Вероятностно статистические методы. Основы вероятностно-статистических методов описания неопределенностей

3.5.1. Вероятностно-статистический метод исследования.

Во многих случаях необходимо исследовать не только детерминированные, но и случайные вероятностные (статистические) процессы. Эти процессы рассматриваются на базе теории вероятностей.

Совокупность случайной величины х составляет первичный математический материал. Под совокупностью понимают множество однородных событий. Совокупность, содержащую самые различные варианты массового явления, называют генеральной совокупностью, или большой выборкой N. Обычно изучают лишь часть генеральной совокупности, называемой выборной совокупностью или малой выборкой.

Вероятностью Р (х) события х называют отношение числа случаев N(x), которые приводят к наступлению события х , к общему числу возможных случаев N:

P(x)=N(x)/N.

Теория вероятностей рассматривает теоретические распределения случайных величин и их характеристики.

Математическая статистика занимается способами обработки и анализа эмпирических событий.

Эти две родственные науки составляют единую математическую теорию массовых случайных процессов, широко применяемую для анализа научных исследований.

Очень часто применяют методы вероятностей и математической статистики в теории надежности, живучести и безопасности, которая широко используется в различных отраслях науки и техники.

3.5.2. Метод статистического моделирования или статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Этот метод представляет собой численный метод решения сложных задач и основан на использовании случайных чисел, моделирующих вероятностные процессы. Результаты решения этим методом позволяют установить эмпирически зависимости исследуемых процессов.

Решение задач методом Монте-Карло эффективно лишь с использованием быстродействующих ЭВМ. Для решения задач методом Монте-Карло необходимо иметь статистический ряд, знать закон его распределения, среднее значение математическое ожидание т(х), среднеквадратичное отклонение.

С помощью этого метода можно получить сколь угодно заданную точность решения, т.е.

-> т(х)

3.5.3. Метод системного анализа .

Под системным анализом понимают совокупность приемов и методов для изучения сложных систем, представляющих собой сложную совокупность взаимодействующих между собой элементов. Взаимодействие элементов системы характеризуется прямыми и обратными связями.

Сущность системного анализа состоит в том, чтобы выявить эти связи и установить их влияние на поведение всей системы в целом. Наиболее полно и глубоко можно выполнить системный анализ методами кибернетики, которая представляет собой науку о сложных динамичных системах, способных воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимизации и управления.

Системный анализ складывается из четырех этапов.

Первый этап заключается в постановке задачи: определяют объект, цели и задачи исследования, а также критерии для изучения объекта и управления им.

Во время второго этапа определяют границы изучаемой системы и определяют ее структуру. Все объекты и процессы, имеющие отношение к поставленной цели, разбивают на два класса ~ собственно изучаемую систему и внешнюю среду. Различают замкнутые и открытые системы. При исследовании замкнутых систем влиянием внешней среды на их поведение пренебрегают. Затем выделяют отдельные составные части системы - ее элементы, устанавливают взаимодействие между ними и внешней средой.

Третий этап системного анализа заключается в составлении математической модели исследуемой системы. Вначале производят параметризацию системы, описывают основные элементы системы и элементарные воздействия на нее с помощью тех или иных параметров. При этом различают параметры, характеризующие непрерывные и дискретные, детерминированные и вероятностные процессы. В зависимости от особенностей процессов используют тот или ной математический аппарат.

В результате третьего этапа системного анализа формируются законченные математические модели системы, описанные на формальном, например алгоритмическом, языке.

На четвертом этапе анализируют полученную математическую модель, находят ее экстремальные условия в целях оптимизации процессов и управления системами и формулируют выводы. Оценку оптимизации производят по критерию оптимизации, принимающему в этом случае экстремальные значения (минимум, максимум, минимакс).

Обычно выбирают какой-либо один критерий, а для других устанавливают пороговые предельно-допустимые значения. Иногда применяют смешанные критерии, представляющие собой функцию от первичных параметров.

На основании выбранного критерия оптимизации составляют зависимость критерия оптимизации от параметров модели исследуемого объекта (процесса).

Известны различные математические методы оптимизации исследуемых моделей: методы линейного, нелинейного или динамического программирования; методы вероятностно-статистические, основанные на теории массового обслуживания; теория игр, которая рассматривает развитие процессов как случайные ситуации.

Вопросы для самоконтроля знаний

Методология теоретических исследований.

Основные разделы этапа теоретических разработок научного исследования.

Типы моделей и виды моделирования объекта исследования.

Аналитические методы исследования.

Аналитические методы исследования с использованием эксперимента.

Вероятностно-аналитический метод исследования.

Методы статического моделирования (метод Монте-Карло).

Метод системного анализа.

Как используются теория вероятностей и математическая статистика ? Эти дисциплины - основа вероятностно-статистических методов принятия решений . Чтобы воспользоваться их математическим аппаратом, необходимо задачи принятия решений выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:

переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений , в частности по результатам статистического контроля, и т.п.;
проведение расчетов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели;
интерпретация математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).

Математическая статистика использует понятия, методы и результаты теории вероятностей. Рассмотрим основные вопросы построения вероятностных моделей принятия решений в экономических, управленческих, технологических и иных ситуациях. Для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам принятия решений нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какую исходную информацию необходимо иметь для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных и т.д.

Примеры применения теории вероятностей и математической статистики . Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим инструментом для решения управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных задач. Так, например, в романе А.Н. Толстого "Хождение по мукам" (т.1) говорится: "мастерская дает двадцать три процента брака, этой цифры вы и держитесь, - сказал Струков Ивану Ильичу".

Встает вопрос, как понимать эти слова в разговоре заводских менеджеров, поскольку одна единица продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверное, Струков имел в виду, что в партии большого объема содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос, а что значит "примерно"? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000-300, или из 100000-30000 и т.д., надо ли обвинять Струкова во лжи?

Или другой пример. Монетка, которую используют как жребий, должна быть "симметричной", т.е. при ее бросании в среднем в половине случаев должен выпадать герб, а в половине случаев - решетка (решка, цифра). Но что означает "в среднем"? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает гербом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100000 бросаний окажется 40000 гербов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

Рассматриваемый пример может показаться недостаточно серьезным. Однако это не так. Жеребьевка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов, например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и т.п.). Допустим, необходимо сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах, т.е. в маслах состава и . При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло состава , а какие - в масло состава , но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения.

Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью жребия. Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, делается выборка . По результатам контроля выборки делается заключение обо всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е. необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. В производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Аналогичные проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства , оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности и т.п. Всюду нужна жеребьевка или подобные ей процедуры. Поясним на примере выявления наиболее сильной и второй по силе команд при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Пусть всегда более сильная команда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал тогда и только тогда, когда до финала у нее не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра будет запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадет. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно "выбить" вторую по силе команду из турнира, сведя ее в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место , обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьевку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4/7. Соответственно с вероятностью 3/7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.

При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра и т.п.) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо сделать многократные измерения единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической присутствует и случайная погрешность .

Поэтому встает вопрос, как по результатам измерений узнать, есть ли систематическая погрешность . Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к предыдущей. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты, положительную погрешность - с выпадением герба, отрицательную - решетки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.

Целью этих рассуждений является сведение задачи проверки отсутствия систематической погрешности к задаче проверки симметричности монеты. Проведенные рассуждения приводят к так называемому "критерию знаков" в математической статистике.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов, принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений , на основе которых можно ответить на поставленные выше вопросы. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу , например, (вспомните слова Струкова из романа А.Н. Толстого).

Задачи оценивания . В ряде управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных ситуаций возникают задачи другого типа - задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей.

Рассмотрим пример. Пусть на контроль поступила партия из N электроламп. Из этой партии случайным образом отобрана выборка объемом n электроламп. Возникает ряд естественных вопросов. Как по результатам испытаний элементов выборки определить средний срок службы электроламп и с какой точностью можно оценить эту характеристику? Как изменится точность , если взять выборку большего объема? При каком числе часов можно гарантировать, что не менее 90% электроламп прослужат и более часов?

Предположим, что при испытании выборки объемом электроламп дефектными оказались электроламп. Тогда возникают следующие вопросы. Какие границы можно указать для числа дефектных электроламп в партии, для уровня дефектности и т.п.?

Или при статистическом анализе точности и стабильности технологических процессов надлежит оценить такие показатели качества , как среднее значение контролируемого параметра и степень его разброса в рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего значения случайной величины целесообразно использовать ее математическое ожидание, а в качестве статистической характеристики разброса - дисперсию, среднее квадратическое отклонение или коэффициент вариации . Отсюда возникает вопрос: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удается сделать? Аналогичных примеров можно привести очень много. Здесь важно было показать, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в производственном менеджменте при принятии решений в области статистического управления качеством продукции.

Что такое "математическая статистика" ? Под математической статистикой понимают "раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала" [ [ 2.2 ] , с. 326]. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез.

По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:

одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом;
многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами (вектором);
статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения - функция;
статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.

Исторически первыми появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика . Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики.

Лишь те методы обработки данных, т.е. математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идет о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и т.п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, т.е. ее адекватность , обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.

Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми, их можно использовать лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надежность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала.

Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).

В конкретных областях применений используются как вероятностно- статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.

Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надежности и теория массового обслуживания. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы - требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, т.е. длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли член-корреспондент АН СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик АН УССР Б.В. Гнеденко (1912-1995) и другие отечественные ученые.

Коротко об истории математической статистики . Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов , созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей - нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения - гауссовские процессы.

В конце XIX в. - начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К. Пирсон (1857-1936) и Р.А. Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий "хи-квадрат" проверки статистических гипотез, а Фишер - дисперсионный анализ , теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.

В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э. Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В. Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время. Так, за последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований [ [ 2.16 ] ]:

разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов;
развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике;
развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели;
широкое развертывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.

Вероятностно-статистические методы и оптимизация . Идея оптимизации пронизывает современную прикладную математическую статистику и иные статистические методы . А именно - методы планирования экспериментов, статистического приемочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и др. С другой стороны, оптимизационные постановки в теории принятия решений , например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики.

В производственном менеджменте, в частности, при оптимизации качества продукции и требований стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, т.е. на этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации - при шкалировании переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и т.д.

В задачах оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, используют все области статистики. А именно - статистику случайных величин, многомерный статистический анализ , статистику случайных процессов и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Выбор статистического метода для анализа конкретных данных целесообразно проводить согласно рекомендациям [

Явления жизни, как и вообще все явления материального мира, имеют две неразрывно связанные стороны: качественную, воспринимаемую непосредственно органами чувств, и количественную, выражаемую числами при помощи счета и меры.

При исследовании различных явлений природы применяют одновременно и качественные и количественные показатели. Несомненно, что только в единстве качественной и количественной сторон наиболее полно раскрывается сущность изучаемых явлений. Однако в действительности приходится пользоваться либо теми, либо другими показателями.

Несомненно, что количественные методы как более объективные и точные имеют преимущество перед качественной характеристикой предметов.

Сами по себе результаты измерений, хотя и имеют известное значение, еще недостаточны для того, чтобы сделать из них необходимые выводы. Цифровые данные, собранные в процессе массовых испытаний – это всего лишь сырой фактический материал, который нуждается в соответствующей математической обработке. Без обработки – упорядочения и систематизации цифровых данных не удается извлечь заключенную в них информацию, оценить надежность отдельных суммарных показателей, убедиться в достоверности наблюдаемых между ними различий. Эта работа требует от специалистов определенных знаний, умения правильно обобщать и анализировать собранные в опыте данные. Система этих знаний и составляет содержание статистики – науки, занимающейся главным образом вопросами анализа результатов исследований в теоретической и прикладной областях науки.

Следует иметь ввиду, что математическая статистика и теория вероятностей являются науками сугубо теоретическими, абстрактными; они изучают статистические совокупности безотносительно к специфике входящих в их состав элементов. Методы математической статистики и лежащей в ее основе теории вероятностей приложимы к самым различным областям знания, включая и гуманитарные науки.

Изучение явлений проводятся не по отдельным наблюдениям, которые могут оказаться случайными, нетипичными, неполно выражающими сущность данного явления, а на множестве однородных наблюдений, что дает более полную информацию об изучаемом объекте. Некоторое множество относительно однородных предметов, объединяемых по тому или иному признаку для совместного изучения, называют статистической

совокупностью. Совокупность объединяет какое-то число однородных наблюдений или регистраций.

Элементы, входящие в состав совокупности, называются ее членами, или вариантами. Варианты – это отдельные наблюдения или числовые значения признака. Так, если обозначить признак через Х (большое), то его значения или варианты будут обозначаться через х (малое), т.е. х 1 , х 2 , и т.д.

Общее число вариантов, входящих в состав данной совокупности называется ее объемом и обозначается буквой n (малое).

Когда обследованию подвергается вся совокупность однородных объектов в целом, ее называют общей, генеральной, совокупностью Примером такого рода сплошного описания совокупности могут служить общегосударственные переписи населения, поголовный статистический учет животных в стране. Разумеется, полное обследование генеральной совокупности дает наиболее полноценную информацию о ее состоянии и свойствах. Поэтому естественно стремление исследователей к тому, чтобы в в совокупность объединялось как можно большее число наблюдений.

Однако в действительности редко приходится прибегать к обследованию всех членов генеральной совокупности. Во-первых, потому, что эта работа требует большой затраты времени и труда, а во-вторых, она не всегда осуществима по целому ряду причин и различных обстоятельств. Так что вместо сплошного обследования генеральной совокупности изучению подвергается обычно какая-то ее часть, получившая название выборочной совокупности, или выборки. Она представляет собой тот образец, по которому судят о всей генеральной совокупности в целом. Например, чтобы узнать средний рост призывного населения некоторой области или района, вовсе не обязательно измерять всех призывников, проживающих в данной местности, а достаточно измерить какую-то часть их.

1. Выборка должна быть вполне представительной, или типичной, т.е. чтобы в ее состав входили преимущественно те варианты, которые наиболее полно отражают генеральную совокупность. Поэтому, чтобы приступить к обработке выборочных данных, их внимательно просматривают и удаляют явно нетипичные варианты. Например, при анализе стоимости продукции, выпускаемой предприятием, должна быть исключена стоимость в те периоды, когда предприятие не было в полной мере обеспечено комплектующими или сырьем.

2. Выборка должна быть объективной. При образовании выборки нельзя поступать по произволу, включать в ее состав только те варианты, которые кажутся типичными, а все остальные браковать. Доброкачественная выборка производится без предвзятых мнений, по методу жеребьевки или лотерии, когда ни один из вариантов генеральной совокупности не имеет никаких преимуществ перед остальными – попасть или не попасть в состав выборочной совокупности. Иными словами, выборка должна производиться по принципу случайного отбора, без влияний на ее состав.

3. Выборка должна быть качественно однородной. Нельзя включать в состав одной и той же выборки данные, полученные в разных условиях, например, стоимость изделий, полученных при разной численности работников.

6.2. Группировка результатов наблюдений

Обычно результаты опытов и наблюдений заносятся в виде цифр в учетные карточки или журнал, а иногда просто на листы бумаги – получается ведомость или реестр. Такие первоначальные документы, как правило содержат сведения не об одном, а о нескольких признаках, по которым проводились наблюдения. Эти документы служат основным источником образования выборочной совокупности. Делается это обычно так: на отдельный лист бумаги из первичного документа, т.е. картотеки, журнала или ведомости, выписываются числовые значения того признака, по которому образуется совокупность. Варианты в такой совокупности представлены обычно в виде беспорядочной массы цифр. Поэтому первым шагом на пути обработки такого материала является упорядочение, систематизация его – группировка вариант в статистические таблицы или ряды.

Одной из наиболее распространенных форм группировок выборочных данных служат статистические таблицы. Они имеют иллюстративное значение, показывая какие-то общие итоги, положение отдельных элементов в общей серии наблюдений.

К другой форме первичной группировки выборочных данных относится способ ранжирования, т.е. расположение вариант в определенном порядке – по возрастающими или убывающим значениям признака. В результате получается так называемый ранжированный ряд, который показывает в каких пределах и каким образом варьирует данный признак. Например, имеется выборка следующего состава:

5,2,1,5,7,9,3,5,4,10,4,5,7,3,5, 9,4,12,7,7

Видно, что признак изменяется от 1 до 12 каких-то единиц. Располагаем варианты в возрастающем порядке:

1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,7,7,7,7,9,9,10,12.,

В результате получился ранжированный ряд значений варьирующего признака.

Совершенно очевидно, что способ ранжирования в том виде, как он здесь показан, применим лишь к выборкам малого объема. При большом числе наблюдений ранжирование затрудняется, т.к. ряд получается настолько длинным, что теряет свое значение.

При большом числе наблюдений ранжировать выборочную совокупность принято в виде двойного ряда, т.е. с указанием частоты или повторяемости отдельных вариант ранжированного ряда. Такой двойной ряд ранжированных значений признака называется вариационным рядом или рядом распределения. Простейшим примером вариационного ряда могут служить ранжированные выше данные, если их расположить следующим образом:

Значения признака

(варианты) 1 2 3 4 5 7 9 10 12

повторяемость

(вариант) частоты 1 1 2 3 5 4 2 1 1

Вариационный ряд показывает, с какой частотой отдельные варианты встречаются в данной совокупности, как они распределяются, что имеет большое значение, позволяя судить о закономерности варьирования и диапазоне вариации количественных признаков. Построение вариационных рядов облегчает вычисление суммарных показателей – средней арифметической и дисперсии или рассеивания вариант около их среднего значения – показателей, которыми характеризуется любая статистическая совокупность.

Вариационные ряды бывают двух видов: прерывистые и непрерывные. Прерывистый вариационный ряд получается при распределении дискретных величин, к которым относятся счетные признаки. Если же признак варьирует непрерывно, т.е. может принимать любые значения в пределах от минимальной до максимальной вариант совокупности, то последняя распределяется в непрерывный вариационный ряд.

Для построения вариационного ряда дискретно варьирующего признака достаточно всю совокупность наблюдений расположить в виде ранжированного ряда, указав частоты отдельных вариантов. В качестве примера приводим данные, показывающие распределение по размеру 267 деталей (табл.5.4)

Таблица 6.1. Распределение деталей по размеру.

Чтобы построить вариационный ряд непрерывно варьирующих признаков, нужно всю вариацию от минимального до максимального варианта разбить на отдельные группы или промежутки (от-до), называемые классами, а затем распределить все варианты совокупности по этим классам. В результате получится двойной вариационный ряд, в котором частоты относятся уже не к отдельным конкретным вариантам, а ко всему интервалу, т.е. оказываются частотами не вариант, а классов.

Разбивка общей вариации на классы производится в масштабе классового интервала, который должен быть одинаковым для всех классов вариационного ряда. Величина классового интервала обозначается через i (от слова intervalum – промежуток, расстояние); она определяется по следующей формуле

, (6.1)

где: i – классовый интервал, который берется целым числом;

- максимальная и минимальная варианты выборки;

lg.n – логарифм числа классов, на которые разбивается выборочная совокупность.

Число классов устанавливается произвольно, но с учетом того обстоятельства, что число классов находится в некоторой зависимости от объема выборки: чем больший объем имеет выборочная совокупность, тем больше должно быть классов, и наоборот – при меньших объемах выборки следует брать и меньшее число классов. Опыт показал, что и на малых выборках, когда приходится группировать варианты в виде вариационного ряда, не следует устанавливать меньше 5-6 классов. При наличии же 100-150 вариант число классов можно довести до 12-15. Если же совокупность состоит из 200-300 вариант, то ее разбивают на 15-18 классов и т.д. Разумеется, эти рекомендации весьма условны и их нельзя принимать как установленное правило.

При разбивке на классы в каждом конкретном случаев приходится считаться с целым рядом различных обстоятельств, добиваясь того, чтобы обработка статистического материала давала наиболее точные результаты.

После того, как установлен классовый интервал и выборочная совокупность разбита на классы, производится разноска вариант по классам и определяются число вариаций (частоты) каждого класса. В результате получается вариационный ряд, в котором частоты относятся не к отдельным вариантам, а к определенным классам. Сумма всех частот вариационного ряда должна равняться объему выборки, то есть

(6.2)

где:
-знак суммирования;

р – частота.

n – объем выборки.

Если такого равенства не оказалось, значит при разноске вариант по классам допущена ошибка, которую необходимо устранить.

Обычно для разноски вариант по классам составляется вспомогательная таблица, в которой имеются четыре графы: 1) классы по данному признаку (от – до); 2) – среднее значение классов, 3) разноски вариант по классам, 4) частоты классов (см. табл. 6.2.)

Разноска вариант по классам требует большого внимания. Нельзя допускать, чтобы одна и та же варианта была отмечена дважды или одинаковые варианты попадали в разные классы. Чтобы избежать ошибок при распределении вариант по классам, рекомендуется не искать одинаковые варианты и в совокупности, а разносить их по классам, что не одно и то же. Игнорирование этого правила, что бывает в работе неопытных исследователей, отнимает много времени при разноске вариант, а главное, приводит к ошибкам.

Таблица 6.2. Разноска вариант по классам

Границы классов	Средние значения классов (х)	Частоты классов (р), %
Границы классов	Средние значения классов (х)	абсолютные	относительные

Закончив разноску вариант и подсчитав их число для каждого класса, получаем непрерывный вариационный ряд. Его надо превратить в прерывистый вариационный ряд. Для этого, как уже отмечалось, берем полусуммы крайних значений классов. Так, например, срединное значение первого класса, равное 8,8 получено следующим образом:

(8,6+9,0):2=8,8.

Второе значение (9,3) этой графы вычислено аналогичным способом:

(9,01+9,59):2=9,3 и т.д.

В результате получается прерывистый вариационный ряд, показывающий распределение по изучаемому признаку (табл.6.3.)

Таблица 6.3. Вариационный ряд

Группировка выборочных данных в виде вариационного ряда имеет двоякое назначение: во-первых, как вспомогательная операция она необходима при вычислении суммарных показателей, а во-вторых, ряды распределения показывают закономерность варьирования признаков, что очень важно. Чтобы выразить эту закономерность более наглядно, принято изображать вариационные ряды графически в виде гистрограммы (рис.6.1.)

Рис.6.1.Распределение предприятий по числу работников

Гистограмма изображает распределение вариант при непрерывном варьировании признака. Прямоугольники соответствуют классам, а их высота – количеству вариант, заключенных в каждом классе. Если из срединных точек вершин прямоугольников гистограммы опустить перпендикуляры на ось абцисс, а затем эти точки соединить между собой, получится график непрерывного варьирования, называемый полигоном или плотностью распределения.

Как используются теория вероятностей и математическая статистика? Эти дисциплины – основа вероятностно-статистических методов принятия решений. Чтобы воспользоваться их математическим аппаратом, необходимо задачи принятия решений выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:

Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и т.п.

Проведение расчетов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели;

Интерпретация математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).

Примеры применения теории вероятностей и математической статистики. Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим инструментом для решения управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных задач. Так, например, в романе А.Н.Толстого «Хождение по мукам» (т.1) говорится: «мастерская дает двадцать три процента брака, этой цифры вы и держитесь, - сказал Струков Ивану Ильичу».

Встает вопрос, как понимать эти слова в разговоре заводских менеджеров, поскольку одна единица продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверно, Струков имел в виду, что в партии большого объема содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос, а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 – 300, или из 100000 – 30000 и т.д., надо ли обвинять Струкова во лжи?

Или другой пример. Монетка, которую используют как жребий, должна быть «симметричной», т.е. при ее бросании в среднем в половине случаев должен выпадать герб, а в половине случаев – решетка (решка, цифра). Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает гербом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100000 бросаний окажется 40000 гербов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

Рассматриваемый пример может показаться недостаточно серьезным. Однако это не так. Жеребьевка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов, например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и т.п.). Допустим, необходимо сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах, т.е. в маслах состава А и В . При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло состава А , а какие – в масло состава В , но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения.

Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью жребия. Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из нее отбирается выборка. По результатам контроля выборки делается заключение о всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. В производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Аналогичные проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности и т.п. Всюду нужна жеребьевка или подобные ей процедуры. Поясним на примере выявления наиболее сильной и второй по силе команды при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Пусть всегда более сильная команда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал тогда и только тогда, когда до финала у нее не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра будет запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадет. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя ее в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьевку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4/7. Соответственно с вероятностью 3/7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.

При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра и т.п.) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо сделать многократные измерения единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.

Поэтому встает вопрос, как по результатам измерений узнать, есть л систематическая погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к предыдущей. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты, положительную погрешность – с выпадением герба, отрицательную – решетки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.

Целью этих рассуждений является сведение задачи проверки отсутствия систематической погрешности к задаче проверки симметричности монеты. Проведенные рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений, на основе которых можно ответить на поставленные выше вопросы. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу р 0 , например, р 0 = 0,23 (вспомните слова Струкова из романа А.Н.Толстого).

Задачи оценивания. В ряде управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных ситуаций возникают задачи другого типа – задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей.

Рассмотрим пример. Пусть на контроль поступила партия из N электроламп. Из этой партии случайным образом отобрана выборка объемом n электроламп. Возникает ряд естественных вопросов. Как по результатам испытаний элементов выборки определить средний срок службы электроламп и с какой точностью можно оценить эту характеристику? Как изменится точность, если взять выборку большего объема? При каком числе часов Т можно гарантировать, что не менее 90% электроламп прослужат Т и более часов?

Предположим, что при испытании выборки объемом n электроламп дефектными оказались Х электроламп. Тогда возникают следующие вопросы. Какие границы можно указать для числа D дефектных электроламп в партии, для уровня дефектности D / N и т.п.?

Или при статистическом анализе точности и стабильности технологических процессов надлежит оценить такие показатели качества, как среднее значение контролируемого параметра и степень его разброса в рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего значения случайной величины целесообразно использовать ее математическое ожидание, а в качестве статистической характеристики разброса – дисперсию, среднее квадратическое отклонение или коэффициент вариации. Отсюда возникает вопрос: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удается сделать? Аналогичных примеров можно привести очень много. Здесь важно было показать, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в производственном менеджменте при принятии решений в области статистического управления качеством продукции.

Что такое «математическая статистика»? Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала» . При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:

Одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом;

Многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами (вектором);

Статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения – функция;

Статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.

Исторически первой появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика. Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики.

Лишь те методы обработки данных, т.е. математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идет о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и т.п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, т.е. ее адекватность, обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.

В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.

Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надежности и теория массового обслуживания. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы - требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, т.е. длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли член-корреспондент АН СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик АН УССР Б.В.Гнеденко (1912-1995) и другие отечественные ученые.

Коротко об истории математической статистики. Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения – гауссовские процессы.

В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.

В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время. Так, за последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований :

Разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов;

Развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике;

Развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели;

Широкое развертывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.

Вероятностно-статистические методы и оптимизация. Идея оптимизации пронизывает современную прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А именно, методы планирования экспериментов, статистического приемочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и др. С другой стороны, оптимизационные постановки в теории принятия решений, например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики.

В производственном менеджменте, в частности, при оптимизации качества продукции и требований стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, т.е. на этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации – при шкалировании переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и т.д.

В задачах оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, используют все области статистики. А именно, статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику случайных процессов и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Выбор статистического метода для анализа конкретных данных целесообразно проводить согласно рекомендациям .

В настоящей лекции представлена систематизация отечественных и зарубежных методов и моделей анализа риска. Различают следующие методы анализа риска (рис. 3): детерминированные; вероятностно-статистические (статистические, теоретико-вероятностные и вероятностно-эвристические); в условиях неопределенности нестатистической природы (нечеткие и нейросетевые); комбинированные, включающие различные комбинации перечисленных выше методов (детерминированных и вероятностных; вероятностных и нечетких; детерминированных и статистических).

Детерминированные методы предусматривают анализ этапов развития аварий, начиная от исходного события через последовательность предполагаемых отказов до установившегося конечного состояния. Ход аварийного процесса изучается и предсказывается с помощью математических имитационных моделей. Недостатками метода являются: потенциальная возможность упустить редко реализующиеся, но важные цепочки развития аварий; сложность построения достаточно адекватных математических моделей; необходимость проведения сложных и дорогостоящих экспериментальных исследований.

Вероятностно-статистические методы анализа риска предполагают как оценку вероятности возникновения аварии, так и расчет относительных вероятностей того или иного пути развития процессов. При этом анализируются разветвленные цепочки событий и отказов, выбирается подходящий математический аппарат и оценивается полная вероятность аварии. Расчетные математические модели при этом можно существенно упростить по сравнению с детерминированными методами. Основные ограничения метода связаны с недостаточной статистикой по отказам оборудования. Кроме того, применение упрощенных расчетных схем снижает достоверность получаемых оценок риска для тяжелых аварий. Тем не менее, вероятностный метод в настоящее время считается одним из наиболее перспективных. На его основе построены различные методики оценки рисков , которые в зависимости от имеющейся исходной информации делятся на:

Статистические, когда вероятности определяются по имеющимся статистическим данным (при их наличии);

Теоретико-вероятностные, используемые для оценки рисков от редких событий, когда статистика практически отсутствует;

Вероятностно-эвристические, основанные на использовании субъективных вероятностей, получаемых с помощью экспертного оценивания. Используются при оценке комплексных рисков от совокупности опасностей, когда отсутствуют не только статистические данные, но и математические модели (или их точность слишком низка).

Методы анализа риска в условиях неопределенностей нестатистической природы предназначены для описания неопределенностей источника риска – ХОО, связанных с отсутствием или неполнотой информации о процессах возникновения и развития аварии; человеческими ошибками; допущениями применяемых моделей для описания развития аварийного процесса.

Все перечисленные выше методы анализа риска классифицируют по характеру исходной и результирующей информации на качественные и количественные .

Рис. 3. Классификация методов анализа риска

Методы количественного анализа риска характеризуются расчетом показателей риска. Проведение количественного анализа требует высокой квалификации исполнителей, большого объема информации по аварийности, надежности оборудования, учета особенностей окружающей местности, метеоусловий, времени пребывания людей на территории и вблизи объекта, плотности населения и других факторов.

Сложные и дорогостоящие расчеты зачастую дают значение риска, точность которого невелика. Для опасных производственных объектов точность расчетов индивидуального риска, даже в случае наличия всей необходимой информации, не выше одного порядка. При этом проведение количественной оценки риска более полезно для сравнения различных вариантов (например, размещения оборудования), чем для заключения о степени безопасности объекта. Зарубежный опыт показывает, что наибольший объем рекомендаций по обеспечению безопасности вырабатывается с применением качественных методов анализа риска, использующих меньший объем информации и затрат труда. Однако количественные методы оценки риска всегда очень полезны, а в некоторых ситуациях – единственно допустимы для сравнения опасностей различной природы и при экспертизе опасных производственных объектов.

К детерминированным методам относят следующие:

- качественные (проверочного листа (Check-list); “Что будет если?” (What - If); Предварительный анализ опасности (Process Hazard and Analysis) (PHA); “Анализ вида и последствий отказов” (АВПО) (Failure Mode and Effects Analysis) (FMEA); Анализ ошибочных действий (Action Errors Analysis) (AEA); Концептуальный анализ риска (Concept Hazard Analysis) (CHA); Концептуальный обзор безопасности (Concept Safety Review) (CSR); Анализ человеческих ошибок (Human Hazard and Operability) (HumanHAZOP); Анализ влияния человеческого фактора (Human Reliability Analysis) (HRA) и ошибки персонала (Human Errors or Interactions) (HEI); Логического анализа;

- количественные (Методы, основанные на распознавании образов (кластерный анализ); Ранжирование (экспертные оценки); Методика определения и ранжирования риска (Hazard Identification and Ranking Analysis) (HIRA); Анализ вида, последствий и критичности отказа (АВПКО) (Failure Mode, Effects and Critical Analysis) (FMECA); Методика анализа эффекта домино (Methodology of domino effects analysis); Методика определения и оценки потенциального риска (Methods of potential risk determination and evaluation)); Количественное определение влияния на надежность человеческого фактора (Human Reliability Quantification) (HRQ).

К вероятностно-статистическим методам относятся:

Статистические: качественные методы (карты потоков) и количественные методы (контрольные карты).

К теоретико-вероятностным методам относятся:

- качественные (Причины последовательности несчастных случаев (Accident Sequences Precursor) (ASP));

- количественные (Анализ деревьев событий) (АДС) (Event Tree Analysis) (ETA); Анализ деревьев отказов (АДО) (Fault Tree Analysis) (FTA); Оценка риска минимальных путей от инициирующего до основного события (Short Cut Risk Assessment) (SCRA); Дерево решений; Вероятностная оценка риска ХОО.

К вероятностно-эвристическим методам относятся:

- качественные – экспертного оценивания, метод аналогий;

- количественные – балльных оценок, субъективных вероятностей оценки опасных состояний, согласования групповых оценок и т.п.

Вероятностно-эвристические методы используются при недостатке статистических данных и в случае редких событий, когда возможности применения точных математических методов ограничены из-за отсутствия достаточной статистической информации о показателях надежности и технических характеристиках систем, а также из-за отсутствия надежных математических моделей, описывающих реальное состояние системы. Вероятностно-эвристические методы основываются на использовании субъективных вероятностей, получаемых с помощью экспертного оценивания.

Выделяют два уровня использования экспертных оценок: качественный и количественный. На качественном уровне определяются возможные сценарии развития опасной ситуации из-за отказа системы, выбор окончательного варианта решения и др. Точность количественных (балльных) оценок зависит от научной квалификации экспертов, их способностей оценивать те или иные состояния, явления, пути развития ситуации. Поэтому при проведении экспертных опросов для решения задач анализа и оценки риска необходимо использовать методы согласования групповых решений на основе коэффициентов конкордации; построения обобщенных ранжировок по индивидуальным ранжировкам экспертов с использованием метода парных сравнений и другие. Для анализа различных источников опасности химических производств методы на основе экспертных оценок могут использоваться для построения сценариев развития аварий, связанных с отказами технических средств, оборудования и установок; для ранжирования источников опасности.

К методам анализа риска в условиях неопределенности нестатистической природы относятся:

- нечеткие качественные (Метод анализа опасности и работоспособности (АОР) (Hazard and Operability Study) (HAZOP)и Методы, основанные на распознавании образов (нечеткая логика));

- нейросетевые методы прогнозирования отказов технических средств и систем, технологических нарушений и отклонений состояний технологических параметров процессов; поиска управляющих воздействий, направленных на предотвращение возникновения аварийных ситуаций, и идентификации предаварийных ситуаций на химически опасных объектах.

Заметим, что анализ неопределенностей в процессе оценки риска – это перевод неопределенности исходных параметров и предположений, использованных при оценке риска в неопределенности результатов.

Для достижения желаемого результата освоения дисциплины, будут подробно рассмотрены на практических занятиях следующие СМММ СТО:

1. Основы вероятностных методов анализа и моделирования СС;

2. Статистические математические метолы и модели сложных систем;

3. Основы теории информации;

4. Методы оптимизации;

Заключительная часть. (В заключительной части подводится краткий итог лекции и даются рекомендации по самостоятельной работе для углубления, расширения и практического применения знаний по данной теме).

Таким образом, были рассмотрены основные понятия и определения техносферы, системный анализ сложных систем и различные способы решения задач проектирования сложных техносферных систем и объектов.

Практическое занятие по данной теме будет посвящено примерам проектов сложных систем с использованием системного и вероятностного подходов.

В конце занятия преподаватель отвечает на вопросы по материалу лекции и объявляет задание на самоподготовку:

2) доработать конспект лекции примерами систем большого масштаба: транспорт, связь, промышленность, коммерция, системами видеонаблюдения и системы глобального контроля за лесными пожарами.

Разработал:

доцент кафедры О.М. Медведева

Лист регистрации изменений