Учебник. Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Высотой параллелограмма, проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.

Признаки параллелограмма.

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник. По условию AO = OC, BO = OD . Так как углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольник AOB равен треугольнику COD , и, следовательно, углы (OAB) и (OCD) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых (AB) и (CD) и секущей (AC) и по теореме 3.2 прямые (AB) и (CD) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов (OAD) и (OCB) и по теореме 3.2 – параллельность прямых (AD) и (BC) . Из полученных результатов следует, что четырёхугольник ABCD параллелограмм. Теорема доказана.

Диагонали четырёхугольника

Если у четырёхугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырёхугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник и (AB) || (CD), AB = CD .

Проведём диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и ADC равны. Действительно, стороны AB и CD равны по условию, сторона AC – общая, углы ACD и BAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства треугольников следует равенство углов CAD и ACB . Данные углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC . По теореме 3.2 прямые BC и AD параллельны. Следовательно, четырёхугольник ABCD параллелограмм по определению. Теорема доказана.

Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, такой четырёхугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, и AB = CD , BC = AD .

Проведём диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB = CD , BC = AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда ∠BCA = ∠CAD и ∠BAC = ∠ACD . Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC , а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD , а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD . Тогда по определению четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Если в четырёхугольнике противолежащие углы равны, такой четырёхугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, и ∠ B = ∠ D , ∠ A = ∠ C . Проведём диагональ AC .

Сумма углов четырёхугольника равна сумме углов треугольника ABC и треугольника ACD . Так как сумма углов каждого треугольника – 180° , то ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° . С учетом условия получаем, что ∠ A + ∠ D = 180° и ∠ C + ∠ D = 180° .

Углы A и D AB и CD и секущей AD , и, так как их сумма равна 180° , то по следствию 3.2 прямые AB и CD – параллельны. Аналогично углы C и D являются внутренними односторонними при прямых BC и AD и секущей CD , а сумма их равна 180° , и, следовательно, прямые BC и AD – параллельны. Таким образом, четырёхугольник ABCD – параллелограмм по определению, что и требовалось доказать.

Свойствa параллелограмма.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пресечения делятся пополам.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. По определению (AB) || (CD) и (AD) || (BC) . Пусть O – середина диагонали BD и на луче, дополняющем луч OA, отложен отрезок OC 1 , равный отрезку OA . По теореме 7.1 получившийся четырёхугольник ABC 1 D – параллелограмм, и, следовательно, (BC 1) || (AD) и (AB) || (C 1 D) . С учетом условия – (BC) || (AD) и (AB) || (CD) . В соответствии с теоремой 3.3 (BC) = (BC 1) и (DC) = (DC 1) . Поэтому точки C и C 1 совпадают. Следовательно, совпадают параллелограммы ABCD и ABC 1 D . Отсюда AO = OC и BO = OD . Теорема доказана.

Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник.

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Пусть ABCD – данный параллелограмм, т.е. (AB) || (CD) и (BC) || (AD) и O – точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC и BO = OD . Поскольку углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольники AOB и COD равны, и, как следствие, AB = CD . Аналогично из равенства углов (AOD) и (COB) как вертикальных и равенства треугольников BOC и DOA следует равенство сторон AD и BC .

В силу доказанного в треугольниках BAD и DCB AB = DC , AD = BC и BD – общая сторона и по теореме 4.8 Δ BAD = Δ DCB . Тогда ∠BCD = ∠BAD . Аналогично из равенства треугольников ABC и CDA следует равенство углов (ABC) и (CDA) . Теорема доказана.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника задается следующей теоремой:

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть ABCD – данный прямоугольник. Прямоугольные треугольники BAD и ABC равны по теореме 4.1, так как AD = BC , AB – общая сторона. ∠ BAD = ∠ ABC = 90° . Отсюда BD = AC . Теорема доказана.

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии, поэтому Оf=Of1,где f1- середина стороны bc, которая II Ad. Тогда ff1=2*7=14, ff1-это расстояние между серединами сторон Ad и bc. Оk=2+7=9, так же kk1=9*2=18, где k1-ередина стороны cd, kk1- это расстояние между серединами сторон Аb и cd. Так как сумма расстояний между серединами противоположных сторон равна полупериметру параллелограмма, то периметр равен. Р=2*(18+14)=2*32=64

Похожие задачи:

1) В прямоугольном треугольнике АВС с равными катетами АС и ВС на стороне АС как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке М. Найдите длину отрезка ВМ, если расстояние от точки В до центра построенной окружности 3 корня из 10.

2) Найдите длину средней линии трапеции, в которой диагонали взаимно перпендикулярны, а их длины равны 10 и 24.

3) Треугольник АВС таков, что АВ не равно ВС, а отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС. Найдите периметр треугольника АВС, если АС=1.

1. Дан угол с вершиной внутри круга. Доказать, что этот угол тупой.

2. Из вершины А треугольника АВС проведена высота АD. Точки F и Е - середины сторон АВ и АС. Найти периметр DEF, если периметр АВС = 64 см.

3. Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне DA. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если ВМ=6 см, а СМ=8 см.

4. В окружности радиуса √2 см проведена хорда, длина которой составляет одну треть диаметра. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла разделила катет на отрезки 15 и 12. Найдите площадь треугольника.

2. Точка M лежит внутри равностороннего треугольника на расстоянии 3√3 от двух его сторон и на расстоянии 4√3 от третьей стороны. Найдите длину сторон треугольника.

3. Стороны треугольника относятся как 13:14:15, а высота, проведенная к большей стороне равна 33,6. Найдите большую сторону.

4. В треугольнике ABC сторона AC равна 21, высота BH равна 12, синус угла A равен 0,6. Найдите длину отрезка CH.

5. Площадь остроугольного треугольника равна 10√3 , а две его стороны равны 5 и 8. Найдите третью сторону.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Параллелограмм Учитель математики ГБОУ СОШ № 201 Бадаева Е.В.

Определение Параллелограмм- это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если в четырехугольнике ABIICD и BCIIAD , то ABCD – параллелограмм. А В С D

Свойства параллелограмма 1 . В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Если ABCD - параллелограмм, то AD=BC, AB=CD, ∠A=∠C, ∠B=∠D. В А D C

Свойства параллелограмма 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Если ABCD - параллелограмм, то AO=OC, BO=OD. В А D C O

Если в задаче дано, что четырехугольник – параллелограмм, то можно использовать свойства параллелограмма.

Признаки параллелограмма 1. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то это - параллелограмм. Если ABIICD и AB=CD ABCD - Если ADIIBC и AD=BC параллелограмм В А D C

Признаки параллелограмма 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это - параллелограмм. Если AB=CD и AD=BC , то ABCD - параллелограмм. В А D C

Признаки параллелограмма 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это - параллелограмм. Если A О = О C и D О = О B , то ABCD - параллелограмм. В А D C О

Если в задаче нужно доказать, что четырехугольник является параллелограммом, то применяют один из признаков параллелограмма.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Материал содержит приложения к урокам геометрии в 8 кл. в виде анимированных доказательств свойств и признаков параллелограмма....

Урок геометрии в 8 классе "Признаки параллелограмма"

Краткая аннотация урока геометрии в 8 классе по теме «Признаки параллелограмма» (по учебнику Атанасяна)Урок разработан с применением доски InterwriteBoard.Урок геометрии в 8 классе по теме "...

урок геометрии 8 класс "Признаки параллелограмма"

Урок разработан с применением доски InterwriteBoard.Урок геометрии в 8 классе по теме "Признаки параллелограмма» 6-ой в системе уроков по теме "Четырёхугольники", реально отражающий учебный план и опт...

Параллелограмм. Свойства параллелограмма.

Конспект урока геометрии в 8 классе. «Параллелограмм. Свойства параллелограмма»На уроке повторяются свойства параллельных прямых и признаки равенства треугольников; учащиеся знакомятся с о...