Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами .
Некоторые аксиомы были сформулированы ещё в первой главе (хотя они и не назывались там аксиомами). Например, аксиомой является утверждение о том, что
Многие другие аксиомы, хотя и не были выделены особо, но фактически использовались в наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрезков мы проводили с помощью наложения одного отрезка на другой. Возможность такого наложения вытекает из следующей аксиомы:
Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме:
Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, мы приводим в конце учебника.
Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения - аксиомы, а затем на их основе путём логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился ещё в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида. Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами ) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией . В следующем пункте мы познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии.
Аксиома параллельных прямых
Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней (рис. 110, а). Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Для этого проведём через точку М две прямые: сначала прямую с перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b перпендикулярно к прямой с (рис. 110, (б). Так как прямые а и b перпендикулярны к прямой с, то они параллельны.
Рис. 110
Итак, через точку М проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает следующий вопрос: можно ли через точку М провести ещё одну прямую, параллельную прямой а?
Нам представляется, что если прямую b «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечёт прямую а (прямая b" на рисунке 110,6). Иными словами, нам кажется, что через точку М нельзя провести другую прямую (отличную от b), параллельную прямой а. А можно ли это утверждение доказать?
Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики, начиная с древних времён, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.
Огромную роль в решении этого непростого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856).
Итак, в качестве ещё одного из исходных положений мы принимаем аксиому параллельных прямых .
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями . Например, утверждения 1 и 2 (см. с. 35) являются следствиями из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника.
Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.
Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М (рис. 111, а). Докажем, что прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b (рис. 111, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.
Рис. 111
Действительно, пусть прямые а и Ь параллельны прямой с (рис. 112, а). Докажем, что а || b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М (рис. 112,6). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b), параллельные прямой с.
Рис. 112
Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Во всякой теореме различают две части: условие и заключение . Условие теоремы - это то, что дано, а заключение - то, что требуется доказать.
Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением - вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать).
Теоремой, обратной данной , называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Докажем теоремы, обратные трём теоремам п. 25.
Теорема
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны (рис. 113).
Рис. 113
Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы ∠PMN и ∠2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР || b. Мы получили, что через точку М проходят две прямые (прямые а и МР), параллельные прямой Ь. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и ∠1 = ∠2. Теорема доказана.
Замечание
При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного .
Мы предположили, что при пересечении параллельных прямых а и b секущей MN накрест лежащие углы 1 и 2 не равны, т. е. предположили противоположное тому, что нужно доказать. Исходя из этого предположения, путём рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. Это означает, что наше предположение неверно и, следовательно, ∠1 = ∠2.
Такой способ рассуждений часто используется в математике. Мы им пользовались и ранее, например в п. 12 при доказательстве того, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Этим же методом мы пользовались в п. 28 при доказательстве следствий 1 0 и 2 0 из аксиомы параллельных прямых.
Следствие
Действительно, пусть а || b, с ⊥ a, т. е. ∠1 = 90° (рис. 114). Прямая с пересекает прямую а, поэтому она пересекает также прямую b. При пересечении параллельных прямых а и Ь секущей с образуются равные накрест лежащие углы: ∠1=∠2. Так как ∠1 = 90°, то и ∠2 = 90°, т. е. с ⊥ b, что и требовалось доказать.
Рис. 114
Теорема
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (см. рис. 102). Так как а || b, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны.
Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠3 следует, что ∠1 = ∠2. Теорема доказана.
Теорема
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с (см. рис. 102). Докажем, например, что ∠1 + ∠4 = 180°. Так как а || b, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому ∠2 + ∠4 = 180°. Из равенств ∠1 = ∠2 и ∠2 + ∠4 = 180° следует, что ∠1 + ∠4 = 180°. Теорема доказана.
Замечание
Если доказана некоторая теорема, то отсюда ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Приведём простой пример. Мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно.
Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами
Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.
Теорема
Доказательство
Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы и ОА || О 1 А 1 , ОВ || О 1 В 1 . Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А 1 О 1 В 1 - развёрнутый (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB - неразвёрнутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А 1 О 1 В 1 изображены на рисунке 115, а и б. Прямая О 1 В 1 пересекает прямую О 1 А 1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О 1 В 1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О 1 В 1 и ОА (угол 1 на рисунке 115), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и О 1 А 1 пересечены секущей О 1 М, поэтому либо ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (рис. 115, а), либо ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (рис. 115, б). Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (см. рис. 115, а), либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (см. рис. 115, б). Теорема доказана.
Рис. 115
Докажем теперь теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.
Теорема
Доказательство
Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Если угол АОВ развёрнутый или прямой, то и угол А 1 О 1 В 1 развёрнутый или прямой (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB < 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Возможны два случая (рис. 116).
1 0 . ∠AOB < 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (см. рис. 116, б). Проведём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А 1 О 1 В 1 . Следовательно, либо.∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, либо ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . В первом случае ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , во втором случае ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Теорема доказана.
Задачи
196. Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?
197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.
198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?
199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
200. На рисунке 117 AD || p и PQ || ВС. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.
Рис. 117
201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.
202. На рисунке 118 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
Рис. 118
203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если:
а) один из углов равен 150°;
б) один из углов на 70° больше другого.
204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = ОD.
205. По данным рисунка 119 найдите ∠1.
Рис. 119
206. ∠ABC = 70°, a ABCD = 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть:
а) параллельными;
б) пересекающимися?
207. Ответьте на вопросы задачи 206, если ∠АВС = 65°, а ∠BCD= 105°.
208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.
209. На рисунке 120 а || b, с || d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.
Рис. 120
210. Два тела Р 1 и Р 2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 121). Третье тело Р 3 подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р 1 и Р 2 . (При этом АР 1 || ВР 2 || СР 3 .) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Рис. 121
211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
212. Прямые, содержащие высоты АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В - тупой, ∠C = 20°. Найдите угол АHВ.
Ответы к задачам
196. Одну прямую.
197. Три или четыре.
201. 105°, 105°.
203. б) Четыре угла по 55°, четыре других угла по 125°.
206. а) Да; б) да.
207. а) Нет; б) да.
208. 115° и 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Указание. Рассмотреть продолжение луча СР 3 .
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Рис.1-2
Например, дано задание провести две параллельные прямые, причем так, чтобы через данную точку М проходила хотя бы одна из прямых. Таким образом, через заданную точку М проведем взаимно перпендикулярные прямые МN и СD . А через точку N проведем вторую прямую АВ , она должна быть перпендикулярной к прямой МN .
Сделаем вывод: прямая АВ перпендикулярна к прямой МN и прямая СD тоже перпендикулярна в прямой МN , а так как данные прямые параллельны к одной прямой, то, как следствие прямая СD параллельна АВ . Значит, через точку М проходит прямая СD , которая параллельна прямой АВ . Узнаем: можно ли провести еще одну прямую через точку М , чтобы она была параллельна прямой АВ ?
Данное утверждение является ответом на наш вопрос: через точку на плоскости, которая не лежит на данной прямой, можно провести всего одну прямую, которая будет параллельна к данной прямой. Такое отвержение в другой формулировке без доказательств еще в давние времена принял ученый Евклид. Известно, что такие утверждения, принятые без доказательства, называют аксиомами.
Вышеописанное утверждение называется аксиомой о параллельных прямых. Данная аксиома Евклида имеет огромное значение для доказательства многих теорем.
Рассмотрим обратную теорему. Если прямая пересекает параллельные прямые, то и углы, лежащие при параллельных прямых накрест, соответственно равны.
Рис.
3
Доказательство: допустим, что АС и ВD являются параллельными прямыми, тогда прямая АВ является их секущей прямой. Нам нужно доказать, что ÐСАВ =Ð АВD .
Нам нужно провести так прямую АС1 , чтобы ÐС1АВ=ÐАВD . В соответствии с аксиомой параллельности прямых АС1||ВD , в условии же мы имеем АС||ВD . А это означает, что через данную точку А проходят две прямые, причем они параллельны прямой ВD . Получается противоречие аксиоме параллельности прямых, а это означает, что прямая АС1 проведена неверно.
Правильно будет, если ÐСАВ=ÐАВD . Сделаем вывод: в том случае, когда одной из параллельных прямых перпендикулярна данная прямая, то она будет перпендикулярна и ко второй прямой.
Получается, если (MN)^(CD) и (CD)||(AB) , то Ð1=Ð2=90о . А это значит: (MN)^(AB) (Рис. 1) .
Докажем теорему: если две прямые являются параллельными к третьей, то они будут параллельны одна ко второй.
Рис. 4
Пусть прямая a параллельна прямой с и прямая b тоже параллельна прямой с (рис. 4 а) . Нам нужно доказать, что a||b .
Предположим, что прямые a и b не являются параллельными, но они пересекаются в точке М (рис. 4 б) . А это значит, что две прямые a и b , которые параллельны к прямой с проходят через одну точку, а это полное противоречие аксиоме параллельности прямых. Значит наши прямые a и b параллельны.
