Материал из Юнциклопедии

Понятие касательной - одно из важнейших в математическом анализе. Изучение прямых, касательных к кривым линиям, во многом определило пути развития математики.

С помощью циркуля и линейки нетрудно построить касательную к окружности в данной ее точке. Несколько труднее провести общую касательную к двум окружностям. В Древней Греции умели строить с помощью циркуля и линейки касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам, что свидетельствует о высоком уровне развития геометрии в то время.

Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. В XVII в. французские ученые Р. Декарт и П. Ферма исследовали касательные к спиралям и циклоиде. (Заметим, что модель касательной к циклоиде можно наблюдать в дождливую погоду: циклоида-кривая, являющаяся траекторией точки на ободе катящегося колеса (рис. 1). По такой траектории движутся и капли воды, находящиеся на колесе, а оторвавшись от колеса, они продолжают двигаться уже по касательной к циклоиде (а не к окружности - ободу колеса). Такие капли образуют грязную полосу на спине велосипедиста-гонщика, мчащегося по шоссе в сырую погоду).

Р. Декарт на задаче построения касательных к кривым отрабатывал свой аналитический метод в геометрии. Продолжая исследования Декарта, связанные с построением касательных с помощью аналитического метода, Г. В. Лейбниц одновременно с И. Ньютоном пришел к открытию дифференциально-го исчисления, явившемуся революцией в развитии математики. Понятие производной функции тесно связано с построением касательной к графику этой функции: значение производной в некоторой точке есть тангенс угла наклона касательной в этой точке к оси абсцисс.

Как все основные понятия дифференциального исчисления, понятие касательной строго определяется лишь с помощью предельного перехода (см. Предел). Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей MN при приближении точки N по кривой к точке М (рис. 2). Нетрудно понять, что у непрерывных кривых могут быть точки, в которых касательная отсутствует (рис. 3), но чрезвычайно трудно представить себе, что существуют такие непрерывные кривые, которые не имеют касательных ни в одной своей точке.

Первые примеры таких функций были указаны чешским ученым Б. Больцано (1830 г., опубликовано в 1930 г.) и немецким математиком К. Вейерштрассом (1860 г., опубликовано в 1872 г.). Естественно, что функции, графиками которых являются кривые без касательных, не имеют производных ни в одной из своих точек, так как у функции f(x), имеющей в точке х 0 производную, касательная к ее графику в этой точке существует и записывается уравнением у = f(x 0) + f"(x 0)(х - х 0).

Понятие касательной применяется и для определения угла между кривыми в точке их пересечения. За такой угол принимается угол между касательными к кривым в этой точке. На рис. 4 изображено два семейства кривых-эллипсы и гиперболы, фокусы которых находятся в заданных точках F 1 и F 2 . Любые две кривые разных семейств здесь пересекаются под прямым углом. Такая картина часто встречается в физике, в частности эти кривые являются линиями равной напряженности и равного потенциала, если в точках F 1 и F 2 находятся заряды разного знака.

Аналогично касательной к кривой определяется касательная плоскость к поверхности (рис. 5), она играет по отношению к поверхности ту же роль, что и касательная к кривой.

Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.

Значение слова касательная

касательная в словаре кроссвордиста

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

касательная

касательной, ж. (мат.). Прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой. Провести касательную к кругу.

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

касательная

ж. Прямая линия, имеющая с кривой одну общую точку, но не пересекающая ее (в математике).

Энциклопедический словарь, 1998 г.

касательная

КАСАТЕЛЬНАЯ прямая к кривой L в точке M предельное положение (на рисунке MT), к которому стремится секущая ММ? при приближении точки М? к точке М.

Касательная

к кривой линии, предельное положение секущей. К. определяется так. Пусть М ≈ точка кривой L (рис. 1 ). Выберем на L вторую точку M" и проведём прямую MM". Будем считать М неподвижной, а точку M" приближать к М по кривой L. Если при неограниченном приближении M" к М прямая MM" стремится к одному определённому положению MT, то MT называется касательной к кривой L в точке М. Не у всякой непрерывной кривой имеются К., поскольку прямая MM" может не стремиться к предельному положению или может стремиться к двум разным предельным положениям, когда M" стремится к М с разных сторон от М (рис. 2 ). Встречающиеся в элементарной геометрии кривые имеют вполне определённую К. во всех точках, кроме некоторого числа «особых» точек. Если кривая на плоскости в прямоугольных координатах определяется уравнением у = f (x) и f (х) дифференцируема в точке x0, то угловой коэффициент К. в точке М с абсциссой x0 равен значению производной f"(x0) в точке x0, уравнение К. в этой точке имеет вид:

у ≈ f (x0) = f "(х0)(х ≈ x0).

Касательной (прямой) к поверхности S в точке М называют любую прямую, проходящую через точку М и лежащую в касательной плоскости к S в точке М.

Примеры употребления слова касательная в литературе.

Трое мужчин, которые в этом смысле составляли личную проблему Касательной , назывались Кварк, Ангстрем 3754 и Ищи-и-Скажи.

Они вышли к нашему барражу по касательной , перестроились из клина в такой же точно диск, как наш, и тоже закружились.

Вечно бдящий Старший Братец усечет и пришлет нам касательную , что указанная Крисса Джейн Тулл состоит в экспедиции и название отвергается, а так как на этот раз они сумеют установить связь, нас заштрафуют до полусмерти.

Третий выстрел прошел по касательной , задев правую щеку Генри Бофорта и взметнув кучу кровавых брызг и распоротой плоти.

Видите ли, согласно моим расчетам, положение этой нитки в пространстве в каждый момент времени представляет собой вектор, коллинеарный касательной к кривой перемещения моего центра массы по коридору отделения 1Б.

Ерунда, скользнуло по касательной , но я на минуту лишился сознания, и за это время Линд оторвался от погони.

Они отправили экспедицию под руководством удивительной женщины хичи по имени Касательная , и им стала ясна вся кошмарная картина.

Когда я сказал, что Касательная была исследователем, я совсем не имел в виду, что она отправлялась на поиски географических знаний, как Магеллан или капитан Кук.

Мне Касательная показалась бы кошмаром из моего детства на пищевых шахтах в Вайоминге.

Будучи женщиной, Касательная была лысой - у мужчин иногда бывает пушок на черепах, у женщин никогда.

Это делает еще более болезненным тот факт, что Касательная сыграла решающую роль в падении хичи.

В своем историческом полете Касательная командовала большим кораблем хичи.

К несчастью для тебя, - выпалила Касательная , но тут же взяла себя в руки.

Через двадцать дней после прибытия на орбиту вокруг планеты лежебок Касательная была готова к работе.

А существенно то, что Касательная со своим экипажем сделала то, что почти никогда не делают корабли хичи.

Понятие касательной – одно из важнейших в математическом анализе. Изучение прямых, касательных к кривым линиям, во многом определило пути развития математики.

Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. В XVII в. французские ученые Р. Декарт и П. Ферма исследовали касательные к спиралям и циклоиде. (Заметим, что модель касательной к циклоиде можно наблюдать в дождливую погоду: циклоида – кривая, являющаяся траекторией точки на ободе катящегося колеса (рис. 1). По такой траектории движутся и капли воды, находящиеся на колесе, а оторвавшись от колеса, они продолжают двигаться уже по касательной к циклоиде (а не к окружности – ободу колеса). Такие капли образуют грязную полосу на спине велосипедиста-гонщика, мчащегося по шоссе в сырую погоду).

Р. Декарт на задаче построения касательных к кривым отрабатывал свой аналитический метод в геометрии. Продолжая исследования Декарта, связанные с построением касательных с помощью аналитического метода, Г. В. Лейбниц одновременно с И. Ньютоном пришел к открытию дифференциального исчисления, явившемуся революцией в развитии математики. Понятие производной функции тесно связано с построением касательной к графику этой функции: значение производной в некоторой точке есть тангенс угла наклона касательной в этой точке к оси абсцисс.

Как все основные понятия дифференциального исчисления, понятие касательной строго определяется лишь с помощью предельного перехода (см. Предел). Касательная к кривой в точке определяется как предельное положение секущей при приближении точки по кривой к точке (рис. 2). Нетрудно понять, что у непрерывных кривых могут быть точки, в которых касательная отсутствует (рис. 3), но чрезвычайно трудно представить себе, что существуют такие непрерывные кривые, которые не имеют касательных ни в одной своей точке.

Первые примеры таких функций были указаны чешским ученым Б. Больцано (1830 г., опубликовано в 1930 г.) и немецким математиком К. Вейерштрассом (1860 г., опубликовано в 1872 г.). Естественно, что функции, графиками которых являются кривые без касательных, не имеют производных ни в одной из своих точек, так как у функции , имеющей в точке производную, касательная к ее графику в этой точке существует и записывается уравнением .

Понятие касательной применяется и для определения угла между кривыми в точке их пересечения. За такой угол принимается угол между касательными к кривым в этой точке. На рис. 4 изображено два семейства кривых – эллипсы и гиперболы, фокусы которых находятся в заданных точках и . Любые две кривые разных семейств здесь пересекаются под прямым углом. Такая картина часто встречается в физике, в частности эти кривые являются линиями равной напряженности и равного потенциала, если в точках и находятся заряды разного знака.

Два способа достижения цели: по прямой и по касательной

Движение к цели «по-прямой», примерно, по следующему алгоритму:

Выбрать мечту,
Оценить ее желанность,
Оценить ее доступность,
Сотворить с нее цель по правилам,
Разработать план достижения,
Каждый день – выполнять кусочек плана,
Раз в месяц – проверять на правильном ли я пути,
Если близок – так держать, если нет – пересмотреть все сначала ( в помощь).

Это и есть способ движения к цели по прямой, когда много времени сил и энергии каждый день тратиться на само движение.

— И каких ты результатов достиг прямым путем? (спросил я себя)

— Менее 30 – 40 % результативности … (успех в достижении в менее половины случаев!)

Есть повод к расстройству? Не так ли? Две минуты депрессии… Пока не пришла на ум следующая фраза:

— А каков успех по касательной? (странное словосочетание — «по касательной», подумалось тогда)

— Почти 100%!

Все цели, которые были: или составляющими большим неудачным целям, либо были вспомогательными и не столь важны – достигнуты!

Достигнуты без всяких головных болей, без надрыва сердца и ума, легко и просто. У них не было жестких временных рамок, они не были столь ценны для меня. Притом, это серьёзные цели (но не серьезные в тот момент, когда я их брал, как средство достижения другой цели).

Для серьёзный научных изданиях, говоря о мнении других гуру Успеха, нужно обязательно ссылаться на имена самих таких гуру. Мой блог не научное издание, и я забыл их имена, но движение к цели по касательно уже встречал во многих источниках.

Некоторые источники, книги из этой серии, самих авторов не помню: «Жизнь без офисного рабства», «Жизнь без Цели», школа Достигатора …

Эти «товарищи» говорят часто, что достигать цели не стоит тупым прямым путем, напролом. Что достижение цели большой ценой – это неуспех, а другое нехорошее слово …

Читал, знал, а теперь пришел к таким же выводам.

Можно было бы написать целую «проповедь» о преимуществах и недостатках, как «по прямой», так и «по касательной». Для меня же важен результат и практическая сторона дела. И это сторона вот что нашептала:

Метод достижения цели по касательной

1. Нужно выбирать не саму цель, а сверх цель над этой целью

Это как стрелять по звездам, чтоб попасть на луну. . Всю жизнь стремится к очень высоким целям, чтоб более меньшая цель (но востребованная) реализовалась как бы сама собой, на автомате.

Например: хочешь домик на берегу моря. Выбираешь над цель: быть владельцем недвижимости в разных концам мира, ставишь над-цель по правилам прямого достижения цели. И будет тебе домик, как минимум в Крыму.

Например 2: хочешь новенькую Хьюндаи — желай Хонду. Желаешь Вольсваген – желай Бумер.

Недостаток такого подхода: когда у вас будет та самая первоначальная цель, вы не будете ей настолько рады, и зажелаете уже более большую. Так и рождаются: потогонки, крысиные бега …

2. Занизить желанность самой цели

Так советует те самые эксперты. Не буду расписывать, как это делать. Ибо это бестолковое занятие. Если занизить саму желанность цели – зачем она нужна тогда, эта цель? А потом, те же самые авторы предлагают как-бы не желая, вспоминать каждый день эту цель. Если ее вспоминать – автоматические желанность будет расти. Противоречие! Не так ли?

Может я чего не понял. Если не видите несогласованности в этих буквах: «занизить желанность цели» — то поступайте так.

Недостаток: читайте выше, нарушение простой логики.

3. Цель, не цель – а средство достижения большей цели

Чем-то похоже на п.1. Но есть существенное различие. Именно данная методика пока в сыром варианта. И скорей всего — останется в таковом, читайте ниже почему.

Нужно желанную цель перевести в средство достижения другой цели.

Например: желаете то самое шикарное бунгало на берегу Тихого океана. Желайте не бунгало, а желайте стать торговцем недвижимости с мировым именем.

Еще пример: желаете менять дорогие машины, как перчатки. Поставите цель по правилам – стать торговцем элитных машин.

В целом, движение к цели по касательной — это творческий подход, вряд ли появится достойный метод: делай А потом Б, и т.д. Конечно, проще двигаться к мечте по инструкции. Но опыт жизни показывает — чем более копий данной инструкции – тем меньше шансов на успех.

Может, что еще придумаю, допишу о движение к цели по касательной. А пока – всех благ!