2 движение окружности. Равномерное движение по окружности

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором \(~\vec r\), проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

За время Δt тело, двигаясь из точки А в точку В , совершает перемещение \(~\Delta \vec r\), равное хорде АВ , и проходит путь, равный длине дуги l .

Радиус-вектор поворачивается на угол Δφ . Угол выражают в радианах.

Скорость \(~\vec \upsilon\) движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью . Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δt за который эта дуга пройдена:

\(~\upsilon = \frac{l}{\Delta t}.\)

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью :

\(~\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}.\)

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω = const; υ = const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса-вектора \(~\vec r\) и угол φ , который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t 0 = 0 угловая координата равна φ 0 , а в момент времени t она равна φ , то угол поворота Δφ радиуса-вектора за время \(~\Delta t = t - t_0 = t\) равен \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности :

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t . Учитывая, что \(~\Delta \varphi = \frac{l}{R}\), получаем\[~\omega = \frac{l}{R \Delta t} = \frac{\upsilon}{R} \Rightarrow\]

\(~\upsilon = \omega R\) - формула связи между линейной и угловой скоростью.

Промежуток времени Τ , в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения :

\(~T = \frac{\Delta t}{N},\)

где N - число оборотов, совершенных телом за время Δt .

За время Δt = Τ тело проходит путь \(~l = 2 \pi R\). Следовательно,

\(~\upsilon = \frac{2 \pi R}{T}; \ \omega = \frac{2 \pi}{T} .\)

Величина ν , обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения :

\(~\nu = \frac{1}{T} = \frac{N}{\Delta t}.\)

Следовательно,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 18-19.

Закон. Все движения происходят одинаково в покоящихся системах отсчета, или движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью. Это принцип одинаковости или равнозначности инерциальных систем отсчета или принцип независимости Галилея.

Общие законы движения

1 Закон. Если на тело не действуют другие тела, оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это закон инерции, первый закон Ньютона.

3 Закон. Все движения материального тела происходят независимо друг от друга и складываются как векторные величины. Так любое тело на земле одновременно участвует в движении Солнца с планетами вокруг Центра Галактики со скоростью около 200 км./сек, в движении Земли по орбите со скоростью около 30 км/сек, во вращении Земли вокруг своей оси со скоростью до 400 м /сек и возможно в других движениях. Получается весьма замысловатая криволинейная траектория!

Если тело брошено с начальной скоростью Vo, под углом a к горизонту то дальность полета –S вычисляется по формуле:

S = 2 V*SIN(a) * COS(a) / g = V*SIN(2a) / g

Максимальная дальность при a =45 градусов. Максимальная высота полета –h вычисляется по формуле:

h = V* SIN(a)/2g

Обе эти формулыможно получить, если учесть, что вертикальная составляющая Vo*SIN(a), а горизонтальная Vo* COS(a), V =g*t, t =V/g.

Cделаем подстановку в основную формулу для высоты

h = g t/2 = g* (V/g)/2 = V/2g = V* SIN(a)/2g.

Это и есть нужная формула. Максимальная высота при бросании вертикально вверх, при этом

a =90 градусов, SIN(a) =1; h = V*/2g

Для вывода формулы дальности полета нужно горизонтальную составляющую умножить на удвоенное время падения с высоты h. Если учитывать сопротивление воздуха, то путь будет короче. Для снаряда, например, почти вдвое. Одной и той же дальности будут соответствовать два разных угла бросания.

Рис.11 Траектории полета тела брошенного под углом к горизонту. Рисунок справа движение по окружности.

w- Угловая скорость вращающегося тела; радиан / сек

b -Угловое положение вращающегося тела; радианы или градусы относительно оси. Радиан это угол под которым видна из центра окружности дуга равная радиусу окружности, соответственно рад=360/6,28 = 57,32 градусов

а-угловое ускорение измеряется в рад/сек 2

b = bо + w * t, Угловое перемещение отbо.

S = b *R - Линейное преремещение по окружности радиусаR.

w =(b - bо)/(t –to); - Угловая скорость. V = w* R – Скорость по окружности

T = 2*p/w =2*p*R/V Отсюда V = 2*p*R/T

a =ao + w/t – Угловое ускорение. Угловое ускорение определяется тагенциальной силой и при ее отсутствии будет равномерное движение тела по окружности. При этом на тело действует центростремительное ускорение, которое в течение оборота изменяет скорость в 2*p раз. Его величина определиться формулой. a =DV/T =2*p*V/2*p*R/V =V/R

Средние величины скорости и ускорения не позволяют рассчитать положение тела при неравномерном движении. Для этого необходимо знать значения скорости и ускорения в короткие промежутки времени или мгновенные значения. Мгновенные значения определяются через производные или дифференциалы.

При описании движения точки по окружности мы будем характеризовать перемещение точки углом Δφ , который описывает радиус-вектор точки за время Δt . Угловое перемещение за бесконечно малый промежуток времени dt обозначается dφ .

Угловое перемещение – величина векторная. Определяется направление вектора (или ) по правилу буравчика: если вращать буравчик (винт с правосторонней резьбой) в направлении движения точки, то буравчик будет двигаться в направлении вектора углового смещения. На рис. 14 точка М движется по часовой стрелке, если смотреть на плоскость движения снизу. Если крутить буравчик в этом направлении, то вектор будет направлен вверх.

Таким образом, направление вектора углового перемещения определяется выбором положительного направления вращения. Положительное направление вращения определяется правилом буравчика с правосторонней резьбой. Однако с таким же успехом можно было взять буравчик с левосторонней резьбой. В этом случае направление вектора углового смещения было бы противоположным.

При рассмотрении таких величин, как скорость, ускорение, вектор смещения не возникал вопрос о выборе их направления: оно определялось естественным образом из природы самих величин. Такие вектора называются полярными. Вектора, подобные вектору углового перемещения, называются аксиальными, или псевдовекторами . Направление аксиального вектора определяется выбором положительного направления вращения. Кроме того, аксиальный вектор не имеет точки приложения. Полярные векторы , которые мы рассматривали до сих пор, приложены к движущейся точке. Для аксиального вектора можно лишь указать направление (ось, axis – лат.), вдоль которой он направлен. Ось, вдоль которой направлен вектор углового смещения, перпендикулярна плоскости вращения. Обычно вектор углового перемещения изображают на оси, проходящей через центр окружности (рис. 14), хотя его можно нарисовать в любом месте, в том числе на оси, проходящей через рассматриваемую точку.

В системе СИ углы измеряются в радианах. Радиан – это такой угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Таким образом, полный угол (360 0) равен 2π радиан.

Движение точки по окружности

Угловая скорость – векторная величина, численно равная углу поворота за единицу времени. Обозначается обычно угловая скорость греческой буквой ω. По определению, угловая скорость – это производная угла по времени:

. (19)

Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора углового перемещения (рис. 14). Вектор угловой скорости, так же, как и вектор углового перемещения, является аксиальным вектором.

Размерность угловой скорости – рад/с.

Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом ω = φ/t.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Поскольку промежутку времени Δt = Т соответствует угол поворота Δφ = 2π, то

(20)

Число оборотов в единицу времени ν, очевидно, равно:

(21)

Величина ν измеряется в герцах (Гц). Один герц – это один оборот в секунду, или 2π рад/с.

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под мгновенным значением T то время, за которое тело совершило бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данным мгновенным значением угловой скорости, а под ν понимая то число оборотов, которое совершало бы тело за единицу времени при аналогичных условиях.

Если угловая скорость меняется со временем, то вращение называется неравномерным. В этом случае вводят угловое ускорение аналогично тому, как для прямолинейного движения вводилось линейное ускорение. Угловое ускорение – это изменение угловой скорости за единицу времени, вычисляется как производная угловой скорости по времени или вторая производная углового смещения по времени:

(22)

Так же, как и угловая скорость, угловое ускорение является векторной величиной. Вектор углового ускорения – аксиальный вектор, в случае ускоренного вращения направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости (рис. 14); в случае замедленного вращения вектор углового ускорения направлен противоположно вектору угловой скорости.

При равнопеременном вращательном движении имеют место соотношения, аналогичные формулам (10) и (11), описывающим равнопеременное прямолинейное движение:

ω = ω 0 ± εt,

Равномерное движение по окружности – это простейший пример . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение () a n или а ЦС. В каждой точке вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

a ЦС =v 2 / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

360 о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958 о = 57 о 18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота ), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

При малых углах поворота Δl ≈ Δs .

Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt →0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt :

Угловая скорость измеряется в рад/с .

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением . Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δt . По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA =υB = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB | =Δs ≈ υΔt . Так как |OA | = R и |CD | = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt →0, получаем:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде