Точность интерполяции. Выбор узлов интерполяции

Различают нормальное (штатное, объяснимое, предсказуемое) проявление субъективности отсчитывания при фиксации результа­та измерения (отсчета) и ненормальное (непредсказуемое). Появле­ние субъективной погрешности естественно и типично при работе с аналоговыми стрелочными приборами в виде погрешности отсчи­тывания. Погрешность отсчитывания в общем случае складывается из двух составляющих: погрешности интерполяции и погрешности параллакса (рис. 1.19).

Первая составляющая – погрешность интерполяции – неизбежно возникает при любой попытке определить положение указателя (стрелки) отсчетного устройства между двумя соседними делениями на шкале, т. е. оценить значение части де­ления. При статочном навыке оператора эта составляющая может иметь значение ± (0,2... 0,1) веса одного деления. У цифро­вых приборов есть похожая по природе составляющая – погреш­ность квантования, но там она несубъективна.

Погрешность параллакса возникает при неперпендикулярном взгляде на шкалу в момент определения положения стрелки. Чем больше расстояние между шкалой прибора и стрел­кой, тем больше возможная погрешность параллакса ±Δ. Эта составляющая при тщательно выполняемом эксперименте также может быть сведена до значения ±(0,2...0,1) веса одного деле­ния. В конструкции сравнительно точных стрелочных приборов (класс точности 0,5 и больше) для устранения погрешности па­раллакса в плоскости шкалы устанавливают зеркало. Такая зер­кальная шкала позволяет обеспечить строго перпендикулярный взгляд на шкалу. Отсчитывание при этом необходимо производить таким образом, чтобы стрелка закрывала свое отражение в зеркале.

У циф­ровых приборов погрешности отсчитывания принципиально нет.

К субъективным же относятся и непредсказуемые заранее по­грешности, вызванные грубыми ошибками (промахами), как след­ствие низкой квалификации оператора и/или его плохого само­чувствия. Типичным примером такой субъективной погрешности является ошибка в отсчете и/или записи результата при работе с многодиапазонными приборами, а также – при работе с прибо­рами с нелинейными шкалами.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Основы метрологии и измерительной техники

Точность измерений.. точность измерений качество измерений отражающее бли зость их результатов к.. количественным выражением качественного понятия точность является погрешность следует различать погрешность..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Измерение
Метрология – это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства, способах достижения требуемой точно­сти. В метрологии различают три направления; теоретическое (фун­

Физическая величина
Физическая величина (ФВ) – это свойство, в качественном от­ношении общее для многих физических объектов, но в количе­ственном отношении – индивидуальное для каждого объекта. Все многообразие

Виды средств измерений
Средство измерений (СИ) – техническое средство, использу­емое при измерениях и имеющее нормированные метрологиче­ские характеристики. Все СИ подразделя­ются на пять видов: меры, измерительны

Виды и методы измерений
Получать значения ФВ (результаты измерений) можно различ­ными способами. В практике электрических измерений применя­ются разнообразные виды и методы измерений. Существуют сле­дующие виды измерений:

Единство измерений
Под единством измерений понимают такое состояние измере­ний, при котором их результаты выражены в узаконенных едини­цах и погрешности результатов измерений известны с известной или заданной

Единицы физических величин
Единица физической величины – это такая физическая величи­на, которой по определению присвоено числовое значение, рав­ное единице. В нашей стране, как и в большинстве других стран,

Основные и дополнительные единицы физических величин
Физическая величина Наименование единицы Обозначение русск

Стандартизация
Всего несколько десятилетий назад в мире не было единообразия единиц физических величин. В раз­ных странах, в разных отраслях науки, техники, промышленного производства, в сельском хозяйстве, в тор

Эталоны
Эталон – это СИ, обеспечивающее хранение и/или воспро­изведение единицы физической величины с целью передачи ее размера другим СИ (образцовым или рабочим) и официально ут­вержденное.

Погрешность результата измерения
Истинное значение измеряемой величины принципиально не может быть найдено (грамотный экспериментатор, понимая это, и не стремится к этому). Поэтому и реальное (истинное) значение погрешности резуль

Погрешности средств измерений
Как правило (и обычно в грамотно организованных экспери­ментах), определяющей составляющей в суммарной погрешности результата измерения является погрешность собственно СИ, т.е. инструментальная

Основная и дополнительная погрешности
Основная инструментальная погрешность находится по классу точности СИ. Например, при нормальных условиях щитовым элек­тромагнитным вольтметром класса точности 1,5 (т. е. имеющим пре­дел осно

Методическая погрешность
Как известно, погрешность результата измерения определяется не только классом точности СИ. Источниками недостоверности результата могут быть и другие причины. Рассмотрим примеры, поясняющие появлен

Погрешность взаимодействия
Эта составляющая общей погрешности результата возникает из-за конечных сопротивлений источника сигнала и пр

Динамическая погрешность
Динамическая погрешность – это погрешность СИ, возникаю­щая при измерении изменяющейся в процессе измерений физи­ческой величины. Предположение о статической модели объекта (без име

Обработка результатов измерений
Одно значение измеряемой величины (отдельный результат пря­мого измерения), получаемое в процессе измерительного экспе­римента, называется наблюдением. Окончательный результат изме­рения в о

Обработка прямых измерений
Различают однократные (одиночные) и многократные (множе­ственные) прямые измерения. Однократные измерения – это самые простые по выполнению и обработке – наиболее распростран

Многократные прямые измерения
В многократных (множественных) прямых измерениях получают ряд наблюдений (в общем случае различных) одной и той же фи­зической величины. При этом возможны две постановки задачи. Первая

Обработка косвенных измерений
Косвенные измерения в практике электрических измерений встречаются довольно часто. Вопрос оценки погрешности резуль­тата измерения – один из важнейших в таких экспериментах. Имея подробную и

Расчет погрешности результата косвенного измерения
Рассмотрим пример расчета погрешности результата косвенно­го измерения активной мощности с помощью амперметра на на­грузке с известным значением сопротивления. При известных и постоянных значениях

Ошибка приближения функции ИП -ой степени в т.- это разность
. Для оценки величины погрешности справедлива следующая теорема.

Теорема.

Пусть на отрезке
, таком, что
функция

раз непрерывно дифференцируема, т.е.
, тогда

где
.

Доказательство.

Будем искать погрешность в виде
, где
- функция, ограниченная на
. (При этом гарантируется, что
обращается в ноль в точках интерполяции). Чтобы получить представление о
, рассмотрим вспомогательную функцию

где
- некоторое фиксированное значение. Очевидно, что на
функция имеет
нуля. Это узлы интерполяции и точка
. По теореме Ролля,. Продифференцировав (*) (n+1) раз и подставив
, получим

Отсюда
. Ясно, чтов теореме Ролля зависит от расположения нулей функции, т.е.
- некоторая неявная зависимость. Обозначая
через
получим (6).

Следствие. Из формулы (6) следует оценка интерполяции

где
.

Конкретная величина погрешности в точке зависит, очевидно, от значения полинома
в этой точке. Качественный характер
изображен на Рис. 2.

За пределами отрезка интерполяции (т.е. при экстраполяции)
быстро растет, экстремальные значения меньше в середине отрезка интерполяции. Для равноотстоящих узлов
для
имеет место

Оценка (8) - сильно завышенная оценка ошибки. Для получения точной оценки надо искать экстремумы
.

Оценка (7) для погрешности интерполяции не является завышенной. Можно показать, например, что она достигается при интерполировании полиномом -ой степени полиномом
степени.

Пример.

Пусть
- отрезок
. Построить интерполяционный многочлен второго порядка
в узлах
,
,
. Оценить погрешность интерполяции в т.
и на всем отрезке
.

ИП Ньютона . Для коэффициентов:

В данном случае:

;

;

;
;

.

Замечания о минимизации ошибки при полиномиальной интерполяции.

, где
.

Ясно, что величина ошибки зависит от расположения узлов
. Если узлы можно выбирать, то ситуация значительно улучшается. Можно минимизировать ошибку интерполяции.

Полиномы Чебышева. Интерполяция по Чебышевским узлам.

Определение. На отрезке
определим многочлены Чебышева:

Найдем несколько первых многочленов:

,

Получена рекуррентная формула для полиномов Чебышева. Отсюда следует, что
‑полином– ой степени. Последовательно получаем:

;

;

;

и т.д.

Свойства многочленов Чебышева.

Благодаря свойству 6. многочлен
называется многочленом, наименее отклоняющимся от нуля. Полиномы Чебышева, нормированные таким образом, чтобы коэффициент при старшей степенибыл равен 1:

;
;
;
;
; и т.д.

Можно записать полином степени , наименее отклоняющийся от нуля на произвольном отрезке.

Применение полиномов Чебышева к задаче интерполяции.

Задача. Оптимизировать интерполяцию полиномом Лагранжа с помощью выбора узлов интерполяции.

Решение. Выбор узлов интерполяции.

Пусть
. Погрешность интерполяции, причем
, где
, а полином- многочлен степени
, с коэффициентами
при старшем члене;
- его нули.

Если узлы интерполяции выбрать как у полиномов Чебышева, т.е. в точках
, то нули
и
совпадут, а так как в обоих многочленах
при старшем члене, следовательно,
и достигается
:

Интерполяционный полином
, построенный по узлам, являющимися корнями полинома Чебышева
, является оптимальным по точности интерполяционным полиномом.

Геометрическая интерпретация корней полинома Чебышева

Если верхнюю полуокружность единичного радиуса разделить на частей, то середины дуг – координаты нулей, экстремумы – точки деления (см. Рис. 3)

Равномерное приближение функций на отрезке.

Пусть
,
. Расстояние между двумя функциями
. Пусть
- достаточно гладкая, т.е.
. Тогда найдется такое(степень интерполяционного полинома), что выполняется условие:

Приблизить многочленом- ой степени так, чтобы выполнялось условие:
. Найти.

. Возьмем для интерполяции интерполяционный полином Лагранжа, построенный по нулям полинома Чебышева
. Имеем:

где
.

Производные функции
:

Непосредственным подбором можно убедиться, что
удовлетворяет этому условию. Для произвольной функции
, недостаточно гладкой, задача становится гораздо сложнее.

Интерполяция - приближение одной функции другой функцией.

С самого начала хотелось бы заметить, что мы занимаемся интерполяцией функций , а не узлов. Разумеется, интерполяция будет проводиться в конечном числе точек, но выбирать их мы будем сами.

В настоящем исследовании будет изучена проблема интерполяции функции одной переменной полиномом каноническим полиномом, будет рассмотрен вопрос точности приближения, и как, варьируя узлы, через которые пройдёт полином, достигнуть максимальной точности интерполяции.

Полином в каноническом виде

Известно, что любая непрерывная на отрезке функция f(x) может быть хорошо приближена некоторым полиномом P n (x). Справедлива следующая Теорема (Вейерштрасса): Для любого >0 существует полином P n (x) степени , такой, что

В качестве аппроксимирующей функции выберем полином степени n в каноническом виде:

Коэффициенты полинома определим из условий Лагранжа , , что с учётом предыдущего выражения даёт систему линейных алгебраических уравнений с n +1 неизвестными:

Обозначим систему таких уравнений символом (*) и перепишем её следующим образом:

Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n -ой степени P n (x) в точке x определяется разностью: R n (x) = f(x) - P n (x).

Погрешность R n (x) определяется следующим соотношением:

Здесь - производная (n+1) -го порядка функции f(x) в некоторой точке а функция определяется как

Если максимальное значение производной f n+1 (x) равно то для погрешности интерполяции следует оценка:

При реализации данного метода на ЭВМ ошибкой интерполяции E n (x) будем считать максимальное уклонение полинома от исходной функции на выбранном промежутке:

Выбор узлов интерполяции

Ясно, что от выбора узлов интерполируемой функции напрямую зависит, насколько точно многочлен будет являться её приближением.

Введём следующее определение : полиномом Чебышева называется многочлен вида

Известно (см. ссылки литературы), что если узлы интерполяции x 0 , x 1 ,...,x n являются корнями полинома Чебышева степени n+1 , то величина принимает наименьшее возможное значение по сравнению с любым другим выбором набора узлов интерполяции.

Очевидно, что в случае k = 1 функция T 1 (x) , действительно, является полиномом первой степени, поскольку T 1 (x) = cos(arccos x) = x.

В случае k = 2 T 2 (x) тоже полином второй степени. Это нетрудно проверить. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: cos2θ = 2cos²θ - 1, положив θ = arccos x .

Тогда получим следующее соотношение: T 2 (x) = 2x² - 1.

С помощью тригонометрического тождества cos(k + 1)θ = 2cosθ coskθ - cos(k - 1) легко показать, что для полиномов Чебышева справедливо реккурентное соотношение:

T k+1 (x) = 2xT k (x) - T k-1 (x)

При помощи данного соотношения можно получить формулы для полиномов Чебышева любой степени.

Корни полинома Чебышева легко находятя из уравнения: T k (x) = cos(k arccos x ) = 0. Получаем, что уравнение имеет k различных корней, расположенных на отрезке [-1,1]: которые и следует выбирать в качестве узлов интерполирования.

Нетрудно видеть, что корни на [-1,1] расположены симметрично и неравномерно - чем ближе к краям отрезка, тем корни расположены плотнее. Максимальное значение модуля полинома Чебышева равно 1 и достигается в точках

Если положить то для того, чтобы коэффициент при старшей степени полинома ω k (x) был равен 1,

Известно, что для любого полинома p k (x) степени k с коэффициентом, равным единице при старшей производной верно неравенство т.е. полиномы Чебышева являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля.

Вычислительный эксперимент

Для реализации поставленной задачи была написана программа на языке С++, которая по заданной функции приближает её каноническим полиномом. Разумеется, необходимо указать узлы, через которые полином пройдёт, и значения функции в этих узлах.

Как было показано выше, и в чём мы убедимся в дальнейшем, от выбора узлов зависит точность, с которой полином будет приближать функцию.

Пример: Интерполяция синуса

Попробуем интерполировать функцию y = sin(x) на отрезке . Выберем узлы интерполяции: {1.1, 2, 4.7, 7.5, 8.5}

Полученный в результате интерполяции полином отображён на рисунке (синим цветом показан график y = sin(x ), красным – интерполяционного полинома)

Ошибка интерполяции в этом случае: 0.1534

Давайте посмотрим, что произойдёт, если выбрать равномерно стоящие узлы {2, 3.5 5, 6.5, 8} для той же функции на том же отрезке.

На отрезке приближение, бесспорно, стало лучше. Однако разброс на краях очень большой. Ошибка интерполяции: 2.3466 .

Наконец, выберем узлы интерполяции в соответствии с Чебышевским алгоритмом. Получим их по следующей формуле (просто сделаем замену переменной):

В нашем случае [a,b ] - отрезок , y = cosx , n+1 - количество узлов.

Остаётся открытым вопрос, какое количество узлов выбрать.

• При значении n меньше 3 ошибка аппроксимации получается более 10.6626.
• При n = 4 : приближение лучше (ошибка равна 1.0111 ),
• при n = 5 : ошибка аппроксимации 0.2797

График функций при n = 4 выглядит следующим образом:

Продолжим исследования.

• n = 6 : ошибка аппроксимации 1.0233.

При n = 7 ошибка аппроксимации принимает наименьшее из полученных ранее значений (для данного промежутка): 0.0181 . График синуса (обозначен синим цветом) и аппроксимационного полинома (обозначен красным цветом) представлены на следующем графике:

Что интересно, если при этом же количестве узлов выбирать их на отрезке , то ошибка аппроксимации становится ещё меньше: 0.0124 . График в этом случае выглядит так:

При выборе большего количества узлов ситуация ухудшается: мы стараемся слишком точно приблизить исходную функцию:

Ошибка аппроксимации будет только расти с увеличением числа узлов.

Как видим, наилучшее приближение получается при выборе узлов по методу Чебышева. Однако рекомендаций, какое количество узлов является оптимальным, нет - это определяется только экспериментальным путём.

Программа написана на языке C++ с использованием библиотеки линейной алгебры UBlas, которая является частью собрания библиотек Boost. Скачать исходный текст программы можно

Предварительные настойки

Чтобы воспользоваться программой, необходимо сделать следующее: 1. Определиться с функцией, которую вы собираетесь интерполировать 2. Создать текстовый файл (например, vec.txt ), в первой строчке которого через пробел размещены узлы интерполяции, а во второй – значения выбранной функции в этих узлах.

Например, функция y = sin(x):

0.74 2 -3.5 0.6743 0.9093 0.351

3. В.cpp файле программы в функцию double f(double x) вместо строки return прописать возвращаемое исходной функцией значение. Например, для функции y = sin(x):

Return sin(x);

4. В функции int main() исходного кода присвоить переменной char* flname путь к входному файлу с данными. В нашем случае char* flname = "vec.txt";

Использование программы

В программе реализованы следующие основные функции:

• double f(double x) , описание которой было дано выше
• int load(char *filename, vector &x, vector &y) - загрузка узлов интерполяции в переменную x и значения функции в этих узлах в переменную y текстового файла filename . В случае удачной загрузки данных из файла функция возвращает 0 .
• void matrix2diag(matrix &A, vector &y) - приводит матрицу A к треугольному виду. y - столбец правой части (также изменяется вместе с матрицей A ).
• void SolveSystem(matrix &A, vector &y, vector &coef) - решить СЛАУ (A - треугольная матрица, y - столбец правой части, coef - в этот вектор заносится решение СЛАУ)
• double errapprox(vector coef, double a, double b, double h) – возвращает ошибку аппроксимации полиномом исходной функции.

На вход функции подаются следующие параметры:

• • vector coef – вектор коэффициентов интерполяционного полинома, который получается в ходе решения СЛАУ
  • double a, double b – границы промежутка интерполяции
  • double h – шаг, с которым «пробегаем» промежуток

• int outpolyn(char** filename, vector coef) – сохраняет коэффициенты полинома coef в файл filename . В случае удачного сохранения функция возвращает "0".

После запуска программы на экране появляются коэффициенты интерполяционного полинома и ошибка аппроксимации.

Вывод

Был исследован и программно реализован метод интерполяции функции каноническим полиномом. В ходе исследований установлено, что ошибка интерполяции получается как из-за ошибок компьютерных вычислений, так и из-за ошибок метода.

Также замечено, что от выбора узлов интерполяции напрямую зависит качество интерполяции. Минимальная ошибка интерполяции достигается при выборе «чебышевских» узлов.

Прикреплённые файлы

Литература

• Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". Москва. 2003.
• И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.

График интерполяционного многочлена проходит через заданные точки, т.е. значения многочлена и данной функции у = f (x) совпадают в узлах . Если функция f (x ) сама является многочленом степени n , то имеет место тождество В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции, Эта разность есть погрешность интерполяции и называется остаточным членом интерполяционной формулы. Оценим его значение.

Предположим, что заданные числа yi являются значениями некоторой функции у = f (x ) в точках х = xi .Пусть эта функция непрерывна и имеет непрерывные производные до (n + 1) - го порядка включительно. Можно показать, что в этом случае остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа имеет вид

Здесь – производная (n + 1)-го порядка функции f (x ) в некоторой точке . Если максимальное значение этой производной равно

то можно записать формулу для оценки остаточного члена:

где функция определена как

Проанализировав поведение функции , можно сделать вывод о том, что погрешность интерполяции Rl ( x) в среднем будет тем выше, чем ближе точка х лежит к концам отрезка . Если же использовать интерполяционный многочлен для аппроксимации функции вне отрезка (экстраполяция), то погрешность возрастет существенно.

Вид остаточного члена интерполяционного многочлена Ньютона в случае равноотстоящих узлов можно легко получить из (2.41):

Если предположить, что разность постоянна, то можно записать следующую формулу остаточного члена первого интерполяционного многочлена Ньютона:

Следует еще раз подчеркнуть, что существует один и только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и другие порождают один и тот же многочлен (при условии, что вычисления проводятся точно). Разница лишь в алгоритме их построения. Правда, интерполяционный многочлен Лагранжа не содержит явных выражений для коэффициентов.

Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, в то время как построение единого многочлена высокой степени (глобальная интерполяция) не приводит к успеху.

Такого рода ситуацию в 1901 г. обнаружил К. Рунге. Он строил на отрезке интерполяционные многочлены с равномерным распределением узлов для функции Оказалось, что при увеличении степени интерполяционного многочлена последовательность его значений расходится для любой фиксированной точки х при

Положение в некоторых случаях может быть исправлено специальным распределением узлов интерполяции (если они не зафиксированы). Доказано, что если функция f (x ) имеет непрерывную производную на отрезке [-1,1], то при выборе значений х i , совпадающих с корнями многочленов Чебышева степени n + 1, интерполяционные многочлены степени n сходятся к значениям функции в любой точке этого отрезка. Наглядно пояснить сделанное утверждение можно следующим образом. Как было отмечено в разд. 2.2, корни многочленов Чебышева расположены неравномерно на отрезке и сгущаются к его концам. Такое сгущение компенсирует увеличение погрешности интерполяции при приближении к концам отрезка, которое имеет место при равномерном распределении узлов.

Таким образом, точность интерполяции целесообразно повышать за счет уменьшения шага и специального расположения точек х i .Повышение степени интерполяционного многочлена при локальной интерполяции также уменьшает погрешность, однако здесь не всегда ясно поведение производной f (n +1) (х ) при увеличении n . Поэтому на практике стараются использовать многочлены малой степени (линейную и квадратичную интерполяции, сплайны).