Урок «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.

Урок-семинар по теме:

«Решение систем уравнений второй степени» 9 класс

Сердюкова Лилия Владимировна, учитель математики гимназии № 15. им. Н.Н.Белоусова, г. Сочи

Ответьте на вопросы.

1.Что называется системой уравнений второй степени? 2. Что называется решением системы уравнений второй степени? 3. Что значит решить систему уравнений второй степени? 4. Какие системы уравнений называются равносильными? 5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете, в чем их преимущества и недостатки? 6.Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете? 7.Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8.Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

Системы уравнений

Графический способ

Аналитический способ

Метод подстановки

Метод сложения

Метод замены переменной

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Выразим у

Построим график

первого уравнения

Построим график

второго уравнения

Ответ: (2; 4);(-1;1)

Найдем координаты точек пересечения графиков функций

Маленький тест

Укажите систему уравнений,

которая не имеет решений.

ОДНО решение

ДВА решения

Все три указанные системы

Маленький тест

На рисунке изображены

графики функций

у=х2 – 2х–3 и у=1–х

Используя графики решите

систему уравнений.

у=х2 – 2х –3

7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

(-2; 5), (2; -3)

Нет решений

Маленький тест

На рисунке изображены

графики функций

у= х3 и у=2х+4

Используя графики решите

систему уравнений

7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Нет решений

Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация

решения системы уравнений

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Записать ответ: х =…; у =… .

Выразим х через у

Подставим

уравнение

Подставим

Ответ: (2;0);(3;1).

у=0 или 1-у=0

Подставим

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .

Уравняем

Сложим уравне-

ния почленно

уравнение

Подставим

уравнение

Ответ: (4; 1); (4; -1); (-4; 1); (-4; -1).

Соотношение количества систем, решаемых различными методами.

Тест:

• 1 задание – 1 балл
• 2 задание – 1 балл
• 3 задание – 1 балл
• 4 задание – 1 балл
• 5 задание – 1 балл
• 6 задание – 1 балл
• 7 задание – 2 балла

Ответы: Вариант1.

Ответы: Вариант2.

Итоги:

• 6-7 баллов - «3»
• 8-10 баллов - «4»
• 11 баллов - «5»

• Савченко Е.М. Алгебра 9 класс. Итоговое повторение http://le-savchen.ucoz.ru/load/2-1-0-19
• Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова и др. М. Просвещение. 2008.
• Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовке к ГИА-9. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабуховой, Легион-М, Ростов-на-Дону.2011
• Математика. Государственная итоговая аттестация. Тематические тренировочные задания. 9 класс. Базовый уровень, под редакцией Е.А. Семенко, М.,«Экзамен», 2011.
• Картинки для презентации. http://allaklein.ucoz.ru/load/vse_dlja_power_point/kartinki_na_shkolnuju_temu/10-1-0-34

Урок закрепление.Решение систем уравнений второй степени.

Бакашева Малика Вахитовна, 17.12.2017

789 37

Содержимое разработки

Вариант 1.
Часть 1.

Укажите систему уравнений, которая имеет два решения.

3. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:

а) (3;2),(2;3); б) (-2;7), (-3;8) в) (3;2)

4.Решите систему уравнений, используя метод сложения: х 2 - 2у = 3,
5х 2 + у = 4.

а) (1;- 1); б) (-1; -1); в) (-1;-1);(1;-1).

Часть 2.

1. Изобразите схематически графики уравнений у = и у = (х - 1) 2 +1.

2. Пусть (х 0 ;у 0) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения (х 0 +у 0) 2 .

а) 25/36; б) 25; в)13.

Вариант 2.
Часть 1.

1. На рисунке изображена парабола и три прямые.

Укажите систему уравнений, которая имеет одно решение.

3. Реши систему уравнений, используя метод подстановки:

а) (2;1),(-5;8); б) (5;-2); в) (5;-2),(-2;5)

4. Реши систему уравнений, используя метод сложения: 8х+3у 2 = -21,
4х+5у 2 = 7.
а) (1; -3); б) (1;-3),(-1;-3); в) (-1;-3)

Часть 2.

1. Изобразите схематически графики уравнении у = и у = х 2 + 1.

С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) одно; б) два; в) не имеет решений.

2. Пусть (х 0 ;у 0) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения 2х 0 +у 0 .

а) 10; б) 12; в)1.

Содержимое разработки

Алгебра 9 класс 16.01.2017г

Уч.математики:Бакашева М.В.

Тема: "Решение систем уравнений второй степени"

Цели урока:

Обучающие:

Обобщить знания и закрепить умения учащихся решать системы уравнений второй степени различными способами.

Создать условия для отработки навыков самостоятельной работы, работы в группах, при выполнении заданий.

Развивающие:

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; развивать навыки самопроверки, самоконтроля, развивать умение применять теоретические знания на практике.

Воспитательные:

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, тестовые знания.

Ход урока

Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята и гости. Посмотрите в окошко – какая сегодня солнечная погода. Сегодня на уроке я вам желаю солнечного и ясного настроения.

Для того, чтобы наш урок прошёл успешно, я предлагаю разделиться на 3 группы. В каждой группе один человек будет консультантом. (Деление на 3 группы). А чтобы оценить работу каждого я вам раздам оценочные лисы. Каждый в оценочном листе будет ставить баллы за правильный ответ или решённую задачу.

Проверка домашнего задания

Сейчас мы проверим домашнее задание. У вас были даны задания двух уровней. Поднимите руку те, кто делал уровень А. (Проверка на слайде)

Поднимите руку те кто делал уровень Б. (Проверка по слайду)

Постановка темы и целей урока.

1.Фронтальный опрос.

1.Что называется решением уравнения с двумя переменными?

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

3. Что называется системой уравнений второй степени? (система составленная из уравнений второй степени или из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени)?

2. Что называется решением системы уравнений второй степени? (Решением системы уравнений является пара чисел, обращающая оба уравнения в верные числовые равенства)

3. Что значит решить систему уравнений второй степени? (найти все его решения или доказать, что решений нет)

4. Какие системы уравнений называются равносильными?

(Те которые имеют одинаковые решения или те, которые решений не имеют)

5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете, в чем их преимущества и недостатки?

6. Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете?

7. Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8. Подберитенаиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

2. Формулировка темы и целей урока.

- Исходя из выполненных заданий давайте сформулируем тему урока.

- А теперь поставим цели нашего урока (решение систем уравнений всеми способами)

Мы сегодня с вами обобщим и закрепим знания по теме, выполним задания по теме, проверим свои знания в ходе выполнения тестовых заданий.

На слайде указана тема урока.

А теперь каждая группа получит задание.

IV . Работа по теме урока.

1.Задания группам:

Консультанты за каждое верно выполненное задание дают по 1 баллу.

Проверим решение систем по слайдам.

Вы поработали в группах, а теперь каждый из вас поработает самостоятельно, выполнив тестовое задание.

Тесты по вариантам. (3 варианта)

3 . Тест.(самопроверка слайды). Выставление баллов в оценочный лист.

4.Подведение итогов урока.(слайд)
4-5 баллов - «3»

6-8 баллов - «4»

10 баллов - «5»

V . Рефлексия

Чем понравился вам урок?

Что вы можете взять для себя из этого урока?

Что вам показалось сложного на уроке?

На столе лежат ромбики разных цветов (оранжевые и серые). Каждый подойдёт и возьмёт тот, который соответствует вашему настроению в конце урока.

VI .Домашнее задание и его инструктаж .

Домашнее задание:

Спасибо за урок!

1.Что называется системой уравнений второй степени? 2. Что называется решением системы уравнений второй степени? 3. Что значит решить систему уравнений второй степени? 4. Какие системы уравнений называются равносильными? 5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете? 6.Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете? 7.Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8.Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

1) 2) 3 ) 4 )

Системы уравнений

Аналитический способ

Графический способ

Метод сложения

Метод подстановки

Графический способ (алгоритм )

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Записать ответ: х =…; у =… .

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .

Задания по группам

• Решить систему уравнений графическим способом
• Решить систему уравнений методом подстановки

3. Решить систему уравнений способом сложения

х 2 - 2у 2 =14,

Решение системы графическим способом

Выразим у

Построим график

первого уравнения

Построим график

второго уравнения

Найдем координаты точек пересечения графиков функций

Ответ: (2; 4);(-1;1)

Решение системы уравнений способом подстановки

Выразим х через у

уравнение

Подставим

у=0 или 1-у=0

Подставим

Подставим

Ответ: (2;0);(3;1).

Уравняем

Решение системы уравнений способом сложения

уравнение

х 2 - 2у 2 =14,

Сложим уравне-

ния почленно

х 2 - 2у 2 =14,

х 2 +2у 2 =18;

уравнение

х 2 - 2у 2 =14;

Ответ: ( 4 ; 1); (4; -1); (-4; 1); (-4; -1).

х 2 - 2у 2 =14 ;

Подставим

• 1 задание – 1 балл
• 2 задание – 1 балл
• 3 задание – 1 балл
• 4 задание – 1 балл
• 5 задание – 1 балл
• 6 задание – 1 балл
• 7 задание – 2 балла

Ответы: Вариант1.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант2.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант3.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант4.

Часть 1.

Часть 2.

• 4-5 баллов - «3»
• 6-8 баллов - «4»
• 10 баллов - «5»

Домашнее задание

В папке «Математика» итоговый тест по теме «Уравнения и системы уравнений»

Цели урока: закрепить умение и навыки решения систем уравнений второй степени различными способами: графическим, способом подстановки, способом сложения; развивать познавательный интерес, внимание, память, логическое мышление; воспитать чувство ответственности, самостоятельность.

1. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
2. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является графиком обратной пропорциональности?
3. Каким уравнением задается окружность?
4. Как задается квадратичная функция? Что является графиком квадратичной функции? (К каждому вопросу сразу дается правильный ответ с рисунком)
5. Решить систему уравнений графическим (слайд 4)- решение (слайд5)
6. Перед Вами графики двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение.(слайд 6)
7. Подготовка к малому ЕГЭ (слайд 7-9)

Повторим решение систем уравнений второй степени 3 способами:

А) б) в)

Вместе проверяют решение систем уравнений, решенных на доске, учащиеся должны обосновать свое решение.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

│x 2 – 3xy – 2y 2 = 2

│x + 2y = 1

Решение :

Следуем правилу:

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y :

x = 1 – 2y

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y :

(1 – 2y ) 2 – 3(1 – 2y )y – 2y 2 = 2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

8y 2 – 7y + 1 = 2.

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

8y 2 – 7y + 1 – 2 = 0

8y 2 – 7y – 1 = 0.

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

y 1 = – 0,125

y 2 = 1.

4) Осталось найти значения x . Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y . Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х 1 = 1,25.

2) х + 2 · 1 = 1
х + 2 =1
х = 1 – 2
х 2 = –1.

Ответ :

x 1 = 1,25, y 1 = – 0,125
x 2 = –1, y 2 = 1.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

│x 2 – 9y 2 – x + 3y = 0
│x 2 – xy + y = 7

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

x 2 – 9y 2 – x + 3y = (x – 3y )(x + 3y ) – (x – 3y ) = (x – 3y ) (x + 3y ) – 1(x – 3y ) = (x – 3y ) (x + 3y – 1).

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3 y )(x + 3y ) – 1(x – 3 y ). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

│(x – 3y )(x + 3y – 1) = 0
│x 2 – xy + y = 7

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

│x – 3y = 0
│x 2 – xy + y = 7

│x + 3y – 1 = 0
│x 2 – xy + y = 7

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений .

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у :

х = 3у .

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

(3у ) 2 – 3у · у + у = 7,

9у 2 – 3у 2 + у = 7,

6у 2 + у = 7,

6у 2 + у – 7 = 0

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

7
у 1 = 1, у 2 = – --.
6

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

1) х – 3 · 1 = 0,

х 1 = 3.

7
2) х – 3 · (– --) = 0,
6

7
х + -- = 0,
2

7
х 2 = – --
2

Итак, у нас есть первые ответы:

х 1 = 3, у 1 = 1;

7 7
х 2 = – --, у 2 = – --.
2 6

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

х 3 = –2, у 3 = 1.

х 4 = –2,5, у 4 = – 0,5.

Таким образом, исходная система уравнений решена.

Ответ :

1 1
(–3 - ; –1 -), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

│2x 2 + 3y = xy
│x 2 – y = 3xy

Решение .

Второе уравнение умножим на 3:

3x 2 – 3y = 9xy

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y , которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

2x 2 + 3y + 3x 2 – 3y = xy + 9xy

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

5x 2 = 10xy

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

x 2 = 2xy

Приравняем уравнение к нулю:

x 2 – 2xy = 0

Это уравнение можно представить в виде x (x – 2y ) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

│x = 0
│x 2 – y = 3xy

│x = 2y
│x 2 – y = 3xy

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y .

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x . Это ноль. То есть x 1 = 0. Легко вычислить и значение y : это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Пример решен.

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Решение .

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у :

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

–b + √D 1 + 9
у 1 = ---- = --- = 5
2a 2

–b – √D 1 – 9
у 2 = ---- = --- = –4
2a 2

Осталось найти значения х . Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х 1 = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х 2 = 13

Ответ : (4; 5), (13; –4).