Телами вращения называют тела, ограниченные либо поверхностью вращения, либо поверхностью вращения и плоскостью (рисунок 134). Под поверхностью вращения понимают поверхность, полученную от вращения какой-либо линии (ABCDE ), плоской или пространственной, называемой образующей, вокруг неподвижной прямой (i ) - оси вращения .
Рисунок 134
Любая точка образующей поверхности вращения описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной к оси вращения – параллель , следовательно, плоскость, перпендикулярная к оси вращения, всегда пересекается с поверхностью вращения по окружности. Наибольшая параллель - экватор . Наименьшая параллель - горло (горловина).
Плоскости, проходящие через ось вращения, называют меридиональными плоскостями .
На комплексном чертеже изображение тел вращения выполняется посредством изображения ребер оснований и линий очерков поверхности.
Линии пересечения меридиональных плоскостей с поверхностью называют меридианами .
Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекций, называется главной меридиональной плоскостью . Линия ее пересечения с поверхностью - главный меридиан .
Прямой круговой цилиндр. Прямым круговым цилиндром (рисунок 135) называют тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения и двумя кругами - основаниями цилиндра, расположенными в плоскостях, перпендикулярных к оси цилиндра.Цилиндрической поверхностью вращения называется поверхность, полученная при вращении прямолинейной образующейAA 1 вокруг параллельной ей неподвижной прямой -i (ось вращения). Размерами, характеризующими прямой круговой цилиндр, являются его диаметрDц и высотаl (расстояние между основаниями цилиндра).
Рисунок 135
Прямой круговой цилиндр можно также рассматривать как тело, полученное при вращении какого-либо прямоугольника ABCD вокруг одной из его сторон, например, ВС (рисунок 136). Сторона ВС является осью вращения, а сторона AD - образующей цилиндра. Две другие стороны обозначат основания цилиндра.
Рисунок 136
Прямоугольника АВ и CD при вращении образуют круги - основания цилиндра.
Построение проекций цилиндра.
Построение горизонтальной и фронтальной проекций цилиндра начинают с изображения основания цилиндра, т. е. двух проекций окружности (см. рисунок 135, б). Так как окружность расположена на плоскости Н , то она проецируется на эту плоскость без искажения. Фронтальная проекция окружности представляет собой отрезок горизонтальной прямой линии, равный диаметру окружности основания.
После построения основания на фронтальной проекции проводят две очерковые образующие (крайние образующие) и на них откладывают высоту цилиндра. Проводят отрезок горизонтальной прямой, который является фронтальной проекцией верхнего основания цилиндра (рисунок 135, в).
Определение недостающих проекций точек А и В, расположенных на поверхности цилиндра, по заданным фронтальным проекциям в данном случае затруднений не вызывает, так как вся горизонтальная проекция боковой поверхности цилиндра представляет собой окружность (рисунок 137, а). Следовательно, горизонтальные проекции точек А и В можно найти, проводя из данных точек A"" и B"" вертикальные линии связи до их пересечения с окружностью в искомых точках A" и B".
Профильные проекции точек А и В строят также при помощи вертикальных и горизонтальных линий связи.
Изометрическую проекцию цилиндра вычерчивают, как показано на рисунок 137, б.
В изометрии точки А и В строят по их координатам. Например, для построения точки В от начала координат О по оси x откладывают координату ∆x , а затем через ее конец проводят прямую, параллельную оси у , до пересечения с контуром основания в точке 2 . Из этой точки параллельно оси z проводят прямую, на которой откладывают координату Z B , точки В .
Рисунок 137
Прямой круговой конус . Прямым круговым конусом (рисунок 138) называют тело, ограниченное конической поверхностью вращения и кругом, расположенным в плоскости, перпендикулярной к оси конуса.Коническая поверхность получается при вращении прямолинейной образующейSA (рисунок 138, а), проходящей через неподвижную точкуS на оси вращенияi и составляющей с этой осью некоторый постоянный угол. ТочкаS называетсявершиной конуса , а коническая поверхность - боковой поверхностью конуса. Размер прямого кругового конуса характеризуют диаметр его основанияD K и высотаН .
Рисунок 138
Прямой круговой конус можно также рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника SAB вокруг его катета SB (рисунок 139). При таком вращении гипотенуза описывает коническую поверхность, а катет АВ - круг, т. е. основание конуса.
Рисунок 139
Построение проекций конуса.
Последовательность построения двух проекций конуса показана на рисунке 167, б и в. Сначала строят две проекции основания. Горизонтальная проекция основания - окружность. Фронтальной проекцией будет отрезок горизонтальной прямой, равный диаметру этой окружности (рисунок 138, б). На фронтальной проекции из середины основания восставляют перпендикуляр, и на нем откладывают высоту конуса (рисунок 138, в). Полученную фронтальную проекцию вершины конуса соединяют прямыми с концами фронтальной проекции основания и получают фронтальную проекцию конуса.
Построение точек на поверхности конуса
Если на поверхности конуса задана одна проекция точки А (например, фронтальная проекция на рисунке 140), то две другие проекции этой точки определяют с помощью вспомогательных линий - образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А , или окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.
Рисунок 140
В первом случае (рисунок 140, а) через точку A проводят фронтальную проекцию 1""S"" вспомогательной образующей. Пользуясь вертикальной линией связи, проведенной из точки 1 , расположенной на фронтальной проекции окружности основания, находят горизонтальную проекцию 1" этой образующей, на которой при помощи линии связи, проходящей через A" , находят искомую точку A .
Во втором случае (рисунок 140, б) вспомогательной линией, проходящей через точку А , будет окружность, расположенная на конической поверхности и параллельная плоскости Н - параллель. Фронтальная проекция этой окружности изображается в виде отрезка 1""1"" горизонтальной прямой, величина которого равна диаметру вспомогательной окружности. Искомая горизонтальная проекция A" точки А находится на пересечении линии связи, опущенной из точки A" , с горизонтальной проекцией вспомогательной окружности.
Если заданная фронтальная проекция 1"" точки 1 расположена на контурной (очерковой) образующей, то горизонтальная проекция точки находится без вспомогательных линий.
В изометрической проекции точку А , находящуюся на поверхности конуса, строят по трем координатам (см. рисунок 140, в): X , Y и Z А О по оси х отложена координата X Y z Z А А .
Шар. Шаром (рисунок 141) называют тело, полученное при вращении полукругаABC (образующая) вокруг его диаметраАС (ось вращения), а поверхность, которую при этом описывает дугаABC , называется шаровой или сферической. Шар относится к телам, ограниченным только поверхностью вращения.
Рисунок 141
Шаровая (сферическая) поверхность является геометрическим местом точек, равноудаленных от одной точки О , называемой центром шара . Если шар рассечь горизонтальными плоскостями, то в сечении получатся окружности – параллели . Наибольшая из параллелей имеет диаметр равный диаметру шара. Такая окружность называется экватором . Окружности же, получаемые в результате сечений шара плоскостями, проходящими через его ось вращения, называются меридианами .
Построение проекций шара и точек на его поверхности
Проекции шара приведены на рисунке 142, а. Горизонтальная и фронтальная проекции - окружности радиуса, равного радиусу сферы.
Рисунок 142
Если точка А расположена на сферической поверхности, то вспомогательная линия 1"" 2"" , проведенная через эту точку параллельно оси Ох (параллель), проецируется на горизонтальную плоскость проекций окружностью. На горизонтальной проекции вспомогательной окружности находят с помощью линии связи искомую горизонтальную проекцию A" точки А .
Величина диаметра вспомогательной окружности равна фронтальной проекции 1""2"" .
Аксонометрическое изображение сферы (шара) выполняется в виде окружности (рисунок 142 б), радиус которой геометрически определяется как расстояние от центра сферы до проекции экватора (эллипса) вдоль большей ее оси (перпендикулярной Oz ).
В аксонометрической проекции точку А , находящуюся на поверхности шара, строят по трем координатам: X А , Y А и Z А . Эти координаты последовательно откладывают по направлениям, параллельным изометрическим осям. В рассматриваемом примере от точки О по оси х отложена координата X А ; из конца ее параллельно оси у проведена прямая, на которой отложена координата Y А ; из конца отрезка, параллельно оси z проведена прямая, на которой отложена координата Z А . В результате построений получим искомую точку А .
Тор – тело (рисунок 143), образованное вращением окружности или ее дуги вокруг оси, расположенной в одной с ней плоскости но не проходящей через центр окружности или ее дуги.
Рисунок 143
Если ось вращения не пересекает образующую окружность, то тор называют кольцом (открытый тор) (рисунок 143, а). Если же ось вращения пересекает образующую окружность, то получается торовая поверхность бочкообразном формы (закрытый тор или пересекающийся тор) (рисунок 143, б). В последнем случае образующей торовой поверхности является дуга ABC окружности.
Наибольшую из окружностей, которые описывают точки образующей торовой поверхности, называют экватором , а наименьшую - горлом , или горловиной.
Построение проекций тора
Круговое кольцо (или открытый тор) имеет горизонтальную проекцию в виде двух концентрических окружностей, разность радиусов которых равна толщине кольца или диаметру образующей окружности (рисунок 145). Фронтальная проекция ограничивается справа и слева дугами полуокружностей диаметра образующей окружности.
На рисунке 144, а и б приведены два вида закрытого тора. В первом случае образующая дуга окружности радиуса R отстоит от оси вращения на расстоянии меньше радиуса R , а во втором случае - больше. В обоих случаях фронтальные проекции тора представляют собой действительный вид двух образующих дуг окружности радиуса R , расположенных симметрично по отношению к фронтальной проекции оси вращения. Профильными проекциями тора будут окружности.
Рисунок 144
Построение точек на поверхности тора
В случае, когда точка А лежит на поверхности кругового кольца и дана одна ее проекция, для нахождения второй проекции этой точки применяется вспомогательная окружность, проходящая через данную точку А и расположенная на поверхности кольца в плоскости, перпендикулярной оси кольца (рисунок 145).
Если задана фронтальная проекция A"" точки А , лежащей на поверхности кольца, то для нахождения ее второй проекции (в данном случае - горизонтальной) через A" проводят фронтальную проекцию вспомогательной окружности - отрезок горизонтальной прямой линии 2""2"" . Затем строят горизонтальную проекцию 2"2" этой окружности и на ней, применяя линию связи, находят точку A" .
Если задана горизонтальная проекция B" точки B , расположенной на поверхности этого кольца, то для нахождения фронтальной проекции этой точки через 1" проводят горизонтальную проекцию вспомогательной окружности радиуса R 1 . Затем через левую и правую точки 1" и 1" этой окружности проводят вертикальные линии связи до пересечения с фронтальными проекциями очерковой образующей окружности радиуса R и получают точки 1"" и 1"" . Эти точки соединяют горизонтальной прямой, которая представляет собой фронтальную проекцию вспомогательной окружности (она будет видима). Проводя вертикальную линию связи из точки B" до пересечения с прямой 1""1"" получаем искомую точку B"" .
Такие же приемы построения применимы и для точек, находящихся на поверхности тора.
Рисунок 145
Построение аксонометрического изображения тора можно разделит на три этапа (рисунок 146). Сначала строится в виде эллипса проекция радиальной осевой линии (траектория движения центра образующей окружности). Затем определяем радиус сферы, касающейся тора по образующей (окружности). Для этого строим в виде меньшего эллипса проекцию фронтальной очерковой образующей тора. Радиус сферы определим как длину отрезка О 1 F от центра эллипса до точки на этом эллипсе, лежащей на большой оси эллипса (перпендикулярной Oy ). Далее строим большое количество окружностей радиусом R сферы с центрами на проекции радиальной осевой тора О 1 … О n (чем больше, тем точнее контур будущего тора). В завершение проводим линию контура тора как линию, касающуюся каждой окружности сферы.
Рисунок 146
В аксонометрической проекции точку А , находящуюся на поверхности тора, строят по трем координатам: X А , Y А и Z А . Эти координаты последовательно откладывают по направлениям, параллельным изометрическим осям.
Задание 16 ЕГЭ 2015.Тела вращения.
Иванова Е.Н.
МБОУ СОШ №8 г. Каменск-Шахтинский
Отрезок AB c , параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью вращения является боковая поверхность цилиндра, радиус основания которого равен 2, образующая равна 1. Площадь этой поверхности равна 4 .
Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и отстоящей от ближайшего его конца A на расстояние, равное 2 (прямые AB и с лежат в одной плоскости). Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является кольцо, внутренний радиус которого равен 2, а внешний – 3. Площадь этого кольца равна 5 .
Отрезок AB c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 1. Его площадь равна.
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c A . Найдите площадь поверхности вращения.
Отрезок AB c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4 .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и образующей с этим отрезком угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 2, радиус основания равен 1. Ее площадь равна 2 .
Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и отстоящей от точки B на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 3, радиус основания равен 2. Ее площадь равна 6 .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через середину этого отрезка и образующей с ним угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 1, а радиусы оснований – 0,5. Ее площадь равна.
Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2 и образующей с ним угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 2 и 1, а радиусы оснований равны соответственно 1 и 0,5. Ее площадь равна 2,5 .
Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости и отстоящей от концов A и B соответственно на расстояния 1 и 2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 3, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 9 .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости, отстоящей от ближайшего конца A на расстояние, равное 1, и образующей с этим отрезком угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 2, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 6 .
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AD .
Ответ. Искомый цилиндр изображен на рисунке. Радиус его основания и образующая равны 1. Площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 2 .
Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами AB = 4, BC = 3 вокруг прямой AB и CD .
Ответ. Искомым телом является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а образующая равна 3. Его площадь поверхности равна 20 .
Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AC .
Ответ. Искомым телом вращения является объединение двух конусов, радиусы оснований которого и высоты равны. Его площадь поверхности равна.
Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = 1 вокруг прямой AC .
Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 1, а образующая равна. Площадь поверхности этого конуса равна.
Найдите площадь полной поверхности тела, полученного вращением равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой, содержащей биссектрису CD этого треугольника.
Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 0,5, а образующая равна 1. Площадь полной поверхности этого конуса равна 3 /4.
Найдите площадь поверхности вращения равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой AB .
Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен, а высоты – 0,5. Его площадь поверхности равна.
Найдите объем тела вращения равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AD и BC , равными 1, и основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, вокруг прямой AB .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой 1, на основаниях которого достроены конусы, высотой 0,5. Его объем равен.
Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой AB .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой, равными 1, на основании которого достроен конус, высотой 1. Его объем равен.
Найдите объем тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 вокруг прямой AD .
Ответ. Искомое тело вращения состоит из цилиндра, радиус основания которого равен, а высота равна 1 и двух конусов с основаниями радиуса и высотой 0,5. Его объем равен.
ABCDEF , изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой AF .
Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух цилиндров с основаниями радиусов 2 и 1, высотой 1. Его объем равен 5 .
Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из четырех единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .
Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров высотой 1 и радиусами оснований 1,5 и 0,5. Его объем равен 2,5 .
Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .
Ответ. 1. Искомое тело вращения является цилиндром с радиусом основания 1,5 и высотой 2, из которого вырезан цилиндр с радиусом основания 0,5 и высотой 1. Его объем равен 4,25 .
Найдите объем тела вращения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вокруг прямой AA 1 .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 1. Его объем равен 2 .
Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C AA 1 .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Его объем равен.
Найдите объем тела вращения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1 .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1. Его объем равен 4 .
Найдите объем тела вращения правильной четырехугольной пирамиды SABCD , все ребра которой равны 1, вокруг прямой с , содержащей высоту SH этой пирамиды.
Ответ. Искомым телом вращения является конус, радиус основания и высота которого равны.
Его объем равен.
Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг ребра AB .
Ответ. 1. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием радиуса и высотой 0,5. Его объем равен 0,25 .
Найдите объем тела вращения единичного правильного октаэдра S’ABCDS” вокруг прямой S"S” .
Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием радиуса и высотами, равными. Его объем равен.
Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой AD .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 2. Его объем равен 10 .
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями
цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра. На рисунке 156 изображен цилиндр. Круги с центрами О и являются его основаниями, его образующие.
Можно доказать, что основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, что у цилиндра образующие - параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. На рисунке 155, б изображен наклонный цилиндр, а на рисунке 155, а - прямой.
В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром. Его можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси (рис. 156).
Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра назаывается расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.
На рисунке 157 сечение проходит через ось цилиндра ОО и т. е. является осевым сечением.
Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра» пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой - равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Ее боковые ребра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой поверхности цилиндра.
На рисунке 158 изображена призма вписанная в цилиндр. На рисунке 159 призма описана около цилиндра.
Пример. В цилиндр вписать правильную четырехугольную призму.
Решение. 1) Впишем в основание цилиндра квадрат ABCD (рис. 158).
2) Проведем образующие
3) Через соседние пары этих образующих проведем плоскости, которые пересекают верхнее основание по хордам
4) Призма искомая (по определениям правильной и вписанной призмы).
53. Конус.
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. На рисунке 160, а изображен круговой конус. S - вершина конуса, круг с центром в точке О - основание конуса, SA, SB и SC - образующие конуса.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. На рисунке 160, б изображен наклонный конус, а на рисунке 160, а - прямой. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 161).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
На рисунке 162 изображено сечение конуса, проходящее через его ось - осевое сечение конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.
Плоскость, перпендикулярная осн конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 163).
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса. Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.
На рисунке 164 изображена пирамида, вписанная в конус, а на рисунке 165 изображен конус, вписанный в пирамиду, т. е. пирамида, описанная около конуса.
54. Шар.
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем
данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние - радиусом шара. На рисунке 166 изображен шар с центром в точке радиусом В. Заметим, что точки принадлежат данному шару. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. На рисунке 166 точки А, В и D принадлежат сфере, а, например, точка М ей не принадлежит. Таким образом, точками сфер» являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара о точкой шаровой поверхности также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две течки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его два метра как оси (рис. 167).
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Если шар с центром О и радиусом R пересечен плоскостью то в сечении по Т. 3.5 получается круг радиуса . центром К. Радиус сечения шара плоскостью можно вычислить по формуле
Из формулы видно, что плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар равным кругам. Радкус сечения тем] больше, чем ближе секущая плоскость к центру шара, т. е.чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого» круга равен радиусу шара.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. На рисунке 168 плоскость а является диаметральной плоскостью, круг радиуса К является большим кругом шара, а соответствующая окружность - большой окружностью.
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 169).
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной (рис. 169).
Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная
между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. 170).
Шаровой сектор получается из шарового сегмента и коиуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется (рис. 171).
Пусть T - тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x) .
Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой
V=\pi \int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}y^2\,dx\,.
Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве \Pi выберем плоскость Oyz , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии x от плоскости Oyz , является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна \pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x) . Далее, если S(x_1)\leqslant S(x_2) , то это значит, что . Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром O , и из f(x_1)\leqslant f(x_2) вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2) .
Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле
V=\pi \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\,.
Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то
V= \pi \int\limits_{a}^{b}y_2^2\,dx- \pi \int\limits_{a}^{b}y_1^2\,dx= \pi\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.
Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.
В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.
Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат . Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров
\Delta V_k= \pi y_k x_{k+1}^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_{k+1}+x_k\bigr) \bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).
Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:
2\pi \sum_{k=0}^{n-1} m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} M_kx_k\Delta x_k\,.
Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат :
V=2\pi \int\limits_{a}^{b} xy\,dx\,.
Пример 4. Найдем объем шара радиуса R .
Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса R с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси Ox , образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2 , поэтому y^2=R^2-x^2 . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема
\frac{1}{2}V= \pi\int\limits_{0}^{R}y^2\,dx= \pi\int\limits_{0}^{R} (R^2-x^2)\,dx= \left.{\pi\!\left(R^2x- \frac{x^3}{3}\right)}\right|_{0}^{R}= \pi\!\left(R^3- \frac{R^3}{3}\right)= \frac{2}{3}\pi R^3.
Следовательно, объем всего шара равен \frac{4}{3}\pi R^3 .
Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого h и радиус основания r .
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA запишется в виде y=\frac{r}{h}\,x .
Пользуясь формулой (3), получим:
V=\pi \int\limits_{0}^{h} y^2\,dx= \pi \int\limits_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{h}= \frac{\pi}{3}\,r^2h\,.
Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды \begin{cases}x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end{cases} (рис. 48).
Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной t пределы интегрирования.
Если x=a\cos^3t=0 , то t=\frac{\pi}{2} , а если x=a\cos^3t=a , то t=0 . Учитывая, что y^2=a^2\sin^6t и dx=-3a\cos^2t\sin{t}\,dt , получаем:
V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx= \pi \int\limits_{\pi/2}^{0} a^2\sin^6t \bigl(-3a\cos^2t\sin{t}\bigr)\,dt= \ldots= \frac{16\pi}{105}\,a^3.
Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет \frac{32\pi}{105}\,a^3 .
Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды \begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases} .
Решение. Воспользуемся формулой (4): V=2\pi \int\limits_{a}^{b}xy\,dx , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной t от 0 до 2\pi . Таким образом,
\begin{aligned}V&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(t-\sin{t})a(1-\cos{t})a(1-\cos{t})\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi} (t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\,dt=\\ &= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi}\bigl(t-\sin{t}- 2t\cos{t}+ 2\sin{t}\cos{t}+ t\cos^2t- \sin{t}\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.{2\pi a^3\!\left(\frac{t^2}{2}+ \cos{t}- 2t\sin{t}- 2\cos{t}+ \sin^2t+ \frac{t^2}{4}+ \frac{t}{4}\sin2t+ \frac{1}{8}\cos2t+ \frac{1}{3}\cos^3t\right)}\right|_{0}^{2\pi}=\\ &= 2\pi a^3\!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac{1}{8}+ \frac{1}{3}-1+2- \frac{1}{8}- \frac{1}{3}\right)= 6\pi^3a^3. \end{aligned}
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
