Определение Векторное пространство Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):
1) х + у = у + х (перестановочность сложения);
2)(х + у ) + z = x + (y + z ) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x ;
4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,
5) 1 · х = х,
6) a (bx ) = (ab ) х (ассоциативность умножения);
7) (a + b ) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);
8) a (х + у ) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в Векторное пространство , превращает его в коммутативную группу). Выражение
a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n (1)
Называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 ,..., e n с коэффициентами a 1 , a 2 ,..., a n . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a 1 , a 2 ,..., a n отличен от нуля. Векторы e 1 , e 2 ,..., e n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e 1 , e 2 ,..., e n равна нулевому вектору) векторы e 1 , e 2 ,..., e n называется линейно независимыми.
Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n» ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e 1 , e 2 ,..., e n , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного Векторное пространство образуют базис этого пространства. Если e 1 , e 2 ,..., e n - базис Векторное пространство , то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:
x = a 1 e 1 + a 2 e 2 +... + a n e n .
При этом числа a 1 , a 2, ..., a n называются координатами вектора х в данном базисе.
Примеры Векторное пространство Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, Векторное пространство Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1 , l 2 ,..., l n . Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
(l 1 , l 2 , …, l n ) + (m 1 , m 2 , …, m n ) = (l 1 + m 1 , l 2 + m 2 , …, l n + m n );
a (l 1 , l 2 , …, l n ) = (al 1 , al 2 , …, al n ).
Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).
Множество R всех многочленов a 0 + a 1 u + … + a n u n (любых степеней n ) от одного переменного с действительными коэффициентами a 0 , a 1 ,..., a n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует Векторное пространство Многочлены 1, u, u 2 ,..., u n (при любом n ) линейно независимы в R, поэтому R - бесконечномерное Векторное пространство
Многочлены степени не выше n образуют Векторное пространство размерности n + 1 ; его базисом могут служить многочлены 1, u, u 2 ,..., u n .
Подпространства Векторное пространство В. п. R" называется подпространством R, если R" Í R (то есть каждый вектор пространства R" есть и вектор пространства R ) и если для каждого вектора v Î r" и для каждых двух векторов v 1 и v 2 (v 1 , v 2 Î R" ) вектор lv (при любом l ) и вектор v 1 + v 2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v 1 , v 2 как элементы пространства R" или R. Линейной оболочкой векторов x 1 , x 2 ,... x p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a p x p . В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x 1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x 1 . Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x 1 и x 2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x 1 и x 2 . В общем случае произвольного Векторное пространство R линейная оболочка векторов x 1 , x 2 ,..., x p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном Векторное пространство существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k ) подпространство R" Векторное пространство R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R". Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u 2 ,..., u n ), есть (n + 1 )- мepное подпространство пространства R всех многочленов.
Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории Векторное пространство нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у ) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:
1) (х, у ) = (у, х ) (перестановочность);
2) (x 1 + x 2 , y ) = (x 1 , y ) + (x 2 , y ) (распределительное свойство);
3) (ax, у ) = a (х, у ),
4) (х, х ) ³ 0 для любого х , причем (х, х ) = 0 только для х = 0 .
Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство , в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством . Длина |x | вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами
Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство E n получим, определяя в n -мepном арифметическом Векторное пространство скалярное произведение векторов x = (l 1 , …, l n ) и y = (m 1 , …, m n ) соотношением
(x, y ) = l 1 m 1 + l 2 m 2 +… + l n m n . (2)
При этом требования 1)-4), очевидно, выполняются.
В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у ) = 0. В рассмотренном пространстве E n условие ортогональности векторов x = (l 1 , …, l n ) и y = (m 1 , …, m n ), как это следует из соотношения (2), имеет вид:
l 1 m 1 + l 2 m 2 +… + l n m n = 0. (3)
Применение В. п . Понятие Векторное пространство (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R - множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения y n + a 1 (x ) y (n + 1 ) + … + a n (x ) y = 0 . Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является Векторное пространство Любой базис в рассмотренном Векторное пространство называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:
Рассмотрим в евклидовом пространстве E n векторы a i = (a i1 , a i2 , …, a in ), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u 1 , u 2 ,..., u n ). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов E n , придадим системе (4) следующий вид:
(a i , u ) = 0, i = 1, 2, …, m . (5)
Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам a i . Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a i , то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a i . Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства . Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С .
Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. - Л., 1948.
Э. Г. Позняк.
Статья про слово "Векторное пространство " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 20505 раз
Лекция 6. Векторное пространство.
Основные вопросы.
1. Векторное линейное пространство.
2. Базис и размерность пространства.
3. Ориентация пространства.
4. Разложение вектора по базису.
5. Координаты вектора.
1. Векторное линейное пространство.
Множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в которых определены линейные операции: сложение двух элементов и умножение элемента на число называются пространствами , а их элементы – векторами этого пространства и обозначаются так же, как и векторные величины в гео-метрии: . Векторы таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с обычными геометрическими векторами. Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т. д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому такие пространства принято называть векторными пространствами .
Векторными пространствами являются, например , множество колли-неарных векторов, обозначаемое V 1 , множество компланарных векторов V 2 , множество векторов обычного (реального пространства) V 3 .
Для этого частного случая можно дать следующее определение век-торного пространства.
Определение 1. Множество векторов называется векторным прост-ранством , если линейная комбинация любых векто-ров множества также является вектором этого мно-жества. Сами векторы называются элементами век-торного пространства.
Более важным как в теоретическом, так и в прикладном отношении яв-ляется общее (абстрактное) понятие векторного пространства.
Определение 2. Множество R элементов , в котором для лю-бых двух элементов и определена сум-ма и для любого элемента https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> называется векторным (или линейным) про-странством , а его элементы – векторами, если опера-ции сложения векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим условиям (аксиомам ) :
1) сложение коммутативно, т. е..gif" width="184" height="25">;
3) существует такой элемент (нулевой вектор), что для любого https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width="99" height="27">;
5) для любых векторов и и любого чис-ла λ имеет место равенство ;
6) для любых векторов и любых чисел λ и µ справедливо равенство https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и любых чисел λ и µ справедли-во ;
8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .
Из аксиом, определяющих векторное пространство, вытекают прос-тейшие следствия :
1. В векторном пространстве существует только один нуль – элемент – нулевой вектор.
2. В векторном пространстве каждый вектор имеет единственный проти-воположный вектор.
3. Для каждого элемента выполняется равенство .
4. Для любого действительного числа λ и нулевого вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.
5..gif" width="145" height="28">
6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> называется вектор , удовлетворяющий равенству https://pandia.ru/text/80/142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.
Итак, действительно, и множество всех геометрических векторов являет-ся линейным (векторным) пространством, так как для элементов этого мно-жества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворя-ющие сформулированным аксиомам.
2. Базис и размерность пространства.
Существенными понятиями векторного пространства являются понятия базиса и размерность.
Определение. Совокупность линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы. Составляющие базис пространства, называется базисным .
Базисом множества векторов, расположенных на произвольной прямой, можно считать один коллинеарный этой прямой вектор .
Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на этой пло-скости, взятые в определенном порядке https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .
Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортогональны), то базис называется ортогональным , а если эти векторы имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным .
Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называ-ется размерностью этого пространства, т. е. размерность пространства сов-падает с числом базисных векторов этого пространства.
Итак, в соответствии с данными определениями:
1. Одномерным пространством V 1 является прямая линия, а базис состо-ит из одного коллинеарного вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .
3. Обычное пространство является трехмерным пространством V 3 , базис которого состоит из трех некомпланарных векторов .
Отсюда мы видим, что число базисных векторов на прямой, на плос-кости, в реальном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято на-зывать числом измерений (размерностью) прямой, плоскости, пространства. Поэтому естественно ввести более общее определение.
Определение. Векторное пространство R называется n – мерным, если в нем существует не более n линейно неза-висимых векторов и обозначается R n . Число n на-зывается размерностью пространства.
В соответствии с размерностью пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные . Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю.
Замечание 1. В каждом пространстве можно указать сколько угодно базисов, но при этом все базисы данного пространства состоят из одного и того же числа векторов.
Замечание 2. В n – мерном векторном пространстве базисом назы-вают любую упорядоченную совокупность n линейно независимых векторов.
3. Ориентация пространства.
Пусть базисные векторы в пространстве V 3 имеют общее начало и упорядочены , т. е. указано какой вектор считается первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, в базисе век-торы упорядочены согласно индек-сации. |
Для того чтобы ориентировать пространство, необходимо задать какой-нибудь базис и объявить его положительным .
Можно показать, что множество всех базисов пространства распадается на два класса, т. е. на два непересекающихся подмножества.
а) все базисы, принадлежащие одному подмножеству (классу), имеют одинаковую ориентацию (одноименные базисы) ;
б) всякие два базиса, принадлежащие различным подмножествам (кла-ссами), имеют противоположную ориентацию, (разноименные базисы) .
Если один из двух классов базисов пространства объявлен положитель-ным, а другой – отрицательным, то говорят, что это пространство ориенти-ровано .
Часто при ориентации пространства одни базисы называют правыми , а другие – левыми .
https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> называют правым , если при наблюдении с конца третьего вектора кратчайший поворот пер-вого вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> осуществляется против часовой стрелки (рис. 1.8, а).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">
Рис. 1.8. Правый базис (а) и левый базис (б)
Обычно положительным базисом объявляется правый базис пространства
Правый (левый) базис пространства может быть определен и с помощью правила «правого» («левого») винта или буравчика.
По аналогии с этим вводится понятие правой и левой тройки некомпла-нарных векторов , которые должны быть упорядочены (рис.1.8).
Таким образом, в общем случае две упорядоченные тройки некомпла-нарных векторов имеют одинаковую ориентацию (одноименны) в пространстве V 3 если они обе правые или обе левые, и – противоположную ориентацию (разноименны), если одна из них правая, а другая левая.
Аналогично поступают и в случае пространства V 2 (плоскости).
4. Разложение вектора по базису.
Этот вопрос для простоты рассуждений рассмотрим на примере трех-мерного векторного пространства R 3 .
Пусть https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> - произвольный вектор этого пространства.
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (линейное пространство), одно из фундаментальных понятий алгебры, обобщающее понятие совокупности (свободных) векторов. В векторном пространстве вместо векторов рассматриваются любые объекты, которые можно складывать и умножать на числа; при этом требуется, чтобы основные алгебраические свойства этих операций были такими же, как и для векторов в элементарной геометрии. В точном определении числа заменяются элементами любого поля К. Векторным пространством над полем К называется множество V с операцией сложения элементов из V и операцией умножения элементов из V на элементы из поля К, которые обладают следующими свойствами:
х + у = у + х для любых х, у из V, т. е. относительно сложения V является абелевой группой;
λ(х + у) = λ χ + λу для любых λ из К и х, у из V;
(λ + μ)х = λх + μх для любых λ, μ из К и х из V;
(λ μ)х = λ(μх) для любых λ, μ из К и х из V;
1х = х для любого х из V, здесь 1 означает единицу поля К.
Примерами векторного пространства являются: множества L 1 , L 2 и L 3 всех векторов из элементарной геометрии, соответственно на прямой, плоскости и в пространстве с обычными операциями сложения векторов и умножения на число; координатное векторному пространству K n , элементами которого являются всевозможные строки (векторы) длины n с элементами из поля К, а операции заданы формулами
множество F(M, К) всех функций, оп-ределённых на фиксированном множе-стве М и принимающих значения в поле К, с обычными операциями над функ-циями:
Элементы векторного пространства е 1 ..., е n называются линейно независимыми, если из равенства λ 1 e 1 + ... +λ n е n = 0 Є V следует, что все λ 1 , λ 2 ,..., λ n = 0 Є К. В противном слу-чае элементы е 1 , е 2 , ···> е n называются линейно зависимыми. Если в векторном пространстве V любые n + 1 элементов e 1 ,..., е n+1 ли-нейно зависимы и существует n линей-но независимых элементов, то V назы-вается n-мерным векторным пространством, а n - размерно-стью векторного пространства V. Если в векторном пространстве V для любого натурального n существует n линейно независимых векторов, то V называется бесконечномерным векторным пространством. Например, векторное пространство L 1 , L 2 , L 3 и К n соответственно 1-, 2-, 3- и n-мерны; если М - бесконечное множество, то векторное пространство F(М, К) бесконечномерно.
Векторное пространство V и U над полем К называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение φ : V -> U такое, что φ(х+у) = φ(х) + φ(у) для любых х, у из V и φ(λх) = λ φ(х) для любых λ из К и х из V. Изоморфные векторные пространства являются алгебраически неразличимыми. Классификация конечномерных векторных пространств с точностью до изоморфности даётся их размерностью: любое n-мерное векторное пространство над полем К изоморфно координатному векторному пространству К n . Смотри также Гильбертово пространство, Линейная алгебра.
Рассмотрим последовательность, состоящую из л элементов некоторого простого поля GF(q) {a^, а. .....а п). Такая последовательность называется л-по
следовательностью
над полем GF}