Любая волна представляет собой колебание. Колебаться может жидкость, электромагнитное поле или любая другая среда. В повседневной жизни каждый человек ежедневно сталкивается с тем или иным проявлением колебаний. Но что такое стоячая волна?

Представьте себе вместительную емкость, в которую налита вода - это может быть тазик, ведро или ванна. Если теперь по жидкости похлопать ладонью, то от центра соударения во все стороны побегут волнообразные гребни. Кстати, они так и называются - бегущие волны. Их характерный признак - перенос энергии. Однако, изменяя частоту хлопков, можно добиться практически полного видимого их исчезновения. Возникает впечатление, что масса воды становится желеобразной, а движение происходит только вниз и вверх. Стоячая волна - это и есть данное смещение. Данное явление возникает потому, что каждая ушедшая от центра удара волна достигает стенок емкости и отражается обратно, где пересекается (интерферирует) с основными волнами, идущими в противоположном направлении. Стоячая волна появляется лишь в том случае, если отраженные и прямые совпадают по фазе, но различны по амплитуде. В противном случае вышеуказанной интерференции не происходит, так как одно из свойств волновых возмущений с разными характеристиками - это способность сосуществовать в одном и том же объеме пространства, не искажая друг друга. Можно утверждать, что стоячая волна является суммой двух встречно направленных бегущих, что приводит к падению их скоростей до нуля.

Почему же в приведенном примере вода продолжает колебаться в вертикальном направлении? Очень просто! При наложении волн с одинаковыми параметрами в определенные моменты времени колебания достигают своего максимального значения, называемые пучностями, а в другие полностью гасятся (узлы). Изменяя частоту хлопков, можно как полностью погасить горизонтальные волны, так и усилить вертикальные смещения.

Стоячие волны представляют интерес не только для практиков, но и для теоретиков. В частности, одна из моделей гласит, что любая материальная частица характеризуется какой-то определенной (вибрацией): электрон колеблется (дрожит), нейтрино колеблется и т.д. Далее, в рамках гипотезы, предположили, что упомянутая вибрация - следствие интерференции каких-то, пока еще не открытых возмущений среды. Другими словами, авторы утверждают, что там, где те удивительные волны формируют стоячую, возникает материя.

Не менее интересно явление Резонанса Шумана. Оно заключается в том, что при некоторых условиях (ни одна из предложенных гипотез пока не принята за единственно верную) в пространстве между земной поверхностью и нижней границей ионосферы возникают стоячие электромагнитные волны, частоты которых лежат в низком и сверхнизком диапазонах (от 7 до 32 герц). Если образовавшаяся в промежутке «поверхность - ионосфера» волна обогнет планету и попадет в резонанс (совпадение фаз), то сможет существовать продолжительное время без затухания, самоподдерживаясь. Резонанс Шумана представляет особый интерес потому, что частота волн практически совпадает с естественными альфа-ритмами человеческого мозга. К примеру, исследованиями данного явления в России занимаются не только физики, но и такая крупная организация, как «Институт мозга человека».

На стоячие обратил внимание еще гениальный изобретатель Никола Тесла. Считается, что он мог использовать это явлене в некоторых своих устройствах. Одним из источников их появления в атмосфере принято считать грозы. Электрические разряды возбуждают электромагнитное поле и генерируют волны.

За удерживаемый конец резко дергают вверх и затем приводят его в исходное положение. Образовавшийся на трубке гребень движется вдоль трубки до стены, где он отражается. При этом отраженная волна имеет форму впадины, т. е. находится ниже среднего положения трубки, в то время как исходная пучность находилась выше. С чем связано это различие?

Представим конец резиновой трубки, закрепленный в стене. Поскольку он закреплен, он не может двигаться. Направленная вверх сила пришедшего импульса стремится заставить двигаться его вверх (см. рис.). Однако поскольку он не может двигаться, то должна присутствовать равная и противоположно направленная вниз сила, исходящая от опоры и приложенная к концу резиновой трубки, и поэтому отраженный импульс располагается пучностью вниз. Разность фаз отраженного и исходного импульсов равна 180°.

Когда рука, удерживающая резиновую трубку, движется вверх и вниз и частота движения постепенно увеличивается, то достигается точка, при которой получается одиночная пучность (рис. а). Дальнейшее увеличение частоты колебания руки приведет к образованию двойной пучности (рис. 6). Если вы прохронометрируете частоту движений руки, то вы увидите, что их частота удвоилась. Поскольку трудно двигать рукой более быстро, лучше применить механический вибратор (рис. в).

Металлический стержень внутри электромагнитной катушки вибрирует с частотой, управляемой генератором. Образованные волны называются стоячими или стационарными волнами . Они образуются, потому что отраженная волна накладывается на падающую. Это явление известно как . Здесь присутствуют две волны: падающая и отраженная. Они имеют одинаковые , но распространяются в противоположных направлениях. Это бегущие волны , но они интерферируют друг с другом и таким образом создают стоячие волны.



Это имеет такие последствия:

а) все частицы в каждой половине длины волны колеблются в фазе, т. е. все они движутся в одном направлении в одно время;

б) каждая частица имеет амплитуду, отличную от амплитуды следующей частицы;

в) разность фаз между колебаниями частиц одной полуволны и колебаниями частиц последующей полуволны равна 180°.

Это попросту означает, что они либо отклонены максимально в противоположные стороны в одно время, либо, если они оказываются в среднем положении, начинают двигаться в противоположных направлениях. Это показано на рисунке, где видно, что некоторые частицы (обозначенные N) не движутся (они имеют нулевую амплитуду), поскольку действующие на них силы всегда равны и противоположны.

Эти точки называются узловыми или узлами, и расстояние между двумя последующими узлами составляет половину длины волны, т. е. 1 / 2 λ.

Максимальное движение происходит в точках, обозначенных А, и амплитуда этих точек вдвое больше амплитуды падающей волны. Эти точки называются пучностями , и расстояние между двумя последующими пучностями составляет половину длины волны. Расстояние между узлом и следующей пучностью составляет одну четвертую длины волны, т. е. 1 / 4 λ.

Стоячая волна отличается от бегущей. В бегущей волне :

а) все частицы имеют одинаковую амплитуду колебаний;

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате этого колебательный процесс называется стоячей волной .

Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Рассмотрим результат интерференции двух синусоидальных плоских волн одинаковой амплитуды, распространяющихся в противоположных направлениях.

Для простоты рассуждений допустим, что обе волны вызывают в начале координат колебания в одинаковой фазе.

Уравнения этих колебаний имеют вид:

.

Складывая оба уравнения и преобразовывая результат, по формуле для суммы синусов получим:

- уравнение стоячей волны .

Сравнивая это уравнение с уравнением гармонических колебаний, мы видим, что амплитуда результирующих колебаний равна:

.

Так как , а , то .

.

В точках среды, где , колебания отсутствуют, т.е. . Эти точки называются узлами стоячей волны .

В точках, где , амплитуда колебаний имеет наибольшее значение, равное . Эти точки называются пучностями стоячей волны . Координаты пучностей находятся из условия , т.к. , то .

Отсюда :

Аналогично координаты узлов находятся из условия:

.

Откуда :

.

Из формул координат узлов и пучностей следует, что расстояние между соседними пучностями, также как и расстояния между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Сравним характер колебаний в стоячей и бегущей волне. В бегущей волне каждая точка совершает колебания, амплитуда которых не отличается от амплитуды других точек. Но колебания различных точек происходят с различными фазами .

В стоячей волне все частицы среды, находящиеся между двумя соседними узлами колеблются в одной и той же фазе, но с разными амплитудами. При переходе через узел фаза колебаний скачкообразно изменяется на , т.к. изменяется знак .

Графически стоячая волна может быть изображена следующим образом:

В момент времени, когда , все точки среды имеют максимальные смещения, на-правление которых определяется знаком . Эти смещения показаны на рисунке сплошными стрелками.

Спустя четверть периода, когда , смещения всех точек равны нулю. Частицы проходят через линию с различными скоростями.

Спустя еще четверть периода, когда , частицы опять будут иметь максимальные смещения, но противоположного направления (пунктирные стрелки).

При описании колебательных процессов в упругих системах за колеблющуюся величину можно принять не только смещение, но и скорость частиц, а также и величину относительной деформации среды.

Для нахождения закона изменения скорости стоячей волны продифференцируем по уравнение смещения стоячей волны и для нахождения закона изменения деформации продифференцируем по уравнение стоячей волны.

.

Анализируя эти уравнения, мы видим, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами скорости и смещения.

Колебания струны

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются только такие колебания, половина длины которых укладывается на длине струны целое число раз.

Отсюда вытекает условие:

где - длина струны.

Или иначе . Этим длинам волн соответствуют частоты , где - фазовая скорость волны. Величина ее определяется силой натяжения струны и ее массой.

При - основная частота.

При - собственные частоты колебаний струны или обертоны .

Эффект Допплера

Рассмотрим простейшие случаи, когда источник волн и наблюдатель движутся относительно среды вдоль одной прямой:

1. Источник звука движется относительно среды со скоростью , приемник звука покоится.

В этом случае за период колебаний звуковая волна отойдет от источ-ника на расстояние , а сам источник сместится на расстояние равное .

Если источник удалять от приемника, т.е. двигать в направлении обратном направлению распространения волны, то длина волны .

Если источник звука приближать к приемнику, т.е. двигать в направлении распространения волны, то .

Частота звука воспринимаемая приемником равна:

Подставим вместо их значения для обоих случаев:

С учетом того, что , где - частота колебаний источника, равенство примет вид :

Разделим и числитель и знаменатель этой дроби на , тогда:

2. Источник звука неподвижен, а приемник движется относительно среды со скоростью .

В этом случае длина волны в среде не изменяется и по-прежнему равна . Вместе с тем две последовательные амплитуды, отличающиеся по времени на один период колебаний , дойдя до движущегося приемника, будут отличаться по времени в моменты встречи волны с приемником на отрезок времени , величина которого больше или меньше в зависимости от того, удаляется или приближается приемник к источнику звука. За время звук распространяется на расстояние , а приемник сместится на расстояние . Сумма этих величин и дает нам длину волны :

Период колебаний, воспринимаемых приемником , связан с частотой этих колебаний соотношением:

Подставив вместо его выражение из равенства (1), получим:

.

Т.к. , где - частота колебаний источника, а , то:

3. Источник и приемник звука движутся относительно среды. Соединяя результаты, полученные в двух предыдущих случаях, получим:

Звуковые волны

Если упругие волны, распространяющиеся в воздухе, имеют частоту в пределах от 20 до 20000 Гц, то, достигнув человеческого уха, они вызывают ощущение звука. Поэтому волны лежащие в этом диапазоне частот называются звуковыми. Упругие волны с частотой менее 20 Гц называются инфразвуком . Волны с частотой более 20000 Гц называются ультразвуком . Ультразвуки и инфразвуки человеческое ухо не слышит.

Звуковые ощущения характеризуются высотой звука, тембром и громкостью. Высота звука определяется частотой колебаний. Однако источник звука испускает не одну, а целый спектр частот. Набор частот колебаний, присутствующих в данном звуке, называется его акустическим спектром . Энергия колебания распределяется между всеми частотами акустического спектра. Высота звука определяется по одной - основной частоте, если на долю этой частоты приходится значительно большее количество энергии, чем на долю других частот.

Если спектр состоит из множества частот, находящихся в интервале частот от до , то такой спектр называется сплошным (пример - шум).

Если спектр состоит из набора колебаний дискретных частот, то такой спектр называется линейчатым (пример - музыкальные звуки).

Акустический спектр звука в зависимости от своего характера и от распределения энергии между частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемое тембром звука. Различные музыкальные инструменты имеют различный акустический спектр, т.е. отличаются тембром звука.

Интенсивность звука характеризуется раз-личными величинами: колебаниями частиц среды, их скоростями, силами давления, напряжениями в них и др.

Она характеризует амплитуду колебаний каждой из этих величин. Однако, поскольку эти величины взаимосвязаны, целесообразно ввести единую энергетическую характеристику. Такая характеристика для волн любого типа была предложена в 1877 году. Н.А. Умовым.

Вырежем мысленно из фронта бегущей волны площадку . За время эта площадка переместится на расстояние , где - скорость волны.

Обозначим через энергию единицы объема колеблющейся среды. Тогда энергия всего объема будет равна .

Эта энергия была перенесена за время волной, распространяющейся через площадку .

Разделив это выражение на и , получим энергию, переносимую волной через единицу площади в единицу времени. Эта величина обозначается буквой и носит название вектора Умова

Для звукового поля вектор Умова носит название силы звука.

Сила звука является физической характеристикой интенсивности звука. Мы оцениваем ее субъективно, как громкость звука. Человеческое ухо воспринимает звуки, сила которых превышает некоторое минимальное значение, различное для различных частот. Это значение называется порогом слышимости звука. Для средних частот порядка Гц порог слышимости порядка .

При очень большой силе звука порядка звук воспринимается кроме уха органами осязания, а в ушах вызывает болевое ощущение.

Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом болевого ощущения . Порог болевого ощущения, также как и порог слышимости, зависит от частоты.

Человек обладает довольно сложным аппаратом для восприятия звуков. Звуковые колебания собираются ушной раковиной и через слуховой канал воздействуют на барабанную перепонку. Колебания ее передаются в небольшую полость, называемую улиткой. Внутри улитки расположено большое количество волокон, имеющих различную длину и натяжение и, следовательно, различные собственные частоты колебаний. При действии звука каждое из волокон резонирует на тот тон, частота которого совпадает с собственной частотой волокна. Набор резонансных частот в слуховом аппарате и определяет область воспринимаемых нами звуковых колебаний.

Субъективно оцениваемая нашим ухом громкость возрастает гораздо медленнее, чем интенсивность звуковых волн. В то время, как интенсивность возрастает в геометрической прогрессии - громкость возрастает в арифметической прогрессии. На этом основании уровень громкости определяется как логарифм отношения интенсивности данного звука к интенсивности, принятой за исходную

Единица уровня громкости называется белом . Используют и более мелкие единицы - децибелы (в 10 раз меньше бела).

где - коэффициент поглощения звука.

Величина коэффициента поглощения звука возрастает пропорционально квадрату частоты звука, поэтому низкие звуки распространяются дальше высоких.

В архитектурной акустике для больших помещений существенную роль играет реверберация или гулкость помещений. Звуки, испытывая многократные отражения от ограждающих поверхностей, воспринимаются слушателем в течении некоторого довольно большого промежутка времени. Это увеличивает силу доходящего до нас звука, однако, при слишком длительной реверберации отдельные звуки накладываются друг на друга и речь перестает восприниматься членораздельно. Поэтому стены залов покрывают специальными звукопоглощающими материалами для уменьшения реверберации.

Источником звуковых колебаний может служить любое колеблющееся тело: язычок звонка, камертон, струна скрипки, столб воздуха в духовых инструментах и т.д. эти же тела могут служить и приемниками звука, когда они приходят в движение под действием колебаний окружающей среды.

Ультразвук

Чтобы получить направленную, т.е. близко к плоской, волну размеры излучателя должны быть во много раз больше длины волны. Звуковые волны в воздухе имеют длину до 15 м, в жидких и твердых телах длина волны еще больше. Поэтому построить излучатель, который создавал бы направленную волну подобной длины, практически не представляется возможным.

Ультразвуковые колебания имеют частоту свыше 20000 Гц, поэтому длина волны их очень мала. С уменьшением длины волны уменьшается также роль дифракции в процессе распространения волн. Поэтому ультразвуковые волны могут быть получены в виде направленных пучков, подобных пучкам света.

Для возбуждения ультразвуковых волн используют два явления: обратный пьезоэлектрический эффект и магнитострикцию .

Обратный пьезоэлектрический эффект состоит в том, что пластинка некоторых кристаллов (сегнетовой соли, кварца, титаната бария и др.) под действием электрического поля слегка деформируется. Поместив ее между металлическими обкладками, на которые подается переменное напряжение, можно вызвать вынужденные колебания пластинки. Эти колебания передаются окружающей среде и порождают в ней ультразвуковую волну.

Магнитострикция заключается в том, что ферромагнитные вещества (железо, никель, их сплавы и т.д.) под действием магнитного поля деформируются. Поэтому, поместив ферромагнитный стержень в переменное магнитное поле, можно возбудить механические колебания.

Высокие значения акустических скоростей и ускорений, а также хорошо разработанные методы изучения и приема ультразвуковых колебаний, позволили использовать их для решения многих технических задач. Перечислим некоторые из них.

В 1928 г. советский ученый С.Я. Соколов предложил использовать ультразвук для целей дефектоскопии, т.е. для обнаружения скрытых внутренних дефектов типа раковин, трещин, рыхлот, шлаковых включений и др. в металлических изделиях. Если размеры дефекта превышают длину волны ультразвука, то ультразвуковой импульс отражается от дефекта и возвращается обратно. Посылая в изделие ультразвуковые импульсы, и регистрируя отраженные эхосигналы, можно не только обнаруживать наличие дефектов в изделиях, но и судить о размерах и месте расположения этих дефектов. В настоящее время этот метод широко используется в промышленности.

Направленные ультразвуковые пучки нашли широкое применение для целей локации, т.е. для обнаружения в воде предметов и определения расстояния до них. Впервые идея ультразвуковой локации была выказана выдающимся французским физиком П. Ланжевеном и разработана им во время первой мировой войны для обнаружения подводных лодок. В настоящее время принципы гидролокации используются для обнаружения айсбергов, косяков рыбы и т.д. этими методами может быть также определена глубина моря под днищем корабля (эхолот).

Ультразвуковые волны большой амплитуды широко применяются в настоящее время в технике для механической обработки твердых материалов, очистки мелких предметов (деталей часовых механизмов, трубопроводов и т.д.), помещенных в жидкость, обезгаживания и т.д.

Создавая при своем прохождении сильные пульсации давления в среде, ультразвуковые волны обуславливают целый ряд специфических явлений: измельчение (диспергирование) частиц, взвешенных в жидкости, образование эмульсий, ускорение процессов диффузии, активацию химических реакций, воздействие на биологические объекты и т.д.

Стоячие волны. 6.1 Стоячие волны в упругой среде

6.1 Стоячие волны в упругой среде

Согласно принципу суперпозиции, при распростране-нии в упругой среде одновременно нескольких волн воз-никает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды являются векторной сум-мой колебаний, которые совершали бы частицы при рас-пространении каждой из волн в отдельности.

Волны, создающие колебания среды, разности фаз меж-ду которыми в каждой точке пространства постоянны, на-зываются когерентными .

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что в одних точ-ках пространства волны усиливают друг друга, а в других точках – ослабляют. Важный случай интерференции наб-людается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой . Возникающие при этом колебания называют стоячей волной . Чаще все-го стоячие волны возникают при отражении бегущей вол-ны от преграды. При этом падающая волна и отраженная навстречу ей волна при сложении дают стоячую волну.

Получим уравнение стоячей волны. Возьмем две плос-кие гармонические волны, распространяющиеся навстечу друг другу вдоль оси X и имеющие одинаковую частоту и амплитуду :

где – фаза колебаний точек среды при про-хождении первой волны;

– фаза колебаний точек среды при про-хождении второй волны.

Разность фаз в каждой точке на оси X не будет зави-сеть от времени, т.е. будет постоянной:

Следовательно, обе волны будут когерентными.

Возникшее в результате сложения рассматриваемых волн колебание частиц среды будет следующим:

Преобразуем сумму косинусов углов по правилу (4.4) и получим:

Перегруппировав множители, получим:

Для упрощения выражения выберем начало отсчета так, чтобы разность фаз и начало отсчета времени , чтобы и сумма фаз была равна нулю: .

Тогда уравнение для суммы волн примет вид:

Уравнение (6.6) называется уравнением стоячей вол-ны . Из него видно, что частота стоячей волны равна частоте бегущей волны, а амплитуда, в отличие от бегу-щей волны, зависит от расстояния от начала отсчета :

. (6.7)

С учетом (6.7) уравнение стоячей волны принимает вид:

. (6.8)

Таким образом, точки среды колеблются с частотой , совпадающей с частотой бегущей волны, и амплитудой a , зависящей от положения точки на оси X . Соответственно, амплитуда изменяется по закону косинуса и имеет свои максимумы и минимумы (рис. 6.1).

Для того, чтобы наглядно представить расположение минимумов и максимумов амплитуды заменим, согласно (5.29), волновое число его значением:

Тогда выражение (6.7) для амплитуды примет вид

(6.10)

Отсюда становится видно, что амплитуда смещения мак-симальна при , т.е. в точках, координата кото-рых удовлетворяет условию:

, (6.11)

где

Отсюда получаем координаты точек, где амплитуда сме-щения максимальна:

; (6.12)

Точки, где амплитуда колебаний среды максимальна, называются пучностями волны .

Амплитуда волны равна нулю в точках, где . Координата таких точек, называемых узлами волны , удов-летворяет условию:

, (6.13)

где

Из (6.13) видно, что координаты узлов имеют зна-чения:

, (6.14)

На рис. 6.2 показан примерный вид стоячей волны, от-мечено расположение узлов и пучностей. Видно, что со-седние узлы и пучности смещения отстоят друг от друга на одно и то же расстояние.

Найдем расстояние между соседними пучностями и уз-лами. Из (6.12) получаем расстояние между пучностями:

(6.15)

Расстояние между узлами получаем из (6.14):

(6.16)

Из полученных соотношений (6.15) и (6.16) видно, что расстояние между соседними узлами, как и между сосед-ними пучностями, постоянно и равно ; узлы и пуч-ности сдвинуты относительно друг друга на (рис. 6.3).

Из определения длины волны можно записать выра-жение для длины стоячей волны: она равна половине дли-ны бегущей волны:

Запишем, с учетом (6.17), выражения для координат уз-лов и пучностей:

, (6.18)

, (6.19)

Множитель , определяющий амплитуду стоя-чей волны, меняет свой знак при переходе через нулевое значение, вследствие чего фаза колебаний по разные сто-роны от узла отличается на . Следовательно, все точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в про-тивофазе. Все точки, находящиеся между соседними уз-лами, колеблются синфазно.

Узлы условно разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются незави-симо. Никакой передачи движения между областями нет, и, значит, перетекания энергии между областями нет. То есть нет передачи возмущения вдоль оси . Поэтому волна называется стоячей.

Итак, стоячая волна образуется из двух противополож-но направленных бегущих волн равных частот и амп-литуд. Векторы Умова каждой из этих волн равны по мо-дулю и противоположны при направлению, и при сложе-нии дают ноль. Следовательно, стоячая волна энергии не переносит.

6.2 Примеры стоячих волн

6.2.1 Стоячая волна в струне

Расмотрим струну длиной L , закрепленную с обоих кон-цов (рис. 6.4).

Расположим вдоль струны ось X таким образом, чтобы левый конец струны имел координату x=0 , а правый – x=L . В струне возникают колебания, описываемые урав-нением:

Запишем граничные условия для рассматриваемой стру-ны. Поскольку её концы закреплены, то в точках с коор-динатами x=0 и x=L колебаний нет:

(6.22)

Найдем уравнение колебаний струны исходя из запи-санных граничных условий. Запишем уравнение (6.20) для левого конца струны с учетом (6.21):

Соотношение (6.23) выполняется для любого времени t в двух случаях:

1. . Это возможно в том случае, если коле-бания в струне отсутствуют (). Данный случай инте-реса не представляет, и мы его рассматривать не будем.

2. . Здесь фаза . Этот случай и позволит нам получить уравнение колебаний струны.

Подставим полученное значение фазы в граничное условие (6.22) для правого конца струны:

. (6.25)

Учитывая, что

, (6.26)

из (6.25) получим:

Снова возникают два случая, при которых выполняется соотношение (6.27). Случай, когда колебания в струне от-сутствуют (), мы рассматривать не будем.

Во втором случае должно выполняться равенство:

а это возможно, только когда аргумент синуса кратен це-лому числу :

Значение мы отбрасываем, т.к. при этом , а это означало бы или нулевую длину струны (L=0 ) или вол-новое число k=0 . Учитывая связь (6.9) между волновым числом и длиной волны видно, что для того, чтобы вол-новое число равнялось бы нулю, длина волны должна бы быть бесконечной, а это означало бы отсутствие колебаний.

Из (6.28) видно, что волновое число при колебаниях струны, закрепленной с обоих концов, может принимать только определенные дискретные значения:

Учитывая (6.9), запишем (6.30) в виде:

откуда волучаем выражение для возможных длин волн в струне:

Другими словами, на длине струны L должно уклады-ваться целое число n полуволн:

Соответствующие частоты колебаний можно опреде-лить из (5.7):

Здесь – фазовая скорость волны, зависящая, соглас-но (5.102), от линейной плотности струны и силы на-тяжения струны :

Подставив (6.34) в (6.33), получим выражение, описы-вающее возможные частоты колебаний струны:

, (6.36)

Частоты называют собственными частотами стру-ны. Частоту (при n = 1):

(6.37)

называют основной частотой (или основным тоном ) струны. Частоты, определяемые при n>1 называются обертонами или гармониками . Номер гармоники равен n-1 . Например, частота :

соответствует первой гармонике, а частота :

сответствует второй гармонике, и т.д. Поскольку струну можно представить в виде дискретной системы с беско-нечным числом степеней свободы, то каждая гармоника является модой колебаний струны. В общем случае коле-бания струны представляют собой суперпозицию мод.

Каждой гармонике соответствует своя длина волны. Для основного тона (при n= 1) длина волны:

соответственно для первой и второй гармоники (при n= 2 и n= 3) длины волн будут:

На рис.6.5 показан вид нескольких мод колебаний, осуществляемых струной.

Таким образом, струна с закрепленными концами реа-лизует в рамках классической физики исключительный случай – дискретный спектр частоты колебаний (или длин волн). Таким же образом ведет себя упругий стер-жень с одним или обоими зажатыми концами и колебания воздушного столба в трубах, что и будет рассмотрено в последующих разделах.

6.2.2 Влияние начальных условий на движение

непрерывной струны. Фурье-анализ

Колебания струны с зажатыми концами помимо дис-кретного спектра частот колебаний обладают еще одним важным свойством: конкретная форма колебаний струны зависит от способа возбуждения колебаний, т.е. от на-чальных условий. Рассмотрим подробней.

Уравнение (6.20), описывающее одну моду стоячей вол-ны в струне, является частным решением дифференциаль-ного волнового уравнения (5.61). Поскольку колебание стру-ны складывается из всех возможных мод (для струны – бес-конечное количество), то и общее решение волнового уравнения (5.61) складывается из бесконечного числа частных решений:

, (6.43)

где i – номер моды колебаний. Выражение (6.43) записа-но с учетом того, что концы струны закреплены:

а также с учетом связи частоты i -й моды и ее волнового числа:

(6.46)

Здесь – волновое число i -й моды;

– волновое число 1-й моды;

Найдем величину начальной фазы для каждой моды колебаний. Для этого в момент времени t=0 придадим струне форму, описываемую функцией f 0 (x) , выражение для которой получим из (6.43):

. (6.47)

На рис. 6.6 показан пример формы струны, описывае-мой функцией f 0 (x) .

В момент времени t=0 струна еще покоится, т.е. ско-рость всех ее точек равна нулю. Из (6.43) найдем выраже-ние для скорости точек струны:

и, подставив в него t=0 , получим выражение для скорос-ти точек струны в начальный момент времени:

. (6.49)

Поскольку в начальный момент времени скорость рав-на нулю, то выражение (6.49) будет равно нулю для всех точек струны, если . Из этого следует, что на-чальная фаза для всех мод тоже равна нулю (). С учетом этого выражение (6.43), описывающее движение струны, принимает вид:

, (6.50)

а выражение (6.47), описывающее начальную форму стру-ны, выглядит как:

. (6.51)

Стоячая волна в струне описывается функцией, перио-дичной на интервале , где равна двум длинам струны (рис. 6.7):

Это видно из того, что периодичность на интервале означает:

Следовательно,

что и приводит нас к выражению (6.52).

Из математического анализа известно, что любая пе-риодическая функция может быть разложена с высо-кой точностью в ряд Фурье:

, (6.57)

где , , – коэффициенты Фурье.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. (Более строгое определение когерентности будет дано в § 120.) При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, Дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета так, чтобы разность , стала равной нулю, а начало отсчета - так, чтобы оказалась равной нулю сумма Кроме того, заменим волновое число k его значением

Тогда уравнение (99.1) примет вид

Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей:

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.5).

Из формул (99.4) и (99.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (99.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия.

Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (99.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды :

Уравнение (99.6) описывает стоячую волну скорости, а (99.7) - стоячую волну деформации.

На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время как достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот.

Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.