Варианты решений заданий C4 ЕГЭ по математике.

Решение заданий С4 по математике

Задание С4: Условие

В угол, равный arccos(-1/9), вписана окружность радиуса 3. Параллельно хорде, соединяющей точки касания, проведены две касательные к окружности, в результате чего получилась трапеция. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Из прямоугольного треугольника olH найдем OH:
OH = ol/sin(OHL).
Для удобства обозначим угол OHL буквой "a".

По формуле косинуса двойного угла:
cos(2a) = 1 - 2sin^2(a), откуда
sin(a) = sqrt((1-cos(2a))/2)
sin(a) = sqrt((1+1/9)/2) = sqrt(5)/3

Чтобы потом к этому не возвращаться,
cos(a) = sqrt(1-5/9) = 2/3
tg(a) = sqrt(5)/3/2*3 = sqrt(5)/2.

Итак, OH = ol/sin(a) = 9/sqrt(5)
Отсюда:
pH = 9/sqrt(3) - 3
QH = 9/sqrt(3) +3

AB = 2*pH*tg(a)
CD = 2*QH*tg(a)

(AB+CD)/2 = 2*9/sqrt(5)*sqrt(5)/2 = 9

S(ABCD) = 9*6 = 54

Ответ: 54

Задание С4: Окружность проходит через вершину прямого угла

Условие:

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояние 14 и 48. Найти радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Решение:

Во-первых, заметим, что, как и обычно бывает в C4, тут может быть два случая - вторая окружность может касаться первой как изнутри (синие линии на рисунке), так и снаружи (красная линия).

Итак, AC = 14, BC = 48, угол C - прямой. Значит, AB является диаметром первой окружности, и он равен sqrt(14^2+48^2) = 50.
Точка O, являясь центром окружности, делит AB пополам. Значит, перпендикуляры, опущенные из неё к отрезкам AC и BC, тоже делят их пополам.

Пусть O1 - центр второй окружности, а R - её радиус. Рассмотрим прямоугольный треугольник OKO1 с гипотенузой OO1 и катетами, параллельными лучам угла.

В "синем" случае:
OK = 24-R
O1K = R-7
OO1 = 25-R

Пишем теорему Пифагора:
(24-R)^2 + (R-7)^2 = (25-R)^2
Решаем, получаем два корня - 0 и 12. Нулевой случай нас не сильно интересует.

В "красном" случае всё то же самое, только OK=R-24 и, что самое важное, OO1=25+R.
И там, решая такое же уравнение, получим второй корень 112.

Повторим, как образуются прямые вопросы. Что такое прямой вопрос? В прямых вопросов порядок слов такой же, как в обычном предложении, но только перед подлежащим нужно поставить вспомогательный глагол. В английском языке существуют пять типов вопросов: общий, к подлежащему, специальный, альтернативный и разделительный.

1. Общий вопрос

Он строится ко всему предложению и требует ответа «да» или «нет». Схема построения вопроса такова:

Например: Do you live in Russia? – Yes, I do. / No, I don’t

2. Вопрос к подлежащему

В вопросе к подлежащему вместо подлежащего ставится вопросительное слово «кто» - WHO, если речь идет о живых людях и «что» - WHAT, если речь идет о неодушевленных предметах. Схема построения такого вопроса:

Помни, что в вопросе к подлежащему нельзя ставить do, does и did.

Например:

Who are you talking to?

What can help you?

3. Специальный вопрос.

Этот тип вопроса требует точного ответа. Здесь используются такие вопросительные слова, как
When – когда; where – где, куда, откуда; why – почему; how – как; what colour – какого цвета; how much, how many – сколько; how far - как далеко; how long – как долго и т.д.

Схема построения вопроса такова: (все вопросительные слова обозначим Wh)

Например:

When does the museum open?

What colour is your car?

How long have you know your friend?

4. Альтернативный вопрос – вопрос выбора.

Он строится точно также как общий вопрос, но к любому члену предложения можно добавить выбор с помощью союза “or”.

Схема вопроса: (на примере альтернативы к подлежащему)

Например:

Do your parents or your friends always help you?

Точно также можно построить альтернативный вопрос к любому члену предложения. Например, к дополнению:

Does he speak English or Spanish?

5. Разделительный вопрос (не так ли)

Он строится по такой схеме:

Например,

Mary drives her car to work, doesn’t she?

Помни! Вопрос должен звучать не только грамматически правильно, но и разумно.

Самые легкие для составления вопросы те, что начинаются с if. Это значит, что надо задать общий вопрос. Не забывай про интонацию в вопросах. Она должна повышаться в общем вопросе и понижаться в специальном.

Вот таблица, в которой приведены наиболее часто встречающиеся вопросы:

Вопросы в задании С4 можно задавать разные. Это зависит от ситуации, которая дается. Наиболее часто встречаются общие и специальные вопросы. Реже разделительные, к подлежащему и альтернативные.

Итак, свершилось! Проведен очередной (уже четвертый по счету) ЕГЭ по математике. Многим интересно посмотреть, как репетитор по математике решает задачу С4, которая была на нем предложена. Она у многих не получилась. И даже сами репетиторы не сразу разобрались, что к чему. Вчера мне прислали текст условия С4 и я тут же решил опубликовать свое решение.

Дан треугольник АВС, в котором AB=7, АС=9 и ВС=10. Окружность проходит через точки В и С и пересекает лучи АВ и АС в точках М и Н соответственно. Найти МН, если в ВМНС можно вписать окружность.

Решение репетитора по математике :
Найдем косинус угла А в треугольнике АВС по теореме косинусов:

Применим свойство отрезков секущей (случай их внешнего пересечения) для секущих АВ и АС. Имеем равенство . Пусть AM=x, тогда

Выразим длину отрезка MH через икс по теореме косинусов в треугольнике АМН:

Применим критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Так в BMHC можно вписать окружность, то

И, наконец,
Второй случай :
Возможно принципиально иное расположение точек M и N. Почему? В условии задачи С4 сказано, что окружность пересекает прямые АВ и АС, поэтому нельзя исключать случай расположения точек пересечения с продолжениями сторон. Обе точки M и N (очевидно) не могут располагаться вне отрезков (иначе вписанная в окружность не сможет коснуться отрезка MN. Поэтому одна из точек лежит на стороне, а другая на ее продолжении. Пусть (cм. рисунок слева). Тогда по свойству отрезков хорд имеем . Из этого равенства следует, что . Так как они описаны около одной окружности, то их коэффициент продобия будет равен 1, поэтому эти треугольники равны, а следовательно MN=BC=10

Пусть style="vertical-align:-5%" class="tex" alt="M \in AB \implies AN > AC=9">. Проводя те же рассуждения, как и в первом случае, можно заключить, что AN=AB=7, а поэтому 7 > 9. Это невозможно, а значит данный случай исключается. Окончательный ответ: или .

Как репетитор по математике оценивает задачу : мне всегда было интересно оценивать конкурсные задания по разнообразию и количеству математических фактов, участвующих в их решении. В случае с условием С4 подбор средств для решения оказался достаточно интересным и профессионально выполненным, ибо удалось задействовать сразу три мощных теоремы планиметрии: свойство отрезков секущих, теорема косинусов (применялась дважды) и критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Кроме проверялось умение абитуриента выражать с их помощью отдельные элементы рисунка и использовать полученные выражения при составления финального уравнения.

Можно отметить достаточно высокую степень уникальности задачи. Я не припомню аналогичного условия в каком-либо задачнике, хотя моя подготовка к ЕГЭ по математике отличается большой обзорностью приемов и тем, рассмотрением широкого спектра вариантов прошлых лет (как с ЕГЭ, так и внутренних конкурсных номеров, предлагавшихся сильными ВУЗами раньше). Моя оценка задаче — 9 баллов из 10.

А.Н. Колпаков, репетитор по математике в Москве. Строгино

Пособие содержит решения всех задач книги автора Р. К. Гордина «ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия». Данное пособие ориентировано на подготовку учащихся старшей школы к решению геометрической задачи С4 единого государственного экзамена по математике.
Учащимся средней школы материал пособия будет полезен при изучении курса геометрии.
На различных этапах обучения пособие поможет учащимся оформить решения геометрических задач, осуществить контроль и самоконтроль знаний по планиметрии.
Пособие предназначено для учащихся старшей и средней школы, учителей математики, родителей.

Геометрия является неотъемлемой частью математического образования и интеллектуального развития учащихся. Задания по геометрии входят и в часть В, и в часть С ЕГЭ по математике. В частности, С4 - задача повышенной сложности по планиметрии.

Московский центр непрерывного математического образования издал пособие по подготовке к ЕГЭ по математике Р. К. Гордина «ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия». В нём содержится напоминание некоторых теоретических фактов и большой набор задач, к которым приведены ответы. Оказалось, что этого недостаточно для успешной подготовки к экзамену: нужны еще и решения подготовительных и тренировочных задач.

Книга, которую вы держите в руках, как раз и содержит все эти решения. К ней нельзя относиться лишь как к очередному «решебнику». Геометрические задачи на экзамене решают плохо не только потому, что выпускники не знают каких-то фактов, но еще и потому, что они не могут написать текст решения задачи. Поднять математическую культуру учащихся и призвана эта книга.

Содержание
Предисловие 3
§ 1. Медиана прямоугольного треугольника 4
§ 2. Удвоение медианы 20
§ 3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника 29
§ 4. Трапеция 42
§ 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника 65
§ 6. Отношение отрезков 81
§ 7. Отношение площадей 94
§ 8. Касательная к окружности 110
§ 9. Касающиеся окружности 125
§ 10. Пересекающиеся окружности 162
§ 11. Окружности, связанные с треугольником, четырёхугольником 172
§ 12. Пропорциональные отрезки в окружности 198
§ 13. Углы, связанные с окружностью 219
§ 14. Вспомогательные подобные треугольники 241
§ 15. Некоторые свойства высот и точки их пересечения 261
Диагностические работы 276
Приложение 2. Список полезных фактов 299
Литература 326

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ, Математика, Решение задачи С4, Гордин Р.К., 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Каталог заданий.
Окружности и треугольники

В треугольнике ABC , AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 5: 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .

Решение.

Пусть AD = d , BD = x , DC = y . Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

Откуда получаем: Аналогично,

Возможны два случая:

1. Точка D лежит на отрезке BC. Тогда значит,

2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда значит,

Даниил Попов 15.09.2017 22:21

В решении подразумевается, что треугольник прямоугольный, однако, это не так, потому что теорема Пифагора не срабатывает для треугольника BCA.

Александр Иванов

В решении нигде не подразумевается, что треугольник АВС прямоугольный

C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC ).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 5. Пусть H ABC с основанием АB , r ABC . Тогда CH ABC. AHC находим, что

Из равенства 8r 1 = 12 находим, что r 1 = 1,5.

Второй случай. (рис. 2) Пусть AB = BC = 5, CH — высота треугольника ABC , r ABC.

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

Из равенства получаем, что

Рассмотрим третий случай.

BC = AB CH ABC

Ответ:

Константин Лавров

А есть такая формула? Мне она неизвестна, и ни разу в жизни не понадобилась. Наверное, если когда-нибудь понадобится ее будет нетрудно вывести.

C , а на другой - точки A и B , причем треугольник ABC - остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение.

Заметим, что либо AC = BC , либо AB = BC (или AB = AC ).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB , r 1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

Из равенства 18r 1 = 60 находим, что

Второй случай. Вершина - одна из точек A или B. B. Проведём высоту CH. Если H AB, то треугольник ABC H лежит на стороне AB, BHC находим:

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

Ответ: или

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C , а на другой - точки A и B , причем треугольник ABC - остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC ).

Первый случай. AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB , r 1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

Из равенства 8r 1 = 12 находим, что

Второй случай. A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC - тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

Ответ: или

Окружность, вписанная в треугольник ABC , площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC . Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB .

Решение.

Обозначим AB = x, AC = y , p - полупериметр треугольника ABC . Пусть M и N - середины сторон AB и AC соответственно. Тогда

В трапецию BMNC вписана окружность поэтому

По формуле Герона

Отсюда находим, что x = 20 или x = 37.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 25, AC = 7 и BC = 24. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD - точка O, причем CD = 8 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Решение.

Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом поэтому AT = 3CD = 24. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M - середина стороны AB. Следовательно, CM - медиана треугольника ABC.

Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q - точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом поэтому Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O - середина CM.

Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM = OC. Следовательно, OM - радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, а точка M - одна из точек пересечения прямой AB и окружности.

Пусть N - вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM - вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN - высота треугольника ABC.

Ответ : 12,5 или 6,72.

Радиус окружности, описанной около треугольника ABC , равен 13, высота, проведённая к стороне BC, равна 5. Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной BC.

Решение.

Пусть K - середина искомой хорды AM. Через точку M проведём хорду MN, параллельную стороне BC. Тогда точка L пересечения отрезков AN и BC - середина AN, значит, задача имеет два решения. Кроме того, высота AP треугольника AMN вдвое больше высоты AH треугольника ABC, значит, AP = 10 и PH = 5. Пусть R = 13 - радиус окружности, описанной около треугольника ABC. По теореме синусов

Пусть O ABC , Q - середина BC. Из прямоугольного треугольника OQB находим, что

а так как расстояние между параллельными хордами BC и MN также равно 5, то точка O лежит на отрезке MN. Следовательно, MN - диаметр окружности.

Из прямоугольного треугольника AOP находим, что Следовательно,

Аналогично находим, что

Ответ:

Точки D и E - основания высот непрямоугольного треугольника ABC , проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что BC = a и AB = b . Найдите сторону AC , если известно, что: а) треугольник остроугольный, б) угол B тупой.

Решение.

1. Решим эту задачу для случая, когда ABC - остроугольный треугольник.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Поэтому, треугольник ABC подобен треугольнику BDE. Коэффициентом подобия этих треугольников является По теореме Пифагора из треугольника BEC

ABC

2. Решим эту задачу для случая, когда угол B тупой. Пусть P - точка пересечения его высот.

В остроугольном треугольнике ACH прямые AE и CD являются высотами, следовательно, по свойствам высоты остроугольного треугольника, треугольники ACP и EDP являются подобными с коэффициентом подобия Из прямоугольного треугольника AEP

Треугольники AEP и ABD подобны по двум углам, потому что они имеют общий угол A и оба прямоугольные. Следовательно ∠P = ∠ABD , ∠ABC = 180° − ∠ABD.

По теореме косинусов из треугольника ABC

Ответ:

В треугольнике ABC , AB = 7, BC = 9, CA = 4. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 1: 5. Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение.

Пусть AD = d , BD = x , CD = y. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

Откуда получаем: Аналогично,

Возможны два случая:

1. Точка D лежит на отрезке BC. Тогда x = 1,5, y = 7,5, значит, EF = 4,5.

2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда y − x = BC = 9, значит, EF = 6.

Ответ: 4,5 или 6.

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина C , на другой - основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

Решение.

Пусть CH - высота треугольника ABC , r и Q - радиус и центр вписанной окружности, CH = 12, AH = 5, поэтому AC = 13. Найдем площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC :

Тогда Кроме того, по теореме Пифагора

Пусть окружность с центром в точке O касается боковой стороны AC равнобедренного треугольника ABC и данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен 6, поскольку он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с прямой AB обозначим M.

Пусть точки B и M лежат по разные стороны от точки A (см. рис.). AO и AQ - биссектрисы смежных углов ∠MAC и ∠CAB соответственно. Значит, ∠OAQ = 90°, и ∠MOA = ∠QAH, поскольку эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых. Следовательно, прямоугольные треугольники OMA и AHQ подобны с коэффициентом Поэтому

Пусть точки B и M лежат по одну сторону от точки A (см. рис.). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи AO и AQ совпадают и являются биссектрисой угла MAC. Значит, прямоугольные треугольники AOM и AQH подобны с коэффициентом Тогда

Ответ:

Радиус окружности,ка­са­ющий­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен

А радиус окружности,вписанной в равнобедренный треугольник равен 10/3.

Т. е. для того,чтобы найти расстояние нужно просто сложить эти два радиуса.

Следовательно,6+10/3=28/3

Почему ответ другой?

Константин Лавров

Потому, что, очевидно, AC хоть и является общей касательной для этих окружностей, но касаются они ее в различных точках, а то, о чем говорите вы и, что "на рисунке видно", лишь иллюзия вызванная фантазией и не совсем удачным рисунком.

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Заметим, что либо AC = BC , либо AB = BC (или AB = AC ).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB , r 1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

Из равенства 18r 1 = 60 находим, что

Второй случай. (рис. 2). Пусть AB = BC = 13, CH — высота треугольника ABC , r 2 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

Из равенства получаем, что

Рассмотрим третий случай.

Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и В этом случаем радиус будет равен

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окружность, проходящая через точки A и C , пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L , отличных от вершин треугольника. Отрезок KL ABC . Найдите длину отрезка KL .

Решение.

Обе точки K и L KL

Пусть обе точки K и L AKLC - вписанный, следовательно,

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC k , тогда BL = kAB , BK = kBC , KL = kAC . Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:

Подставляя известные значения сторон, находим Следовательно,

Пусть точка K AB . Углы AKL и ACL ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC - общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 9. Заметим, что BK = BC > AB и точка K AB .

Если точка L лежит на продолжении стороны BC , то BL > BC , но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB

Ответ:

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые AB и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC . Найдите длину отрезка KL.

Решение.

Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC - вписанный, следовательно,

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC - общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC , KL = kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:

Подставляя известные значения сторон, находим

Следовательно,

Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB . Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC - общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен k = 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 7. Заметим, что BK = BC > AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.

Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL > BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB BC. Значит, этот случай не достигается.

Ответ:

Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно

Решение.

Обозначим данный треугольник ABC , BC = 6x — основание, AB = AC = 5x . Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть O — её центр, а E — точка касания с основанием BC.

Обозначим

Так как BO — биссектриса треугольника ABE , то следовательно,

Первый случай. Пусть прямая MN перпендикулярная AB, AB в точке M , а AC в точке N (рис. 1). Тогда ,

В треугольнике AMN, имеем

У описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны:

откуда находим:

Второй случай. Пусть прямая MN перпендикулярная AB, касается окружности, пересекает AB в точке M , а BC в точке N (рис. 2). В прямоугольном треугольнике BMN имеем

У описанного четырёхугольника ACNM суммы противоположных сторон равны:

откуда находим:

Ответ: или

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен

Решение.

Обозначим данный треугольник ABC , , , — гипотенуза, , Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC . Пусть О — её центр, а D и Е — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности

Пусть прямая MN перпендикулярна АВ АВ в точке М , а АС в точке N (рис. 1). Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC . В нём , ,

У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

откуда находим: x = 8.

Пусть прямая MN перпендикулярна АВ , касается окружности, пересекает АВ в точке М , а ВС в точке N (рис. 2). Прямоугольный треугольник NBM подобен треугольнику ABC . В нём , , У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

откуда находим: x = 9.

Ответ: 8 или 9.

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 14, а отношение катетов треугольника равно

Решение.

Введем обозначения как показано на рисунке: предположим, что отрезок отсекает от треугольника ABC треугольник ANM , обозначим точки касания окружности и прямых P, Q, R, S (см. рис. 1). Так как OQMR и OPCS - квадраты, MQ = PC = r , где r NQ = NP. Значит, NM = NC . Поскольку BN – биссектриса угла, треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе и острому углу.

Пусть CB = 7x , а CA = 24x , тогда по теореме Пифагора находим гипотенузу AB = 25x , откуда AM = AB − BM = 25x − 7x = 18x .

Из подобия треугольников AMN и ACB получаем: , тогда , откуда

Найдём радиус окружности:

BMN (рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что BM = 25x − 24x = x .

Из подобия треугольников ACB и NMB следует откуда получаем и

В этом случае

Ответ: 8 или 12,25.

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника равно

Решение.

Обозначим треугольник ABC . Предположим, что отрезок NM отсекает от треугольника ABC треугольник ANM.

Обозначим точки касания окружности и прямых P, Q, R, S. Так как OQMR и OPCS - квадраты, MQ = PC = r, где r - радиус окружности. Кроме того, NQ = NP. Значит, NM = NC . BN - биссектриса угла ABC.

Треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе и катету. Пусть CB = 8x , а CA = 15x. По теореме Пифагора AB = 17x . Тогда AM = AB − BM = 17x − 8x = 9x. Из подобия треугольников AMN и ACB получаем: , откуда Следовательно,

Найдём радиус окружности:

Если отрезок отсекает треугольник BNM, то, рассуждая аналогично, находим, что BM = 17x − 15x = 2x. Из подобия треугольников ACB и NMB получаем: откуда Тогда r = 3x = 32.

Ответ: 25 или 32.

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Решение.

Точка AB, поэтому ∠ACB = 90°. По теореме Пифагора

Пусть CD - высота треугольника ABC. Тогда:

Если точка M лежит между точками A и D , то

Следовательно,

Если точка M лежит между B и D, то Следовательно,

Ответ:

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 40, 29 и 30 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Решение.

Точка C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB = 90°.

По теореме Пифагора Пусть CD - высота треугольника ABC. Тогда:

Из прямоугольного треугольника находим:

Если точка M лежит между точками A и D , то

Следовательно,

Если точка M лежит между B и D , то

Следовательно,

Ответ:

ABC с катетами AC = 15 и BC = 8. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 17. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Решение.

Пусть ∠BAC = α. Тогда Пусть x O - ее центр, D - точка касания с лучом AC, M S, E - проекция точки O на прямую BC.

Из прямоугольного треугольника OAD находим, что AD = 4OD , и тогда

S

В первом случае:

По теореме Пифагора :

откуда находим, что

Во втором случае:

Тогда откуда находим, что

Ответ: или

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 5 и BC = 12. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Решение.

Обозначим ∠BAC = α. Тогда , ,

Пусть x - радиус искомой окружности, O - ее центр, D - точка касания с лучом AC, M - точка касания с окружностью S, E - проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,

Из прямоугольного треугольника OAD находим, что

Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности S внутренним образом, а вторая - внешним.

В первом случае

По теореме Пифагора или

откуда находим, что

Во втором случае

откуда находим, что

Ответ : или

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Решение.

ABC , в котором AB = AC = 115, BC = 184. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.

Обозначим ∠ABC = ∠ACB = α. Тогда

r с центром O 1 вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, O 2 , вписана в угол ABC , касается основания BC в точке M, D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

Из прямоугольного треугольника BMO 2 находим:

Тогда CN = BM = 3r .

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O 1 O 2 = 2r, значит, MN = O 1 O 2 = 2r, поскольку O 1 O 2 MN

откуда находим r = 23.

r с центром O 1 вписана в угол BAC и касается боковой стороны AB в точке P , вторая окружность радиуса r с центром O 2 вписана в угол ABC , касается боковой стороны AB в точке Q , а также касается первой окружности.

APO 1 и BQO 2 находим:

Следовательно,

откуда находим r = 20.

BAC и ACB , получим тот же результат.

Ответ: 23 или 20.

Георгий Маргелов 16.05.2016 13:28

В первом случае вы слишком усложняете, там достаточно теоремы пифагора и нахождение площади прямоуголных треугольников двумя способами. И все

Константин Лавров

Я бы даже сказал, достаточно найти высоту, а потом посчитать радиус вписанной окружности по известной формуле.

Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Решение.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 26, BC = 20. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.

Обозначим ∠ABC = ∠ACB = α. Тогда

Предположим, что окружность радиуса r с центром O 1 вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром O 2 вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

Из прямоугольного треугольника BMO 2 находим:

Тогда Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O 1 O 2 = 2r , значит, MN = O 1 O 2 = 2r , поскольку O 1 O 2 MN — прямоугольник. Следовательно,

откуда находим r = 4.

Пусть теперь окружность радиуса r с центром O 1 вписана в угол BAC и касается боковой стороны AB в точке P, вторая окружность радиуса r с центром O 2 вписана в угол ABC, касается боковой стороны AB в точке Q, а также касается первой окружности.

Из прямоугольных треугольников APO 1 и BQO 2 находим:

Следовательно,

откуда находим

В случае, когда окружности вписаны в углы BAC и ACB , получим тот же результат.

Гость 31.05.2015 13:18

Можно пункт а решить проще. Я решал так: рассмотрел треугольник он прямоугольный, так как треугольник равнобедренный, находим по теореме Пифагора, и

Константин Лавров

Да. Такое решение проще.

Точка O - центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD , DOF и BOF.

Решение.

Заметим, что CB = CO = CD, поэтому вершина C - центр окружности, описанной около треугольника BOD. Аналогично, точки A и E - центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.

Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки OA , OC и OE за точки A , C и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках A 1 , C 1 , E 1 . Тогда OA 1 = OC 1 = OE 1 = 14 - диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки A 1 , C 1 и E 1 , касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF , так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.

Q - центр окружности радиуса x BOD BOF и DOF. Пусть M - основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду OF. Тогда AM - высота равностороннего треугольника AOF, поэтому Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому

По теореме Пифагора или

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных - внутренним образом, а двух других - внешним (рис. 2).

Рассмотрим первый случай. Пусть ОK , ОL и ОM - диаметры описанных окружностей треугольников AOB , СOD и EOF соответственно, OK = OL = OM = 7. Окружность S с центром O , проходящая через точки K , L и M , касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников AOB , COD и EOF , так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов.

Рассмотрим второй случай. Пусть Q - центр окружности радиуса x , касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника CОD и внешним образом - описанных окружностей треугольников AOB

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE , пересекает прямую AC в точке F , отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.

Решение.

Возможны два случая:

1) точка F лежит между A и C (рис. 1);

2) точка A лежит между F и C (рис. 2).

Рассмотрим первый случай.

поэтому треугольники CDF и CDB равны (обща сторона и все углы равны). Значит, BC = FC = AC − AF = 2.

Тогда искомый радиус равен

Рассмотрим второй случай.

∠AFD = ∠AED = ∠ABC , поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC + AF = 6. Тогда искомый радиус равен

Ответ:

Замечание: на самом деле при внимательном рассмотрении оказывается, что первый случай невозможен, так как оказывается, что - самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задачи. При проверке, полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и верно получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.

Раздел: Планиметрия AC в точке F , отличной от A . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если AC = 6, AF = 3, угол BAC равен 45°.

Решение.

Возможны два случая:

1) точка F лежит между A и C (рис. 1);

2) точка A лежит между F и C (рис. 2).

Рассмотрим первый случай.

поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC − AF = 3.

Тогда искомый радиус равен

Рассмотрим второй случай.

∠AFD = ∠AED = ∠ABC , поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC + AF = 9. Тогда искомый радиус равен

A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC DB : DC = 1: 3. Найдите угол A.

Решение.

Точка D лежит на окружности с диаметром AB , поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.

Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо

на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D BC за точку C , так как угол ACB - острый.

Положим DB = t , DC = 3t ADC и ADB находим:

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов то есть AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2: 3. Найдите угол A.

Решение.

Точка D лежит на окружности с диаметром AB , поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.

Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо

на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C , так как угол ACB - острый.

Положим DB = 2t , DC = 3t . Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов то есть откуда

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b , BC = a и гипотенузой AB = c. Пусть окружность с центром O c радиуса r c касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC − в точках M и N соответственно, а p - полупериметр треугольника ABC. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT , поэтому

а так как CM = CN , то CM = p. Далее, пусть окружность с центром O a радиуса r a касается катета BC в точке K , а продолжений сторон AB и AC - в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p . Четырехугольники NO c MC и KO a QC - квадраты, поэтому

значит, r a r c .

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что r c = 17 и r a = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр O a F из центра меньшей окружности на O Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD .

Решение.

Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD соответственно, R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых окружности касаются отрезка BD. Из прямоугольных треугольников ABD и BCD находим:

Опустим из точки O перпендикуляр OK на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP находим из прямоугольного треугольника

Первый случай (точка D лежит между точками A и С, см. рис. 1):

Второй случай (точка C лежит между точками A и D, см. рис. 2):

Ответ: или