Некоторые оптические законы были уже известны до установления природы света. Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света.
Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно. Этот закон является приближенным, так как при прохождении света через очень малые отверстия наблюдаются отклонения от прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстие.
Закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Пересечения лучей не мешают каждому из них распространяться независимо друг от друга. Разбивая световой пучок на отдельные световые пучки, можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо. Этот закон справедлив лишь при не слишком больших интенсивностях света. При интенсивностях, достигаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться.
Закон отражения: отраженный от границы раздела двух сред луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела в точке падения; угол отражения равен углу падения.
Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред
sini 1 /sini 2 = n 12 = n 2 / n 1 , очевидно sini 1 /sini 2 = V 1 / V 2 , (1)
где n 12 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления n 12 = n 2 / n 1 .
Абсолютным показателем преломления среды наз. величина n, равная отношению скорости С электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости V в среде:
Среда с большим оптическим показателем преломления наз. оптически более плотной.
Из симметрии выражения (1) вытекает обратимость световых лучей , сущность которой состоит в том, что если направить световой луч из второй среды в первую под углом i 2 , то преломленный луч в первой среде выйдет под углом i 1 . При переходе света из оптически менее плотной среды в более плотную получается, что sini 1 > sini 2 , т.е. угол преломления меньше угла падения света, и наоборот. В последнем случае при увеличении угла падения угол преломления увеличивается в большей мере, так что при некотором предельном угле падения i пр угол преломления становится равным π/2. С помощью закона преломления можно рассчитать значение предельного угла падения:
sin i пр /sin(π/2) = n 2 /n 1 , откуда i пр = arcsin n 2 /n 1 . (2)
В этом предельном случае преломленный луч скользит по границе раздела сред. При углах падения i > i пр свет не проникает в глубь оптически менее плотной среды, имеет место явление полного внутреннего отражения. Угол i пр называется предельным углом полного внутреннего отражения.
Явление полного внутреннего отражения используется в призмах полного отражения, которые применяются в оптических приборах: биноклях, перископах, рефрактометрах (приборах, позволяющих определять оптические показатели преломления), в световодах, представляющих собой тонкие, гнущиеся нити (волокна) из оптически прозрачного материала. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на границе раздела сердцевины и оболочки полное внутреннее отражение и распространяется только по световедущей жиле. С помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Для передачи изображений используются многожильные световоды. Рассказать о применении световодов.
Для объяснения закона преломления и искривления лучей при прохождении их через оптически неоднородные среды вводится понятие оптической длины пути луча
L = nS или L = ∫ndS,
соответственно для однородной и неоднородной сред.
В 1660 году французский математик и физик П. Ферма установил принцип экстремальности (принцип Ферма) для оптической длины пути луча, распространяющегося в неоднородных прозрачных средах: оптическая длина пути луча в среде между двумя заданными точками минимальна, или другими словами, свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
Фотометрические величины и их единицы. Фотометрия – раздел физики, занимающийся вопросами измерения интенсивности света и его источников. 1.Энергетические величины :
Поток излучения Ф е – величина, численно равная отношению энергии W излучения ко времени t, за которое излучение произошло:
Ф е = W / t, ватт (Вт).
Энергетическая светимость (излучательность) R е – величина, равная отношению потока излучения Ф е, испускаемого поверхностью, к площади S сечения, сквозь которое этот поток проходит:
R е = Ф е / S, (Вт/м 2)
т.е. представляет собой поверхностную плотность потока излучения.
Энергетическая сила света (сила излучения) I e определяется с помощью понятия о точечном источнике света – источнике, размерами которого по сравнению с расстоянием до места наблюдения можно пренебречь. Энергетическая сила света I e величина, равная отношению потока излучения Ф е источника к телесному углу ω, в пределах которого это излучение распространяется:
I e = Ф е /ω, (Вт/ср)- ватт на стерадиан.
Сила света часто зависит от направления излучения. Если она не зависит от направления излучения, то такой источник называется изотропным . Для изотропного источника сила света равна
I e = Ф е /4π.
В случае протяженного источника можно говорить о силе света элемента его поверхности dS.
Энергетическая яркость (лучистость) В е – величина, равная отношению энергетической силы света ΔI e элемента излучающей поверхности к площади ΔS проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения:
В е = ΔI e / ΔS. (Вт/ср.м 2)
Энергетическая освещенность (облученность) Е е характеризует степень освещенности поверхности и равна величине потока излучения, падающего на единицу освещаемой поверхности. (Вт/м 2 .
2.Световые величины . При оптических измерениях пользуются различными приемниками излучения, спектральные характеристики чувствительности которых к свету различных длин волн различны. Относительная спектральная чувствительность человеческого глаза V(λ) приведена на рис. V(λ)
400 555 700 λ, нм
Поэтому световые измерения, являясь субъективными, отличаются от объективных, энергетических и для них вводятся световые единицы, используемые только для видимого света. Основной световой единицей в СИ является сила света – кандела (кд), которая равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·10 12 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.
Определение световых единиц аналогично энергетическим. Для измерения световых величин используют специальные приборы – фотометры.
Световой поток . Единицей светового потока является люмен (лм). Он равен световому потоку, излучаемому изотропным источником света с силой в 1 кд в пределах телесного угла в один стерадиан (при равномерности поля излучения внутри телесного угла):
1 лм = 1 кд·1ср.
Опытным путем установлено, что световому потоку в 1 лм, образованному излучением с длиной волны λ = 555 нм соответствует поток энергии в 0,00146 Вт. Световому потоку в 1 лм, образованному излучением с другой λ, соответствует поток энергии
Ф е = 0,00146/V(λ), Вт.
1 лм = 0,00146 Вт.
Освещенность Е - величина, раная отношению светового потока Ф, падающего на поверхность, к площади S этой поверхности:
Е = Ф/S, люкс (лк).
1 лк – освещенность поверхности, на 1 м 2 которой падает световой поток в 1 лм (1лк = 1 лм/м 2).
Яркость R C (светимость) светящейся поверхности в некотором направлении φ есть величина, равная отношению силы света I в этом направлении к площади S проекции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную данному направлению:
R C = I/(Scosφ). (кд/м 2).
В основе разработки практически всех оптических приборов и систем лежат законы распространения света. Некоторые из них учитывают двойственную природу света, некоторые - нет. Наиболее общие законы распространения света, не связанные с его природой, рассматриваются именно в геометрической оптике. С этими законами вам и предстоит познакомиться на этом уроке.
Тема: Оптика
Урок: Законы геометрической оптики
Геометрическая оптика является самой древней частью оптики как науки.
Геометрическая оптика - это раздел оптики, в котором рассматривают вопросы распространения света в различных оптических системах (линзах, призмах и т. д.) без рассмотрения вопроса о природе света.
Одним из основных понятий в оптике и, в частности, в геометрической оптике, является понятие луча.
Световой луч - линия, вдоль которой распространяется световая энергия.
Световой луч - это пучок света, толщина которого много меньше расстояния, на которое он распространяется. Такое определение близко, например, к определению материальной точки, которое дается в кинематике.
Первый закон геометрической оптики (Закон о прямолинейном распространении света): в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно.
По теореме Ферма: свет распространяется по такому направлению, время распространения по которому будет минимально.
Второй закон геометрической оптики (Законы отражения):
1. Отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред.
2. Угол падения равен углу отражения (см. Рис. 1).
|
∟α = ∟β |
Рис. 1. Закон отражения
Третий закон геометрической оптики (Закон преломления) (см. Рис. 2)
1. Преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, восстановленным в точку падения.
2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина, постоянная для данных двух сред, которая называется показателем преломления (n).
Интенсивность отраженного и преломленного луча зависит от того, какова среда и что собой представляет граница раздела.
Рис. 2. Закон преломления
Физический смысл показателя преломления:
Показатель преломления является относительным, так как измерения проводятся относительно двух сред.
В том случае, если одна из сред - это вакуум:
С - скорость света в вакууме,
n - абсолютный показатель преломления, характеризующий среду относительно вакуума.
Если свет переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную среду, то скорость света уменьшается.
Оптически более плотная среда - среда, в которой скорость света меньше.
Оптически менее плотная среда - среда, в которой скорость света больше.
Существует предельный угол преломления - наибольший угол падения луча, при котором еще имеет место преломление при переходе луча в менее плотную среду. При углах падения больше предельного происходит полное внутреннее отражение (см. Рис. 3).
Рис. 3. Закон полного внутреннего отражения
Границы применимости геометрической оптики заключаются в том, что необходимо учитывать размер препятствий для света.
Свет характеризуется длиной волны, равной примерно 10 -9 метра
Если препятствия больше длины волны, то можно использовать размеры геометрической оптики.
- Физика. 11 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений и шк. с углубл. изучением физики: профильный уровень / А.Т. Глазунов, О.Ф. Кабардин, А.Н. Малинин и др. Под ред. А.А. Пинского, О.Ф. Кабардина. Рос. акад. наук, Рос. акад. образования. - М.: Просвещение, 2009.
- Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Дрофа, 2005.
- Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2010.
- Санкт-Петербургская Школа ().
- AYP.ru ().
- Техническая и учебно-методическая документація ().
Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 кл. - М.: Дрофа, 2010. - № 1023, 1024, 1042, 1054.
- Зная скорость света в вакууме, найдите скорость света в алмазе.
- Почему, сидя у костра, мы видим предметы, расположенные напротив, колеблющимися?
- Прокомментируйте опыт: положите монетку на стол и поставьте на нее пустую стеклянную банку (см. Рис. 4). Посмотрите на монетку сбоку сквозь стенку банки (или попросите кого-нибудь смотреть на монетку). Налейте воды полную банку и посмотрите вновь сбоку на дно банки. Куда исчезла монетка?
В результате изучения данной главы студент должен: знать
- понятия волновой и геометрической оптики;
- понятие корпускулярно-волнового дуализма;
- четыре закона геометрической оптики;
- понятие интерференции света, когерентности, цуга;
- принцип Гюйгенса - Френеля;
- расчет интерференционной картины двух источников;
- расчет интерференции в тонких пленках;
- принципы просветления оптики; уметь
- решать типовые прикладные физические задачи на законы геометрической оптики и интерференцию света;
владеть
- навыками использования стандартных методов и моделей математики применительно к законам геометрической оптики и интерференции света;
- навыками использования методов аналитической геометрии и векторной алгебры применительно к законам геометрической оптики и интерференции света;
- навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента но законам геометрической оптики и интерференции света.
Волновая и геометрическая оптика. Законы геометрической оптики
Волновая оптика - раздел оптики, который описывает распространение света с учетом его волновой электромагнитной природы. В рамках волновой оптики теория Максвелла позволила достаточно просто объяснить такие оптические явления, как интерференция, дифракция, поляризация и т.п.
В конце XVII в. оформились две теории света: волновая (продвигалась Р. Гуком и X. Гюйгенсом) и корпускулярная (ее продвигал И. Ньютон). Волновая теория воспринимает свет как волновой процесс, подобный упругим механическим волнам. Согласно корпускулярной (квантовой) теории свет представляет собой поток частиц (корпускул), описываемых законами механики. Так, отражение света можно рассматривать аналогично отражению упругого шарика от плоскости. Долгое время две теории света считались альтернативными. Однако многочисленные опыты показали, что свет в одних опытах обнаруживает волновые свойства, а в других - корпускулярные. Поэтому в начале XX в. было признано, что свет принципиально имеет двойственную природу - обладает корпускулярно-волновым дуализмом.
Но прежде чем излагать основные положения и результаты волновой оптики, сформулируем элементарные законы геометрической оптики.
Геометрическая оптика - раздел оптики, изучающий законы распространения света в прозрачных средах и правила построения изображений при прохождении света в оптических системах без учета его волновых свойств. В геометрической оптике вводится понятие светового луча, определяющего направление потока лучистой энергии. При этом полагается, что распространение света не зависит от поперечных размеров пучка света. В соответствии с законами волновой оптики это справедливо, если поперечный размер пучка много больше длины волны света. Геометрическую оптику можно рассматривать как предельный случай волновой оптики при стремящейся к нулю длине волны света. Точнее границы применимости геометрической оптики будут определены при изучении дифракции света.
Основные законы геометрической оптики были открыты опытным путем задолго до выявления физической природы света. Сформулируем четыре закона геометрической оптики.
- 1. Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Подтверждением этого закона служит резкая тень, отбрасываемая телом при освещении точечным источником света. Другой пример - при прохождении света далекого источника через небольшое отверстие получается узкий прямой световой луч. При этом необходимо, чтобы размер отверстия был много больше длины волны.
- 2. Закон независимости световых пучков: производимый отдельным пучком света эффект не зависит от других пучков. Так, освещенность поверхности, на которую надает несколько пучков, равна сумме освещенностей, создаваемых отдельными пучками. Исключением являются нелинейные оптические эффекты, которые могут иметь место при больших интенсивностях света.
Рис. 26.1
3. Закон отражения света: падающий и отраженный лучи (а также перпендикуляр к границе раздела двух сред , (плоскости падения) по разные стороны от перпендикуляра. Угол отражения у равен углу падения а (рис. 26.1):
4. Закон преломления света: падающий и преломленный лучи (а также перпендикуляр к границе раздела двух сред , восстановленный в точке падения луча) лежат в одной плоскости (плоскости падения) по разные стороны от перпендикуляра.
Отношение синуса угла падения а к синусу угла преломления р есть величина , постоянная для двух данных сред (рис. 26.1):
Здесь п - показатель преломления второй среды относительно первой.
Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем преломления. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:
Законы отражения и преломления имеют объяснение в волновой физике. Преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления - отношение скорости распространения волны в первой среде v { к скорости распространения во второй среде v 2:
Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света с в вакууме к скорости света v в среде:
Среду с большим абсолютным показателем преломления называют оптически более плотной средой. При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, например из стекла в воздух (п 2 может иметь место явление полного отражения , т.е. исчезновение преломленного луча. Это явление наблюдается при углах падения, превышающих некоторый критический угол а пр, который называется предельным углом полного внутреннего отражения. Для угла падения а = а пр условием исчезновения преломленного луча является
Если второй средой является воздух (п 2 ~ 1), то с помощью формул (26.2) и (26.3) формулу для вычисления предельного угла полного внутреннего отражения удобно записать в виде
где п = п х > 1 - абсолютный показатель преломления первой среды. Для границы раздела «стекло - воздух» (п = 1,5) критический угол а пр = 42°, для границы «вода - воздух» (п = 1,33) а пр = 49°.
Наиболее интересным применением полного внутреннего отражения является создание волоконных световодов , которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до нескольких миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц, пластик). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей. Световод нельзя изгибать сильно, поскольку при сильном изгибе условие полного внутреннего отражения (26.7) нарушается и свет частично выходит из волокна через боковую поверхность.
Отметим, что первый, третий и четвертый законы геометрической оптики можно вывести из принципа Ферма (принципа наименьшего времени): траектория распространения светового луча соответствует наименьшему времени распространения. И это несложно показать.
В заключение рассмотрим одну из забавных задач геометрической оптики - создание шапки-невидимки. С точки зрения оптики шапка-невидимка могла бы представлять собой систему огибания объекта лучами света.
Сделать такую систему, воспользовавшись законом преломления света, в принципе несложно, основная проблема - в борьбе с сильным затуханием света в преломляющей системе. Поэтому лучшим вариантом может оказаться система из видеорегистратора изображения за объектом и телепередатчика этого изображения перед объектом.
Основные законы геометрической оптики были известны задолго до установления физической природы света.
Закон прямолинейного распространения света : в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны. Таким образом, геометрическая оптика, опирающаяся на представление о световых лучах, есть предельный случай волновой оптики при λ → 0. Границы применимости геометрической оптики будут рассмотрены в разделе о дифракции света.
На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а часть пройдет через границу и продолжит распространяться во второй среде.
Закон отражения света : падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения ). Угол отражения γ равен углу падения α.
Закон преломления света : падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред:
Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости их распространения во второй среде υ 2:
Рис 3.1.1 иллюстрирует законы отражения и преломления света.
Среду с меньшим абсолютным показателем преломления называют оптически менее плотной.
При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотнуюn 2 <n 1 (например, из стекла в воздух) можно наблюдать явление полного отражения , то есть исчезновение преломленного луча. Это явление наблюдается при углах падения, превышающих некоторый критический угол α пр, который называется предельным углом полного внутреннего отражения (см. рис. 3.1.2).
Для угла падения α = α пр sin β = 1; значение sin α пр = n 2 / n 1 < 1.
Если второй средой является воздух (n 2 ≈ 1), то формулу удобно переписать в виде
Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов , которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей (рис 3.1.3). Научно-техническое направление, занимающееся разработкой и применением оптическихсветоводов, называется волоконной оптикой .
Введение.
Уже в древности наметились три основных подхода к решению вопроса о природе света. Эти три подхода в последующем оформились в две конкурирующие теории – корпускулярную и волновую теории света.
Подавляющее большинство древних философов и ученых рассматривало свет как некие лучи, соединяющие светящееся тело и человеческий глаз. При этом одни из них полагали, что лучи исходят из глаз человека, они как бы ощупывают рассматриваемый предмет. Эта точка зрения имела большое число последователей, среди которых был Эвклид. Формулируя первый закон геометрической оптики, закон прямолинейного распространения света, Эвклид писал: “Испускаемые глазами лучи распространяются по прямому пути”. Такого же взгляда придерживался Птолемей и многие другие ученые и философы.
Однако позже, уже в средние века, такое представление о природе света теряет свое значение. Все меньше становится ученых, следующих этим взглядам. И к началу XVII в. эту точку зрения можно считать уже забытой. Другие, наоборот, считали, что лучи испускаются светящимся телом и, достигая человеческого глаза, несут на себе отпечаток светящегося предмета. Такой точки зрения придерживались атомисты Демокрит, Эпикур, Лукреций.
Последняя точка зрения на природу света уже позже, в XVII в., оформилась в корпускулярную теорию света, согласно которой свет есть поток каких-то частиц, испускаемых светящимся телом.
Третья точка зрения на природу света была высказана Аристотелем. Он рассматривал свет как распространяющееся в пространстве (в среде) действие или движение. Мнение Аристотеля в его время мало кто разделял. Но в дальнейшем, опять же в XVII в., его точка зрения получила развитие и положила начало волновой теории света.
К середине XVII века накопились факты, которые толкали научную мысль за пределы геометрической оптики. Одним из первых ученых, подтолкнувшим научную мысль к теории волновой природы света, был чешский ученый Марци. Его работы известны не только в области оптики, но также и в области механики и даже медицины. В 1648 им открыто явление дисперсии света.
В XVII в. в связи с развитием оптики вопрос о природе света стал вызывать все больший и больший интерес. При этом постепенно происходит образование двух противоположных теорий света: корпускулярной и волновой. Для развития корпускулярной теории света была более благоприятная почва. Действительно, для геометрической оптики представление о том, что свет есть поток особых частиц, было вполне естественным. Прямолинейное распространение света, а также законы отражения и преломления хорошо объяснялись с точки зрения этой теории.
Общее представление о строении вещества также не вступало в противоречие с корпускулярной теорией света. В то время в основе взглядов на строение вещества лежала атомистика. Все тела состоят из атомов. Между атомами существует пустое пространство. В частности, тогда считали, что межпланетное пространство является пустым. В нем и распространяется свет от небесных тел в виде потоков световых частиц. Поэтому вполне естественно, что в XVII в. было много физиков, которые придерживались корпускулярной теории света. В это же время начинает развиваться и представление о волновой природе света. Родоначальником волновой теории света можно считать Декарта.
Единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения.
Рассмотренные в данном разделе явления- излучение чёрного тела, фотоэффекта, эффект Комптона- служат доказательством квантовых(корпускулярных) представлений о свете как о потоке фотонов. С другой стороны, такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, убедительно подтверждают волновую (электромагнитную) природу света. Наконец, давление и преломление света объясняются как волновой, так и квантовой теориями. Таким образом, электромагнитное излучение обнаруживает удивительное единство, казалось бы, взаимоисключающих свойств- непрерывных(волны) и дискретных(фотоны), которые взаимно дополняют друг друга.
Более детальное рассмотрение оптических явлений приводит к выводу, что свойства непрерывности, характерные для электромагнитного поля световой волны, не следует противопоставлять свойствам дискретности, характерным для фотона. Свет, обладая одновременно корпускулярными и волновыми свойствами, обнаруживает определённые закономерности в их проявлении. Так, волновые свойства света проявляются в закономерностях его распространения, интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные – в процессах взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются квантовые свойства света (с этим связано, например, существование красной границы фотоэффекта). Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживается волновые свойства (например, волновые свойства (дифракция) рентгеновского излучения обнаружены лишь после применения в качестве дифракционной решётки кристаллов).
Взаимосвязь между двойственными корпускулярно-волновыми свойствами света можно объяснить, если использовать, как это делает квантовая оптика, статистический подход к рассмотрению закономерностей рассмотрения света. Например, дифракция света на щели состоит в том, что при прохождении света через щель происходит перераспределение фотонов в пространстве. Так как вероятность попадания фотонов в различные точки экрана неодинакова, то и возникает дифракционная картина. Освещённость экрана пропорциональна вероятности попадания фотонов на единицу площади экрана. С другой стороны, по волновой теории, освещённость пропорциональна квадрату амплитуды световой волны той же точке экрана. Следовательно, квадрат амплитуды световой волны в данной точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в данную точку.
Волновые свойства света.
Дисперсия.
Ньютон обратился к исследованию цветов, наблюдаемых при преломлении света, в связи с попытками усовершенствования телескопов. Стремясь получить линзы возможно лучшего качества, Ньютон убедился, что главным недостатком изображений является наличие окрашенных краёв. Исследуя окрашивание при преломлении, Ньютон сделал свои величайшие оптические открытия.
Сущность открытий Ньютона поясняется следующими опытами (рис.1) свет от фонаря освещает узкое отверстие S (щель). При помощи линзы L изображение щели получается на экране MN в виде короткого белого прямоугольника S`. Поместив на пути призму P, ребро которой параллельно щели, обнаружим, что изображение щели сместится и превратится в окрашенную полоску, переходы цветов, в которой от красного к фиолетовому подобны наблюдаемым в радуге. Это радужное изображение Ньютон назвал спектром.
Если прикрыть щель цветным стеклом, т.е. если направлять на призму вместо белого света цветной, изображение щели сведется к цветному прямоугольнику, располагающему на соответствующем месте спектра, т.е. в зависимости от цвета свет будет отклоняться на различные углы от первоначального изображения S`. Описанное наблюдения показывает, что лучи разного цвета различно преломляются призмой.
Это важное заключение Ньютон проверил многими опытами. Важнейший из них состоял в определении и показателя преломления лучей различного цвета, выделенных из спектра. Для этой цели в экране MN , на котором получается спектр, прорезалось отверстие; перемещая экран, можно было выпустить через отверстие узкий пучок лучей того или иного цвета. Такой способ выделения однородных лучей более совершенен, чем выделение при помощи цветного стекла. Опыты обнаружили, что такой выделенный пучок, преломляясь во второй призме, уже не растягивает полоску. Такому пучку соответствует определенный показатель преломления, значение которого зависит от цвета выделенного пучка.
Описанные опыты показывают, что для узкого цветного пучка, выделенного из спектра, показатель преломления имеет вполне определенное значение, тогда как преломление белого света можно только приблизительно охарактеризовать одним каким то значением этого показателя. Сопоставляя подобные наблюдения, Ньютон сделал вывод, что существуют простые цвета, не разлагающиеся при прохождении через призму, и сложные, представляющие совокупность простых, имеющих разные показатели преломления. В частности, солнечный свет есть такая совокупность цветов, которая при помощи призмы разлагается, давая спектральное изображение щели.
Таким образом, в основных опытах Ньютона заключались два важных открытия:
1)Свет различного цвета характеризуется различными показателями преломления в данном веществе (дисперсия).
2)Белый цвет есть совокупность простых цветов.
Мы знаем в настоящее время, что разным цветам соответствуют различные длины световых волн. Поэтому первое открытие Ньютона можно сформулировать следующим образом:
Показатель преломления вещества зависит от длины световой волны.
Обычно он увеличивается по мере уменьшения длины волны.
Дифракция.
У световой волны не происходит изменения геометрической формы фронта при распространении в однородной среде. Однако если распространение света осуществляется в неоднородной среде, в которой, например, находятся не прозрачные экраны, области пространства со сравнительно резким изменением показателя преломления и т. п., то наблюдается искажение фронта волны. В этом случае происходит перераспределение интенсивности световой волны в пространстве. При освещении, например, непрозрачных экранов точечным источником света на границе тени, где согласно законам геометрической оптики должен был бы проходить скачкообразный переход от тени к свету, наблюдается ряд тёмных и светлых полос, часть света проникает в область геометрической тени. Эти явления относятся к дифракции света.
Итак, дифракция света в узком смысле - явление огибания светом контура непрозрачных тел и попадание света в область геометрической тени; в широком смысле - всякое отклонение при распространении света от законов геометрической оптики.
Определение Зоммерфельда: под дифракцией света понимают всякое отклонение от прямолинейного распространения, если оно не может быть объяснено как результат отражения, преломления или изгибания световых лучей в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления.
Если в среде имеются мельчайшие частицы (туман) или показатель преломления заметно меняется на расстояниях порядка длины волны, то в этих случаях говорят о рассеянии света и термин «дифракция» не употребляется.
Различают два вида дифракции света. Изучая дифракционную картину в точке наблюдения, находящейся на конечном расстоянии от препятствия, мы имеем дело с дифракцией Френеля. Если точка наблюдения и источник света расположены от препятствия так далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку наблюдения, можно считать параллельными пучками, то говорят о дифракции в параллельных лучах – дифракции Фраунгофера.
Теория дифракции рассматривает волновые процессы в тех случаях, когда на пути распространения волны имеются какие – либо препятствия.
С помощью теории дифракции решают такие проблемы, как защита от шумов с помощью акустических экранов, распространение радиоволн над поверхностью Земли, работа оптических приборов (так как изображение, даваемое объективом, - всегда дифракционная картина), измерения качества поверхности, изучение строения вещества и многие другие.
Поляризация
Явления интерференции и дифракции, послужившие для обоснования волновой природы света, не дают еще полного представления о характере световых волн. Новые черты открывает нам опыт над прохождением света через кристаллы, в частности через турмалин.
Возьмем две одинаковые прямоугольные пластинки турмалина, вырезанные так, что одна из сторон прямоугольника совпадает с определенным направлением внутри кристалла, носящим название оптической оси. Наложим одну пластинку на другую так, чтобы оси их совпадали по направлению, и пропустим через сложенную пару пластинок узкий пучок света от фонаря или солнца. Так как турмалин представляет собой кристалл буро – зеленого цвета, то след прошедшего пучка на экране представится в виде тёмно – зеленого пятнышка. Начнем поворачивать одну из пластинок вокруг пучка, оставляя вторую неподвижной. Мы обнаружим, что след пучка становится слабее, и когда пластинка повернётся на 90 0 , он совсем исчезнет. При дальнейшем вращении пластинки проходящий пучок вновь начнет усиливаться и дойдет до прежней интенсивности, когда пластинка повернется на 180 0 , т.е. когда оптические оси пластинок вновь расположатся параллельно. При дальнейшем вращении турмалина пучок вновь слабеет.
Можно объяснить все наблюдающиеся явления, если сделать следующие выводы.
Световые колебания в пучке направлены перпендикулярно к линии распространения света (световые волны поперечны).
Турмалин способен пропускать световые колебания только в том случае, когда они направлены определенным образом относительно его оси.
В свете фонаря(солнца) представлены поперечные колебания любого направления и притом в одинаковой доле, так что ни одно направление не является преимущественным.
Вывод 3 объясняет, почему естественный свет в одинаковой степени проходит через турмалин при любой его ориентации, хотя турмалин, согласно выводу 2, способен пропускать световые колебания только определенного направления. Прохождение естественного света через турмалин приводит к тому, что из поперечных колебаний отбираются только те, которые могут пропускаться турмалином. Поэтому свет, прошедший через турмалин, будет представлять собой совокупность поперечных колебаний одного направления, определяемого ориентацией оси турмалина. Такой свет мы будем называть линейно поляризованным, а плоскость, содержащую направление колебаний и ось светового пучка, - плоскостью поляризации.
Теперь становится понятным опыт с прохождением света через две последовательно поставленные пластинки турмалина. Первая пластинка поляризует проходящий через неё пучок света, оставляя в нем колебания только одного направления. Эти колебания могут пройти через второй турмалин полностью только в том случае, когда направление их совпадает с направлением колебаний, пропускаемых вторым турмалином, т.е. когда его ось параллельна оси первого. Если же направление колебаний в поляризованном свете перпендикулярно к направлению колебаний, пропускаемых вторым турмалином, то свет будет полностью задержан. Если направление колебаний в поляризованном свете составляет острый угол с направлением, пропускаемым турмалином, то колебания будут пропущены лишь частично.
Квантовые свойства света.
Фотоэффект.
Гипотеза Планка о квантах послужила основой для объяснения явления фотоэлектрического эффекта, открытого в 1887г. немецким физиком Генрихом Герцем.
Явление фотоэффекта обнаруживается при освещении цинковой пластины, соединенной со стержнем электрометра. Если пластине и стержню передан положительный заряд, то электрометр не разряжается при освещении пластины. При сообщении пластине отрицательного электрического заряда электрометр разряжается, как только на пластину попадает ультрафиолетовое излучение. Этот опыт доказывает, что с поверхности металлической пластины под действием света могут освобождаться отрицательные электрические заряды. Измерение заряда и массы частиц, вырываемых светом, показало, что эти частицы – электроны.
Фотоэффекты бывают нескольких видов: внешний и внутренний фотоэффект, вентильный фотоэффект и ряд других эффектов.
Внешним фотоэффектом называют явление вырывания электронов из вещества под действием падающего на него света.
Внутренним фотоэффектом называют появление свободных электронов и дырок в полупроводнике в результате разрыва связей между атомами за счет энергии света, падающего на полупроводник.
Вентильным фотоэффектом называют возникновение под действием света электродвижущей силы в системе, содержащей контакт двух различных полупроводников или полупроводника и металла.
Эффект Комптона.
Наиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона. Американский физик А. Комптон (1892-1962), исследуя в 1923 г. Рассеяние монохроматического рентгеновского излучения веществами с лёгкими атомами (парафин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также более длинноволновое излучение.
Эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и гамма-излучений) на свободных(или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой длина волны при рассеянии изменяться не должна: под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает рассеянные волны той же частоты.
Объяснение эффекта Комптона дано на основе квантовых представлений о природе света. Если считать, как это делает квантовая теория, что излучение имеет корпускулярную природу.
Эффект Комптона наблюдается не только на электронах, но и на других заряженных частицах, например протонах, однако из-за большой массы протона его отдача «просматривается» лишь при рассеянии фотонов очень высоких энергий.
Как эффект Комптона, так и фотоэффект на основе квантовых представлений обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором- поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободными электронами, а фотоэффект – со связанными электронами. Можно показать, что при столкновении фотона со свободными электронами не может произойти поглощения фотона, так как это находится в противоречии с законами сохранения импульса и энергии. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электронами может наблюдаться только их рассеяние, .т.е. эффект Комптона.
Заключение.
Итак, свет корпускулярен в том смысле, что его энергия, импульс, масса и спин локализованы в фотонах, а не размыты в пространстве, но не в том, что фотон может находиться в данном точно определенном месте пространства. Свет ведет себя как волна в том смысле, что распространение и распределение фотонов в пространстве носят вероятный характер: вероятность того, что фотон находится в данной точке определяется квадратом амплитуды в этой точке. Но вероятностный (волновой) характер распределения фотонов в пространстве не означает, что фотон в каждый момент времени находится в какой-то одной точке.
Таким образом, свет сочетает в себе непрерывность волн и дискретность частиц. Если учтем, что фотоны существуют только при движении (со скоростью с), то приходим к выводу, что свету одновременно присущи как волновые, так и корпускулярные свойства. Но в некоторых явлениях при определенных условиях основную роль играют или волновые, или корпускулярные свойства и свет можно рассматривать или как волну, или как частицы (корпускулы).
Корпускулярно-волновой дуализм 1. Сущность дуализма в оптике2. История возникновения Сущность дуализма в оптике Определение 1 Существование у света свойств и волны и потока частиц (корпускул) называют корпускулярно -- волновым дуализмом. Противоположность свойств частиц и волн в рамках классической физики не дает возможности утверждать, что свет является одновременно и волной и потоком частиц. Смысл корпускулярно - волнового дуализма свойств света в том, что он может описываться с использованием волновых представлений или корпускулярных понятий, что зависит от условий эксперимента. Нам известны убедительные эмпирические факты, доказывающие волновую природу света (опыты по интерференции, дифракции, поляризации). Но экспериментальные доказательства корпускулярных проявлений света не менее убедительны (эффект Комптона, фотоэффект, тепловое излучение). Ограничения в применении образов классической физики для описания свойств света проявляются также в условности применения образов волн и корпускул. Так, используя корпускулярные представления при описании фотоэффекта надо помнить, что свойства фотона существенно отличаются от свойств частиц в классической физике. Его масса покоя считается равной нулю, скорость движения в любой инерциальной системе отсчета одинакова, всегда отлична от нуля. При этом рассматривая свет как совокупность частиц (фотонов) для нахождения их массы следует использовать волновую характеристику -- частоту.
При рассмотрении волновых явлений, таких как интерференция и дифракция света для фиксации соответствующей картины требуется применение фотоэлемента, что означает использование квантовых свойств света для визуализации его волновых свойств. История возникновенияБольшой период развития оптики как науки связан с противоборством двух взглядов на природу света. Так в XVII веке имелось две теории света. Корпускулярная теория, ее сторонником был И. Ньютон, обладавший неоспоримым авторитетом. Ньютон считал свет потоком частиц, которые перемещаются от источника света во все стороны. Ньютон, используя свои представления, объяснил прямолинейность распространения света, но не смог объяснить законы отражения и преломления. Ярким представителем противоположного направления, представлявшего свет как совокупность волн, был Х. Гюйгенс. Гюйгенс считал свет волной, которая распространяется в эфире, все заполняющей и везде проникающей среде. Теория, предложенная Гюйгенсом, объяснила дифракцию и интерференцию, но не смогла дать объяснение прямолинейному распространению света. Примечание 1 В течение долго времени не было единого представления о природе света. Корпускулярные теории менялись на волновые. Ни одна теория не могла стать единственной, принятой всеми. В семидесятых годах XIX века Максвелл изложил свою электромагнитную теорию. Показал, что свет является электромагнитной волной, что было подтверждено опытами. Свет стали считать электромагнитной волной. Волновая теория стала считаться доказанной окончательно.
Однако волновая теория света в ее электромагнитной форме стала недостаточной для толкования всех оптических явлений. Впервые это проявилось при исследовании проблем равновесного (абсолютно черного) излучения. Формулу, которая согласовывается с опытом для всего диапазона волн, предложил М. Планк на основе новых, квантовых представлений. Изначально они касались только природы света, но позднее проникли во все разделы физики. Оказалось, что представления классической физики, которые базируются на основе понятий, связанных с макроскопическими объектами, не применимы или используются с существенными ограничениями в области атомных масштабов. Идеи Планка легли в основу новой физики, квантовой физики. Так Планк предположил, что излучение и поглощение света веществом происходит конечными порциями -- квантами. Согласовывая свою гипотезу с законами термодинамики и электродинамики, Планк принял энергию кванта равной:где h=Джс6,63⋅10−34Дж⋅с -- постояннаяПланка. СамПланкполагал, чтоквантовыесвойствасветпроявляеттольковактахизлученияипоглощениясвета. Всеостальноепроисходитврамкахтеории Максвелла. Определение 2 Эйнштейн развил квантовую теорию. Он заключил, что и при распространении в пространстве свет ведет себя как совокупность частиц (фотонов), имеющих энергию, которая определяется выражением (1). Это было не простым возвратом к Ньютоновской теории корпускул, так как фотоны принципиально отличаются от частиц в механике. Фотоны имеют волновые свойства. Эта особенность фотонов и называется корпускулярно -- волновым дуализмом.
Корпускулярно-волновой дуализм
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ, фундаментальное свойство природы, являющееся физической основой квантовой механики и заключающееся в том, что всем микрообъектам присущи одновременно и корпускулярные, и волновые свойства. Любая волна обладает дискретными значениями энергии и импульса, кратными элементарным порциям (квантам) энергии ξ и импульса р, равными
ξ = ħω, р = ħk,(*)
где ħ - универсальная величина размерности действия, названная Планка постоянной, ω - циклическая частота волны, k - её волновой вектор. Движение любой частицы с энергией ξ и импульсом р связано с волной, частота и волновой вектор которой определяются соотношением (*).
Впервые корпускулярно-волновой дуализм был установлен для света. Выполненные к концу 19 века опыты по интерференции, дифракции и поляризации света, казалось, однозначно свидетельствовали о его волновой природе и доказывали, что свет, в согласии с теорией Максвелла, представляет собой электромагнитные волны. Однако в 1900 году М. Планк показал, что для объяснения законов равновесного теплового излучения необходимо принять гипотезу о дискретном характере излучения квантами с энергией, определяемой соотношением (*). Планк использовал для кванта энергии соотношение ξ = hν, но впоследствии выяснилось, что вместо частоты ν и постоянной h удобнее пользоваться циклической частотой ω = 2πν и постоянной h = h/2π. В 1905 году А. Эйнштейн, исходя из Вина закона излучения, показал, что в области больших частот излучение ведёт себя так, как если бы оно состояло из независимых квантов энергии, и объяснил на этой основе законы фотоэффекта. В 1909 Й. Штарк указал, что квант энергии излучения, движущийся со скоростью света с, должен обладать импульсом р = (ħω/с)n, т. е. должен вести себя как частица (здесь n - единичный вектор вдоль направления движения частицы). Этот факт подтвердился после открытия Комптона эффекта (1922) и таким образом была окончательно установлена двойственная природа света.
В наиболее отчётливой форме наличие корпускулярно-волнового дуализма для света было выявлено в 1909 году А. Эйнштейном, показавшим, что закон излучения Планка приводит к тому, что флуктуация энергии излучения содержит два члена, один из которых описывает флуктуации для совокупности классических световых волн, а второй - флуктуации энергии газа, состоящего из независимых частиц.
Для установления всеобщего характера корпускулярно-волнового дуализма решающее значение имело изучение законов движения электронов в атоме. В 1913 году Н. Бор использовал постоянную Планка для определения стационарных состояний в атоме водорода. При этом ему удалось объяснить наблюдаемые на опыте спектральные закономерности и выразить через заряд электрона, его массу и постоянную Планка радиус атома и Ридберга постоянную, оказавшиеся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Способ определения стационарных состояний электронов в атомах был усовершенствован А. Зоммерфельдом, показавшим, что для стационарных орбит классическое действие является целым, кратным 2πh.
Успех теории Бора, объяснившей атомные явления на основе квантовых представлений и постоянной Планка (которая до этого, казалось, связывала лишь корпускулярные и волновые характеристики электромагнитного излучения), навёл на мысль о существовании корпускулярно-волнового дуализма и для электронов. В связи с этим Л. де Бройль в 1923 году высказал гипотезу о всеобщем характере корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе, не только электромагнитным волнам соответствуют частицы, но и частицам (например, электронам) должны соответствовать волны. Де Бройль отметил релятивистскую инвариантность соотношения (*), связывающего четырёхмерный вектор энергии-импульса частицы (ξ/с, р) с четырёхмерным волновым вектором (ω/с, k), и высказал предположение о том, что волновая механика частиц должна находиться в таком же соотношении с классической механикой, как волновая оптика с геометрической оптикой. Невозможность описать волновые явления (например, интерференцию) с помощью частиц, движущихся по определённым траекториям, была преодолена в квантовой механике на основе суперпозиции состояний принципа и его статистической интерпретации.
Прямое доказательство существования волновых свойств электронов впервые получили в 1927 году американские физики К. Дэвиссон и Л. Джермер, которые наблюдали интерференционные максимумы при отражении электронов от монокристаллов никеля. Позднее интерференционные эффекты были обнаружены для пучков атомов гелия, молекул водорода и других частиц, то есть универсальность корпускулярно-волнового дуализма была подтверждена экспериментально.
В явном виде корпускулярно-волновой дуализм присутствует в квантовой теории поля, где частицы (и квазичастицы) представляют собой возбуждённые состояния полей.
Геометрическая оптика использует представление о световых лучах, распространяющихся независимо друг от друга, прямолинейных в однородной среде, отражающихся и преломляющихся на границах сред с разными оптическими свойствами. Вдоль лучей происходит перенос энергии световых колебаний.
Показатель преломления среды. Оптические свойства прозрачной среды характеризуются показателем преломления который определяет скорость (точнее, фазовую скорость) световых волн:
где с - скорость света в вакууме. Показатель преломления воздуха близок к единице (пвозд воды его значение равно 1,33, а у стекла в зависимости от сорта может составлять от 1,5 до 1,95. Особенно велик показатель преломления алмаза - приблизительно 2,5.
Значение показателя преломления, вообще говоря, зависит от длины волны Я (или от частоты : Эту зависимость называют дисперсией света. Например, у хрусталя (свинцового стекла) показатель преломления плавно меняется от 1,87 для красного света с длиной волны до 1,95 для синего света с
Показатель преломления связан с диэлектрической проницаемостью среды (для данной длины волны или частоты) соотношением Среда с большим значением показателя преломления называется оптически более плотной.
Законы геометрической оптики. Поведение световых лучей подчиняется основным законам геометрической оптики.
1. В однородной среде световые лучи прямолинейны (закон прямолинейного распространения света).
2. На границе двух сред (или на границе среды с вакуумом) возникает отраженный луч, лежащий в плоскости, образуемой падающим лучом и нормалью к границе, т. е. в плоскости падения, причем угол отражения равен углу падения (рис. 224):
(закон отражения, света).
3. Преломленный луч лежит в плоскости падения (при падении света на границу изотропной среды) и образует с нормалью к границе угол (угол преломления), определяемый соотношением
(закон преломления света или закон Снеллиуса).
При переходе света в оптически более плотную среду луч приближается к нормали Отношение называют относительным показателем преломления двух сред (или показателем преломления второй среды относительно первой).
Рис. 224. Отражение и преломление спета на плоской границе двух сред
При падении света из вакуума на границу среды с показателем преломления закон преломления принимает вид
Для воздуха показатель преломления близок к единице поэтому и при падении света из воздуха на некоторую среду можно пользоваться формулой (4).
При переходе света в оптически менее плотную среду угол падения не может превышать предельного значения так как угол преломления не может превышать (рис. 225):
Если угол падения происходит полное отражение, т. е. вся энергия падающего света возвращается в первую, оптически более плотную, среду. Для границы стекло - воздух
Рис. 225. Предельный угол полного отражения
Принцип Гюйгенса и законы геометрической оптики. Законы геометрической оптики были установлены задолго до выяснения природы света. Эти законы могут быть выведены из волновой теории на основе принципа Гюйгенса. Их применимость ограничена явлениями дифракции.
Остановимся подробнее на переходе от волновых представлений о распространении света к представлениям геометрической оптики. С помощью принципа Гюйгенса по заданной волновой поверхности падающей волны можно построить волновые поверхности преломленной и отраженной волн. При этом следует учесть, что световые лучи перпендикулярны волновым поверхностям.
Рассмотрим плоскую световую волну, падающую из среды 1 (с показателем преломления на плоскую границу раздела со средой 2 (с показателем преломления под углом (рис. 226). Угол падения - это угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела.
Рис. 226. Построение Гюйгенса для отражения и преломления света
В то же время - это угол между границей раздела и волновой поверхностью падающей волны. Пусть в некоторый момент эта волновая поверхность занимает положение Спустя время она достигнет точки В границы раздела. За это же время вторичная волна из точки А, распространяющаяся в среде X, расширится до радиуса Подставляя сюда получаем Отсюда ясно, что волновая поверхность отраженной волны, представляющая собой огибающую всех вторичных сферических волн с центрами на отрезке наклонена к границе раздела на угол который равен (равенство углов и следует из равенства прямоугольных треугольников и имеющих общую гипотенузу и равные катеты и Таким образом, отраженный луч перпендикулярный фронту отраженной волны, образует с нормалью угол равный углу падения
Аналогично из этого построения Гюйгенса можно получить и закон преломления. В среде 2 вторичные волны распространяются со скоростью и поэтому выходящая из точки А сферическая волна спустя время имеет радиус Подставляя сюда находим Разделив обе части этого равенства на приходим к соотношению
которое, очевидно, совпадает с законом преломления (3), так как угол наклона волновой поверхности волны в среде 2 есть в то же время и угол между преломленным лучом и нормалью к границе раздела (угол преломления, рис. 226).
Отражение и преломление на искривленной поверхности. Плоская волна характеризуется тем свойством, что ее волновые поверхности представляют собой неограниченные плоскости, а направление ее распространения и амплитуда везде одинаковы. Часто электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, можно приближенно рассматривать как плоские на небольшом участке пространства. Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление распространения волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Тогда также можно ввести понятие лучей, т. е. линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. Если при этом граница раздела двух сред, например поверхность линзы, может считаться приблизительно плоской на расстояниях порядка длины волны, то поведение лучей света на такой границе будет описываться теми же законами отражения и преломления.
Изучение законов распространения световых волн в этом случае составляет предмет геометрической оптики, поскольку в этом приближении оптические законы можно сформулировать на языке геометрии. Многие оптические явления, такие, как, например, прохождение света через оптические системы, формирующие изображение, можно рассматривать исходя из представления о световых лучах, совершенно отвлекаясь от волновой природы света. Поэтому представления геометрической оптики справедливы лишь в той степени, в какой можно пренебречь явлениями дифракции световых волн. Дифракция сказывается тем слабее, чем меньше длина волны. Это значит, что геометрическая оптика соответствует предельному случаю малых длин волн:
Физическую модель пучка световых лучей можно получить, если пропустить свет от источника пренебрежимо малого размера через небольшое отверстие в непрозрачном экране. Выходящий из отверстия свет заполняет некоторую область, и если длина волны пренебрежимо мала по сравнению с размерами отверстия, то на небольшом расстоянии от него можно говорить о пучке световых лучей с резкой границей.
Интенсивность отраженного и преломленного света. Законы отражения и преломления позволяют определить только направление соответствующих световых лучей, но ничего не говорят об их интенсивности. Между тем опыт показывает, что соотношение интенсивностей отраженного и преломленного лучей, на которые расщепляется исходный луч на границе раздела, сильно зависит от угла падения. Например, при нормальном падении света на поверхность стекла отражается около 4% энергии падающего светового пучка, а при падении на поверхность воды - только 2 %. Но при скользящем падении поверхности стекла и воды отражают почти все падающее излучение. Благодаря этому мы можем любоваться зеркальными отражениями берегов в спокойной прозрачной воде горных озер.
Рис. 227. У естественного спета колебания сектора Е происходят по всевозможных направлениях в плоскости, перпендикулярной лучу
Естественный свет. Световая волна, как и любая электромагнитная волна, поперечна: вектор Е лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Испускаемый обычными источниками (например, раскаленными телами) свет неполяризован. Это значит, что в световом луче колебания вектора Е происходят во всевозможных направлениях в плоскости, перпендикулярной направлению луча (рис. 227). Такой неполяризованный свет называется естественным. Его можно представить как некогерентную смесь двух световых волн одинаковой интенсивности, линейно поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Эти направления можно выбрать произвольно.
Поляризация света при отражении. При изучении отражения неполяризованного света от границы раздела сред удобно выбрать одно из двух независимых направлений вектора Е в плоскости падения, а второе - перпендикулярно ей. Условия отражения этих двух волн оказываются различными: волна, у которой вектор Е перпендикулярен плоскости падения (т. е. параллелен границе раздела) при всех углах падения (кроме 0 и 90°), отражается сильнее. Поэтому отраженный свет оказывается частично поляризованным, а при отражении под некоторым определенным углом (для стекла около 56°) - полностью поляризованным.
Этим обстоятельством пользуются для устранения бликов, например при фотографировании пейзажа с водной поверхностью. Подбирая должным образом ориентацию поляризационного светофильтра, пропускающего световые колебания только определенной поляризации, можно практически полностью устранить блики на фотографии.
Принцип Ферма. Основные законы геометрической оптики - закон прямолинейного распространения света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред - могут быть получены с помощью принципа Ферма. Согласно этому принципу действительный путь распространения монохроматического луча света есть путь, для прохождения которого свету требуется экстремальное (как правило, минимальное) время по сравнению с любым другим близким к нему мыслимым путем между теми же точками.
Рис. 228. К выводу закона отражения света из принципа Ферма
Возьмем для примера закон отражения света. Сразу видно, что он непосредственно следует из принципа Ферма. Пусть луч света, вышедшего из точки А, отражается от зеркала в некоторой точке С и приходит в заданную точку В (рис. 228). Согласно принципу Ферма, проходимый светом путь должен быть короче любого другого пути по близкой траектории, например Чтобы найти положение точки отражения С, отложим на опущенном из точки А перпендикуляре к зеркалу отрезок равный и соединим точки А и В отрезком прямой.
Пересечение этого отрезка с поверхностью зеркала и дает положение точки С. Действительно, легко видеть, что и потому путь света из точки А в точку В равен отрезку Путь света из А в В через любую другую точку равный будет длиннее, так как прямая - это кратчайшее расстояние между двумя точками А и В. Из рис. 228 сразу видно, что именно такое положение точки С соответствует равенству углов падения и отражения:
Рис. 229. Мнимое изображение точки А в плоском зеркале
Изображение в плоском зеркале. Точка А, расположенная симметрично точке А относительно поверхности плоского зеркала, представляет собой изображение точки А в этом зеркале. В самом деле, узкий пучок лучей, выходящих из
А, отражающихся в зеркале и попадающих в глаз наблюдателя (рис. 229), будет казаться выходящим из точки А. Создаваемое плоским зеркалом изображение называется мнимым, так как в точке А пересекаются не сами отраженные лучи, а их продолжения назад. Очевидно, что изображение протяженного предмета в плоском зеркале будет равным по размерам самому предмету.
Что такое световые лучи? Как это понятие соотносится с понятием волновой поверхности? Какое отношение имеют лучи к направлению распространения световых колебаний?
В каких условиях можно использовать представление о световых лучах?
Что такое показатель преломления среды? Как он связан со скоростью распространения света?
Сформулируйте основные законы геометрической оптики. Что такое плоскость падения? Объясните на основе соображений симметрии, почему луч как при отражении, так и при преломлении не выходит из этой плоскости.
При каких условиях отражение света на границе раздела будет полным? Что такое предельный угол полного отражения?
Поясните, как можно получить законы прямолинейного распространения, отражения и преломления на основе принципа Гюйгенса.
Почему законы отражения и преломления света, сформулированные для плоской границы раздела, можно применять и в случае искривленных поверхностей (линзы, капли воды и др.)?
Приведите примеры наблюдавшихся вами явлений, свидетельствующих о зависимости интенсивности отраженного света от угла падения.
Почему при отражении естественного света получается частично поляризованный свет?
Сформулируйте принцип Ферма и покажите, что из него следует закон отражения света.
Докажите, что изображение предмета в плоском зеркале равно по размерам самому предмету.
Принцип Ферма и формула линзы. Скорость света в среде с показателем преломления равна Поэтому принцип Ферма можно сформулировать как требование минимальности оптической длины луча при распространении света между двумя заданными точками. Под оптической длиной луча понимается произведение показателя преломления на длину пути луча. В неоднородной среде оптическая длина складывается из оптических длин на отдельных участках. Использование этого принципа позволяет рассмотреть некоторые задачи с несколько иной точки зрения, чем при непосредственном применении законов отражения и преломления. Например, при рассмотрении фокусирующей оптической системы вместо применения закона преломления можно просто потребовать равенства оптических длин всех лучей.
Получим с помощью принципа Ферма формулу тонкой линзы, не прибегая к закону преломления. Для определенности будем рассматривать двояковыпуклую линзу со сферическими преломляющими поверхностями, радиусы кривизны которых равны (рис. 230).
Хорошо известно, что с помощью собирающей линзы можно получить действительное изображение точки. Пусть предмет, его изображение. Все лучи, исходящие из и прошедшие через линзу, собираются в одной точке Пусть лежит на главной оптической оси линзы, тогда изображение также лежит на оси. Что значит получить формулу линзы? Это значит установить связь между расстояниями от предмета до линзы и от линзы до изображения и величинами, характеризующими данную линзу: радиусами кривизны ее поверхностей и показателем преломления
Из принципа Ферма следует, что оптические длины всех лучей, выходящих из источника и собирающихся в точке, являющейся его изображением, одинаковы. Рассмотрим два из этих лучей: один, идущий вдоль оптической оси, второй - через край линзы (рис. 230а).
Рис. 230. К вьшоду формулы тонкой линзы
Несмотря на то, что второй луч проходит большее расстояние, его путь в стекле короче, чем у первого, так что время распространения света для них одинаково. Выразим это математически. Обозначения величин всех отрезков указаны на рисунке. Приравняем оптические длины первого и второго лучей:
Выразим по теореме Пифагора:
Теперь воспользуемся приближенной формулой которая справедлива при с точностью до членов порядка Считая малым по сравнению с с точностью до членов порядка имеем
Аналогично для получаем
Подставляем выражения (8) и (9) в основное соотношение (7) и приводим подобные члены:
В этой формуле в случае тонкой линзы можно пренебречь величинами в знаменателях правой части по сравнению с и очевидно, что в левой части выражения следует сохранить, ибо этот член стоит множителем.
С той же точностью, что и в формулах (8) и (9), с помощью теоремы Пифагора можно представить в виде (рис. 230б)
Теперь остается только подставить эти выражения в левую часть формулы (10) и сократить обе части равенства на :
Это и есть искомая формула тонкой линзы. Вводя обозначение
ее можно переписать в виде
Фокусное расстояние линзы. Из формулы (12) нетрудно понять, что есть фокусное расстояние линзы: если источник находится на бесконечности (т.е. на линзу падает параллельный пучок лучей), его изображение находится в фокусе. Полагая получаем
Аберрации. Полученное свойство фокусировки параллельного пучка монохроматических лучей является, как видно из проделанного вывода, приближенным и справедливо лишь для узкого пучка, т. е. для лучей, не слишком сильно отстоящих от оптической оси. Для широких пучков лучей имеет место сферическая аберрация, проявляющаяся в том, что далекие от оптической оси лучи пересекают ее не в фокусе (рис. 231). В результате изображение бесконечно удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается несколько размытым.
Кроме сферической аберрации, линза как оптический прибор, формирующий изображение, обладает рядом других недостатков.
Например, даже узкий параллельный пучок монохроматических лучей, образующий некоторый угол с оптической осью линзы, после преломления не собирается в одну точку. При использовании немонохроматического света у линзы проявляется еще и хроматическая аберрация, связанная с тем, что показатель преломления зависит от длины волны. В результате, как видно из формулы (11), узкий параллельный пучок лучей белого света пересекается после преломления в линзе не в одной точке: лучи каждого цвета имеют свой фокус.
При конструировании оптических приборов удается в большей или меньшей степени устранить эти недостатки путем применения специально рассчитанных сложных многолинзовых систем. Однако одновременно устранить все недостатки невозможно. Поэтому приходится идти на компромисс и, рассчитывая оптические приборы, предназначенные для определенной цели, добиваться устранения одних недостатков и мириться с присутствием других. Например, объективы, предназначенные для наблюдения объектов малой яркости, должны пропускать возможно больше света, что вынуждает мириться с некоторыми аберрациями, неизбежными при использовании широких пучков света.
Рис. 231. Сферическая аберрация линзы
Для объективов телескопов, где изучаемыми объектами являются звезды - точечные источники, расположенные вблизи оптической оси прибора, особенно важно устранить сферическую и хроматическую аберрацию для широких пучков, параллельных оптической оси. Устранить хроматическую аберрацию проще всего путем использования в оптической системе отражения вместо преломления. Так как лучи всех длин волн отражаются одинаково, то телескоп-рефлектор, в отличие от рефрактора, полностью лишен хроматической аберрации. Если при этом еще надлежащим образом выбрать форму поверхности отражающего зеркала, то можно полностью избавиться и от сферической аберрации для пучков, параллельных оптической оси. Для получения точечного осевого изображения зеркало должно быть параболическим.
Возводя обе части в квадрат и приводя подобные члены, найдем
Это уравнение параболы.
Рис. 232. Все параллельные лучи после отражения от параболического зеркала собираются в точке
Параболические зеркала используются во всех крупнейших телескопах. В этих телескопах устранены сферическая и хроматическая аберрации; однако параллельные пучки, идущие даже под небольшими углами к оптической оси, после отражения не пересекаются в одной точке и дают сильно искаженные внеосевые изображения. Поэтому пригодное для работы поле зрения оказывается очень небольшим, порядка нескольких десятков угловых минут,
Поясните, почему применительно к фокусирующей оптической системе принцип Ферма формулируется как условие равенства оптических длин всех лучей от точки предмета до ее изображения.
Выведите с помощью принципа Ферма закон преломления света на границе раздела двух сред.
Сформулируйте приближения, при выполнении которых справедлива формула тонкой линзы.
В чем проявляются сферическая и хроматическая аберрации линзы?
Какие преимущества и какие недостатки имеет параболическое зеркало по сравнению со сферическим?
Покажите, что эллиптическое зеркало отражает все лучи, вышедшие из одного фокуса эллипсоида, в другой фокус.
