучшего варианта из ограниченного множества возможных;

4) имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов и др.

По типу информации, используемой в моделях, они делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.

По учету фактора неопределенности модели можно разделить на детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.

По учету фактора времени модели подразделяются на статические модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Примеры моделей : классификация животных…., строение молекул, список посаженных деревьев, отчет об обследовании состояния зубов в школе и тд.; и динамические, модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры : описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

Математические модели могут классифицироваться также по характеристике математических объектов, включенных в модель, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории игр, модели сетевого планирования и управления и т. д.

По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам можно подразделить модели на дескриптивные и нормативные. Дескриптивный подход в моделировании предполагает создание модели, предназначенной для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений и/или для прогноза этих явлений. Трендовые модели – яркий пример именно дескриптивных моделей. При нормативном подходе исследователя, управленца интересует не столько то, каким образом устроена и как развивается система, а то, как она должна быть устроена и как должна функционировать в смысле выполнения определенных критериев. Оптимизационные модели, например, по смыслу относятся к нормативным моделям.

По целям исследований

В зависимости от целей исследования выделяют следующие модели:

функциональные . Предназначены для изучения особенностей работы (функционирования) системы, её назначения во взаимосвязи с внутренними и внешними элементами;

функционально-физические . Предназначены для изучения физических (реальных) явлений, используемых для реализации заложенных в систему функций;

модели процессов и явлений , такие как кинематические, прочностные, динамические и другие. Предназначены для исследования тех или иных свойств и характеристик системы, обеспечивающих её эффективное функционирование.

по общему назначению

Технические

Экономические

Социальные и т.д.

7. Общее понятие эконометрических моделей. Виды эконометрических моделей .(дополнительно есть в тетради т.1 вопр.2)
Эконометрические модели – это формализованное описание различных экономических явлений и процессов.Эконометрические модели являются составляющими более широкого класса ЭММ. Данная модель выступает в качестве средств анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов, как на макро, так и на микро уровнях на основе реальной статистики.

Эконометрическая модель, учитывая корреляционные связи, позволяет путем подбора аналитической зависимости построить модель на базисном периоде и при достаточной адекватности модели использовать ее для краткосрочного прогноза.

Виды эконометрических моделей:

Парная регрессия (устанавливает зависимость между двумя переменными);

Множественная регрессия (переменная зависит от двух или более факторов);

Система экономических уравнений (факторы от которых зависит переменная требуют не одного, а нескольких уравнений);

Модели временных рядов (значение переменной за ряд последовательных моментов времени).

Экономические переменные, участвующие в любой эконометрической модели (например y=f(x)), делятся на четыре вида:

Экзогенные (независимые) - переменные, значения которых задаются извне. В определенной степени данные переменные являются управляемыми (x);

Эндогенные (зависимые) - переменные, значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые (y);

Лаговые - экзогенные или эндогенные переменные в эконометрической модели, относящиеся к предыдущим моментам времени и находящиеся в уравнении с переменными, относящимися к текущему моменту времени. Например, xi-1 - лаговая экзогенная переменная, yi-1 - лаговая эндогенная переменная;

Предопределенные (объясняющие переменные) - лаговые (xi-1) и текущие (x) экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные (yi-1).

Тот же вопрос про виды,но подробно:

Главным инструментом эконометрического исследования является модель. Выделяют три основных класса эконометрических моделей:

1. модель временных рядов;

2. модели регрессии с одним уравнением;

3. системы одновременных уравнений.

Моделью временных рядов называется зависимость результативной переменной от переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.

К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от времени, относятся:

а) модель зависимости результативной переменной от трендовой компоненты или модель тренда;
б) модель зависимости результативной переменной от сезонной компоненты или модель сезонности;
в) модель зависимости результативной переменной от трендовой и сезонной компонент или модель тренда и сезонности.

К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от переменных, датированных другими моментами времени, относятся:

а) модели с распределённым лагом, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений факторных переменных;

в) модели ожидания, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от будущих значений факторных или результативных переменных.

Кроме рассмотренной классификации, модели временных рядов делятся на модели, построенные по стационарным и нестационарным временным рядам.

Стационарным временным рядом называется временной ряд, который характеризуется постоянными во времени средней, дисперсией и автокорреляцией, т. е. данный временной ряд не содержит трендовой и сезонной компонент.

Нестационарным временным рядом называется временной ряд, который содержит трендовую и сезонную компоненты.

Моделью регрессии с одним уравнением называется зависимость результативной переменной, обозначаемой как у, от факторных (независимых) переменных, обозначаемых как х1,х2,…,хn . Данную зависимость можно представить в виде функции регрессии или модели регрессии:

y=f(x,β)=f(х1,х2,…,хn, β1…βk)

где β1…βk – параметры модели регрессии.

Можно выделить две основных классификации моделей регрессии::

а) классификация моделей регрессии на парные и множественные регрессии в зависимости от числа факторных переменных;

б) классификация моделей регрессии на линейные и нелинейные регрессии в зависимости от вида функции f(x,β).

В качестве примеров моделей регрессии с одним уравнением можно привести следующие модели:

а) производственная функция вида Q=f(L,K), выражающая зависимость объёма производства определённого товара (Q ) от производственных факторов – от затрат капитала (К ) и затрат труда (L );

б) функция цены Р=f(Q,Pk), характеризующая зависимость цены определённого товара (Р) от объема поставки (Q ) и от цен конкурирующих товаров (Pk );

в) функция спроса Qd=f(P,Pk,I) , характеризующая зависимость величины спроса на определённый товар (Р ) от цены данного товара (Р ), от цен товаров-конкурентов (Pk ) и от реальных доходов потребителей (I ).

Системой одновременных уравнений называется модель, которая описывается системами взаимозависимых регрессионных уравнений.

Системы одновременных уравнений могут включать в себя тождества и регрессионные уравнения, в каждое из которых могут входить не только факторные переменные, но и результативные переменные из других уравнений системы.

Регрессионные уравнения, входящие в систему одновременных уравнений, называются поведенческими уравнениями . В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию.

Основное отличие тождеств от регрессионных уравнений заключается в том, что их вид и значения параметров известны заранее.

Примером системы одновременных уравнений является модель спроса и предложения, в которую входит три уравнения:

а) уравнение предложения: =а0+а1*Рt+a2*Pt-1 ;

б) уравнение спроса: =b0+b1* Рt+b2*It;

в) тождество равновесия: QSt = Qdt ,

где QSt – предложение товара в момент времени t;

Qdt – спрос на товар в момент времени t;

Рt – цена товара в момент времени t;

Pt-1 – цена товара в предшествующий момент времени (t-1);

It – доход потребителей в момент времени.

В модели спроса и предложения выражаются две результативные переменные:

а) Qt – объём спроса, равный объёму предложения в момент времени t;

б) Pt – цена товара в момент времени t.

8. Процесс построения эконометрической модели. (6 вопрос из статистики)

Выделяют семь основных этапов эконометрического моделирования:

1) постановочный этап, в процессе осуществления которого определяются конечные цели и задачи исследования, а также совокупность включённых в модель факторных и результативных экономических переменных. При этом включение в эконометрическую модель той или иной переменной должно быть теоретически обоснованно и не должно быть слишком большим. Между факторными переменными не должно быть функциональной или тесной корреляционной связи, потому что это приводит к наличию в модели мультиколлинеарности и негативно сказывается на результатах всего процесса моделирования;

2) априорный этап , в процессе осуществления которого проводится теоретический анализ сущности исследуемого процесса, а также формирование и формализация известной до начала моделирования (априорной) информации и исходных допущений, касающихся в частности природы исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих в виде ряда гипотез;

3) этап параметризации (моделирования) , в процессе осуществления которого выбирается общий вид модели и определяется состав и формы входящих в неё связей, т. е. происходит непосредственно моделирование.

К основным задачам этапа параметризации относятся:

а) выбор наиболее оптимальной функции зависимости результативной переменной от факторных переменных. При возникновении ситуации выбора между нелинейной и линейной функциями зависимости, предпочтение всегда отдаётся линейной функции, как наиболее простой и надёжной;

б) задача спецификации модели, в которую входят такие подзадачи, как аппроксимация математической формой выявленных связей и соотношений между переменными, определение результативных и факторных переменных, формулировка исходных предпосылок и ограничений модели.

4) информационный этап - сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей; а также анализ качества собранной информации;

5) этап идентификации модели , в ходе осуществления которого происходит статистический анализ модели и оцененивание неизвестных параметров. Данный этап непосредственно связан с проблемой идентифицируемости модели, т. е. ответа на вопрос «Возможно ли восстановить значения неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным в соответствии с решением, принятым на этапе параметризации». После положительного ответа на этот вопрос решается проблема идентификации модели, т. е. реализуется математически корректная процедура оценивания неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным;

6) этап оценки качества модели , в ходе осуществления которого проверяется достоверность и адекватность модели, т. е. определяется, насколько успешно решены задачи спецификации и идентификации модели, какова точность расчётов, полученных на её основе. Построенная модель должна быть адекватна реальному экономическому процессу. Если качество модели является неудовлетворительным, то происходит возврат ко второму этапу моделирования;

7) этап интерпретации результатов моделирования .

К наиболее распространённым эконометрическим моделям относятся:

1. модели потребительского и сберегательного потребления;

2. модели взаимосвязи риска и доходности ценных бумаг;

3. модели предложения труда;

4. макроэкономические модели (модель роста);

5. модели инвестиций;

6. маркетинговые модели;

7. модели валютных курсов и валютных кризисов и др.

Эконометрическое исследование связано с решением следующих проблем:

1. качественный анализ связей экономических переменных, т. е. определение зависимых (yi) и независимых (хi) переменных;

2. изучение соответствующего раздела экономической теории;

3. подбор данных;

4. спецификация формы связи между yi и хi;

5. оценка неизвестных параметров модели;

6. проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты (гипотезы о средней дисперсии и ковариации);

7. анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, определение переменных, ответственных за мультиколлинеарность;

8. введение фиктивных переменных;

9. выявление автокорреляции;

10. выявление тренда, циклической и случайной компонент;

11. проверка остатков модели на гетероскедастичность;

12. анализ структуры связей и построения системы одновременных уравнений;

13. проверка условия идентификации;

14. оценка параметров системы одновременных уравнений;

15. проблемы моделирования на основе системы временных рядов;

17. выработка управленческих решений

18. прогноз экономических показателей, характеризующих изучаемый процесс;

19. моделирование поведения процесса при различных значениях независимых (факторных) переменных.