Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.
Математическое представление двух подобных треугольников A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Два треугольника являются подобными если:
1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2
и∠C 1 = ∠C 2
2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$
3. Отношения двух сторон
одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$\frac{B_1A_1}{B_2A_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}$ и $\angle A_1 = \angle A_2$
или
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$ и $\angle B_1 = \angle B_2$
или
$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}$ и $\angle C_1 = \angle C_2$
Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=1$
Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.
Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:
1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).
Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 - угол1 - угол2)
2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);
3) длины двух сторон и угол между ними.
Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.
Практические задачи с подобными треугольниками
Пример №1:
Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:
$\frac{PQ}{AB}=\frac{6}{2}=3$ $\frac{QR}{CB}=\frac{12}{4}=3$ $\frac{PR}{AC}=\frac{15}{5}=3$
Пример №2:
Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ
и PR
.
Решение:
∠A = ∠P
и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R
(так как ∠C = 180 - ∠A - ∠B и ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)
Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$
$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{PQ} \Rightarrow PQ=\frac{4\times12}{6} = 8$ и
$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AC}{PR}=\frac{7}{PR} \Rightarrow PR=\frac{7\times12}{6} = 14$
Пример №3:
Определите длину AB
в данном треугольнике.
Решение:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.
$\frac{BC}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{AB}{AD} = \frac{AB}{AB + BD} = \frac{AB}{AB + 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$
Пример №4:
Определить длину AD (x)
геометрической фигуры на рисунке.
Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.
AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC
Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C , мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.
Следовательно:
$\frac{DE}{AB} = \frac{7}{11} = \frac{CD}{CA} = \frac{15}{CA} \Rightarrow CA = \frac{15 \times 11}{7} = 23.57$
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57
Практические примеры
Пример №5:
На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.
Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.
Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.
Решение:
Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.
Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,
$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{AB} \Rightarrow AB = \frac{8 \times 9}{3} = 24 м$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 м
Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.
А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:
$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = 8.54 м$
Аналогично, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 9^2} = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.
y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.
Пример №6:
Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.
Решение:
Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.
Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{CE}$
В условии задачи сказано, что:
AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км
Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:
$BC = \frac{AB \times CD}{DE} = \frac{15 \times 4.41}{5} = 13.23 км$
$CE = \frac{AC \times CD}{BC} = \frac{13.13 \times 4.41}{13.23} = 4.38 км$
Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:
A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км
F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км
F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км
F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км
Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.
Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.
Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.
Решение:
Геометрическое представление задачи показано на рисунке.
Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.
$\frac{BC}{DE} = \frac{1.6}{2.8} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{5 + AC} \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \times AC$
$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac{8}{1.2} = 6.67$
Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.
$\frac{BC}{FG} = \frac{1.6}{H} = \frac{AC}{AG} = \frac{6.67}{6.67 + 5 + 30} = 0.16 \Rightarrow H = \frac{1.6}{0.16} = 10 м$
Самые часто задаваемые вопросы
Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.
Какие виды оплаты вы принимаете?
Ответ
Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.
Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.
Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.
Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?
Ответ
Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.
Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?
Ответ
Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.
Последние отзывы
Алексей:
Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!
228. В этой главе мы будем главным образом понимать под обозначениями отрезков AB, AC и т. д. выражающие их числа.
Мы знаем (п. 226), что если даны геометрически два отрезка a и b, то мы можем построить средний пропорциональный между ними. Пусть теперь отрезки даны не геометрически, а числами, т. е. под a и b будем понимать числа, выражающие 2 данных отрезка. Тогда нахождение среднего пропорционального отрезка сведется к нахождению числа x из пропорции a/x = x/b, где a, b и x числа. Из этой пропорции имеем:
x 2 = ab
x = √ab
229. Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC (чер. 224).
Опустим из вершины его прямого угла (∠B прямой) перпендикуляр BD на гипотенузу AC. Тогда из п. 225 мы знаем:
1) AC/AB = AB/AD и 2) AC/BC = BC/DC.
Отсюда мы получаем:
AB 2 = AC · AD и BC 2 = AC · DC.
Сложив по частям полученные равенства, получим:
AB 2 + BC 2 = AC · AD + AC · DC = AC(AD + DC).
т. е. квадрат числа, выражающего гипотенузу, равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты прямоугольного треугольника .
Сокращенно говорят: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов .
Если мы дадим полученной формуле геометрическое толкование, то получим уже известную нам теорему Пифагора (п. 161):
квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
Из уравнения AB 2 + BC 2 = AC 2 иногда приходится находить катет прямоугольного треугольника, по гипотенузе и другому катету. Получим, напр.:
AB 2 = AC 2 – BC 2 и, следов.,
230. Найденное числовое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника позволяет решать множество вычислительных задач. Решим некоторые из них:
1. Вычислить площадь равностороннего треугольника по данной его стороне .
Пусть ∆ABC (чер. 225) равносторонний и каждая его сторона выражается числом a (AB = BC = AC = a). Для вычисления площади этого треугольника надо узнать сначала его высоту BD, которую мы назовем чрез h. Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота BD делит основание AC пополам, т. е. AD = DC = a/2. Поэтому из прямоугольного треугольника DBC имеем:
BD 2 = BC 2 – DC 2 ,
h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (выполняем вычитание).
Отсюда имеем:
(выносим множитель из под корня).
Следовательно, называя число, выражающее площадь нашего треугольника, чрез Q и зная, что площадь ∆ABC = (AC · BD)/2, находим:
Мы можем смотреть на эту формулу, как на один из способов измерения площади равностороннего треугольника: надо измерить его сторону в линейных единицах, возвести найденное число в квадрат, умножить полученное число на √3 и разделить на 4 - получим выражение площади в квадратных (соответствующих) единицах.
2. Стороны треугольника равны 10, 17 и 21 лин. един. Вычислить его площадь
.
Опустим высоту h в нашем треугольнике (чер. 226) на большую сторону - она непременно пройдет внутри треугольника, так как в треугольнике тупой угол может быть расположен только против большей стороны. Тогда большая сторона, = 21, разделится на 2 отрезка, один из которых обозначим чрез x (см. чертеж) - тогда другой = 21 – x. Получим два прямоугольных треугольника, из которых имеем:
h 2 = 10 2 – x 2 и h 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Так как левые части этих уравнений одинаковы, то
10 2 – x 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Выполняя действия получим:
10 2 – x 2 = 289 – 441 + 42x – x 2
Упрощая это уравнение, найдем:
Тогда из уравнения h 2 = 10 2 – x 2 , получим:
h 2 = 10 2 – 6 2 = 64
и, следовательно,
Тогда искомая площадь найдется:
Q = (21 · 8)/2 квад. един. = 84 квад. един.
3. Можно решить общую задачу:
как вычислить площадь треугольника по его сторонам?
Пусть стороны треугольника ABC выражены числами BC = a, AC = b и AB = c (чер. 227). Положим, что AC есть большая сторона; тогда высота BD пойдет внутри ∆ABC. Назовем: BD = h, DC = x и тогда AD = b – x.
Из ∆BDC имеем: h 2 = a 2 – x 2 .
Из ∆ABD имеем: h 2 = c 2 – (b – x) 2 ,
откуда a 2 – x 2 = c 2 – (b – x) 2 .
Решая это уравнение, последовательно получаем:
2bx = a 2 + b 2 – c 2 и x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.
(Последнее написано на том основании, что числителя 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 можно рассматривать, как равность квадратов, которую разлагаем на произведение суммы на разность).
Эту формулу преобразовывают, вводя периметр треугольника, который обозначим чрез 2p, т. е.
Вычитая по 2c из обеих частей равенства, получим:
a + b + c – 2c = 2p – 2c или a + b – c = 2(p – c):
Также найдем:
c + a – b = 2(p – b) и c – a + b = 2(p – a).
Тогда получим:
(p выражает полупериметр треугольника).
Этою формулою можно пользоваться для вычисления площади треугольника по трем его сторонам.
231. Упражнения .
232. В п. 229 мы нашли зависимость между сторонами прямоугольного треугольника. Можно найти подобную же зависимость для сторон (с присоединением еще одного отрезка) косоугольного треугольника.
Пусть имеем сначала ∆ABC (чер. 228) такой, чтобы ∠A был острый. Постараемся найти выражение для квадрата стороны BC, лежащей против этого острого угла (подобно тому, как в п. 229 нашли выражение для квадрата гипотенузы).
Построив BD ⊥ AC, получим из прямоугольного треугольника BDC:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Заменим BD2, определяя его из ABD, откуда имеем:
BD 2 = AB 2 – AD 2 ,
а отрезок DC заменим чрез AC – AD (очевидно, что DC = AC – AD). Тогда получим:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 – 2AC · AD + AD 2
Выполнив приведение подобных членов, найдем:
BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC · AD.
Эта формула читается: квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, минус удвоенное произведение одной из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты .
233. Пусть теперь ∠A и ∆ABC (чер. 229) тупой. Найдем выражение для квадрата стороны BC, лежащей против тупого угла.
Построив высоту BD - она теперь расположится несколько иначе: на 228 где ∠A острый, точки D и C располагаются по одну сторону от A, а здесь, где ∠A тупой, точки D и C расположатся по разные стороны от A. Тогда из прямоугольного ∆BDC получим:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Мы можем BD2 заменить, определяя его из прямоугольного ∆BDA:
BD 2 = AB 2 – AD 2 ,
а отрезок DC = AC + AD, что очевидно. Заменяя, получим:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 + 2AC · AD + AD 2
Выполняя приведение подобных членов найдем:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC · AD,
т. е. квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, плюс удвоенное произведение одной из них на ее отрезок от вершины тупого угла до высоты
.
Эта формула, а равно и формула п. 232, допускают геометрическое истолкование, которое легко найти.
234. Пользуясь свойствами пп. 229, 232, 233, мы можем, если нам даны стороны треугольника в числах, узнать, есть ли у этого треугольника прямой или тупой угол.
Прямой или тупой угол в треугольнике может быть расположен лишь против большей стороны, каков же угол против нее, легко узнать: этот угол острый, прямой или тупой, смотря по тому, будет ли квадрат большей стороны меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.
Узнать, имеется ли прямой или тупой угол в следующих треугольниках, определяемых своими сторонами:
1) 15 дм., 13 дм. и 14 дм.; 2) 20, 29 и 21; 3) 11, 8 и 13; 4) 7, 11 и 15.
235. Пусть имеем параллелограмм ABCD (чер. 230); построим его диагонали AC и BD и его высоты BK ⊥ AD и CL ⊥ AD.
Тогда, если ∠A (∠BAD) острый, то ∠D (∠ADC) непременно тупой (ибо их сумма = 2d). Из ∆ABD, где ∠A считаем острым, имеем:
BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD · AK,
а из ∆ACD, где ∠D тупой, имеем:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD · DL.
Заменим в последней формуле отрезок AD равным ему отрезком BC и DL равным ему AK (DL = AK, ибо ∆ABK = ∆DCL, в чем легко убедиться). Тогда получим:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.
Сложив выражение для BD2 с последним выражением для AC 2 , найдем:
BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2 ,
так как члены –2AD · AK и +2AD · AK взаимно уничтожаются. Полученное равенство можем прочитать:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
236. Вычисление медианы и биссектора треугольника по его сторонам . Пусть в треугольнике ABC (чер. 231) построена медиана BM (т. е. AM = MC). Зная стороны ∆ABC: BC = a, AC = b и AB = c, вычислить медиану BM.
Продолжим BM и отложим отрезок MD = BM. Соединив D с A и D с C, получим параллелограмм ABCD (выяснить это легко, так как ∆AMD = ∆BMC и ∆AMB = ∆DMC).
Называя медиану BM чрез m, получим BD = 2m и тогда, пользуясь предыдущим п., имеем:
237. Вычисление радиуса, описанного около треугольника круга. Пусть около ∆ABC (чер. 233) описан круг O. Построим диаметр круга BD, хорду AD и высоту треугольника BH.
Тогда ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - угол A прямой, потому что он вписанный, опирающийся на диаметр BD и ∠D = ∠C, как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB). Поэтому имеем:
или, называя радиус OB чрез R, высоту BH чрез h и стороны AB и BC, как и раньше, соответственно чрез c и a:
но площадь ∆ABC = Q = bh/2, откуда h = 2Q/b.
Следовательно, R = (abc) / (4Q).
Мы умеем (п. 230 зад. 3) вычислять площадь треугольника Q по его сторонам. Отсюда можем вычислить R по трем сторонам треугольника.
238. Вычисление радиуса вписанного в треугольник круга. Впишем в ∆ABC, стороны которого даны (чер. 234), круг O. Соединив его центр O с вершинами треугольника и с точками касания D, E и F сторон к кругу, найдем, что радиусы круга OD, OE и OF служат высотами треугольников BOC, COA и AOB.
Называя радиус вписанного круга чрез r, имеем:
1.4.1. Четыре замечательные точки в треугольнике
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.
Перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника через их середины, пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной окружности.
1.4.2. Средняя линия треугольника
Параллельна основанию.
Равна половине основания.
Делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.
1.4.3. Свойство биссектрисы треугольника
Пусть в треугольнике проведена биссектриса Тогда (биссектриса делит основание на части, пропорциональные боковым сторонам).
1.4.4. Определение вида треугольника по его сторонам
Пусть с - наибольшая из трех сторон треугольника.
Если то треугольник остроугольный.
Если то треугольник прямоугольный.
Если то треугольник тупоугольный.
1.4.5. Площадь
1.4.6. Формулы для вычисления радиусов R и r
1.4.7. Соотношения между сторонами и углами
(теорема косинусов).
(теорема синусов).
1.4.8. Три важные теоремы о площадях
Если два треугольника подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон.
Если у двух треугольников равны основания, то площади относятся как соответствующие высоты.
Если одна высота одного треугольника равна одной высоте другого треугольника, то площади относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.
Измерены одной единицей, то квадрат числа, выражающего гипотенузу равен сумме квадратов чисел, выра жающих катеты.
Эту теорему обыкновенно выражают сокращенно так:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Это соотношение было впервые замечено греческим геометром Пифагором (VI в. до н.э.) и носит поэтому его имя - теорема Пифагора .
Теорема .
острого угла , равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения какой-нибудь из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты.
Пусть B С - сторона треугольника AB С (черт. 1 и черт. 2), лежащая против острого угла A , и BD - высота опущенная на какую-либо из остальных сторон, например, на A С (или на ее продолжение).Требуется доказать, что:
BC 2 = AB 2 + A С 2 - 2 A С. A D.
Из прямоугольных треугольников BDС и AB D выводим:
BC 2 = BD 2 +D С 2 [ 1 ] ;
BD 2 = AB 2 - A D 2 [ 2] .
С другой стороны: D С = AС-A D (черт. 1) или D С = A D -AС (черт. 2). В обоих случаях для D С 2 получим одно и то же выражение:
D С 2 = (A С -A D) 2 = A С 2 - 2A С . A D + A D 2 ;
D С 2 = (A D -A С ) 2 = A D 2 - 2A D . A С + A С 2 .
Подставив в равенство вместо BD 2 и D С 2 их выражения из равенств и , получим:
BC 2 = AB 2 - A D 2 + A С 2 - 2 A С . A D + A D 2 .
Это равенство, после сокращения членов -A D 2 и + A D 2 , и есть то самое, которое требовалось доказать.
Замечание. Доказанная теорема остается верной и тогда, когда угол С прямой. Тогда отрезок СD обратится в ноль, т.е. AС станет равна AD, и мы будем иметь:
BC 2 = AB 2 + A С 2 - 2A С 2 = AB 2 - A С 2 .
Что согласуется с теоремой о квадрате гипотенузы .
Теорема.
В треугольнике квадрат стороны, лежащей против тупого угла , равен сумме квадратов двух других сторон, сложенных с удвоенным произведением какой-нибудь из этих сторон на отрезок ее продолжения от вершины тупого угла до высоты. Доказательство аналогично предыдущему.
Следствие.
Из трех последних теорем выводим, что квадрат стороны треугольника равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон, смотря по тому, будет ли противолежащий угол прямой, острый или тупой.
Отсюда следует обратное предложение: Угол треугольника окажется прямым, острым или тупым, смотря по тому, будет ли квадрат противолежащей стороны равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон.
Вычисление высоты треугольника по его сторонам.
Обозначим высоту , опущенную на сторону а треугольника AB С , через h a . Чтобы вычислить ее, предварительно из уравнения:
b 2 = a 2 + с 2 - 2 a с ’ .
находим отрезок основания с’:
.
После чего из DABD определяем высоту, как катет:
.
Таким же путем можно определить высоты h b и h с, опущенные на стороны b и с.
Вычисление медиан треугольника по его сторонам.
Пусть даны стороны треугольника AB С и требуется вычислить его медиану BD . Для этого продолжим ее на расстояние DE = BD и точку E соединим с A и С . Тогда получим параллелограмм ABCE .
Применяя к нему предыдущую теорему, найдем: BE 2 = 2 AB 2 + 2 B С 2 - A С 2 .
