Определение умножения одночлена на одночлен полагает возведение одночлена в степень. В данной статье рассмотрим решение примеров с натуральным показателем со всеми нюансами.
Правило произведения одночлена в степень
Для возведения одночлена в степень необходимо разделить все действие на несколько этапов.
Рассмотрим на решении многочлена стандартного вида 2 · x · y 5 . При возведении в 3 степень получим, что (2 · x · y 5) 3 . При подробном рассмотрении видно, что он состоит из множителей вида 2 , x и y 5 . Тогда можно проводить тождественное преобразование с применением свойств степени.
На начальном этапе получаем, что (2 · x · y 5) 3 = 2 3 · x 3 · (y 5) 3 , после чего производим замену (y 5) 3 на y 15 , тогда получим выражение вида 2 3 · x 3 · (y 5) 3 = 2 3 · x 3 · y 15 . Можно поработать с возведением в степень числа 2. Получаем, что 2 3 = 8 можно заменить на 8 · x 3 · y 15 . Это и есть многочлен стандартного вида.
Определение 1
Существуют правила возведения одночлена в степень :
- произвести запись выражения;
- применение свойства возведения произведения в степень;
- применение свойства возведения степени в степень и вычислить степень чисел.
Определение 2
Результат возведения одночлена в степень является новым одночленом. При стандартном его виде при возведении также получим многочлен стандартного вида.
Примеры
Рассмотрим примеры решения на возведение многочленов в степень.
Пример 1
Возвести в степень многочлены (x · y) 10 , - 1 4 · x , (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 .
Решение
Чтобы возвести в степень необходимо задействовать правило возведения в степень вида (x · y) 10 = x 10 · y 10 , тогда видим, что полученное выражение не имеет степеней в степени. Тогда нужно переходить к следующему шагу. Получим, что
1 1 4 · x 2 = - 1 1 4 2 · x 2
Последнее выражение имеет дробь вида - 1 1 4 2 , которую необходимо заменить. Тогда - 1 1 4 2 = - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2 , то - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2
Краткая запись выглядит таким образом:
1 1 4 · x 2 = - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2
Теперь необходимо выполнить возведение произведения в степень:
(− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0 , 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 .
После использования свойства степени получаем, что нужно произвести вычисление (− 0 , 3) 3 . Видно, что
(a 2) 3 = a 2 · 3 = a 6 , (b 3) 3 = b 3 · 3 = b 9 , (c 4) 3 = c 4 · 3 = c 12
(− 0 , 3) 3 = (− 0 , 3) · (− 0 , 3) · (− 0 , 3) = − 0 , 027 , тогда получим, что − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12 .
Краткое решение изображается таким образом: (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0 , 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 = − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12 .
Ответ : (x · y) 10 = x 10 · y 10 , - 1 1 4 · x = 1 9 16 · x 2 и (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12
Следующий пример покажет возведение в степень одночлена нестандартного вида.
Пример 2
Возвести в квадрат многочлен вида 2 · x 3 · 5 · x .
Решение
По условию имеем, что многочлен записан не в стандартном виде. Значит, необходимо произвести возведение в квадрат. Тогда получим выражение вида (2 · x 3 · 5 · x) 2 = 2 2 · (x 3) 2 · 5 2 · x 2 = 4 · x 6 · 25 · x 2 . При полученном одночлене следует перейти к стандартному виду 100 · x 8 .
Исходное выражение запишем как 2 · x 3 · 5 · x = 10 · x 4 , после чего выполним возведение во 2 степень. Получим: (10 · x 4) 2 = 10 2 · (x 4) 2 = 100 · x 8 .
Понятно, что результат эквивалентен. То есть для решения можно приводить выражение к стандартному виду либо решать как дано по условию, результат будет один.
Ответ: (2 · x 3 · 5 · x) 2 = 100 · x 8 .
При возведении в степень имеется нюанс при наличии минуса перед многочленом. Если имеем выражение типа − a 4 · b 7 · c 2 , тогда получаем, что - 1 является коэффициентом многочлена. Допускается его запись в явном виде.
Пример 3
Возвести в степень (− x 2 · y 4) 3 .
Решение
По условию имеем, что - 1 является коэффициентом выражения, тогда необходимо сделать запись в явном виде: (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 . Действуя по правилам возведения в степень, получаем, что выражение принимает вид (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 . Наличие коэффициента - 1 записывается просто как − x 6 · y 12
Искомое выражение имеет вид (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 = − x 6 · y 12 .
Ответ: (− x 2 · y 4) 3 = − x 6 · y 12 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
>>Математика: Умножение одночленов, Возведение одночлена в натуральную степень
Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень
Найти произведение трех одночленов: 2a 2 bc 5 ,
Решение. Имеем:
Упростить выражение (- 2a 2 bc 3) 5 (т. е. представить его в виде одночлена).
Р е ш е н и е. (- 2a 2 bc 3) 5 = - 2 5 (a 2) 5 b 5 (c 3) 5 =-32a 10 b 5 c15.
Мы использовали, во-первых, то, что при возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множитель. Поэтому у нас появилась запись 2 5 (a 2) 5 b5(c 3) 5 .
Во-вторых, мы воспользовались тем, что (- 2) 5 = - 2 5 .
В-третьих, мы использовали то, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а 2) 5 мы написали а 10 , а вместо (с 3) 5 мы написали с 15 .
Представить одночлен 36a 2 b 4 c 5 в виде произведения одночленов.
Решение. Здесь, как и в примере 2 из § 10, решение не единственно. Вот несколько вариантов решения:
36a 2 b 4 c 5 =(18a 2) (2b 4 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(36abc) (аb 3 с 4),
36а 2 b 4 c 5 = (- Зb 4) (- 12а 2 с 5);
36а 2 b 4 c 5 =(2a 3) (3bc) (6b 3 c 4)
Попробуйте сами придумать еще несколько решений примера 3.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиВ данном уроке мы рассмотрим операции умножения и возведения одночленов в натуральную степень, выясним, с какими одночленами можно выполнять эти действия. Вспомним правило возведения степени в степень. Научимся решать некоторые типовые задачи, а именно на упрощение выражений, на возведение в степень и обратную к этому задачу.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Умножение одночленов, возведение в натуральную степень
Из предыдущих уроков мы запомнили, что можно складывать и вычитать одночлены, но только подобные, а вот умножать и возводить в натуральную степень можно любые одночлены. Выясним, почему это возможно, рассмотрев примеры.
Пример 1: . Данный одночлен приведен к стандартному виду. Что же значит умножить его на другой одночлен?
;
И умножить все это на третий одночлен:
;
В результате мы получили одночлен - произведение чисел и степеней, в не стандартном виде. Отсюда следует, что умножать можно любые одночлены.
Приведем полученный одночлен к стандартному виду:
Поскольку возведение в степень это, по сути, умножение одночлена на себя какое-то количество раз, а умножать можно любые одночлены, мы имеем полное право возводить одночлены, причем снова любые, в натуральную степень.
Разберем примеры.
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Комментарии к примерам 1-3: при умножении двух и более одночленов результатом является новый одночлен не стандартного вида, поэтому, чтобы выполнить операцию умножения, нужно только привести этот новый одночлен к стандартному виду.
Рассмотрим примеры на возведение одночлена в степень.
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Комментарии к примерам 1-4: при возведении одночлена в степень необходимо сначала возвести в степень его коэффициент, а потом буквенную часть. Для этого следует вспомнить правило возведения степени в степень, а именно, что показатели степеней перемножаются. Кроме того, при решении примеров 3 и 4 следует вспомнить, что «-1» в любой четной степени даст «1», а в нечетной - «-1».
Рассмотрим типовые задачи:
Пример 1: и
Поскольку «2» - это натуральная степень, а мы можем возводить одночлен в любую натуральную степень, выполним первое действие:
Для решения второго действия нужно вспомнить, что любое число в нулевой степени это единица, при условии, что это число не ноль, так как не имеет смысла, то есть, мы имеем право написать:
Пример 2: вместо знака «*» поставить такой одночлен, чтобы равенство выполнялось:
Коэффициент в левой части пока равен трем, а в правой - девяти, значит, в левой части не хватает тройки; переменная b в левой части стоит во второй степени, а в правой в третьей, значит левую часть нужно умножить на b в первой степени:
Рассмотрим следующую типовую задачу. Представить данный одночлен в виде квадрата некоторого одночлена:
Пример 1: ;
Нужно определить, какой одночлен возвести в квадрат, чтобы получить заданный.
Чтобы получить 81, нужно 9 возвести в квадрат, то есть коэффициент искомого одночлена 9.
Чтобы получить , нужно возвести в квадрат, итак, мы имеем:
;
Но возникает вопрос, однозначен ли данный нами ответ? Можно ли подобрать другой такой одночлен, который при возведении в квадрат даст заданный одночлен?
Для ответа на этот вопрос вспомним, что , то есть существует еще один одночлен, которые при возведении в квадрат даст нам заданный - это .
Пример 2:
Данный пример решается аналогично предыдущему.
Рассмотрим задачу на упрощение
Пример 1:
Вывод: в данном уроке мы рассмотрели операции умножения одночленов и возведения их в натуральную степень, научились решать некоторые типовые задачи.